\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !!!

%Tapuscrit Olivier Reboux
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% J'ai fait quelques modifications qui simplifie la 
%% saisie.
%% Olivier
%% Et quelques propositions de modifications
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Fourier permet de mettre toutes les majuscules du mode math en
% romain droit ! Il vaut mieux gérer au coup par coup les cas
% où il faut les mettre en italique !
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eucl}
\everymath{\displaystyle}
% Il vaudrait mieux utiliser geometry....
\usepackage{geometry}
\geometry{paper=a4paper,margin=3cm,includeheadfoot}
% \setlength\paperheight{297mm}
% \setlength\paperwidth{210mm}
% \setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(O,~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(O,~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(O,~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%% MODIFICATION
%% Plus simple à taper et aussi clair.
%% Ci : Complexe i
\newcommand{\Ci}{\text{i}}
%%% MODIFICATION
%% Plus simple à taper et aussi clair.
%% \e : exponentielle
\newcommand{\e}{\text{e}}
%%% MODIFICATION
%%% dx avec d en romain
\newcommand*{\dd}{\text{d}\,}
%%% MODIFICATION
%% Une majuscule en italique : elle désigne une intégrale et non un
%% point.
\newcommand*{\I}{\mathit{I}}
%%% MODIFICATION
%% Une majuscule en italique : elle désigne une transformation.
%% 
\newcommand*{\transformation}{\mathit{S}}
%% MODIFICATION
%% Titre des exercices + mise en forme !
%% compteur des énoncés :
\newcounter{exoBac} \setcounter{exoBac}{1}
\newcommand{\titreExe}[2][]{\vspace{1cm}\par
  \textbf {\textsc{Exercice} \theexoBac{} #1 \hfill #2 points} \par
  \medskip \par 
  \refstepcounter{exoBac}} \newcounter{partieBac}[exoBac]
\newcommand{\partieBac}[1]
{\refstepcounter{partieBac}\vspace{0.5cm}\hfill\textbf{PARTIE  
    \Alph{partieBac}. #1}\hfill~\par}%
%% raccourcis vers l'intervalle :
\newcommand*{\intervalleA}{[1\,;\,40]}
%\newcommand*{\intervalleB}{[0\,;\,1]}
%\newcommand*{\intervalleC}{\left[0\,;\,\frac{\pi}{4}\right]}
\usepackage{fancyhdr} 
% \textheight 23,5cm %\voffset -1.5cm
% \oddsidemargin 0pt 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat L}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{31 mai 2012}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\cfoot{\thepage}
\begin{center} { \Large \textbf{{\decofourleft~Baccalauréat L Amérique du Nord 31 mai 2012~\decofourright}}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Chaque résultat sera exprimé sous la forme d'une fraction
irréductible. 

Un arbre est donné en annexe 1. \textbf{Il est à  compléter et à rendre avec la copie.}

Une grande surface propose le jeu suivant à ses clients :

On dispose de deux urnes.

\begin{itemize}
\item La première urne notée $U_1$ contient $10$ boules indiscernables
  au toucher : une rouge et neuf noires.
\item La deuxième urne noté $U_2$ contient $5$ boules indiscernables
  au toucher : une rouge et quatre noires.
\end{itemize}
Le joueur tire au hasard une boule de l'urne $U_1$ qu'il place dans
l'urne $U_2$. Il tire ensuite, au hasard, une boule de l'urne
$U_2$. 

Le joueur gagne s'il tire une boule rouge de l'urne $U_2$.

On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $R_1$ : \og  le joueur tire une boule rouge de l'urne $U_1$\fg{} ;
\item $N_1$ : \og  le joueur tire une boule noire  de l'urne $U_1$\fg{};
\item $R_2$ : \og  le joueur tire une boule rouge de l'urne $U_2$\fg{} ;
\item $N_2$ : \og  le joueur tire une boule noire de l'urne $U_2$\fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le joueur tire une boule rouge
  dans l'urne $U_2$ sachant qu'il a tiré une boule rouge dans l'urne
  $U_1$ ?
\item Compléter l'arbre donné en annexe 1.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabiité pour un joueur de gagner à ce jeu
    est égale à $\dfrac{11}{60}$.
		\item \emph{Dans cette question, tout trace de recherche, même
      incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en
      compte pour l'évaluation.}

À chaque joueur gagnant, la grande surface propose un bon d'achat
    de $10$ euros. En moyenne chaque semaine, $\np{12000}$ clients
    participent au jeu.

Quelle estimation la grande surface peut-elle faire du coût
    hebdomadaire de ce jeu ?
	\end{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le client ait tiré une boule rouge
  dans l'urne $U_1$ sachant qu'il a gagné à ce jeu ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant ($N$ désigne un entier
  naturel) :

  \fbox{
    \centering
      \begin{minipage}{0.9\linewidth}
        \begin{description}
        \item[\texttt{\emph{Entrée}} :] \texttt{Saisir la valeur de $N$}
        \item[\texttt{\emph{Initialisation}} :] \texttt{Affecter à $i$ la valeur
            $0$}\\
          \texttt{Affecter à $P$ la valeur $63,2$}
        \item[\texttt{\emph{Traitement} :}] Tant que $i < N$ \\
          \texttt{Affecter à $i$ la valeur de $i+1$} \\
          \texttt{Affecter à $P$ la valeur de $1,002\times P+0,1$} \\
        \item[\texttt{\emph{Sortie}} :] Afficher $P$ 
        \end{description}
    \end{minipage}
  }

Justifier, en faisant fonctionner l'algorithme, que pour  $N = 4$
  l'arrondi à $10^{-3}$ du nombre affiché en sortie est $64,108$.
\item L'objectif de cette question est de donner une prévision
  possible de la population de la France métropolitaine en 2050.

  Au 1\up{er} janvier 2010, cette population était de $\np{63200000}$ habitants (source INSEE).

  Une équipe de statisticiens prévoit un accroissement naturel de $2$
  pour \np{1000} sur les $40$ prochaines années (l'accroissement naturel
  étant la différence entre le taux de natalité et le taux de
  mortalité).

  Cette équipe estime par ailleurs que le solde migratoire (qui
  représente la différence entre le nombre de personnes qui sont
  entrées en France métropolitaine et le nombre de personnes qui en
  sont sorties au cours de l'année) sera de $\np{100000}$ habitants
  soit $0,1$ million.

  Soit $n$ le nombre entier naturel. On note $p_n$ la population de la
  France métropolitaine (estimée en millions d'habitants) au
  $1$\up{er} janvier de l'année $2010 + n$.

  Ainsi, d'après ce qui précède $p_0 = 63,2$ et $p_{n+1} = 1,002\times
  p_n + 0,1$.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer les valeurs arrondies à $10^{-3}$ de $p_1$ et $p_2$.
  \item À l'aide d'un raisonnement par récurrence, démontrer que pour
    tout nombre entier naturel $n$, 
    \[
    p_n = 113,2 \times 1,002^n - 50.
    \]
  \item En déduire une estimation en millions d'habitants de la
    population française au premier janvier 2050 (on arrondira le
    résultat à $10^{-3}$.)
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La population peut être également estimée par la fonction $f$ définie
sur l'intervalle $[1\,;\,40]$ par :

\[f(t) = 113,2\e^{0,002t} - 50,\]

où $t$ désigne le nombre d'année écoulées depuis le premier janvier
2010 et où $f(t)$ est exprimé en millions d'habitants.

On utilisera le modèle pour répondre aux trois questions suivantes.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la population de la France métropolitaine peut
  être estimée à $\np{72628000}$ habitants au premier janvier 2050.

  Comparer ce résultat à celui obtenu dans la partie A.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle
  $[1\,;\,40]$ (on pourra éventuellement déterminer la fonction
  dérivée de la fonction $f$).
\item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même
    incomplète, ou d'initiative même non fructueuse sera prise en
    compte dans l'évaluation}.

Que pensez-vous de l'affirmation suivante ?

\og en 2040 pour la première fois la population dépassera $70$
  millions d'habitants\fg.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, on utilisera une lettre majuscule pour
  désigner un point de l'espace et une lettre minuscule pour désigner
  une représentation plane de ce point. Par exemple, $a$ représente
  $A$.}

\emph{Toutes les constructions seront faites sur l'annexe 2}

\emph{Aucune justification des construction n'est attendue mais les
  traits de construction seront laissés apparents.}

\emph{La représentation finale sera repassée en gras ou en couleur
  afin d'en améliorer la lisibilité.}

La figure donnée en annexe 2 présente le dessin en perspective
centrale d'un cube $ABCDEFGH$ posé sur un plan horizontal et dont la
face $ABCD$ est dans un plan frontal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle $\omega$ le point de fuite principal de cette
  représentation en perspective centrale.

Construire le point $\omega$.
\item On appelle $d_1$ et $d_2$ les points de distance de cette
  représentation en perspective centrale. Construire $d_1$ et $d_2$
  puis tracer la ligne d'horizon.
\item La figure \ref{fig_BacLAmeriqueNord_12a} donne une
  représentation en perspective cavalière de l'assemblage décrit dans
  cette question.

  \begin{figure}[!h]
 \centering
 \begin{pspicture}(0,0)(8.25,8)
   % la perspective cavalière n'est pas normalisée : angle de 22°
   % Cube ABCDEFGH
  \psset%
  {%
    PointSymbol=none,%
  }% 
   \pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){A}
   \pstGeonode[PosAngle=-90](3.5,0){B}
   \pstRotation[RotAngle=90,PosAngle=180]{A}{B}[D]
   \pstRotation[RotAngle=-90,PosAngle=-45]{B}{A}[C]
   \pspolygon(A)(B)(C)(D)
   \pstRotation[RotAngle=22,PointName=none,PointSymbol=none]{A}{B}[e]
   \pstTranslation[DistCoef=0.714,PosAngle=135]{A}{e}{A}[E]
   \pstTranslation[PosAngle=-45]{A}{E}{B}[F]
   \pstTranslation[PosAngle=-45]{A}{E}{C}[G]
   \pstTranslation[PosAngle=135]{A}{E}{D}[H]
   \pspolygon(B)(C)(G)(F)
   \psline[linestyle=dashed](D)(H)(G)
   \psline[linestyle=dashed](H)(E)(F)
   \psline[linestyle=dashed](E)(A)
   % pyramide
   \psset%
   {%
     PointSymbol=none,%
     PointName=none,%
      }% 
   \pstMiddleAB{D}{G}{I}
   \pstTranslation{A}{D}{I}[S]
   \psline(D)(S)(G)
   \psline(S)(C)
   \psline[linestyle=dashed](S)(H)
   % Cube du fond
   \pstTranslation{A}{E}{E}[e]
   \pstTranslation{A}{E}{F}[f]
   \pstTranslation{A}{E}{G}[g]
   \pstTranslation{A}{E}{H}[h]
   \pspolygon(F)(G)(g)(f)
   \psline[linestyle=dashed](H)(h)(e)(E)
   \psline[linestyle=dashed](e)(f)
   \pstInterLL{h}{g}{G}{S}{i}
   \psline(g)(i)
   \psline[linestyle=dashed](i)(h)
 \end{pspicture}
 \caption{}\label{fig_BacLAmeriqueNord_12a}
\end{figure}
	\begin{enumerate}
		\item Derrière le cube $ABCDEFGH$, contre la face $EFGH$, on pose un
  second cube, identique au premier.
  
  Dessiner ce second cube sur l'annexe 2.
		\item Sur la face supérieure du cube $ABCDEFGH$ on pose une pyramide
dont la base est le carré $DCGH$ et dont le sommet est à la
verticale du centre de cette base.

La hauteur de cette pyramide a une longueur égale à celle d'une
arête du cube $ABCDEFGH$.

Dessiner cette pyramide dans la représentation en perspective
centrale de l'annexe 2.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

 \begin{landscape}

   \begin{figure}[!p]
     \centering
       \begin{pspicture*}(0,0)(20,15)
         \psset%
         {%
           % xunit=1,%
           % yunit=1,%
            PointSymbol=none,%
            PointName=none,%
           % algebraic=true,%
         }% 
\pstGeonode[PosAngle=90](12,12){o}
\pstGeonode[PosAngle=90](19.5,12){d_2}
\pstGeonode[PosAngle=-90,PointName=a](3,4){a}
\pstGeonode[PosAngle=-90,PointName=b](6.5,4){b} 
\pstRotation[RotAngle=90,PosAngle=135,PointName=d]{a}{b}[d]
\pstTranslation[PosAngle=0,PointName=c]{a}{d}{b}[c]
\pspolygon(a)(b)(c)(d)
\pstInterLL[PointName=f]{a}{d_2}{b}{o}{f}
\pstInterLL[PointName=g]{d}{d_2}{c}{o}{g}
\pstTranslation[PointName=none]{b}{a}{g}[H]
\pstInterLL[PosAngle=135,PointName=h]{d}{o}{g}{H}{h}
\pspolygon(b)(c)(g)(f)
\pspolygon(c)(g)(h)(d)
\pstInterLL[PosAngle=90]{c}{h}{o}{d_2}{d_1}
\pstTranslation[PosAngle=-90,PointName=e]{g}{h}{f}[e]
\psline[linestyle=dashed](h)(e)(a)
\psline[linestyle=dashed](e)(f)
       \end{pspicture*}
     \caption{Annexe 2}
   \end{figure} 
 \end{landscape}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le reste de la division euclidienne de $25$ par $6$.
		\item En déduire que pour tout nombre entier naturel $n$,

\[5^{2n} \equiv 1 (6) \text{ et  }5^{2n+1} \equiv 5 (6).\]

    En déduire les restes dans la division euclidienne par $6$ des
    nombres $A = 5^{\np{2011}}$ et $B= 5^{\np{2012}}$.
		\item Quel le reste dans la division euclidienne par $6$ du nombre
    $C$ qui s'écrit dans le système de numération en base : $C= \overline(\np{2100})$.
	\end{enumerate}
\item On s'intéresse maintenant à la suite de nombres $(A_n)$ définis
  pour tout nombre entier $n$ par :

  \[A_n = 5^n + 5^{2n}.\]
  
\item Recopier et compléter le tableau \ref{tab_BacLAmeriqueNord_12a}.
  \begin{table}[!h]
    \centering
    \setlength{\tabcolsep}{2ex}
    \begin{tabular}{|p{3cm}|*{3}{>{$}c<{$}|}}
      \hline
      $n$ & 1 & 2 & 3 \\
      \hline
      $A_n$ & & & \\
      \hline
      Reste de la division euclidienne de $A_n$ par $6$ & & & \\
      \hline
    \end{tabular}
    \caption{ }
    \label{tab_BacLAmeriqueNord_12a}
  \end{table}
\item Dire si chacune des propositions suivantes est vraie ou fausse en
  justifiant votre réponse.
  \begin{itemize}
  \item[$(P_1)$] : Pour tout nombre entier naturel $n$, $A_n$
    est divisible par $6$.
  \item[$(P_1)$] : Il existe au moins un entier naturel $n$ tel que
    $A_n -2$ est divisible par $6$.
  \item[$(P_3)$] : Pour tout nombre entier naturel $n$, $A_n$ est un
    nombre entier pair.
  \end{itemize}
\end{enumerate}

\begin{figure}[!p]
 \centering
 \caption{Annexe 1 à compléter et à rendre avec la copie)}\label{fig_}
 \begin{pspicture}(0,-5)(0,5)
   \pstree[treemode=R]{\Tdot}
   {
     \pstree{\Tr{$R_1$}}{\Tr{$R_2$} \Tr{$N_2$}}
     \pstree{\Tr{$N_1$}}{\Tr{$R_2$} \Tr{$N_2$}}
   }
 \end{pspicture}
\end{figure}
\end{document}