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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}%tapez un titre
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre  2008}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourright\\ 
Métropole septembre 2008}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des cinq questions $1$ à $5$, trois affirmations sont proposées dont une seule est exacte. Pour chaque question, indiquer sur la copie, la bonne réponse. On ne demande pas de justification.\\
Toute bonne réponse donne un point. Une réponse fausse enlève $0,25$~point L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total est négatif la note est ramenée à $0$.}\\

\medskip

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] On désigne par $\log$ le  logarithme décimal.
\item[$\bullet~$] 	On rappelle que deux notes situées à un intervalle d'octave ascendante ont un rapport de fréquences égal à 2.
\item[$\bullet~$] À chaque octave est associé un indice $n$ entier naturel. Les notes d'une octave portent l'indice de cette octave. Ainsi LA$_{3}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et LA$_{4}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus de l'octave d'indice 3.
\item[$\bullet~$]  Les cinq questions font référence à la gamme de tempérament égal : dans cette gamme, l'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes, si bien que la suite des fréquences est géométrique de raison $q$ , où $q$ est un nombre réel positif tel que $q^{12} = 2$. Une quarte juste contient cinq demi-tons.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item  On indique que, lorsque deux sons ont pour fréquences respectives $f_{1}$ et $f_{2}$ avec $f_{1} < f_{2}$, la mesure de l'intervalle entre ces deux sons, exprimée en savarts, est donnée par la formule : $10^3 \log \left(\dfrac{f_{2}}{f_{1}}\right)$.

La mesure de l'intervalle entre le MI$_{3}$ et le MI$_{4}$, en savarts, est égale à :

\smallskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\np{1000}\log \left(2^{\frac{1}{12}}\right)$&	\textbf{b.} $\np{1000}\log \left(2^{12}\right)$&	\textbf{c.}  $\np{1000}\log 2$.\\
\end{tabularx}
\smallskip

\item  On précise que l'intervalle de septième ascendante DO--SI a un rapport de fréquences égal à $2^{\frac{11}{12}}$. La mesure, en savarts, de l'intervalle séparant ces deux notes est égale à :

\smallskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\small}X}}
\textbf{a.~~} $\np{1000}\left(\log 2^{11} - \log 2^{12}\right)$&	\textbf{b.} $\np{2000}\log \left(\dfrac{11}{12}\right)$&	\textbf{c.} $\dfrac{\np{11000}}{12} \log 2$\\
\end{tabularx}
\smallskip
\item  Le nombre entier $p$ d'octaves qui peuvent être intercalées entre deux notes de fréquences respectives $f_{1}$ et $f_{2}$ avec $f_{1} < f_{2}$ est tel que 

\smallskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\small}X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{f_{2}}{f_{1}}$ est congru à $p$ modulo 2&	\textbf{b.} $2^p \leqslant \dfrac{f_{2}}{f_{1}} < 2^{p+1}$	&	\textbf{c.}  $\dfrac{f_{2}}{f_{1}}$ est congru à 2 modulo $p$.\\
\end{tabularx}
\smallskip

\item  Le rapport des fréquences correspondant à une quarte juste ascendante est égal à :

\smallskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $2^{\frac{5}{12}}$&	\textbf{b.~~} $\dfrac{5}{2}$&	\textbf{c.~~} $2^{\frac{12}{5}}$.\\
\end{tabularx}
\smallskip

\item  Si l'on suppose que l'oreille humaine ne peut entendre un son de fréquence supérieure à \np{18000}~Hz et que la fréquence du LA3 est à peu près de 440 Hz, alors- le premier LA inaudible plus aigu que le LA$_{3}$ est:

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} LA$_{8}$&	\textbf{b.} LA$_{9}$ 	&	\textbf{c.}  LA$_{10}$
\end{tabularx}



\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}

\medskip

Dans une classe de 20 élèves, spécialisée en musique, 8~élèves jouent du piano, 15 jouent du violon et 3~élèves jouent à la fois du piano et du violon.

Les probabilités seront données sous forme de fractions.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On choisit au hasard un élève dans la classe. Chaque élève a la même chance d'être choisi.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la probabilité pour que l'élève joue des deux instruments est $\dfrac{3}{20}$.
		\item  Montrer que la probabilité pour que l'élève joue du piano sans jouer du violon est $\dfrac{5}{20}$.
		\item  Calculer la probabilité pour que l'élève joue du violon sans jouer du piano.
	\end{enumerate}

\item On prend successivement au hasard deux élèves différents dans la classe. On peut considérer que l'on est dans un cas de \og tirages sans remise \fg.
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous qui correspond à cette seconde question.
		
		\medskip

\begin{flushright}		
\begin{tabular}{p{3.25cm} p{3.25cm}}Instrument(s) joué(s) par le 1\up{er} élève&		Instrument(s) joué(s) par le 2\up{e} élève
\end{tabular}
\end{flushright}	

\begin{center}		
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,treesep=1cm,levelsep=*2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{\shortstack{Piano et \\violon}}^{$\frac{3}{20}$}}
		{\TR{\shortstack{Piano et\\ violon}}^{$\frac{2}{19}$}
		\TR{\shortstack{Piano sans\\ violon}}^{$\frac{5}{19}$}
		\TR{\shortstack{Violon sans\\ piano}}_{\ldots}
		}
\pstree{\TR{\shortstack{Piano sans\\ violon}}^{$\frac{5}{20}$}}
		{\TR{\ldots}^{$\cdots$}
		\TR{\ldots}_{$\cdots$}
		\TR{\ldots}_{$\cdots$}
		}
\pstree{\TR{\shortstack{Violon sans\\ piano}}_{\ldots}}
		{\TR{\ldots}^{$\cdots$}
		\TR{\ldots}_{$\cdots$}
		\TR{\ldots}_{$\cdots$}
		}
}
\end{center}

\bigskip
		\item Montrer que la probabilité pour que les deux élèves choisis jouent tous deux à la fois du piano et du violon est $\dfrac{3}{190}$.
		\item Quelle est la probabilité pour que chacun des deux élèves choisis ne joue que d'un instrument?
	\end{enumerate}
\item On prend successivement au hasard trois élèves différents dans la classe. On peut considérer que l'on est dans un cas de \og tirages sans remise \fg.

Montrer que la probabilité pour que tous les trois jouent à la fois du piano et du violon est $\dfrac{1}{\np{1140}}$.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 7 points}

\textbf{Enseignement obligatoire (au choix)}

\medskip

Le niveau sonore $N(I)$, en décibels, d'un son d'intensité acoustique $I$ est donné par la formule :

\[N(I) = 10\log \left(\dfrac{I}{I_{0}}  \right)\]

où $I_{0}$ désigne la plus faible intensité perceptible par l'oreille humaine et où $\log$ désigne le logarithme décimal.

Le décibel est noté dB.

On rappelle que, pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a : 

\[\log (ab) = \log a + \log b\quad \text{et}\quad \log \left(\dfrac{a}{b} \right) = \log a - \log b.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer, en décibels, le niveau sonore $N(I)$ lorsque $I = I_{0}$.

		\item  Lors du décollage de la fusée Ariane, on a observé que $I = I_{0} \times 10^{17}$.
		
Calculer, en décibels, le niveau sonore $N(I)$ correspondant.
	\end{enumerate}
\item Pour un marteau-piqueur, on a $N(I) = 110$. Donner l'expression de l'intensité acoustique $I$ en fonction de $I_{0}$.

\item Le niveau sonore d'un aspirateur est 70~dB. Calculer, en décibels, le niveau sonore de trois aspirateurs identiques fonctionnant simultanément sachant que les intensités acoustiques des sons s'additionnent. On en donnera la valeur décimale arrondie au dixième.

\item  Un isolant acoustique est vendu pour effectuer une atténuation du niveau sonore de 1,5~dB par centimètre d'épaisseur.

L'épaisseur en centimètres d'une cloison fabriquée avec ce matériau est de 10~cm.

Cette cloison sépare deux pièces.
  
Un son d'intensité acoustique notée $I_{B}$ émis dans une pièce est atténué en un son d'intensité acoustique $I_{C}$ dans l'autre pièce.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que $N\left(I_{C}\right) - N\left(I_{B}\right)= - 15$
		\item  Démontrer que $\log \left(\dfrac{I_{C}}{I_{B}}\right) = - 1,5$.
		\item  En déduire que la valeur arrondie à l'unité du rapport $\dfrac{I_{B}}{I_{C}}$ est $32$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}  \hfill 7 points}

\textbf{Enseignement renforcé (au choix)}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] par :
 
\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x + 1}.\]

On a tracé sur la feuille annexe  la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Démontrer que, pour tout $x \in [0~;~1]$, on a : $f'(x) = \dfrac{x\text{e}^x}{(x + 1)^2}$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~1].
		\item  Calculer $f(0)$ et $f(1)$.
		\item  En déduire que, pour tout $x \in [0~;~1]$ on a $1 \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{\text{e}}{2}$.
	\end{enumerate}
\item On désigne par P le point de la courbe $\mathcal{C}$ d'abscisse $0$ et par Q celui d'abscisse $1$.
	\begin{enumerate}
		\item  On désigne par T la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point Q.
		
Déterminer, sous la forme $y =  ax + b$, l'équation de la droite T.
		\item  La droite T est sécante à l'axe des ordonnées au point R. Calculer les coordonnées du point R.
		\item  Sur la feuille annexe  à rendre avec la copie, construire les droites T et (PQ).
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  On désigne par I le point de coordonnées (1~;~0).
		
Calculer la mesure (en unités d'aire) de l'aire de chacun des trapèzes OPQI et ORQI.

\parbox{0.7\linewidth}{
On rappelle que l'aire du trapèze ci-contre de bases de dimensions $b$ et $B$ et de hauteur $h$ est donnée par la formule $\dfrac{b + B}{2} \times h$} \hfill 
\parbox{0.25\linewidth}{\psset{unit=1.5cm}\begin{pspicture}(1.8,1.5)
\pspolygon(0.3,0)(1.5,0)(1.5,1.4)(0.3,1)
\psframe(0.3,0)(0.45,0.15) \psframe(1.35,0)(1.5,0.15) 
\uput[u](0.9,0){$h$}\uput[l](0.3,0.5){$b$} \uput[r](1.5,0.75){$B$}
\end{pspicture}}
		\item  On considère la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite (IQ) et la courbe $\mathcal{C}$. Hachurer cette partie du plan sur le graphique donné sur la feuille annexe.
		\item  On désigne par $\mathcal{A}$ la mesure (en unités d'aire) de l'aire de la partie du plan hachurée. Donner l'expression de $\mathcal{A}$ à l'aide d'une intégrale que l'on ne cherchera pas à calculer.
		\item  À l'aide des résultats de la question 4. a., en déduire graphiquement la double inégalité :
		
\[\dfrac{3\text{e}}{8} \leqslant \int_{0}^1 \dfrac{\text{e}^x}{x + 1}\:\text{d}x  \leqslant \dfrac{2 + \text{e}}{4}.\]

 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\newpage
	
\begin{center}

\textbf{FEUILLE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\end{center}
 
\bigskip
 
\textbf{Exercice 4 : enseignement renforcé} \hfill \textbf{Annexe}\\
 
\bigskip
 
\psset{unit=8.5cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{center}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(1.2,1.6)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(0,0)(1.2,1.6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=black,%
subgridcolor=black,griddots=1,subgriddots=40](0,0)(1.2,1.6)
\def\f{2.71828 x exp x 1 add div}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[ur](0,1){P}          \uput[r](1,1.36){Q} 
\uput[dl](0,0){O}          \uput[ur](1,0){I} 
\uput[u](0.5,1.1){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{1}{\f}
\psdots(0,1)(1,1.36)
\end{pspicture*} 
\end{center} 
	
\end{document}