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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\def\e{\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 juin 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 16 juin 2017~\decofourright   \\[4pt]Technique de la musique et de la danse}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traitera trois exercices :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 1
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 2
\item[$\bullet~~$] Au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill7 points}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Rappels :}\\
\setlength\parindent{9mm}

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Dans la gamme de tempérament égal, l'octave est divisée en 12 demi-tons égaux séparant
les notes : DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI. 

Quand on monte d'un demi-ton, la fréquence de la note, exprimées en hertz (Hz), est multipliée par $q = 2^{\frac{1}{12}}$.
\item[$\bullet~~$] À chaque octave est associée un entier naturel $n$ appelé indice et les notes d'une octave
portent l'indice de cette octave. Ainsi le LA$_3$ (le LA du diapason) correspond à la note LA
de l'octave d'indice 3, le LA$_4$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus
de l'octave d'indice 3.

La fréquence de LA$_3$ est 440 Hz.
\item[$\bullet~~$] Si un son possède une intensité sonore $I$ (exprimée en W.m$^{-2}$), son niveau sonore est
exprimé en décibels (dB) par :

\[N(I) = 10 \log \left(\dfrac{I}{I_0}\right)\: \text{ où }\:I_0 = 10^{-12} \text{W.m}^{-2}\: \text{ et log désigne la fonction logarithme décimal.}\]

\item[$\bullet~~$] On rappelle que les intensités sonores s'ajoutent.
\item[$\bullet~~$] Pour deux notes de fréquence respectives $f_1$ et $f_2$, avec $f_2 \geqslant  f_1$, la différence de hauteur de ces notes, exprimée en savarts, est égale à $\np{1000} \log \left(\dfrac{f_2}{f_1}\right)$.
\item[$\bullet~~$] On estime que l'oreille humaine normale perçoit des sons dont la fréquence est comprise
entre $20$~Hz et \np{20000}~Hz. Le seuil de douleur est atteint pour des sons de niveau sonore
supérieur ou égal à $120$~dB.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Après un traumatisme, la plage des fréquences des sons audibles par Nathan s'est restreinte: elle
s'étend de $100$~Hz à \np{11000}~Hz. En outre, Nathan ne supporte plus un niveau sonore supérieur à
$90$~dB.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la différence de hauteur, exprimée en savarts, entre un son de fréquence 100 Hz et
un son de fréquence \np{11000}~Hz ? On arrondira le résultat à l'unité.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de 55 par 12.
		\item  Si on monte de $55$ demi-tons à partir de LA$_3$, quelle note obtient-on ? Justifier.
 	\end{enumerate}
\item  Justifier que la note la plus basse que Nathan puisse entendre est le SOL\#$_1$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Lors du concert d'une chorale, l'intensité sonore maximale était de $4.10^{-4}$ W.m$^{-2}$.
		
Nathan a-t-il pu rester dans la salle ? Justifier.
		\item Nathan souhaite assister au concert d'un orchestre de $60$ instruments identiques. On
suppose que tous les instruments ont la même intensité sonore notée $I$ et le même niveau
sonore noté $N(I)$. De plus Nathan perçoit tous les instruments de l'orchestre avec la
même intensité sonore.
		
Montrer que le niveau sonore perçu par Nathan est égal à $N(I) + 10 \log 60$.
		\item En déduire le niveau sonore maximum de chaque instrument pour que le concert soit
supportable par Nathan.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip

Une étude a été réalisée en 2015 en France sur 550 festivals de musique.

On y apprend que :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $220$ festivals avaient une thématique unique, parmi lesquels 35\,\% étaient dédiés à la musique de chambre.
\item[$\bullet~~$] $330$ autres festivals avaient plusieurs thématiques parmi lesquels certains proposaient de la musique de chambre dans leur programmation.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard un festival parmi les $550$ considérés dans cette étude.

On note :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{description}
\item[ ] $T$ l'évènement \og le festival avait une thématique unique \fg,
\item[ ] $C$ l'évènement\og le festival proposait de la musique de chambre dans sa programmation \fg,
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
\smallskip
\emph{$B$ étant un évènement de probabilité non nulle, on note $P_B(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.}
\smallskip

On note $B$ l'évènement contraire d'un évènement $B$.

Dans l'ensemble de l'exercice on arrondira, si nécessaire, les résultats au centième.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide des données de l'énoncé :
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de la probabilité $P_T(C)$ de l'évènement $C$ sachant que l'évènement $T$
est réalisé.
		\item Justifier que la probabilité $P(T)$ de l'évènement $T$ vaut $0,4$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous correspondant à la situation décrite dans l'énoncé. Seules les valeurs représentées par des pointillés sont attendues.

\smallskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$T$~}\taput{0,4}}
	  { 
		  \TR{$C$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{T}$~}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$C$}
		  \TR{$\overline{C}$}	  
	  }
}
\end{center}
		\item Montrer que la probabilité que le festival était un festival ayant une thématique unique
et proposait de la musique de chambre dans sa programmation est égale à $0,14$.
 	\end{enumerate}
\item Selon l'étude, 39\,\% des festivals proposaient de la musique de chambre dans leur
programmation.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $P\left(\overline{T} \cap C\right)$ est égale à $0,25$.
		\item En déduire la probabilité que le festival ait proposé de la musique de chambre sachant que ce festival n'avait pas une thématique unique.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3 portant sur l'enseignement obligatoire}\hfill 7 points}

\medskip

\textbf{Cet exercice comporte deux parties qui peuvent être traitées indépendamment}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0,5~;~4]. On désigne par $f'$ sa
fonction dérivée.

On note $\mathcal{C}_f$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij.

\bigskip

\textbf{Partie 1 : Lecture graphique}

\medskip

On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ dans le repère \Oij.

Les réponses aux questions suivantes seront données avec la précision permise par la lecture du
graphique. Aucune justification n'est attendue.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs de $f(1)$ et de $f(3)$.
\item Estimer $f'(1)$ le nombre dérivée de $f$ en 1.
\item Construire le tableau de signes de $f'$, la fonction dérivée de la fonction$f$ sur l'intervalle [0,5~;~4].

\begin{center}
\psset{unit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2.25)(4.25,2.75)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,-2.25)(4.25,2.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{4}{x dup mul x ln mul x dup mul 1.5 mul sub 3 add}
\uput[d](0.75,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.75){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie 2 : Étude de la fonction } \boldmath $f$ \unboldmath

\medskip
 
On désigne par ln la fonction logarithme népérien.

On note e l'unique nombre réel vérifiant $\ln (\text{e}) = 1$.

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0,5~;~4] par :

\[f(x) = x^2 \ln x - 1,5x^2 + 3.\]


\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes de $f(1)$ et $f(\text{e})$.
\item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~4] on a :

\[f'(x) = 2x(\ln x - 1).\]

\item  Construire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~4].
\item  On désigne par A le point de la courbe $\mathcal{C}_f$ d'abscisse 1. On note $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point A.

Déterminer une équation de la droite $T$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4 portant sur l'enseignement renforcé }\hfill 7 points}

\medskip

La rédaction d'un magazine culturel se réunit pour évoquer l'évolution du nombre d'abonnés depuis
sa création et établir des prévisions sur cette évolution. Les données sur les six dernières années
sont indiquées dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2011 	&2012 	&2013 	&2014 	&2015 	&2016\\ \hline
Rang de l'année : 	$x_i$& 1 	&2 		&3 		&4 		&5 		&6\\ \hline
Nombre d'abonnés 
au 1\up{er} janvier :$y_i$&427 	&\np{1052}&\np{1483} &\np{1875}&\np{2158}&\np{2202}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à cette série est représenté ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,yunit=0.0025cm}
\begin{pspicture}(-1,-300)(8.5,3300)
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,3200)}
\multido{\n=0+400}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=400](0,0)(0,0)(8.5,3300)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5,linewidth=1.5pt](1,417)(2,1052)(3,1483)(4,1875)(5,2158)(6,2202)
\uput[d](7.5,-200){Rang de l'année}\rput{90}(-1.5,2300){nombre d'abonnés au 1\up{er} janvier}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie 1}

Dans un premier temps le modèle retenu par la rédaction est un ajustement affine.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant la calculatrice, donner l'équation de la forme $y = ax + b$ de la droite $\mathcal{D}$
d'ajustement de $y$ en $x$ du nuage de points, obtenue par la méthode des moindres carrés.

Aucune justification n'est demandée. Les valeurs de $a$ et $b$ seront arrondies à l'unité.
\item  À l'aide de ce modèle et en expliquant la démarche :
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une estimation du nombre d'abonnés au 1\up{er} janvier en 2018.
		\item Déterminer une estimation de l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnés au 1\up{er}
janvier sera supérieur à \np{4000}.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
	
\bigskip
	
\textbf{Partie 2}

\medskip

Un journaliste de la rédaction fait remarquer que le dernier point du nuage se distingue.

La rédaction choisit de modéliser l'évolution du nombre d'abonnés au 1\up{er} janvier jusqu'en 2030 par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~20] par 

\[f(x) = \np{2262}\frac{\text{e}^x}{\text{e}^x + 10} ,\]

où $x$ modélise le rang de l'année mesuré à partir de 2010.

Ainsi, pour $n$ entier naturel non nul et inférieur ou égal à $20$,\: $f(n)$ est une estimation du
nombre d'abonnés au 1\up{er} janvier de l'année $2010 + n$.

Une partie de la représentation graphique de la fonction $f$ est tracée ci-dessous avec le nuage
points associé à la série:

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm,yunit=0.0025cm}
\begin{pspicture}(-1,-300)(8.5,3300)
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,3200)}
\multido{\n=0+400}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=400](0,0)(0,0)(8.5,3300)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,417)(2,1052)(3,1483)(4,1875)(5,2158)(6,2202)
\uput[d](7.5,-200){Rang de l'année}\rput{90}(-1.5,2300){nombre d'abonnés au 1\up{er} janvier}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{6.5}{2262 2.71828 x exp mul 2.71828 x exp 10 add div}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Estimer pour ce modèle le nombre d'abonnés au 1\up{er} janvier 2018.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~20].

Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~20] on a :

\[f'(x) = \np{22620} \dfrac{\text{e}^x}{\left(\text{e}^x + 10 \right)^2}.\]

\item  En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~20].
\item  Un journaliste affirme que selon ce modèle, le nombre d'abonnés au 1\up{er} janvier ne
dépassera jamais \np{2300} avant 2030. Cette affirmation est-elle exacte ?
\end{enumerate}
\end{document}