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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse} 
\lfoot{\small{Métropole--Guadeloupe}}
\rfoot{\small{septembre  2015}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole--Guadeloupe septembre  2015~\decofourright   \\[4pt]Technique de la musique et de la danse}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traitera trois exercices :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 1
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 2
\item[$\bullet~~$] Au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip


On rappelle que dans la gamme à tempérament égal :

\medskip

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Une octave est divisée en 12 demi-tons égaux séparant les notes ; ainsi la suite des fréquences des notes est une suite géométrique de raison $q$ où $q$ est le réel strictement positif
tel que: $q^{12} = 2$.
\item[$\bullet~~$] Une quarte juste contient cinq demi-tons. Une quinte juste contient sept demi-tons.
\item[$\bullet~~$] Les notes d'une octave sont : DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI.
\item[$\bullet~~$] À chaque octave est associé un indice $n$ qui est un nombre entier naturel. Les notes d'une octave portent l'indice de cette octave, ainsi LA$_3$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3.
\item[$\bullet~~$] La fréquence, exprimée en hertz (Hz), de la note LA$_3$ est $440$~Hz.
\item[$\bullet~~$] La différence de hauteur entre deux notes de fréquences $f_1$ et $f_2$ exprimées en hertz
(avec $f_1 < f_2$) est le nombre $10^3 \text{log} \left(\dfrac{f_2}{f_1}\right)$, où log désigne la fonction logarithme décimal.

Cette différence de hauteur s'exprime en savarts quand les fréquences sont exprimées en
hertz.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On rappelle enfin que lorsque deux entiers $a$ et $b$ ont le même reste dans la division euclidienne par 12, on dit que $a$ est congru à $b$ modulo $12$ et on note $a \equiv b$ modulo $12$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À partir d'un FA, on monte de 70 demi-tons.
	\begin{enumerate}
		\item De combien de quintes justes est-on monté ?
		\item De combien de quartes justes est-on monté ?
		\item Déterminer la note obtenue.
	\end{enumerate}
\item À partir du LA$_3$, on monte jusqu'à une note de fréquence \np{1046}~hertz.
Quelle est la différence de hauteur, exprimée en savarts, entre le LA$_3$ et la note de fréquence \np{1046}~hertz ? (arrondir à l'unité)
\item À partir du LA$_3$ , on monte de $20$ demi-tons. Quelle est la fréquence en hertz de la note obtenue? (arrondir à l'unité).
\item À partir du LA$_3$ , on descend de $750$ savarts. Quelle est la fréquence obtenue ? (arrondir à l'unité)
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter sur la copie, à l'aide de nombres entiers compris entre 0 et 11, le tableau de congruence modulo $12$ suivant :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$n$ 				&0 	&1 	&2	&3	&4	&5 	& 6	& 7	& 8	&9	&10	&11\\ \hline
$7n$ est congru à	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item On passe d'un RÉ à un SI en augmentant de $n$ quintes justes (où $n$ désigne un nombre entier naturel). Écrire une relation de congruence modulo 12 vérifiée par $n$. Donner alors une valeur possible pour l'entier $n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

Dans une chorale lycéenne, 40\,\% des élèves sont capables de déchiffrer une partition.
D'autre part, on sait que :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 75\,\% des élèves de cette chorale qui sont capables de déchiffrer une partition sont des solistes ;
\item[$\bullet~~$] 5\,\% des élèves de cette chorale qui ne sont pas capables de déchiffrer une partition sont des solistes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On choisit au hasard un élève de cette chorale. Chaque élève de cette chorale a la même probabilité d'être choisi.

On note $D$ l'évènement \og l'élève choisi est capable de déchiffrer une partition \fg{} et $S$ l'évènement \og l'élève choisi est soliste \fg.

On rappelle que l'évènement contraire d'un évènement $A$ se note $\overline{A}$ et que la probabilité conditionnelle de l'évènement $B$ sachant $A$ se note $P_A(B)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $D$.
		\item Déterminer, à partir des données du texte, la probabilité que l'élève choisi soit soliste sachant qu'il n'est pas capable de déchiffrer une partition.
	\end{enumerate}
\item Représenter la situation décrite ci-dessus à l'aide d'un arbre pondéré.
\item Calculer la probabilité pour que l'élève choisi soit soliste et qu'il soit capable de déchiffrer une partition.
\item Montrer que la probabilité que l'élève choisi soit soliste est $33$\,\%.
\item Calculer la probabilité que l'élève choisi soit capable de déchiffrer une partition sachant  qu'il est soliste. On donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 6 points}

\medskip

Enseignement obligatoire (au choix)

Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa
copie, sans justification, le numéro de chaque question suivi de la lettre correspondant à la réponse
choisie.
Chaque réponse juste rapporte un point. Une mauvaise réponse, une absence de réponse ou
plusieurs réponses ne donne aucun point et n'en enlève aucun.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre $\ln (75)$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~} $\ln (3) + 2\ln (5)$ &\textbf{b.~~} $\ln (3) \times 2\ln (5)$ &\textbf{c.~~} $\ln (3) + [\ln (5)]^2$
\end{tabularx}
\medskip

\item On considère la fonction $f$ définie sur [0,5~;~3] par : $f(x) = 2x + 3 \ln (x)$. La courbe représentative de $f$ dans un repère du plan est notée $\mathcal{C}$.
	\begin{enumerate}
		\item Le point M de coordonnées (1~;~2) appartient à $\mathcal{C}$.
		\item Le point N de coordonnées (1~;~5) appartient à $\mathcal{C}$.
		\item Le point P de coordonnées (2~;~1) appartient à $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par : $f(x) = \dfrac{1}{x}+ \ln (x)$. La courbe  représentative de $f$ dans un repère du plan est notée $\mathcal{C}$.
	\begin{enumerate}
		\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.
		\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des ordonnées.
		\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 n'est parallèle ni à l'axe des abscisses ni à l'axe des ordonnées.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur [-7~;~0] par : $f(x) = 3 - 2\text{e}^x$.
	\begin{enumerate}
		\item Sur $[-7~;~0]$, la fonction $f$ est positive et croissante.
		\item Sur $[-7~;~0]$, la fonction $f$ est positive et décroissante.
		\item Sur $[-7~;~0]$, la fonction $f$ est négative et décroissante.
\end{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur [0~;~10] par : $f(x) = (2x + 1)\text{e}^x$. La fonction dérivée de $f$ est la fonction $f'$ définie sur [0~;~10] par:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~} $f'(x) = (2x+ 1)\text{e}^x$ &\textbf{b.~~} $f'(x) = 2\text{e}^x$ &\textbf{c.~~} $f'(x) = (2x+3)\text{e}^x$
\end{tabularx}
\medskip

\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $2\text{e}^x + 3 \geqslant 1$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~} $]0~;~+\infty[$ &\textbf{b.~~} $[0~;~+\infty[$ &\textbf{c.~~} $]-\infty~;~+\infty[$
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}  \hfill 6 points}

\medskip

Enseignement renforcé (au choix)


Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 2 cm.

On considère les points A  d'affixe $Z_{\text{A}} = 3 + 2\text{i}$ et B d'affixe $Z_{\text{B}} = - 1 + 8\text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A et B dans le repère \Ouv. Utiliser la feuille de papier millimétré fournie.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les modules des nombres $Z_{\text{A}},\: Z_{\text{B}}$ et $Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}$.
		\item Quelle est l'interprétation géométrique du module du nombre $Z_{\text{B}} - Z_{\text{A}}$ ?
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le triangle OAB est rectangle en A.
\item Calculer l'aire du triangle OAB en cm$^2$.
\item Soit M le point d'intersection du cercle trigonométrique et du segment [OA].
	
Justifier que $Z_{\text{M}}  = \dfrac{3}{\sqrt{13}} + \dfrac{2}{\sqrt{13}}\text{i}$.
\end{enumerate}
\end{document}