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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat  L}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2005}}
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\begin{center}{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat L spécialité Métropole~\decofourright\\ septembre 2005}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétré

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 1 } \hfill 6 points}

Hector a participé de très nombreuses fois à une compétition qui se déroule en deux manches. Il a enregistré sur cassette vidéo chacune des compétitions auxquelles il a participé, et il a constaté les faits suivants :

\begin{description}
\item[$\bullet~$]  il a gagné la première manche dans 95\,\% des cas;
\item[$\bullet~$]  quand il a perdu la première manche, il a aussi perdu la deuxième 3 fois sur 10 ;
\item[$\bullet~$]  quand il a gagné la première manche, il a aussi gagné la deuxième dans 90\,\% des cas.
\end{description}

On choisit au hasard une des cassettes vidéo enregistrées par Hector et on la visionne. Il y a équiprobabilité des choix. On note :

\begin{description}
\item[$\bullet~$] $M_{1}$ l'évènement \og sur cette cassette, on voit Hector gagner la première manche~\fg{} ;
\item[$\bullet~$]  $M_{2}$ l'évènement \og sur cette cassette, on voit Hector gagner la deuxième manche~\fg{}.
\end{description}

On notera $\overline{M_{1}}$  l'évènement contraire de $M_{1}$ et $\overline{M_{2}}$ l'évènement contraire de $M_{2}$.
\begin{enumerate}
\item  À l'aide de l'énoncé donner :
	\begin{enumerate}
		\item $P(M_{1})$ la probabilité de l'évènement $M_{1}$,
		\item $P_{M_{1}}(M_{2})$ la probabilité de l'évènement $M_{2}$ sachant que $M_{1}$ est réalisé.
	\end{enumerate}
\item Traduire la situation à l'aide d'un arbre de probabilité et compléter cet arbre.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la probabilité de voir Hector gagner les deux manches est de 0,855.
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement $M_{2}$ sachant que $M_{1}$ n'est pas réalisé ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement $M_{2}$.
		\item Achille, arrivé en retard, voit Hector gagner la deuxième manche. Calculer à $10^{- 2}$ près la probabilité que sur cette cassette, Hector ait aussi gagné la première manche.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 7 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle I  = [20 ; 150] par

\[ f(x) = 2x + \dfrac{\nombre{13122}}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que sur l'intervalle I , $f'(x)=  \dfrac{2}{x^2}(x - 81)(x + 81)$. En déduire que sur l'intervalle I,  $f'(x)$ est du signe de $(x - 81)$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
\item La représentation graphique de la fonction $f$ est donnée ci-dessous :

\begin{center}
\psset{xunit=0.07cm,yunit=0.015cm}
\begin{pspicture}(-10,-40)(150,710)
\psaxes[Dx=10,Dy=50]{->}(0,0)(-9,-40)(150,710)
\multido{\n=0+5}{31}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,700)}
\multido{\n=0+25}{29}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(150,\n)}
\uput[d](150,0){$x$} \uput[l](0,680){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{20}{150}{13122 x div x 2 mul add}
\end{pspicture}
\end{center}

Déterminer avec la précision permise par le graphique, une valeur approchée des solutions de l'équation : $f(x) = 350$ (\textbf{le graphique n'est pas à rendre avec la copie.})
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un responsable de club doit organiser un déplacement. Le trajet total est de 600 km et le club dispose d'un bus dont la consommation en carburant, exprimée en litres par heure, est donnée par $\left(5+\dfrac{v^2}{300}\right)$ où $v$ représente la vitesse moyenne du véhicule en kilomètres par heure. Le prix du litre de carburant est de 1 \euro{} et le chauffeur est payé 16,87 \euro{} par heure.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $t$ la durée totale du trajet, exprimée en heures.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $t$ en fonction de $v$.
		\item Démontrer que le coût du carburant, exprimé en euros, pour le trajet total est égal à

\[\dfrac{\np{3000}}{v}  + 2v.\]

\item Montrer que le coût du transport, exprimé en euros, est égal à $f(v)$.
	\end{enumerate}
\item En utilisant la partie A :
	\begin{enumerate}
		\item Donner la vitesse moyenne à laquelle doit rouler le bus pour que le coût du transport soit minimal. Quel est alors ce coût ?
		\item Le responsable du club dispose d'au plus $350$~\euro{} pour le transport. Pour des raisons de sécurité, la vitesse moyenne du bus ne peut dépasser $90$ kilomètres par heure. Déterminer l'intervalle dans lequel doit se situer la vitesse moyenne du bus, pour que le coût du transport ne dépasse pas $350$~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{ Exercice 3 } \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, la description des programmes des constructions n'est pas demandée sur la copie. Cependant, on laissera apparents tous les traits de construction. La question} 4 \emph{est indépendante des questions} 1, 2 \emph{et} 3.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer à la règle sur la feuille de papier millimétré (sans donner d'explications) un carré ABCD dont les côtés ont pour longueur 16 cm. Placer son centre O et les milieux des côtés.
\item Dans cette question, on note $c_{0}$ la longueur en cm des côtés du carré ABCD.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la longueur de la diagonale [AC] du carré en fonction de $c_{0}$.
		\item Tracer le cercle tangent aux quatre côtés du carré ABCD. Exprimer son diamètre en fonction de $c_{0}$.
		\item Tracer le carré A$'$B$'$C$'$D$'$ inscrit dans le cercle $\mathcal{C}$ et dont les côtés sont parallèles à ceux du carré ABCD.
		\item En constatant que les diagonales du carré A$'$B$'$C$'$D$'$ sont des diamètres du cercle $\mathcal{C}$, calculer la longueur $c_{1}$, des côtés du carré A$'$B$'$C$'$D$'$ en fonction de $c_{0}$.
	\end{enumerate}
\item Tracer le cercle $\mathcal{C}'$ tangent aux quatre côtés du carré A$'$B$'$C$'$D$'$ puis le carré A$''$B$''$C$''$D$''$ inscrit dans le cercle $\mathcal{C}'$ dont les côtés sont parallèles \^a ceux du carré $\mathcal{C}'$. Exprimer la longueur $c_{2}$ des côtés de A$''$B$''$C$''$D$''$ en fonction de $c_{1}$.
\item En renouvelant cette construction, on obtient une suite de carrés. On note $c_{3},\: c_{4},\: c_{5}$ et ainsi de suite la longueur des côtés des carrés successifs ainsi obtenus. Les calculs précédents ont montré que les premiers termes de la suite $\left(c_{n}\right)$ sont ceux d'une suite géométrique de raison  $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$	et de premier terme $c_{0} = 16$. On admettra que ce résultat est vrai pour tous les termes de la suite $\left(c_{n}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'expression de $c_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Calculer les valeurs exactes de $c_{6}$ et $c_{12}$.
		\item Pour quelles valeurs de l'entier $n$, la longueur $c_{n}$, des côtés du $(n+1)$-ième carré
construit est-t-elle strictement plus petite que 1 cm ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document} 