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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small  Baccalauréat TL }
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2000}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~ Baccalauréat TL Métropole juin 2000~\decofourright}

\end{center} 

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

Une boîte contient $4n$ trombones de deux couleurs différentes : $2n + 1$ sont jaunes et $2n - 1$ sont verts ($n \in \N,~ n \geqslant 1$).

On prélève simultanément deux trombones au hasard.

\begin{enumerate}
\item Dans cette question on suppose que $n = 10$. Calculer la probabilité des évènement suivants (on donnera la valeur exacte et la valeur arrondie
 au millième).

	\begin{enumerate}
		\item A : les deux trombones sont de couleurs différentes.

		\item B : les deux trombones sont verts.

		\item C : les deux trombones sont de même couleur.

	\end{enumerate}

\item Dans cette question, $n$ désigne un entier quelconque supérieur ou égal à $1$.
On note $p_n$ la probabilité de l'évènement \og les deux trombones sont de couleurs différentes \fg{}.

\begin{enumerate}\item Montrer que $p_n = \dfrac{4n^2 - 1}{8n^2 - 2n}$.

\item On considère la fonction $f$ définie par 

\[f(x) = \dfrac{4x^2 - 1}{8x^2 - 2x} \quad \left(x ~\text{réel},~ x \neq 0, x \neq  \frac{1}{4}\right),\]

dont le tableau de variation est donné ci-après.

\begin{center}
\psset{unit=1.1cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psframe(0,0)(10,4)
\psline(0,3)(10,3)
\psline(1,0)(1,4) \psline(2.9,0)(2.9,3) \psline(3.1,0)(3.1,3)
\psline(5.9,0)(5.9,3)  \psline(6.1,0)(6.1,3) 
\uput[u](0.5,3){$x$} \uput[u](1.25,3){$-\infty$} \uput[u](4.5,3){$\frac{2 - 
\sqrt{3}}{2}$} \uput[u](3,3){$0$}
\uput[u](6,3){$\frac{1}{4}$} \uput[u](8,3){$\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$} \uput[u](0.5,3){$x$} 
\uput[u](9.5,3){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.3){$f(x)$} \rput(1.2,2.6){$\dfrac{1}{2}$} 
\rput(2.55,0.2){$-\infty$} \rput(3.45,2.6){$+\infty$} \rput(4.3,0.2){$4 + 
\sqrt{3}$} \rput(5.6,2.6){$+ \infty$} \rput(6.4,0.2){$- \infty$}
\rput(7.8,2.6){$4 - 2\sqrt{3}$} \rput(9.65,0.5){$\dfrac{1}{2}$}
\psline{->}(1.4,2.5)(2.5,0.3)  \psline{->}(3.4,2.5)(4.3,0.6)  
\psline{->}(4.7,0.6)(5.6,2.5)  \psline{->}(6.4,0.5)(7.5,2.5)  
\psline{->}(8.5,2.5)(9.5,0.3)    
\end{pspicture} \end{center}

En utilisant ce tableau, déterminer l'entier naturel $n$ pour lequel la 
probabilité $p_n$ est maximale.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

Une municipalité envisage l'aménagement d'un plan d'eau artificiel. Dans le projet, ce plan d'eau devra contenir \nombre{30000}~m$^3$ le 
$1\up{er}$ juillet.

On estime qu'en période estivale les pertes hydriques dues à l'évaporation sont de $2\:\%$ par jour. Pour les compenser, on prévoit durant les mois d'été un
apport, pendant chaque nuit, de $500$~m$^3$.

 Le problème est de savoir si les apports prévus pendant les mois de juillet et août seront suffisants pour que le volume ne descende pas en dessous de la
valeur critique de \nombre{27000}~m$^3$. On note $V_n$ le volume d'eau en m$^3$ contenu dans le plan d'eau, selon ce projet, au matin du $n^{\text{e}}$ jour qui suit le $1\up{er}$ juillet.
 $V_0$ désigne le volume au matin du $1\up{er}$ juillet, on a donc $V_0 =
 \nombre{30000}$ ; $V_1$ désigne le volume au matin du 2 juillet, etc.

\begin{enumerate}
\item  Calculer $V_1,~ V_2$ et $V_3$.

\item Expliquer pourquoi $V_{n+1} = V_n \times 0,98 + 500$. 

\item On considère la suite $\left(V_n\right)_{n \in \N}$ définie par la relation de
 récurrence précédente et ayant pour premier terme $V_0 = \nombre{30000}$.

	\begin{enumerate}
		\item Cette suite est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier la réponse.

		\item Pour tout entier $n$, on pose $U_n = V_n - \nombre{25000}$. Démontrer que 
$\left(U_n\right)_{n \in \N}$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.

		\item Exprimer $U_n$ en fonction de $n$ et en déduire que 
\[V_n = \nombre{5000}  \times  0,98^n + \nombre{25000}.\]

		\item Déterminer la limite de la suite $\left(V_n\right)_{n \in \N}$.

	\end{enumerate} 

\item Quelles sont les valeurs de $n$ pour lesquelles $V_n < 27\:000$ ? En déduire la réponse au problème posé en introduction.

\end{enumerate} 

\vspace{1cm}

\subsection*{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

\emph{On prendra soin de faire figurer sur la copie les calculs intermédiaires conduisant  aux résultats présentés.}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]1~;~ + \infty[$ 
 par 

\[f(x) = -x + 4 + \ln \dfrac{x + 1}{x - 1}.\]

Le plan étant rapporté à un repère orthonormal \Oij, on désigne  par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$.

\begin{enumerate}
\item étudier les limites de $f$ en $1$ et en $+ \infty$.

\item Montrer que pour tout réel $x$ de $]1~;~ + \infty[$ on a : 
$f'(x) = - \dfrac{x^2 + 1}{(x + 1)(x - 1)}$ et en déduire le sens de variations  de $f$ sur cet intervalle.	

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite D d'équation $y = -x + 4$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ en $+ \infty$. 

		\item Montrer que, pour tout $x$ de $]1~;~ + \infty[,~ \dfrac{x + 1}{x - 1} > 1$ et en déduire la  position de $\mathcal{C}$ par rapport à D.

	\end{enumerate} 

\item Déterminer les coordonnées du point de $\mathcal{C}$ où la tangente à la courbe  a un coefficient directeur égal à $- \dfrac{5}{3}$ et donner une équation de cette 
tangente $\Delta$.

\item Montrer que, sur l'intervalle [4 ; 5], l'équation $f(x) = 0$ admet 
une unique solution $\alpha$. Donner une valeur approchée de $\alpha$ au centième près.

\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ et les droites D et $\Delta$ sur une feuille de  papier millimétré (\textsl{on prendra comme unité graphique $2$~cm sur  chaque axe}). 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $h$ la fonction définie sur $]1~;~ + \infty[$  par $h(x) = \ln \dfrac{x + 1}{x - 1}$.

Montrer que la fonction $H$ définie sur $]1~;~+ \infty[$  par :
\[H(x) = (x + 1) \ln (x + 1) - (x -1) \ln (x - 1)\]
est une primitive de $h$ sur cet intervalle.

		\item En déduire l'aire en cm$^2$ du domaine du plan délimité par la courbe  $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 3$ (on donnera la valeur exacte, puis la valeur décimale arrondie au centième).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}