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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Métropole - La Réunion~\decofourright\\juin 2008}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

Deux annexes sont à rendre avec la copie

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 5 points}

\bigskip

\parbox{0.7\linewidth}{On dispose d'un dé tétraédrique, bien équilibré, dont les quatre faces sont numérotées 1, 2, 3 et 4.

On dispose aussi de trois urnes :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]	l'urne A contient une boule noire et trois boules rouges,
\item[$\bullet~$]	l'urne B contient deux boules noires et deux boules rouges,
\item[$\bullet~$]	l'urne C contient une boule noire et deux boules rouges.
\end{itemize}}\hfill
\parbox{0.25\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(3,3)
\pspolygon(0,0.7)(1.1,0)(2.7,0.8)(1.4,2.4)
\psline(1.1,0)(1.4,2.4) \psline[linestyle=dashed](0,0.7)(2.7,0.8)
\end{pspicture}}

\bigskip

On lance le dé et on note le numéro inscrit sur la face posée sur laquelle il s'immobilise.

\begin{itemize}
\item[] Si le numéro est pair, on tire au hasard une boule dans A.
\item[] Si le numéro est 1, on tire au hasard une boule dans B.
\item[] Si le numéro est 3, on tire au hasard une boule dans C.
\end{itemize}

On appelle :
 
\begin{itemize}
\item[] A l'évènement \og la boule tirée provient de A \fg,
\item[] B l'évènement \og  la boule tirée provient de B », 
\item[] C l'évènement \og  la boule tirée provient de C \fg,
\item[] N l'évènement \og la boule tirée est noire \fg{} et 
\item[] R l'évènement \og la boule tirée est rouge \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Reproduire sur la copie et compléter, en indiquant les probabilités relatives à chaque branche, l'arbre de probabilité ci-dessous :

\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=1.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{A}\taput{\ldots}}
	  { 
		  \TR{N}\taput{\ldots}
		  \TR{R}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{B}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{N}\taput{\ldots}
		  \TR{R}\tbput{\ldots} 
	  }
	\pstree{\TR{C}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{N}\taput{\ldots}
		   \TR{R}\tbput{\ldots}
	  }	
}
\end{center}
\item 	Calculer la probabilité $p(\text{C} \cap \text{N})$.
\item 	Montrer que $p(\text{N}) = \dfrac{1}{3}$.
\item 	Déterminer la probabilité d'avoir obtenu le numéro 3 avec le dé sachant que la boule tirée est noire.
\item 	Les évènements N et C sont-ils indépendants?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 5 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x)   =  (3 - 2x)\text{e}^{\frac{x}{2}}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $f(0)$, de $f(-2)$ et de $f(2)$. Donner, de plus, une valeur arrondie à $10^{-2}$ près si nécessaire.

\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $\R,~ f'(x) = \left(- \dfrac{1}{2} - x\right)\text{e}^{\frac{x}{2}}$.
\item En déduire les variations de $f$ sur $\R$.
\item Un dessin de la courbe $\mathcal{C}$  est donné ci-dessous. Les unités ont été effacées. Le point D est l'intersection de $\mathcal{C}$  avec l'axe des ordonnées et le point E est l'intersection de $\mathcal{C}$  avec l'axe des abscisses. Le point F est le point de $\mathcal{C}$  d'ordonnée maximale.\\

\medskip

\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture}(-6,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-3)(4,4)
\uput[ur](0,3){D} \uput[u](-0.5,3.1152){F} \uput[ur](1.5,0){E} \uput[r](2,-3){$\mathcal{C}$} \uput[ur](3,2){G(3~;~2)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3,2)(1.5,0)(0,3)(-0.5,3.1152)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2500,linewidth=1.25pt]{-6}{2.05}{2.71828 x 2 div exp 3 2 x mul sub mul}
\psplot{-3}{4}{3 x 3 div sub}
\end{pspicture}
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur exacte des coordonnées des points D, E et F.
		\item Soit G le point de coordonnées(3~;~2). La droite (DG) est-elle tangente à $\mathcal{C}$ en D ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 } \hfill 4 points}

\medskip

Dans un lycée, un code d'accès à la photocopieuse est attribué à chaque professeur. Ce code est un nombre à quatre chiffres choisis dans la liste \{0,\: 1,\: 2,\: 3,\: 4,\: 5,\: 6,\: 7,\: 8,\: 9\}, chaque chiffre pouvant être répété à l'intérieur d'un même code.

Par exemple 0027 et 5855 sont des codes possibles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien de codes peut-on ainsi former ?
\item Ce code permet aussi de définir un identifiant pour l'accès au réseau informatique. L'identifiant est constitué du code à quatre chiffres suivi d'une clé calculée à l'aide de l'algorithme suivant : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}X|}\hline
Entrée :	& N est le code à quatre chiffres.\\
Initialisation :&	Affecter à P la valeur de N ;\\
& Affecter à S  la valeur $0$ ;\\
& Affecter à K la valeur $1$.\\

Traitement :&	Tant que K $\leqslant  4$ :\\
&\hspace{1cm} Affecter à U le chiffre des unités de P ;\\
&\hspace{1cm} Affecter à K la valeur K $+ 1$ ;\\
&\hspace{1cm} Affecter à S la valeur S +  K $\times$ U ;\\
&\hspace{1cm} Affecter à P la valeur $\dfrac{\text{P} - \text{U}}{10}$ ;\\
&Affecter à R le reste dans la division euclidienne de S par 7 ;\\
&Affecter à C la valeur 7 $-$ R.\\
Sortie \og  la clé \fg{}:& Afficher C.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Faire fonctionner l'algorithme avec N =  \np{2282} et vérifier que la clé qui lui correspond est $3$. On prendra soin de faire apparaître les différentes étapes du déroulement de l'algorithme (on pourra par exemple faire un tableau.).
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même
non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	\end{enumerate}
Un professeur s'identifie sur le réseau informatique en entrant le code 4732 suivi de la clé 7.

\medskip

L'accès au réseau lui est refusé. Le professeur est sûr des trois derniers chiffres du code et de la clé, l'erreur porte sur le premier chiffre du code (qui n'est donc pas égal à 4). Quel est ce premier chiffre ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

Le dessin ci-dessous est la représentation en perspective parallèle d'une sortie d'école séparée de la rue par une rambarde de protection et éclairée par un lampadaire.

\medskip

\begin{pspicture}(12,6.5)
%\psgrid
\psline(12,0)(12,6)
\pspolygon(12,0)(7.4,3)(0.5,3)(5.1,0)
\psline(9.7,0)(5.1,3) \psline(7.4,0)(2.8,3)
\psline(3.6,1)(10.5,1) \psline(2.,2)(8.9,2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,3)(2.8,3)(4.3,2)(2,2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.1,3)(7.4,3)(8.9,2)(6.6,2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.3,2)(6.6,2)(8.2,1)(5.9,1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.6,1)(5.9,1)(7.4,0)(5.1,0)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.2,1)(10.5,1)(12,0)(9.7,0)
\psline(5.1,0)(5.1,1.1)(3.6,1)(3.6,2.1)(2,2)(2,3.1)(0.5,3)(0.5,4.2)(2,2)(3.6,2.1)(5.1,1.1)
\psline(0.5,4.2)(2,3.1)(3.6,1)
\psline(2,3.1)(3.6,2.1)(5.1,0)
\qdisk(12,6){1.5pt} \uput[r](12,6){S} \uput[r](12,0){D} \uput[dl](5.1,0){A}\uput[l](0.5,3){B} \uput[ur](7.4,3){C} \uput[dr](5.8,1){A$'$}
\uput[u](4.3,2){B$'$}\uput[ul](6.6,2){C$'$}\uput[ur](8.2,1){D$'$}
\end{pspicture}

\medskip

\textbf{Deux dessins sont donnés en annexe. Ils sont à compléter au fur et à mesure de la résolution de l'exercice et à rendre avec la copie.\\
On veillera à laisser apparents les traits de construction.}\\

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter la représentation en perspective parallèle donnée dans le dessin \No 1 par l'ombre de la rambarde sur le sol, la source lumineuse (S) étant supposée ponctuelle. On repassera en couleur le dessin fini de l'ombre de la rambarde pour améliorer la lisibilité de la représentation.
\item  Dans le dessin \No 2 les points \texttt{a$'$,~b$'$,~c$'$,~d$'$} représentent en perspective centrale les sommets A$'$,
B$'$, C$'$ et D$'$ du carré situé au c{\oe}ur du motif des neufs carrés recouvrant ABCD. On a tracé la ligne d'horizon, le point de fuite principal F et les points de distance D1 et D2. La diagonale [\textt{b$'$d$'$}] est parallèle à la ligne d'horizon.
	\begin{enumerate}
		\item  On souhaite contrôler certains aspects de ce dessin. Expliquer comment vérifier que :
			\begin{enumerate}
				\item \textt{a$'$b$'$c$'$d$'$} représente un quadrilatère, d'un plan horizontal, ayant ses côtés parallèles deux à deux.
				\item \textt{a$'$b$'$c$'$d$'$}  représente un quadrilatère, d'un plan horizontal, ayant ses diagonales perpendiculaires.
			\end{enumerate}
		\item 	Terminer le dessin en représentant les huit carrés entourant A$'$B$'$C$'$D$'$. On repassera en couleur le dessin fini des huit carrés pour améliorer la lisibilité de la représentation.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Dessin \No 1\\ à compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{3cm}

\begin{pspicture}(12,6.5)
%\psgrid
\psline(12,0)(12,6)
\pspolygon(12,0)(7.4,3)(0.5,3)(5.1,0)
\psline(9.7,0)(5.1,3) \psline(7.4,0)(2.8,3)
\psline(3.6,1)(10.5,1) \psline(2.,2)(8.9,2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,3)(2.8,3)(4.3,2)(2,2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](5.1,3)(7.4,3)(8.9,2)(6.6,2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](4.3,2)(6.6,2)(8.2,1)(5.9,1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](3.6,1)(5.9,1)(7.4,0)(5.1,0)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](8.2,1)(10.5,1)(12,0)(9.7,0)
\psline(5.1,0)(5.1,1.1)(3.6,1)(3.6,2.1)(2,2)(2,3.1)(0.5,3)(0.5,4.2)(2,2)(3.6,2.1)(5.1,1.1)
\psline(0.5,4.2)(2,3.1)(3.6,1)
\psline(2,3.1)(3.6,2.1)(5.1,0)
\qdisk(12,6){1.5pt} \uput[r](12,6){S} \uput[r](12,0){D} \uput[dl](5.1,0){A}\uput[l](0.5,3){B} \uput[ur](7.4,3){C} \uput[dr](5.8,1){A$'$}
\uput[u](4.3,2){B$'$}\uput[ul](6.6,2){C$'$}\uput[ur](8.2,1){D$'$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{landscape}
\begin{table}[h]
\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Dessin \No 2\\ à compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{3cm}

\begin{pspicture}(18,10)
%\psgrid
\psline(0,10)(18,10)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](9.2,4.6)(10.85,3.6)(11.9,4.6)(10.34,5.32)
\uput[u](10.34,5.32){\texttt{a}$'$}
\uput[u](9.2,4.6){\texttt{b}$'$}
\uput[d](10.85,3.6){\texttt{c}$'$}
\uput[u](11.9,4.6){\texttt{d}$'$}
\uput[u](0.3,10){D1}\uput[ul](17.7,10){D2}
%\psplot{0}{12}{10.176 x 0.607 mul sub}
%\psplot{9}{19}{0.952 x  mul 6.733 sub}
%\psplot{0}{19}{10.14 0.466 x  mul  sub}
%\psplot{9}{19}{0.635 x  mul 1.245 sub}
%\psline(9.2,4.6)(17.7,10)%b'D2
%\psline(10.85,3.6)(17.7,10)%c'D2
%\psline(10.85,3.6)(0.3,10)
%\psline(11.9,4.6)(0.3,10)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0.3,10)(17.58,10)(8.94,10)
\uput[u](8.94,10){F}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{table}
\end{landscape}
\end{document}