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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité }
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{19 juin 2009}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L spécialité Métropole--La Réunion~\decofourright\\ 19 juin 2009}} 
    
\vspace{0,25cm}

\noindent  L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

\medskip

Deux annexes sont à rendre avec la copie

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Quatre affirmations sont données ci-dessous. Dire si chacune de ces quatre affirmations est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \left(1 + x^2\right)\text{e}^x$ pour tout nombre réel $x$.
 
\textbf{Affirmation \no 1 :} La courbe représentative de $f$ est toujours située au-dessus de l'axe des abscisses .

\item  Soit $g$ la fonction définie par $g(x) = 2x - \dfrac{1}{x + 1}$ pour tout $x$ de $] -1~;~ + \infty[$. 

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $g$ et A le point de $(\mathcal{C})$ d'abscisse $0$.
 
\textbf{Affirmation \no 2 :}  La tangente à $(\mathcal{C})$ en A a pour équation $y = 2 x - 1$.
\item Soit deux évènements $A$ et $B$. $\overline{A}$ désigne l'évènement contraire de $A$. On suppose que la probabilité de $A$ est égale à 0,4 et que la probabilité de l'évènement $\overline{A} \cap B$ est égale à $0,12$.
 
\textbf{Affirmation \no 3 :}  La probabilité de $B$ sachant que $\overline{A}$ est réalisé est égale à $0,2$.
\item  On lance deux dés cubiques équilibrés et on lit la somme des résultats des faces supérieures. 

\textbf{Affirmation \no 4 :}  La probabilité d'obtenir une somme égale à $5$ est égale à $\dfrac{5}{36}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse à la propriété \og  le nombre  $3^{2n} - 2^n$ est divisible par 7 \fg, où $n$ est un nombre entier naturel. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Existe-t-il un nombre entier naturel $n$ pour lequel cette propriété est vraie ? Justifier. 
		\item Quel est le reste de la division euclidienne de $3^2$ par $7$ ? 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, 

\[9\left(3^{2n} - 2^n\right) + 7 \times 2^n = 3^{2(n+1)} - 2^{n+1}.\]
 
		\item En utilisant l'égalité précédente démontrer que, si pour un certain entier naturel $n,~3^{2n} - 2^n$  est divisible par $7$, alors $3^{2(n+1)} - 2^{n+1}$  est aussi divisible par 7.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Le nombre $3^{2n} - 2^n$ est-il toujours divisible par 7, quel que soit le nombre entier naturel $n$ ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

On effectue un coloriage en plusieurs étapes d'un carré de côté de longueur 2~cm. 

\medskip

\textbf{Première étape du coloriage :}
 
On partage ce carré en quatre carrés de même aire et on colorie le carré situé en bas à gauche comme indiqué sur la figure ci-dessous (la figure n'est pas en vraie grandeur). 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(4,4)
\psframe(4,4)
\psline(2,0)(2,4) \psline(0,2)(4,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Deuxième étape du coloriage :}

\medskip
 
On partage chaque carré non encore colorié en quatre carrés de même aire et on colorie dans chacun, le carré situé en bas à gauche, comme indiqué sur  la figure ci-dessous.

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(4,4)
\psframe(4,4)
\multido{\n=0+1}{4}{\psline(\n,0)(\n,4)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline(0,\n)(4,\n)}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,2)(1,3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,2)(3,3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](2,0)(3,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip 

\textbf{On poursuit les étapes du coloriage en continuant le même procédé.}

\medskip
 
Pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, on désigne par $A_{n}$ l'aire, exprimée en cm$^2$, de la surface totale coloriée après $n$ coloriages.
 
On a ainsi $A_{1} = 1$. 

La surface coloriée sur la figure à la 2\up{e} étape du coloriage a donc pour aire $A_{2}$.

\medskip
 
\textbf{Les deux parties suivantes A et B de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. }

\begin{center} $\fbox{\quad \text{Partie A} \quad}$ \end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer A$_{2}$ puis montrer que A$_{3} =\dfrac{37}{16}$.  	 
\item  On considère l'algorithme suivant : 

\begin{center}
\begin{tabular}{l | l}
\multicolumn{1}{l}{Entrée : }&P un entier naturel non nul. \\
\multicolumn{1}{l}{Initialisation:}& N = 1  ; U = 1. \\
\multicolumn{1}{l}{~}				&~\\
Traitement : 	          & Tant que N $\leqslant$ P : \\
								&Afficher U \\
								&Affecter à N la valeur N $+ 1$ \\
								&Affecter à U la valeur $\dfrac{5}{4} \times \text{U} +\dfrac{1}{2}$\\
\end{tabular}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item Faire fonctionner cet algorithme avec P $= 3$. 
		\item Cet algorithme permet d'afficher les P premiers termes d'une suite U de terme général U$_{n}$.
	 
Dire si chacune des deux propositions suivantes est vraie ou fausse. Justifier la réponse.

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[] Proposition 1 : Il existe un entier naturel $n$ strictement supérieur à 1 tel que U$_{n} = \text{A}_{n}$. 
\item[] Proposition 2 : Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, U$_{n} = \text{A}_{n}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\begin{center} $\fbox{\quad \text{Partie B} \quad}$ \end{center}

On admet que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, A$_{n+1} = \dfrac{3}{4}\text{A}_{n} + 1$. 
\begin{enumerate}
\item  On pose pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, B$_{n} = \text{A}_{n}  - 4$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer B$_{1}$. 
		\item Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $1,~ \text{B}_{n+1} = \dfrac{3}{4}\text{B}_{n}$. 
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(\text{B}_{n}\right)$ ? 
		\item Exprimer, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, le terme général $\text{B}_{n}$ de la suite $\left(\text{B}_{n}\right)$ en 
fonction de $n$. 
	\end{enumerate}
\item Quel est le comportement de A$_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ? Justifier la réponse.
 
Donner une interprétation de ce résultat en rapport avec l'aire de la surface coloriée. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

Dans tout l'exercice, \textsf{A, B, C, D, E, F, G} et \textsf{H} sont les sommets d'un cube opaque dont la face \textsf{ABCD} est posée sur le sol. 

\medskip

\textbf{Trois dessins sont donnés en annexes. Ils correspondent aux trois questions de l'exercice qui sont indépendantes. Ces dessins sont à compléter au fur et à mesure de la résolution de l'exercice et à rendre avec la copie. On laissera apparents les traits de construction.}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Le dessin \no 1 donné en annexe est la représentation en perspective parallèle du cube \textsf{ABCDEFGH}. Ce cube est éclairé par le soleil suivant la direction indiquée par l'ombre \textsf{E}$'$ du sommet \textsf{E}. Compléter ce dessin par l'ombre de ce cube sur le sol, les rayons du soleil étant considérés parallèles. On repassera en couleur le dessin fini de l'ombre au soleil du cube pour en améliorer la lisibilité. 
\item  On veut construire sur le dessin \no 2 la représentation en perspective centrale du cube \textsf{ABCDEFGH}, l'arête [\textsf{BF}] étant dans le plan frontal. Les images des sommets \textsf{A, B, C},\ldots sont désignées par les lettres minuscules a, b, c, \ldots 

On a tracé la ligne d'horizon ($\Delta$) et la diagonale [ac] qui est parallèle à la ligne d'horizon. 		
	\begin{enumerate}
		\item Construire les points de distance d$_{1}$ et d$_{2}$. 
		\item Terminer la représentation en perspective centrale du cube en repassant le dessin en couleur pour en améliorer la lisibilité. 
	\end{enumerate}
\item On entoure ce cube d'une ficelle passant par les milieux des arêtes comme indiqué sur le dessin ci-dessous. 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,4)
\psframe(3,3) \psline(3,0)(4.1,0.8)(4.1,3.8)(1.1,3.8)(0,3)
\psline(1.5,0)(1.5,3)(2.6,3.8) \psline(3,3)(4.1,3.8)
\psline(3.55,0.4)(3.55,3.4)(0.55,3.4)
\psline(0,1.5)(3,1.5)(4.1,2.3)
\uput[dl](0,0){A} \uput[dr](3,0){B} \uput[r](4.1,0.8){C} 
\uput[ul](0,3){E} \uput[dl](3,3){F} \uput[ur](4.1,3.8){G} \uput[u](1.1,3.8){H} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Le dessin \no 3 est la représentation en perspective centrale du cube \textsf{ABCDEFGH}, la face \textsf{ABFE} étant placée dans un plan frontal. ($\Delta$) est la ligne d'horizon. 

Compléter le dessin \no 3 par une représentation de cette ficelle. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 

\textbf{Annexe 1 (à compléter et à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\textbf{Dessin \no 1}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,9)
%\psgrid
\psline(0.15,8.2)(2.8,0.3)\psdots(2.8,0.3)
\psframe(1,2)(4.6,5.6)
\psline(4.6,2)(5.7,2.7)(5.7,6.3)(2.1,6.3)(1,5.6)
\psline(4.6,5.6)(5.7,6.3)
\uput[dl](1,2){\textsf{A}} \uput[dr](4.6,2){\textsf{B}} \uput[r](5.7,2.7){\textsf{C}} \uput[ur](5.7,6.3){\textsf{G}} 
\uput[u](2.1,6.3){\textsf{H}} \uput[dl](1,5.6){\textsf{E}} \uput[dl](4.6,5.6){\textsf{F}} \uput[r](2.8,0.3){\textsf{E}$'$} 
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

\textbf{Dessin \no 2}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,8)
\psline(7,0)(7,5)
\psline(7,0)(4,2.9)
\psline(7,0)(8.7,2.9)
\uput[d](7,0){\textsf{b}} \uput[u](7,5){\textsf{f}} \uput[dl](4,2.9){\textsf{a}} \uput[dr](8.7,2.9){\textsf{c}} 
\psline(-1,7.1)(12,7.1) \uput[u](1.2,7.1){($\Delta)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center} 

\textbf{Annexe 2 ( à compléter et à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\textbf{Dessin \no 3}

\vspace{0.75cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,9)
%\psgrid
\psframe(3.1,0)(6.9,3.8)
\psline(6.9,0)(8,1.8)(8,4.837)(5,4.837)(3.1,3.8)%bcghc
\psline(6.9,3.8)(8,4.837)%fg
\psline(0,8.8)(13.5,8.8)
\uput[dl](3.1,0){\textsf{a}}  \uput[dr](6.9,0){\textsf{b}} \uput[dr](8,1.8){\textsf{c}} \uput[ur](8,4.837){\textsf{g}} 
\uput[u](5,4.837){\textsf{h}}  \uput[ul](3.1,3.8){\textsf{e}} \uput[d](0.5,8.8){$(\Delta)$} \uput[u](6.9,3.8){\textsf{f}} 
%\psline[linewidth=0.2pt](6.9,0)(12.2,8.8)
%\psline[linewidth=0.2pt](3.1,3.8)(12.2,8.8)
%\psline[linewidth=0.2pt](6.9,3.8)(12.2,8.8)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}