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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat L spécialité }
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat L spécialité Antilles--Guyane juin 2011~\decofourright}} 
    
\vspace{0,25cm}

L'usage d'une calculatrice est autorisé \hfill 3 heures

\medskip

La page  annexée sera rendue  avec la copie

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 4 points}

\medskip


Lors de la session 2008 du baccalauréat série littéraire, on a constaté que 80,5\,\% des élèves
ayant obtenu le baccalauréat étaient des filles.

On a d'autre part relevé sur le site du ministère, le tableau suivant donnant la répartition des
mentions par sexe obtenues par les bacheliers de cette session :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|>{\centering \arraybackslash}X|m{2cm}| l|>{\centering \arraybackslash}X|}\cline{2-2}\cline{5-5}
\multicolumn{1}{c|}{~}					&Filles		&\multicolumn{1}{m{2cm}}{~}		&\multicolumn{1}{c|}{~}&Garçons\\ \cline{1-2}\cline{4-5}
Pas de mention		&59,3\,\%	&		&Pas de mention		&62,8\,\%\\ \cline{1-2}\cline{4-5}
Assez bien			&25.4\,\%	&		&Assez bien			&24,7\,\% \\ \cline{1-2}\cline{4-5}
Bien ou Très bien	&15,3\,\%	&		&Bien ou Très bien	&12,5\,\%\\ \cline{1-2}\cline{4-5}
%\multicolumn{5}{r}{\footnotesize Source ; Ministère de l'Éducation nationale}\\
%\footnotesize Lecture : 59,3\,\% des filles ayant obtenu le baccalauréat, l'ont obtenu sans mention}
\end{tabularx}
\end{center}

On interroge au hasard un  élève ayant réussi au baccalauréat série littéraire lors de cette
session et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{12mm}

$F$ : \og l'élève interrogé est une fille \fg

$G$ : \og l' élève interrogé est un garçon \fg

$A$ : \og l'élève interrogé a obtenu la mention Assez bien \fg

$B$ : \og l'élève interrogé a obtenu la mention Bien ou Très bien \fg

$\overline{M}$ : \og l'élève interrogé n' a pas obtenu de mention \fg,
\setlength\parindent{0mm}

\parbox{0.63\linewidth}{Les résultats seront arrondis au millième.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier et exprimer par une phrase en langage courant :
$P_G\left(\overline{M}\right) =  0,628$.
\item  Reproduire sur la copie l'arbre de probabilité ci-contre et
le compléter sans justification.
\item  Comment se note l'évènement : \og l'élève interrogé est un
garçon et il n'a pas obtenu de mention au baccalauréat \fg{} ?

Quelle est la probabilité de cet évènement ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Définir par une phrase l'évènement $A \cup B$.
		\item Calculer $P(A \cup B)$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.27\linewidth}{
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$F$~}\naput{\ldots}}
	{\TR{$A$}\naput{0,254}
	\TR{$B$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{M}$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\Tr{$G$~}\nbput{\ldots}}
	{\TR{$A$}\naput{\ldots}
	\TR{$B$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{M}$}\nbput{\ldots}
	}
}
}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

\parbox{0.55\linewidth}{On considère la fonction $f$ définie pour tout nombre
réel $x$ de I'intervalle [1~;~20] par 

\[f(x) = x(3 - \ln x).\]

On a obtenu l'écran ci-contre pour représenter la
fonction $f$ à l'aide d'un traceur de courbe.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.} \hfill
\parbox{0.42\linewidth}{\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(21,8)
\psframe(0,-1)(21,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(21,8)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0.1}{21}{x 3 x ln sub mul}
\end{pspicture}}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x) = 2 - \ln x$, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [1~;~20].
\item Résoudre l'inéquation : $2 - \ln x > 0$ sur l'intervalle [1~;~20].
\item En déduire le tableau de variation de f sur l'intervalle [1~;~20].
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On modélise le nombre des ventes d'un roman après sa parution à l'aide de la fonction $f$.

Si $n$ désigne un nombre entier de l'intervalle [1~;~20],  $f(n)$ désigne le nombre d'exemplaires
vendus, exprimé en milliers, au cours de la $n$-ième semaine.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Combien d'exemplaires ont été vendus au cours de la troisième semaine ?
		\item Combien d'exemplaires ont été vendus au cours des trois premières semaines ?
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant où $f$ désigne la fonction de la partie A :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|lX}
\textbf{entrée}		&\multicolumn{1}{X}{$V$ est un entier naturel}\\
\textbf{traitement} &\multicolumn{1}{|X}{Donner à $X$ la valeur $0$}\\
					&\multicolumn{1}{|X}{Donner à $S$ la valeur $0$}\\
					&\multicolumn{1}{|X}{tant que $S < V$ faire :}\\
					&\hspace{1cm}\begin{tabular}{|l}
										Donner à $X$ la valeur $X + 1$\\
										Donner à $S$ la valeur $S + f(X)$\\
										\end{tabular}\\
\textbf{sortie} 	&\multicolumn{1}{X}{Afficher $X$}
										\end{tabularx}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Faire fonctionner cet algorithme pour $V = 15$ en donnant tous tes résultats
intermédiaires à $10^{-3}$ près. 
		
Pour cela, reproduire, compléter et prolonger autant que nécessaire le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&init.	&étape 1&étape 2&étape 3&\ldots\ldots\ldots\\ \hline
$X$						&$0$	&1		&		&		&\ldots\ldots\ldots \\ \hline
$S$						&0		&3		&		&		&\ldots\ldots\ldots \\ \hline
$S < V$					&vrai	&		&		&		&\ldots\ldots\ldots \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item  Quel est, par cet algorithme, le nombre affiché en sortie pour $V = 15$ ?
		\item  Que représente, dans le contexte de la partie B, la quantité affichée en sortie du
traitement effectué pour $V = 15$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative. même
infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $7^2 \equiv - 1 $\: (modulo 5). 

En déduire le reste de la division euclidienne de $7^4$ par 5.
\item Dire si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse.

\setlength\parindent{8mm}

Affirmation 1 : pour tout entier naturel $n$,\: $7^{2n}$ est divisible par $5$.

Affirmation 2 : il existe un entier naturel $n$ tel que $7^{2n} - 1$ est divisible par $5$.
\setlength\parindent{0mm}
\item On rappelle que, si l'écriture en base sept d'un nombre $N$ est par exemple $\overline{abcde}$ cela signifie que $N = a \times 7^4 + b \times 7^3 + c \times 7^2 + d \times7 + e$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $A$ le nombre entier dont l'écriture en base sept est $\overline{10100}$. Ce nombre est-il divisible par $5$ ?
		\item $B$ est le nombre dont l'écriture en base sept est $\overline{20\alpha 040502}$ ;   
		$\alpha$ désigne un chiffre.
		
Comment choisir $\alpha$ pour que $B$ soit divisible par $5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{On a représenté en perspective parallèle une partie
d'une construction composée d'un carrelage horizontal, constitué de dalles carrées, bordé à
gauche par un muret vertical. Le côté [AB] est situé dans un plan frontal.

L'objectif de cet exercice est d'étudier la représentation de ce carrelage suivant une règle
primitive utilisée, au début du  XIV\up{e} siècle puis d'en représenter une partie en perspective centrale.} \hfill
\parbox{0.58\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(55.5,4)
%\psgrid
\multido{\n=0+1,\na=2.6+1.0}{5}{\psline(\n,0)(\na,4)}
\psline(4,0)
\psline(0.62,1)(4.62,1)\uput[dr](0.62,1){A$_1$}
\psline(1.3,2)(5.3,2)\uput[dr](1.3,2){A$_2$}
\psline(1.97,3)(5.97,3)\uput[dr](1.97,3){A$_3$}
\psline(0,0)(0,2)(1.4,4.3)\uput[dl](4.97,3.1){D$_3$}
\uput[d](0,0){A}\uput[d](1,0){B}\uput[d](2,0){C}\uput[d](3,0){D}
\uput[l](0,2){G}
\end{pspicture*}
}
\medskip

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

Au début du XIV\up{e} siècle, plusieurs peintres italiens, pour rendre compte de la profondeur
dans la représentation des carrelages à dalles carrées dont un côté est situé dans le plan
frontal, utilisent le procédé suivant ainsi traduit en langage moderne :

\setlength\parindent{10mm}
$\bullet~~$le point de fuite principal $\Omega$ est positionné dans le tableau ;

$\bullet~~$la longueur AA$_1$, longueur apparente du premier carreau, est fixée
arbitrairement ;

$\bullet~~$les longueurs apparentes des carreaux suivants sont calculées en considérant
que ces longueurs successives sont les termes d'une suite géométrique de
raison $\frac{2}{3}$.


{\footnotesize Source .- Didier Bessot et Jean-Pierre Le Goff, Histoires de problèmes, Ellipses, France 1993}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On note $l_0 = \text{AA}_1$,\: $l_1 = \text{A}_1\text{A}_2$ ,\: $l_2 = \text{A}_2\text{A}_3$, \ldots,\ $l_1 = \text{A}_1\text{A}_2$,\: $l_9 = \text{A}_{9}\text{A}_{10}$  les longueurs apparentes
successives pour une représentation d'un dallage comportant 10 carreaux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On représente le premier carreau de côté [AB], en prenant AB $=  4$cm, et
AA$_1 = l_0 =  3,6$~cm. Calculer fa longueur apparente $l_1$ du 2\up{e} carreau $\left(l_1 = \text{A}_1\text{A}_2\right)$, puis la longueur apparente $l_4$ du $5$\up{e} carreau. 

Arrondir les résultats, si nécessaire, au millimètre.
\item Calculer AA$_{10}$ la longueur apparente totale du côté d'un carrelage qui comporterait 10
dalles en profondeur. Arrondir le résultat au millimètre.
\item Le dessin 1 de l'annexe est une représentation d'une partie de- ce carrelage réalisé selon
ce procédé. Mettre en évidence sur ce dessin une règle de la perspective centrale qui n'est
pas respectée et commenter brièvement dans l'espace prévu avec le dessin 1 en annexe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur l'annexe, \textbf{dessin 2}, sont tracées :

\setlength\parindent{10mm}
$\bullet~~$la ligne d'horizon ;

$\bullet~~$le segment $[ab]$  représentant le côté [AB] du premier carreau et le segment
$\left[aa_1\right]$ représentant le côté $\left[\text{AA}_1\right]$ ;

$\bullet~~$le segment $[ag]$ représentant l'extrémité [AG] du muret.
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En laissant apparents les traits de construction, compléter la figure en représentant la
même partie ADD$_3$A$_3$ de 9 carreaux en perspective centrale.
\item Compléter la figure en arrêtant le muret à la verticale de A$_3$ (à ta fin de la troisième dalle).
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{FEUILLE ANNEXE  à rendre avec la copie}
\end{center}


\vspace{0,5cm}

\textbf{Dessin 1}
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(16.5,8)
%\psgrid
\pspolygon(0,0)(16.5,0)(15.6,7.1)
\psline(4.6,2.1)(16.22,2.1)
\psline(7.8,3.55)(16.02,3.55)
\psline(10.1,4.6)(15.9,4.6)
\psline(5.5,0)(15.6,7.1)
\psline(11,0)(15.6,7.1)
\uput[r](15.6,7.1){$\Omega$}
\uput[d](0,0){A} \uput[d](5.5,0){B}
\uput[d](11,0){C} \uput[d](16.5,0){D}
\uput[ul](4.6,2.1){A$_1$} \uput[ul](7.8,3.55){A$_2$} \uput[ul](10.1,4.6){A$_3$} 
\end{pspicture}
\end{center}
Commentaire : \dotfill

\dotfill
 
\dotfill

\vspace{1cm}

\textbf{Dessin 2}

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(18,13)
%\psgrid
\psline(-1,12.5)(18,12.5)
\uput[u](16.5,12.5){ligne d'horizon}
\psline(0,4.5)(0,0)(5.4,0)
\psline(2.85,3.35)
\uput[ul](2.85,3.35){$a_1$}\uput[ul](0,4.5){$g$}\uput[dl](0,0){$a$} \uput[d](5.4,0){$b$}
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}