\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree}
\setlength\paperheight{297mm}
\setlength\paperwidth{210mm}
\setlength{\textheight}{24cm}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr} 
 %\pagestyle{fancy}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  L facultatif}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
.\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L Métropole septembre 2002~\decofourright}}} \end{center}

\vspace{0,15cm}

\begin{center}Durée de l'épreuve : 3 heures  \end{center}
    
\vspace{0,15cm}   

\textbf{\textsc{ Exercice 1 obligatoire}\hfill 8 points}

\vspace{0,3cm}

\parbox[c]{0.55\textwidth}{Une entreprise souhaite fabriquer,
 pour de jeunes enfants, des toboggans dont le profil a l'allure de la courbe ci-contre.} \hfill
\parbox[c]{0.35\textwidth}{\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(3.5,2.5)
\psline(-0.5,0)(3.5,0) \psline(0,-0.5)(0,2.5)
\psplot{0}{3}{4  27 div x mul x dup mul mul 2 3 div x dup mul mul sub 2 add}  
\uput[l](0,2){2} \uput[l](0,1){1} \uput[dl](0,0){0} 
\uput[d](1,0){1} \uput[d](2,0){2} \uput[d](3,0){3}
\psline(0,1)(0.15,1) \psline(1,0)(1,0.15)
\psline(2,0)(2,0.15) \psline(3,0)(3,0.15) 
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij. On prendra 3 cm pour
 unité graphique.

L'objet de l'exercice est de modéliser ce profil à l'aide de la courbe
 représen\-ta\-tive $\mathcal{C}$ d'une fonction définie sur l'intervalle [0 ; 3]
 vérifiant les conditions suivantes : 

(1) La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points A(0 ; 2) et B(3 ; 0) ;

(2) La courbe $\mathcal{C}$ admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
 
\bigskip 

\textbf{ Partie I}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Soit $f$ la fonction définie sur 
l'intervalle $\R$ par :

\[ f(x) = - \dfrac{2}{3}x^2 + 2.\]

Étudier les variations de la fonction $f$ (on ne demande pas l'étude
 des limites).
		\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $\R$ par :

\[g(x) = \dfrac{1}{3} x^2 - 2x + 3.\]

Étudier les variations de la fonction $g$ (on ne demande pas l'étude
 des limites).
 	\end{enumerate}
\item On note respectivement $\mathcal{C}_{f}$ et 
$\mathcal{C}_{g}$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ passent par le point K $\left(1~;~\dfrac{4}{3}\right)$ et ont la m\^eme tangente T en ce point.
		\item Tracer sur un même graphique, la droite T, la partie de 
$\mathcal{C}_{f}$ correspondant aux points d'abscisses comprises entre 0 et 1, et la partie de $\mathcal{C}_{g}$ correspondant aux points d'abscisses comprises entre 1 et 3.

\emph{La courbe obtenue en réunissant les deux parties de courbes est une réponse au problème posé.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie II}

\medskip

Le bureau d'études a établi que l'on pouvait également modéliser le profil du toboggan à l'aide d'une partie de la courbe représentative $\mathcal{C}_{h}$ de la fonction $h$, définie sur $\R$ par :

\[h(x) = \dfrac{4}{27}x^3 -  \dfrac{2}{3}x^2 + 2.\]

\begin{enumerate} 
\item Démontrer que la fonction $h$ vérifie les conditions (1)
 et (2). 
\item Déterminer les coordonnées du point de $\mathcal{C}_{h}$
 d'abscisse 1 et le coefficient directeur de la tangente en ce point.
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}   

\textbf{\textsc{Exercice 2 obligatoire}\hfill  7 points}

\medskip

Alice et Carole comparent leurs salaires. Elles débutent chacune avec un salaire de \np{1500}~euros.

Chaque mois, à partir du deuxième mois :

$\bullet$ Le salaire d'Alice augmente de 8 euros.

$\bullet$ Le salaire de Carole augmente de 0,2\,\% et on y ajoute 4 euros.

Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $a_{n}$, le salaire mensuel
en euros que perçoit Alice à la fin du $(n+ 1)$-ième mois, et par $c_{n}$, celui
perçu par Carole. Ainsi :

$a_{0} = c_{0} = \np{1500}~ ;~a_{1}$, et $c_{1}$ représentent les salaires
perçus à la fin du deuxième mois.

\begin{enumerate} 
\item Calculer $a_{1}$ et $c_{1},~ a_{2}$ et 
$c_{2}$.
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Pour tout entier naturel $n$, 
exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$. Quelle est la nature de la 
suite $(a_{n})$ ?
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression 
de $a_{n}$, en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Justifier que, pour tout entier naturel 
$n$ :

\[c_{n+1} = 1,002c_{n} + 4.\]

		\item On considère la suite $(v_{n})$ telle que, pour tout entier 
naturel $n,~ v_{n} = c_{n} + \np{2000}$.

Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $1,002$. Calculer $v_{0}$ et, pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que :

\[c_{n} =  3\:500 \times 1,002^n - 2\:000.\]

	\end{enumerate}
\item Calculer, puis comparer les salaires annuels qu'Alice
et Carole ont perçus au cours de leur première année de travail.
\end{enumerate}

\textbf{Rappel}

Si $q$ est un réel différent de 1 et $n$ un entier naturel supérieur à 2,

\[1 + q  + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}.\]


\[\text{et} \qquad 1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}.\]
		

\vspace{0,25cm}

\begin{center}\textbf{Le candidat traitera au choix l'exercice 3 ou l'exercice 
4} \end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 3 au choix} \hfill 5 points}

\medskip

Une agence de voyages de Paris organise des circuits touristiques comprenant les sites suivants : le musée d'Orsay, le musée du Louvre, le musée Grévin, l'Arc de Triomphe, la tour Eiffel, l'Assemblée nationale.

\begin{enumerate} 
\item L'agence propose à ses clients un forfait pour la visite
de quatre sites parmi les six cités.
	\begin{enumerate} 
		\item Quel est le nombre de choix possibles si on ne tient pas compte de l'ordre des visites ?
		\item Combien de ces choix comprennent à la fois la visite de la 
tour Eiffel et celle du musée d'Orsay ?
	\end{enumerate}
\item Une étude statistique a permis d'observer que  55\,\% des clients de l'agence sont des femmes et 45\,\% des hommes. De plus, parmi ces clients, 30\,\% des hommes et 20\,\% des femmes visitent l'Assemblée nationale.

On choisit au hasard un client. On note F l'évènement \og le client est une
femme \fg{}, H l'évènement \og le client est un homme \fg{}, A l'évènement \og le client visite l'Assemblée nationale \fg{} et $\overline{\text{A}}$ l'évènement contraire  de A : \og le client ne visite pas l'Assemblée nationale \fg{}.

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item D'après les informations de l'énoncé,
préciser les probabilités $p$(F), $p$(H), $p_{\text{H}}$(A), 
$p_{\text{F}}$(A).
		\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilité ci-contre.\\
En déduire la valeur de $p$(A).

\begin{center}\pstree[linecolor=red,treemode=R]{\TR{}}
{
  \pstree{\TR{F}}
  {
  \TR{A}
  \TR{$\overline{\text{A}}$} 
  }
  \pstree{\TR{H}}
  {
  \TR{A} 
  \TR{$\overline{\text{A}}$}
  }
}
\end{center}

		\item Quelle est la probabilité que le client soit un homme sachant qu'il ne visite pas l'Assemblée nationale ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 4 au choix} \hfill 5 points}

\medskip

Le $1\up{er}$ août 2002 sera un jeudi. Le but du problème est de déterminer les années comprises entre 2003 et 2029 pour lesquelles le $1^{\text{er}}$ août tombera aussi un jeudi.

Pour ces années, une année bissextile est une année dont le millésime est
divisible par 4. On rappelle qu'une année non bissextile compte 365 jours et une année bissextile 366 jours.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Donner la liste des années bissextiles comprises entre
2003 et 2029.
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que l'on a : $365 \equiv 1$ (modulo 7) et
$366 \equiv 2$ (modulo 7).
		\item Prouver que le $1\up{er}$ août 2003 sera un vendredi et le $1\up{er}$ août 2004 un dimanche.
		\item Préciser le jour de la semaine correspondant au $1\up{er}$ août de chacune des années de 2005 à 2013.
	\end{enumerate}
\item Donner la liste des années de 2003 à 2029 pour lesquelles
le $1\up{er}$ août sera un jeudi.
\end{enumerate}
\end{document}