\documentclass[a4paper,11 pt]{article}
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% Tapuscrit Claire Lacaze
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat TL spécialité}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
 
\begin{center}    {\Large \textbf{Baccalauréat TL-Enseignement de spécialité\\Métropole juin 2007}} 
\end{center}

\vspace*{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1  \hfill 6 points}

\medskip

Le dessin ci-dessous représente une maison en perspective parallèle.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,dotscale=0.1,linewidth=0.6pt}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5,7.5)
\pstGeonode[PosAngle=135,](0,0){D}
\pstGeonode[PosAngle=-135,](-2.08,-1.1){A}
\pstGeonode[PosAngle=-80,](1.2,-1.87){B}
\pstTranslation[PosAngle=45]{A}{B}{D}[C]
\pstGeonode[PosAngle=110,](0,3.6){H}
\pstTranslation[PosAngle=135]{D}{H}{A}[E]
\pstTranslation[PosAngle=145]{D}{H}{B}[F]
\pstTranslation[PosAngle=45]{D}{H}{C}[G]
\pstMiddleAB[PosAngle=125]{E}{F}{M}
\pstTranslation[PosAngle=110]{D}{H}{M}[N]
\pstTranslation[PosAngle=60]{A}{D}{N}[L]
\pstLineAB{E}{N}
\pstLineAB{E}{A}
\pstLineAB{L}{G}
\pstLineAB{E}{F}
\pstLineAB{F}{G}
\pstLineAB{G}{C}
\pstLineAB{F}{B}
\pstLineAB{A}{B}
\pstLineAB{B}{C}
\pstLineAB{M}{N}
\pstLineAB{N}{L}
\pstLineAB{N}{F}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{A}{D}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{H}{D}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{C}{D}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{E}{H}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{H}{G}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{H}{L}
\end{pspicture}
\end{center}
$ABCDEFGH$ est un pavé droit dont les faces $ABCD$ et $EFGH$ sont horizontales et constituent respectivement le sol et le plafond de la maison. L'arête $[AE]$ est donc verticale.

Les deux faces $ABCD$ et $EFGH$ sont des carrés.

$EFGHNL$ est un prisme droit ; la base $EFN$ de ce prisme droit est un triangle isocèle en $N$ dont la hauteur $[NM]$ est telle que $NM=AE$.

Dans cet exercice, on convient de noter un point de l'espace avec une lettre majuscule et de noter son image \textbf{dans une perspective centrale} avec une lettre minuscule (ainsi $\texttt{a}$ est l'image de $A$, \texttt{b} l'image de $B$).

\textbf{\emph{Les représentations données en annexe $1$ et $2$ sont à compléter et à rendre avec la copie.}}

\textbf{\emph{Aucune justification des constructions n'est attendue mais on laissera visibles les traits de construction.}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une représentation en perspective centrale de cette maison est commencée \textbf{sur l'annexe 1}. Sont tracés la ligne d'horizon et le point de fuite principal \texttt{w}. Le mur $ABFE$ est supposé dans un plan frontal.
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la représentation des diagonales des carrés $ABCD$ et $EFGH$, construire sur le dessin de \textbf{l'annexe 1} les points de distance $d_1$ et $d_2$ de cette représentation en perspective centrale.
		\item Compléter \textbf{sur  l'annexe 1} la représentation de la maison dans cette perspective centrale.
		\item Placer l'image \texttt{i} du milieu $I$ de $[AE]$ ainsi que l'image \texttt{j} du milieu $J$ de $[CG]$. Par quel point la droite $(\texttt{ij})$ doit-elle passer ?
	\end{enumerate}
\item Une autre représentation en perspective centrale de la maison est commencée sur \textbf{l'annexe 2}. Les points \texttt{w} et \texttt{w'} sont les points de fuite respectifs des droites $(AB)$ et $(BC)$. Achever \textbf{sur l'annexe 2} la représentation de la maison dans cette nouvelle perspective centrale.
\item Citer deux propriétés de la perspective parallèle qui ne sont pas vérifiées par une perspective centrale. Les illustrer en faisant référence à la représentation donnée en début d'exercice et à celles complétées dans les annexes 1 et 2.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice} 2  \hfill 9 points}

\medskip
 
On considère la suite $(u_n)$ géométrique de premier terme $u_0=2$ et de raison $3$.
 
\begin{enumerate}
\item 
 	\begin{enumerate}
		 \item Déterminer les termes $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_4$.
		 \item Donner l'écriture en base 7 de $u_2$.
		 \item Montrer que l'écriture en base 7 de $u_3$ est $\overline{105}^7$.
		 \item Pour obtenir l'écriture en base 7 de $u_4$, un élève a effectué la multiplication ci-dessous. Dire s'il a ou non raison et expliquer pourquoi.
		 
 \medskip
 
\begin{center}
\begin{tabular}{*{4}{c}}
&$1$&$0$&$5$\\
$\times$&&&$3$\\
\hline
&$3$&$1$&$5$\\
\end{tabular}
\end{center}
	 \end{enumerate}
\item 
	 \begin{enumerate}
		 \item Montrer que $u_5=486$.
		 \item On considère l'agorithme suivant :
		 
		 \medskip
		 
\begin{tabular}{|lcl}
Entrée&:&\, $a$ un entier naturel.\\
&&\\
Initialisation&:&\begin{tabular}[t]{l} $L$ liste vide\\Affecter la valeur $a$ à $x$.\end{tabular}\\
&&\\
Traitement &:&\begin{tabular}[t]{l} Tant que $x>0$ ;\\Effectuer la division euclidienne de $x$ par $7$ ;\\ Affecter son reste à $r$ et son quotient à $q$ ;\\ Mettre la valeur de $r$ au début de la liste $L$ ;\\ Affecter $q$ à $x$.\end{tabular}\\
&&\\
Sortie&:&\, Afficher les élements de la liste $L$.\\
\end{tabular}

\medskip

Faire fonctionner cet algorithme pour $a = 486$. On reproduira sur la copie un tableau analogue à celui donné ci-dessous et on le complétera :\\
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*{4}{c|}}
\hline
\makebox[25mm]{\quad}&\makebox[25mm]{$r$}&\makebox[25mm]{$q$}&\makebox[25mm]{$L$}&\makebox[25mm]{$x$}\\\hline
 Initialisation&&&vide&$486$\\\hline
 Fin étape 1&&&&\\\hline
 Fin étape 2&&&&\\\hline
 \ldots&&&&\\\hline
 \ldots&&&&\\\hline
 \ldots&&&&\\\hline
 &&&&\\\hline
\end{tabular}\\
\end{center}

\smallskip

Expliquer le lien entre les éléments de la liste $L$ et l'écriture de $u_5$ en base 7.

	\end{enumerate}
\item On a divisé le terme $u_{10}$ de la suite $(u_n)$ par un certain entier. On obtient le quotient $Q$ dont l'écriture décimale est $Q= \np{14,72727272727272}\ldots$ écriture dans laquelle les chiffres 7 et 2 se répètent à l'infini.

On note $(v_n)$ la suite géométrique de premier terme $0,72$ et de raison $0,01$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_0+v_1+v_2$.
		\item On pose $S_n=v_0+v_1+v_2+\ldots+v_n$ où $n$ est un entier naturel non nul.
		
Calculer $S_n$. En déduire $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} S_n$.
		\item En déduire une écriture de \np{0,727272}\ldots où les chiffres 7 et 2 se répètent à l'infini sous la forme du quotient de deux entiers.
		\item Quel est le nombre par lequel on a divisé $u_{10}$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice} 3  \hfill 5 points}

\medskip
 
Dans chacune des questions suivantes, plusieurs choix sont proposés et \textbf{un seul choix est correct}. 

\textbf{Pour chacune de ces questions, on indiquera sur la copie le choix retenu}. Aucune justification n'est demandée.

Chaque bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise réponse enlève 0,25 point.

Une absence de réponse est notée 0.

Si, à la fin de l'exercice, le total des points obtenus est négatif, la note sera ramenée à 0.

\begin{enumerate}
\item On considère l'égalité : \(\ln \left(\frac{1}{x}\right)=\ln (x)$.\\
Cette égalité est vérifiée :
	\begin{enumerate}
		\item pour une seule valeur du nombre réel $x$.
		\item pour n'importe quelle valeur du nombre réel $x$.
		\item pour deux valeurs du nombre réel $x$.
		\item pour aucune valeur du nombre réel $x$.		
	\end{enumerate}
\item On considère l'arbre de probabilité incomplet suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(2,-3)(8,3)
\psset{nrot=:U}
\pstree[treemode=R,levelsep=3cm,nodesepB=3mm]{\TR{}}%
{
\pstree[levelsep=3cm,thistreesep=1.5cm,nodesep=3mm]{\Tr{$A$}} {\Tr{$B$} \Tr{$\overline{B}$}\naput{\footnotesize{$0,2$}}}
\pstree[levelsep=3cm,thistreesep=1.5cm,nodesep=3mm]{\Tr{$\overline{A}$}\naput{\footnotesize{$0,6$}}} {\Tr{$B$}\naput{\small{$\frac{1}{3}$}} \Tr{$\overline{B}$}\naput{\small{$\frac{2}{3}$}}}
}
%\end{pspicture}

\end{center}

Alors $p(A\cap B)$ la probabilité de l'évènement $A\cap B$ est égale à :

\begin{enumerate}
\item $0,8$.
\item $0,32$.
\item $0,12$.
\item $0,4$.
\end{enumerate}

\item La fonction $g$ est définie pour tout nombre réel $x$ par $g(x)=x\mathrm{e}^{2x}$. La fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ est telle que, pour tout nombre réel $x$ :
	\begin{enumerate}
		\item $g'(x)=\mathrm{e}^{2x}+x\times \mathrm{e}^{2x}$.
		\item $g'(x)=1\times \mathrm{e}^{2x}+x\times 2\times \mathrm{e}^{2x}$.
		\item $g'(x)=1\times \mathrm{e}^{2x}$.
		\item $g'(x)=1\times \mathrm{e}^{2x}-x\times 2\times \mathrm{e}^{2x}$.
	\end{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie, pour tout nombre réel strictement positif $x$ par :

\[f(x) = x\ln (x) +3.\]

On donne ci-dessous une représentation graphique de la fonction $f$ obtenue grâce à un tableur.

\begin{center} 
\psset{xunit=2.95cm,yunit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-0.4,2)(3.2,7)
\psaxes[Dx=0.5,Oy=2.5,Dy=0.5,labels=none,linewidth=1.2pt]{-}(0,2.5)(0,2.5)(3,6.5)
\multido{\n=0.1+0.1}{30}{\psline[linewidth=0.5pt,](\n,2.5)(\n,2.55)}
\multido{\n=0.5+0.5}{6}{\psline[linewidth=0.5pt,](\n,2.5)(\n,2.45)}
\multido{\n=2.5+0.1}{40}{\psline[linewidth=0.5pt,](0,\n)(0.02,\n)}
\multido{\n=2.5+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.5pt,](0,\n)(-0.02,\n)}
\uput[d](0,2.3){$0$}
\uput[d](0.5,2.3){$0,5$}
\uput[d](1,2.3){$1$}
\uput[d](1.5,2.3){$1,5$}
\uput[d](2,2.3){$2$}
\uput[d](2.5,2.3){$2,5$}
\uput[d](3,2.3){$3$}
\uput[l](-0.04,2.5){$2,5$}
\uput[l](-0.04,3){$3$}
\uput[l](-0.04,3.5){$3,5$}
\uput[l](-0.04,4){$4$}
\uput[l](-0.04,4.5){$4,5$}
\uput[l](-0.04,5){$5$}
\uput[l](-0.04,5.5){$5,5$}
\uput[l](-0.04,6){$6$}
\uput[l](-0.04,6.5){$6,5$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{3}{x ln x mul 3 add}
%\pscurve(0.6,-5)(1,0)(1.4,0.6)(2,0)(3.6,-1.5)(5,0)(6.4,5) %courbe c
%\pscurve(0.6,-5)(1,0)(1.4,0.6)(2,0)(3.6,-1.5)(5,0)(6.4,5) %courbe c
\end{pspicture} 
\end{center} 

La fonction $f$ présente un minimum en :
	\begin{enumerate}
		\item $2,7$.
		\item $\frac{1}{\mathrm{e}}$.
		\item $0,37$.
		\item $\mathrm{e}$.
	\end{enumerate}
	
\newpage

\item 
\begin{minipage}[t]{0.35\linewidth}
La courbe ci-contre représente graphiquement une fonction $f$.\\

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[c]{0.55\linewidth}
\begin{center} 
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.32cm}
\begin{pspicture}(-0.7,-7)(7.2,13)
\psaxes[Dx=1,Dy=2,labels=all,linewidth=1.2pt]{-}(0,0)(0,-6)(7,12)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0.08,9.7)(0.2,4.69)(0.3,1.56)(0.4,0)(0.6,-1)(1,-1.56)(2,-1.25)(3,-1.93)(4,-3.47)(5,-4.38)(6.6,0)(7,2.81) %courbe f
 \end{pspicture} 
\end{center} 
\end{minipage}

\medskip

La courbe représentant la fonction $f'$ se trouve parmi l'une des quatre courbes données ci-dessous. Laquelle ?

\medskip

\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}

\begin{center} 
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.565cm}
\begin{pspicture}(-0.7,-6)(7.2,6)
\psaxes[Dx=1,Dy=1,labels=all,linewidth=1.2pt]{-}(0,0)(0,-5)(7,5)

\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{-0.4 x add -6.6 x add mul 0.5 mul} %courbe a
\end{pspicture} 
 Courbe a)
\end{center} 
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}

\begin{center} 
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.565cm}
\begin{pspicture}(-0.7,-6)(7.2,6)
\psaxes[Dx=1,Dy=1,labels=all,linewidth=1.2pt]{-}(0,0)(0,-5)(7,5)

\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0.58,5)(0.8,1.77)(1,0)(1.35,-0.88)(2,0)(3,1.77)(3.6,2.12)(5,0)(6.1,-5) %courbe b
 \end{pspicture} 
 Courbe b)
\end{center} 
\end{minipage}

\medskip

\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}

\begin{center} 
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.565cm}
\begin{pspicture}(-0.7,-6)(7.2,6)
\psaxes[Dx=1,Dy=1,labels=all,linewidth=1.2pt]{-}(0,0)(0,-5)(7,5)

\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0.6,-5)(1,0)(1.4,0.6)(2,0)(3.6,-1.5)(5,0)(6.4,5) %courbe c
 \end{pspicture} 
 Courbe c)
\end{center} 
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[t]{0.48\linewidth}
\begin{center} 
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.565cm}
\begin{pspicture}(-0.7,-6)(7.2,6)
\psaxes[Dx=1,Dy=1,labels=all,linewidth=1.2pt]{-}(0,0)(0,-5)(7,5)

\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,2.56)(0.6,1.68)(1,1.6)(2,1.73)(2.5,1.59)(3,1.24)(3.9,0)(5,-1.15)(5.78,0)(6.6,5) %courbe d
\end{pspicture} 
 Courbe d)
\end{center} 
\end{minipage}
\end{enumerate}

\begin{landscape}
\begin{table}[H]
  \centering
%\textbf{\large{ANNEXE 1 (exercice 1) Dessin à rendre avec la copie}}

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,dotscale=0.1,linewidth=0.6pt}
\begin{pspicture}(-7,-6)(12,10)
\rput(1,11){\textbf{\large{ANNEXE 1 (exercice 1) Dessin à rendre avec la copie}}}
\pstGeonode[PosAngle=-135,](0,0){m}
\pstGeonode[PosAngle=-135,](-2.58,0){e}
\pstGeonode[PosAngle=-120,](2.58,0){f}
\pstGeonode[PosAngle=-120,](2.58,-5.2){b}
\pstTranslation[PosAngle=-135]{f}{e}{b}[a]
\pstTranslation[PosAngle=100]{b}{f}{m}[n]
\psline(-6.7,9.3)(7.2,9.3)
\pstGeonode[PosAngle=90,](5.4,9.3){w}
\pstGeonode[PointName=none, PointSymbol=none](11.4,9.3){d_1}
\pstInterLL[PosAngle=100]{e}{d_1}{f}{w}{g}
\pstInterLL[PosAngle=120]{a}{d_1}{b}{w}{c}
\psline(0,-0.1)(0,0.1)
\pstLineAB{a}{b}
\pstLineAB{b}{c}
\pstLineAB{c}{g}
\pstLineAB{g}{f}
\pstLineAB{f}{b}
\pstLineAB{e}{f}
\pstLineAB{a}{e}
\pstLineAB{e}{n}
\pstLineAB{n}{f}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{g}{w}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{c}{w}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{table}
\end{landscape}
\newpage

\textbf{\Large{ANNEXE 2 (exercice 1) Dessin à rendre avec la copie}}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,dotscale=0.1,linewidth=0.6pt}
\rotateright{\begin{pspicture}(-9.5,-6.5)(14,8)
\pstGeonode[PosAngle=95,](0,0){f}
\pstGeonode[PosAngle=-135,](0,-6){b}
\pstGeonode[PosAngle=-120,](-2.61,-2.7){a}
\pstGeonode[PosAngle=-80,](3.27,-2.7){c}
\psline(-10.1,5.6)(13.8,5.6)
\pstGeonode[PointName=none, PointSymbol=none](-2.61,5.6){z}
\pstGeonode[PointName=none, PointSymbol=none](3.27,5.6){x}
\pstInterLL[PosAngle=90]{a}{b}{x}{z}{w}
\pstInterLL[PosAngle=90]{c}{b}{x}{z}{w'}
\pstTranslation[PointName=none, PointSymbol=none]{b}{f}{a}[u]
\pstTranslation[PointName=none, PointSymbol=none]{b}{f}{c}[v]
\pstInterLL[PosAngle=100]{a}{u}{f}{w}{e}
\pstInterLL[PosAngle=120]{v}{c}{f}{w'}{g}
\pstLineAB{a}{b}
\pstLineAB{b}{c}
\pstLineAB{c}{g}
\pstLineAB{g}{f}
\pstLineAB{f}{b}
\pstLineAB{e}{f}
\pstLineAB{a}{e}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{g}{w'}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{c}{w'}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{e}{w}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{a}{w}
\end{pspicture}}
\end{center}
\end{document}