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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité }
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Métropole--La Réunion~\decofourright\\septembre 2008 }} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

Ce sujet ne nécessite pas de papier millimétré
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip
 
Un magasin de matériels informatiques propose deux types d'ordinateurs : des ordinateurs de bureau et des ordinateurs portables.

\medskip

Une enquête sur le type des ordinateurs achetés permet d'affirmer que, dans ce magasin :
 
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 75\,\% des acheteurs d'ordinateurs sont des étudiants,
\item[$\bullet~$] 60\,\% des acheteurs étudiants choisissent un ordinateur portable,
\item[$\bullet~$] 30\,\% des acheteurs non étudiants choisissent un ordinateur portable.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On interroge au hasard une personne ayant acheté un ordinateur dans ce magasin.

On note $E$ l'évènement \og La personne interrogée est un étudiant \fg{} et $A$ l'évènement \og La personne interrogée a choisi un ordinateur portable \fg.
 
On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$ et $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Reproduire sur la copie l'arbre de probabilités ci-dessous et le compléter. Aucune justification n'est demandée.

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=1.75pt]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{$E$}\taput{$0,75$}}
		{\TR{$A$}\taput{\ldots}
		\TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}
		}
\pstree{\TR{$\overline{E}$}\tbput{\ldots}}
		{\TR{$A$}\taput{$0,3$}
		\TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}
		}
}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $P(E \cap  A)$ et $P\left(\overline{E} \cap  A \right)$.
		\item  En déduire $P(A)$.
		\item  Déterminer la probabilité pour que la personne interrogée ait choisi un ordinateur de bureau.
	\end{enumerate}
\item Un acheteur sort du magasin avec un portable. Quelle est la probabilité que ce soit un étudiant ?

On donnera l'arrondi à $10^{-3}$ près de cette probabilité.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 } \hfill 5 points}
 
\medskip

Le dessin ci-dessous représente un cube ABCDEFOH en perspective parallèle
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,6.5)
\psframe(4.9,4.9)
\psline(4.9,0)(7.3,1.2)(7.3,6.2)(2.5,6.2)(0,4.9)%CGFEA
\psline(7.3,6.2)(4.9,4.9)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(2.5,1.2)(7.3,1.2)%DHG
\psline[linestyle=dashed](2.5,1.2)(2.5,6.2)%EH
\uput[ul](0,4.9){A}  \uput[u](4.9,4.9){B}  \uput[dr](4.9,0){C}  \uput[dl](0,0){D}  
\uput[u](2.5,6.2){E}  \uput[u](7.3,6.2){F}  \uput[r](7.3,1.2){G}  \uput[ur](2.5,1.2){H}  
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Dans tout l'exercice, on s'intéressera à des représentations de ce cube en perspective centrale.
 
Ce cube sera toujours placé de telle sorte que la face ABCD soit dans un plan frontal et l'arête [AB] soit horizontale.

\medskip

\textbf{Pour chaque question, un dessin est donné en annexe. Ce dessin est  à compléter et à rendre avec la copie. Laisser apparents les traits de construction.}

\begin{enumerate}
\item Dans l'annexe \No 1, \texttt{abcdefgh} est une représentation du cube ABCDEFGH en perspective centrale. Faire des constructions permettant de contrôler que la droite ($\delta$) est la ligne d'horizon.
\item 	Dans l'annexe \No 2, \texttt{a, b, c}  et \texttt{d} représentent A, B, C et D en perspective centrale.

$\omega$ est le point de fuite principal et \texttt{d}$_{1}$ un point de distance.
	\begin{enumerate}
		\item Terminer la représentation du cube dans cette perspective centrale.
		\item 	Compléter le tableau de l'annexe \No 2 par VRAI ou FAUX. Aucune justification n'est attendue.
	\end{enumerate}

\item	Les faces ABCD, ABFE et BCGF ont été quadrillées suivant un quadrillage $3 \times 3$ régulier. Dans le dessin donné en annexe \No 3,  \texttt{abcdefgh} est une représentation du cube ABCDEFGH en perspective centrale, $\omega$ est le point de fuite principal et \texttt{d}$_{1}$ est un point de distance.
		
\medskip

Compléter le dessin par une représentation en perspective centrale du quadrillage des faces ABFE et BCGF.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le reste de la division euclidienne de $2^3$ par $7$.
		\item  $2^3$ et $2^6$ sont-ils congrus modulo $7$ ? Justifier la réponse.
		\item  Démontrer que, pour tout entier naturel $n,~ 2^{3n} \equiv  1$ (modulo 7). Que peut-on en déduire pour le reste de la division euclidienne de $2^{\nombre{2007}}$ par $7$ ?
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{tabular}{l c l}
\emph{Entrée} &:&	$n$ est un entier naturel.\\
\emph{Initialisation}&:&	Donner à $u$ la valeur initiale $n$.\\
\emph{Traitement}&:&	Tant que $u \geqslant 7$, affecter à $u$ la valeur $u - 7$.\\
\emph{Sortie}&:&	Afficher $u$.\\
		\end{tabular}		
	\begin{enumerate}
		\item  Faire fonctionner cet algorithme avec $n = 25$.
		\item  Proposer deux entiers naturels différents qui donnent le nombre $5$ en sortie.
		\item  Peut-on obtenir le nombre $11$ en sortie ? Justifier.
		\item  Qu'obtient-on en sortie si on fait fonctionner cet algorithme avec le nombre $2^{\nombre{2007}}$ ?
		
Même question avec le nombre $2^{\nombre{2008}}$. Justifier.
		\item  On a fait fonctionner cet algorithme avec un nombre $a$ et on a obtenu en sortie le nombre $3$. 
		
On a fait fonctionner cet algorithme avec un nombre $b$ et on a obtenu en sortie le nombre $5$.
		
Si on fait fonctionner cet algorithme avec le nombre $3 \times a + b$, qu'obtiendra-t-on en sortie ? Justifier.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} 

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

 On considère la fonction $f$ définie par :

\[f(x) = (x + 2) \text{e}^{-x}\:\:\text{pour tout}\: x\: \text{de l'intervalle}~ [-3~;~ 3].\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.
 
On a utilisé une calculatrice et défini la fenêtre graphique en choisissant $-3$ comme valeur minimale et $3$ comme valeur maximale pour les abscisses. On obtient à l'écran un dessin de $\mathcal{C}$.

Sont donnés ci-dessous un tableau de variations de $f$ partiellement complété et une capture de l'écran.
  
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,5)
\psframe(6,5) \psline(0,4)(6,4) \psline(1,0)(1,5)
\rput(0.5,4.5){$x$}  \rput(1.3,4.5){$-3$} \rput(3.5,4.5){$?$} \rput(5.7,4.5){$3$} \rput(0.5,2){$f$} \rput(1.2,0.2){$?$} \rput(3.5,3.5){$?$} \rput(5.7,0.2){$?$} \psline{->}(1.5,0.5)(3.2,3.5) \psline{->}(3.7,3.5)(5.8,0.5)  
\end{pspicture}&\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-3.5,-5)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-5)(3,3)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=25]{-2.435}{3}{x 2 add 2.71828 x exp div}
\end{pspicture}\\
\end{tabularx}
  
\medskip
  
En exploitant les informations dont on dispose sur la fonction $f$, indiquer pour chacune des six propositions suivantes si elle est vraie ou si elle est fausse.
 
\textbf{Toutes les réponses doivent être justifiées.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \og Le point B $\left(1~;~\dfrac{3}{\text{e}}\right)$ est situé sur la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ \fg.

\item \og Il existe un nombre réel de l'intervalle $[-3 ~;~ 3]$ qui a une image par $f$ strictement inférieure à $0$ \fg. 

\item \og Tous les nombres réels de l'intervalle $[-3 ~;~ 3]$ ont une image par $f$ strictement négative \fg.

\item \og Tous les nombres réels de l'intervalle $[-2 ~;~ -1]$ ont une image par $f$ strictement positive.

\item \og La fonction dérivée $f'$ de $f$ est définie par :
\[f'(x)  = -\text{e}^{-x}~ \text{pour tout}~x~ \text{de l'intervalle}~ [-3 ~;~ 3] \fg.\]

\item \og La fonction $f$ présente un maximum en $-1$ \fg.

\item \og Tous les nombres réels de l'intervalle $[-3~;~3]$ ont une image par $f$ strictement inférieure à $3$ \fg.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\emph{Les dessins et le tableau sont à compléter et à rendre avec la copie.}

\medskip

\textbf{Annexe \No 1}
 
\vspace{2.5cm}
 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,9)
\psline(0,9)(12,9) \uput[u](0,9){$\delta$}
\psframe(2.6,0.9)(8.3,6.65)
\psline(8.3,0.9)(9.6,4.55)(9.6,7.7)(6.4,7.7)(2.6,6.65)
\psline(9.6,7.7)(8.3,6.65)
\psline[linestyle=dashed](2.6,0.9)(6.4,4.55)(9.6,4.55)
\psline[linestyle=dashed](6.4,4.55)(6.4,7.7) 
\uput[ul](2.6,6.7){\texttt{a}}   \uput[r](8.3,6.7){\texttt{b}}   \uput[dr](8.3,0.9){\texttt{c}}   \uput[dl](2.6,0.9){\texttt{d}}  
\uput[u](6.4,7.7){\texttt{e}}   \uput[ur](9.6,7.7){\texttt{f}}   \uput[r](9.5,4.6){\texttt{g}}   \uput[ur](6.3,4.6){\texttt{h}}  
\end{pspicture}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Annexe \No 2}

\vspace{1.5cm}
 
\begin{tabular}{l l}
\psset{unit=0.75cm} \begin{pspicture}(7.5,7.5)
\psframe(1.1,0)(6.5,5.4) 
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,6.8)(4.9,6.8)
\uput[l](0,6.8){\texttt{d}$_{1}$} \uput[u](4.9,6.8){$\omega$}\uput[l](1.1,0){\texttt{d}} \uput[r](6.5,0){\texttt{c}} \uput[u](6.5,5.4){\texttt{b}} \uput[l](1.1,5.4){\texttt{a}} 
\end{pspicture}&\vspace*{-1cm}
{\small \begin{tabularx}{0.5\textwidth}{|p{1.25cm}|*{3}{X|}}\hline
& ayant $\omega$ comme point de fuite& ayant un
point de distance comme point de fuite &ayant un point de fuite sur la
ligne d'horizon\\ \hline
(CG) est une droite&&&\\ \hline
(CH) est une droite&&&\\ \hline
(CE) est une droite&&& \\ \hline
\end{tabularx}}\\
\end{tabular}

\end{center}

\newpage

\begin{landscape}
\vspace*{-1cm}
\begin{center}
\emph{Le dessin est \fg à compléter et \fg{} à rendre avec la copie}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Annexe \No 3}
\end{center}

 
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(20,11.5)
%\psgrid
\psline(0,11.3)(20,11.3)
\psframe(7.3,7.3)
\psline(7.3,0)(9.4,4.6)(9.4,9)(5.1,9)(0,7.3)%cgfea
\psline(9.4,9)(7.3,7.3)%fb
\multido{\n=0+2.4333}{4}{\psline(\n,0)(\n,7.3)}
\multido{\n=0+2.4333}{4}{\psline(0,\n,0)(7.3,\n)}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(5,4.6)(9.4,4.6)
\psline[linestyle=dashed](5,4.6)(5.1,9)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](2.1,11.3)(12.6,11.3)
\uput[u](0,7.3){\texttt{a}} \uput[u](7.3,7.3){\texttt{b}} \uput[r](7.3,0){\texttt{c}}
 \uput[l](0,0){\texttt{d}}  \uput[ur](5.1,9){\texttt{e}} \uput[ur](9.4,9){\texttt{f}}
  \uput[r](9.4,4.6){\texttt{g}} \uput[ur](5,4.6){\texttt{h}} 
\uput[u](2.1,11.3){\texttt{d}$_{1}$} \uput[u](12.6,11.3){$\omega$}
%\psline[linecolor=red](5.1,9)(12.6,11.3)
%\psline[linecolor=red](9.4,4.6)(12.6,11.3)
%\psline[linecolor=red](9.4,9)(12.6,11.3)
\end{pspicture}
\end{landscape}
\end{document}