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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre  2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourright \\Métropole septembre 2010}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traitera trois exercices :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 1
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 2
\item[$\bullet~~$] Au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie et sans justification la réponse choisie.\\ 
Chaque réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou une absence de réponse est comptée $0$ point.}

\medskip
 
On rappelle que :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] pour tout nombre réel $x$ strictement positif, $\ln x$ désigne le logarithme népérien de $x$ ; 
\item[$\bullet~~$] pour tout nombre réel $x,\, \text{e}^{x}$ désigne l'exponentielle de $x$ ; 
\item[$\bullet~~$] pour tout nombre réel $x, \sin x$ désigne le sinus de $x$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dans un repère \Oij{} du plan, la courbe d'équation $y = \ln x$ 
	\begin{enumerate}
		\item n'a pas de point d'abscisse négative ou nulle. 
		\item n'a pas de point d'ordonnée négative ou nulle. 
		\item admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
	\end{enumerate} 
\item  Dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, l'équation $\ln x = -5$ a pour solution: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
\textbf{a.}~~$-5 \text{e}^5$&\textbf{b.}~~ $\dfrac{1}{\text{e}^5}$&\textbf{c.}~~$\text{e}^{\frac{1}{5}}$\\
\end{tabularx} 

\medskip

\item  Dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, l'inéquation $\text{e}^x + 3 > 0$ : 
\begin{enumerate}
\item n'admet aucune solution. 
\item admet une et une seule solution. 
\item admet tout réel $x$ pour solution.
\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (x + 1) \text{e}^x$.
 
Sa fonction dérivée $f'$ est donnée par :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
\textbf{a.}~~$f'(x) = \text{e}^x$&\textbf{b.}~~$f'(x) = x\text{e}^x$& 
\textbf{c.}~~$f'(x) = (x + 2)\text{e}^x$\\
\end{tabularx} 

\medskip
 
\item La fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = 2\ln x - x$ admet un maximum au point d'abscisse :
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
\textbf{a.}~~$0$&\textbf{b.}~~$2$&\textbf{c.}~~e \\
\end{tabularx} 

\medskip
\item Dans un repère \Oij{} du plan, la courbe d'équation $y = \sin x$ admet une tangente au point O dont le coefficient directeur est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXX} 
\textbf{a.}~~$0$&\textbf{b.}~~$1$&\textbf{c.}~~$- 1$ \\ 
\end{tabularx} 

\medskip 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 7 points}

\medskip

On se place dans la gamme de tempérament égal. On rappelle que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] une octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI, DO ; 
\item[$\bullet~~$] à chaque octave est associé un indice $n$ entier naturel ; les notes d'une octave portent l'indice de cette octave; ainsi LA$_{3
}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et LA$_{4}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus de l'octave d'indice 3 ; 
\item[$\bullet~~$] à chaque note de chaque octave est associée une fréquence ; 
\item[$\bullet~~$] la suite des fréquences forme une suite géométrique de raison le nombre réel $q$ défini  par $q = \sqrt[12]{2}$ soit $q = 2^{\frac{1}{12}}$ ; 
\item[$\bullet~~$] la fréquence de la note LA$_{3}$ est égale à 440 Hz ; 
\item[$\bullet~~$] la différence de hauteur, exprimée en savarts, de deux notes de fréquences respectives 
$f_{1}$ et $f_{2}$ avec $f_{2} \geqslant f_{1}$ vaut $\np{1000}\log \left(\dfrac{f_{2}}{f_{1}}\right)$, où log désigne la fonction logarithme décimal.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On sait que l'intervalle entre les notes LA$_{3}$ et MI$_{4}$ est de sept demi-tons (ce qui correspond en musique à une quinte). 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fréquence de la note MI$_{4}$, arrondie à l'unité, est égale à 659~Hz. 
		\item Calculer la différence de hauteur, exprimée en savarts, des notes LA$_{3}$ et MI$_{4}$.
		 
Donner la valeur décimale arrondie au centième.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fréquence de chacune des notes LA$_{4}$ et LA$_{2}$, situées respectivement une octave au-dessus et une octave au-dessous de la note LA$_{3}$. 
		\item Calculer la différence de hauteur, exprimée en savarts, entre les notes LA$_{3}$ et LA$_{4}$.
		 
Donner la valeur décimale arrondie au centième.
	\end{enumerate} 
\item La différence de hauteur entre deux notes de fréquences respectives $f_{1}$ et $f_{2}$ (avec $f_{2} \geqslant f_{1}$) est égale à $100,34$~savarts. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la valeur décimale arrondie au centième du rapport $\dfrac{f_{2}}{f_{1}}$ est $1,26$. 
 
\item Démontrer que l'intervalle entre les deux notes considérées est d'environ quatre demi-tons (ce qui correspond en musique à une tierce majeure).
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} Enseignement obligatoire (au choix)  \hfill 7 points}

\medskip

Un luthier a constaté que, en moyenne : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] sur dix clients se présentant dans son atelier, un seul achète un violon ; 
\item[$\bullet~~$] parmi les clients qui achètent un violon, 30\,\% achètent aussi un archet ; 
\item[$\bullet~~$] parmi les clients qui n'achètent pas de violon, 20\,\% achètent un archet.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Le luthier a dressé la liste de tous les clients qui se sont présentés dans l'atelier pendant une période donnée.
 
On choisit au hasard un client dans cette liste. Chaque client a la même probabilité d'être choisi.

\medskip
 
On note :
 
\begin{description}
\item[ ] $V$ l'évènement \og le client a acheté un violon \fg{} ;
\item[ ] $A$ l'évènement \og le client a acheté un archet \fg.
\end{description}

\smallskip
 
On rappelle que l'évènement contraire d'un évènement $E$ est noté $\overline{E}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant qui correspond à cette situation :

\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$V$}\taput{0,1}}
	{
	\TR{$A$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}
	}	
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{V}$}\tbput{\ldots}}
	{	
	\TR{$A$}\taput{0,2}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}
	}
}
\bigskip
\end{center} 

\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que le client ait acheté un violon et un archet. 
		\item Calculer la probabilité que le client n'ait rien acheté. 
		\item En déduire la probabilité que le client ait acheté au moins un des deux objets.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est $0,21$. 
\item Calculer la probabilité que le client ait acheté un violon sachant qu'il a acheté un archet. On donnera la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au centième. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} Enseignement renforcé (au choix)  \hfill 7 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~ 4] par 

\[f(x) = (3 - x) \ln x.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} du plan d'unité graphique 2~cm.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte du nombre réel $f(\text{e})$, puis en donner la valeur décimale  arrondie au centième. 
		\item Résoudre l'équation $f(x) = 0$ dans l'intervalle [0,5~;~4]. 
		\item Parmi les trois courbes proposées en annexe, une seule représente la fonction $f$.
		 
En utilisant les questions précédentes la déterminer. Pour cela, donner, pour chaque courbe éliminée, au moins un argument justifiant son élimination.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0,5~;~4] par 

\[F(x) = \left(3x - \dfrac{1}{2} x^2\right)\ln x + \dfrac{1}{4}x^2 - 3x.\]
 
On désigne par $F'$ la fonction dérivée de la fonction $F$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, pour tout $x$ de l'intervalle [0,5~;~4], $F'(x)$. 
		\item Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~4]. 
		\item Calculer l'intégrale I définie par I $= \displaystyle\int_{1}^3 (3 - x) \ln x\:\text{d}x$. En donner la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au centième. 
		\item On désigne par $\mathcal{A}$ la mesure, exprimée en cm$^2$, de l'aire de la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$.
		 
Déduire des questions précédentes la valeur décimale arrondie au dixième de la mesure $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
 
\newpage
\begin{center}
\textbf{EXERCICE 4 : ANNEXE}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering \arraybackslash}X>{\centering \arraybackslash}X} 
Courbe 1	&Courbe 2 \\
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2.5)(4.5,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-2)(4.5,2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{4}{x ln 3.5 x sub mul}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](0.5,0)
\uput[d](0.5,0){0,5}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](2.718,0)
\uput[d](2.718,0){e}
\end{pspicture*}
&
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2.5)(4.5,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-2)(4.5,2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{4}{3 x   sub x ln mul neg}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](0.5,0)
\uput[d](0.5,0){0,5}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](2.718,0)
\uput[u](2.718,0){e}
\end{pspicture*}\\
\end{tabularx}

\bigskip

Courbe 3

\medskip

\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2.5)(4.5,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-2)(4.5,2)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{4}{3 x   sub x ln mul}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](0.5,0)
\uput[d](0.5,0){0,5}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](2.718,0)
\uput[d](2.718,0){e}
\end{pspicture*}

\end{center}

\end{document}