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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité}
\lfoot{\small Métropole--La Réunion}
\rfoot{\small 14 septembre 2012}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Métropole--La Réunion ~\decofourright\\14 septembre 2012}}
 \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{l l} 
Entrée :&A est un nombre entier naturel.\\ 
Traitement :&  Affecter à $N$ la valeur $A^2 - 3A + 6$\\
& Tant que $N \geqslant  0$\\ 
&\hspace{1cm}Affecter à $N$ la valeur $N - 4$\\
&\\ 
Sortie :& Afficher la valeur de $N$\\ 
\end{tabular}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Que donne l'affichage en sortie pour chacune des entrées suivantes : 
		
$A = 5,\: A = 8$ et $A = 9$ ? 
		\item Modifier l'algorithme pour que, avec l'entier $A$ pour entrée, la valeur affichée en sortie donne le reste de la division euclidienne de l'entier $A^2 - 3A + 6$ par $4$.
	\end{enumerate} 
\item On cherche l'ensemble $(S)$ des entiers naturels $A$ vérifiant la relation: 

\[A^2 - 3A + 6 \equiv 0 \quad (\text{modulo}\: 4).\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $A$ un entier naturel quelconque. Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de $A$ par 4 ? 
		\item ~
		 
$\bullet~~$Si $A \equiv  0\quad $(modulo 4), quel est le reste de $A^2 - 3A + 6$ dans la division euclidienne par 4 ?
 
$\bullet~~$Si $A \equiv 1\quad $(modulo 4), quel est le reste de $A^2 - 3A + 6$ dans la division euclidienne par 4 ?
 
$\bullet~~$Si $A \equiv 2\quad $(modulo 4), quel est le reste de $A^2 - 3A + 6$ dans la division euclidienne par 4 ?
 
$\bullet~~$Si $A \equiv 3\quad $(modulo 4), quel est le reste de $A^2 - 3A + 6$ dans la division euclidienne par 4 ?
		\item On considère quatre familles de nombres qui s'écrivent respectivement de la manière suivante : $A = 4N,\: A = 4N + 1,\: A = 4N + 2$ et $A = 4N + 3$ où $N$ est un entier naturel.
		 
Parmi ces quatre familles, quelles sont celles qui appartiennent à l'ensemble (S) ? 
On ne demande pas de justification.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

Une grande surface vend vingt climatiseurs de trois types de classe énergétique. Cinq sont de classe A, sept de classe B et les autres sont de classe C.
 
La garantie d'un climatiseur est de deux ans.
 
La probabilité qu'un climatiseur de la classe A ait une panne dans les deux premières années d'utilisation est de 0,15.
 
La probabilité qu'un climatiseur de la classe B ait une panne dans les deux premières années d'utilisation est de 0,20.
 
La probabilité qu'un climatiseur de la classe C ait une panne dans les deux premières années d'utilisation est de 0,30.
 
On prend un climatiseur au hasard parmi le stock de cette grande surface.
 
On note $A$ l'évènement \og L'appareil pris est de classe A \fg. 

On note $B$ l'évènement \og L'appareil pris est de classe B \fg. 

On note $C$ l'évènement \og L'appareil pris est de classe C \fg.
 
L'évènement \og L'appareil aura une panne dans les deux premières années d'utilisation \fg{} est noté $D$. On note $\overline{D}$ évènement contraire de $D$.
 
Les résultats seront donnés sous formes décimales, exactes ou arrondies à $10^{- 4}$ près.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilités complet résumant les données précédentes. 
\item Déterminer la probabilité que l'appareil soit de classe A et qu'il ne tombe pas en panne pendant la durée de la garantie. 
\item Démontrer que la probabilité que l'appareil ne tombe pas en panne pendant la durée de la garantie est de 0,7725. 
\item L'appareil est tombé en panne pendant la durée de la garantie. Déterminer la probabilité qu'il soit de classe C. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle [0~;~6]. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. La droite (d) est la tangente à $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$.
 
Le dessin ci-dessous représente $\mathcal{C}$ et (d). 

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-1,-3.5)(6.5,5)
\multido{\n=-1.0+0.2}{38}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-3.5)(\n,5)}
\multido{\n=-3.333+0.333}{26}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-1,\n)(6.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-3.5)(6.5,5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]
{-0.35}{6}{3 x mul 2 sub 2.71828 x 0.4 mul exp div}
\psplot{-0.37}{1.85}{3.8 x mul 2 sub}
\uput[d](6.4,0){$x$}\uput[l](0,4.9){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item Les réponses aux questions suivantes seront données par lecture graphique et sans justifications.
 
On donnera des valeurs approchées à 0,1 près. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$. 
		\item Sur quel intervalle la fonction $f$ semble-t-elle décroissante ?
	\end{enumerate} 
\item La fonction $f$ précédente est définie sur l'intervalle [0~;~6] par 

\[f(x) = (3x - 2)\text{e}^{- 0,4x}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle [0~;~6].
		 
On admet que la fonction dérivée $f'$ de $f$ sur l'intervalle [0~;~6] est donnée par: 

\[f'(x) = (3,8 - 1,2x)\text{e}^{-0,4x}.\]
 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0~;~6]. 
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$ en précisant la valeur exacte de $f(0)$ et des valeurs approchées à $0,1$ près de $f(6)$ et du maximum de $f$ sur l'intervalle [0~;~6]. 
		\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
		 
La droite (d) passe-t-elle par le point de coordonnées (1,4~;~3,3) ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Deux dessins sont donnés en annexe. Ils sont à rendre avec la copie.}

\medskip
 
Sur le dessin ci-dessous, on a schématisé en perspective parallèle un enclos électrifié servant à parquer des moutons. Il est constitué de cinq pieds verticaux [A$'$A], [B$'$B], [C$'$C], [D$'$D] et [E$'$E] de même hauteur et du fil électrique qui joint les sommets de ces pieds en formant un polygone ABCD horizontal vérifiant les conditions suivantes :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item le point E est le milieu de [AD], 
\item les droites (DA) et (BC) sont perpendiculaires à la droite (AB),
\item  AB = BC = AE. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}	
	 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,9)
\pspolygon(0,1)(5.9,1)(8.75,4.8)(5.7,8.6)
\psline(0,1)(0,0.3) \psline(5.9,1)(5.9,0.3)\psline(8.75,4.8)(8.75,4.1)\psline(5.7,8.6)(5.7,7.9)\psline(2.85,4.8)(2.9,4.1)
\uput[ul](0,1){A} \uput[ul](5.9,1){B} \uput[ur](8.75,4.8){C} \uput[u](5.7,8.6){D} \uput[ul](2.85,4.8){E} 
\uput[dr](0,0.3){A$'$} \uput[dr](5.9,0.3){B$'$} \uput[dr](8.7,4.1){C$'$} \uput[dr](5.7,7.9){D$'$} \uput[dr](2.85,4.1){E$'$} 

\end{pspicture}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item En plein jour, l'enclos est entièrement éclairé par le soleil et son ombre entièrement sur le sol horizontal. Les rayons du soleil sont parallèles entre eux. Sur l'\textbf{annexe 1}, on a représenté l'ombre [A$'$A$''$] du pied [A$'$A].
 
Compléter le dessin en représentant l'ombre complète de l'enclos (pieds et fil électrique). 
\item L'\textbf{annexe 2} donne une partie d'une représentation en perspective centrale de l'enclos.
 
Les segments [AA$'$] et [BB$'$] sont dans le même plan frontal. 

La droite $(\delta)$ est la ligne d'horizon. 

Les points \texttt{a}, \texttt{a}$'$, \texttt{b}, \texttt{c} sont les images respectives de A, A$'$, B, C dans cette perspective. 

La droite (\texttt{aa}$'$) est perpendiculaire à $(\delta)$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point \texttt{e}, image de E. 
		\item Que peut-on dire des droites (CD) et (BE) ? On ne demande pas de justifier. 
		\item En déduire la construction du point \texttt{d}, image de D. 
		\item Construire le polygone \texttt{abcde}. 
		\item Terminer le dessin par la construction des images des cinq pieds.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1 - A rendre impérativement avec la copie}

\vspace{0,5cm}\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 4 - Question 1}
\end{flushleft}

\bigskip 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(9,9)
\pspolygon(0,1)(5.9,1)(8.75,4.8)(5.7,8.6)
\psline(0,1)(0,0.3)(2.04,-0.86) \psline(5.9,1)(5.9,0.3)\psline(8.75,4.8)(8.75,4.1)\psline(5.7,8.6)(5.7,7.9)\psline(2.85,4.8)(2.9,4.1)
\uput[ul](0,1){A} \uput[ul](5.9,1){B} \uput[ur](8.75,4.8){C} \uput[u](5.7,8.6){D} \uput[ul](2.85,4.8){E} 
\uput[dl](0,0.3){A$'$} \uput[dr](5.9,0.3){B$'$} \uput[dr](8.7,4.1){C$'$} \uput[dr](5.7,7.9){D$'$} \uput[dr](2.85,4.1){E$'$}\uput[ur](2.04,-0.86){A$''$} 

\end{pspicture}
\end{center}

\begin{landscape}
\textbf{Annexe 2 - À rendre impérativement avec la topie}

\bigskip

Exercice 4 - Question 2

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(19,10)
\psline(3,7)(19.5,7)
\psline(6.6,0.2)(6.6,1)(13.2,1)(14.5,4)
\uput[u](18,7){$\delta$}
\uput[r](6.6,0.2){\texttt{a}$'$}\uput[ur](6.6,1){\texttt{a}}\uput[ul](13.2,1){\texttt{b}}\uput[ur](14.5,4){\texttt{c}}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}