\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{ulem}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{lscape}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat TMD},
pdftitle = {Métropole 17 juin 2015},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{fancyhdr} 
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{17 juin  2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 17 juin 2015~\decofourright\\[4pt]Technique de la musique et de la danse}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traitera trois exercices :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 1
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 2
\item[$\bullet~~$] Au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Chaque réponse juste rapporte un point. Une mauvaise réponse, une absence de réponse ou plusieurs réponses ne donne aucun point et n'en enlève aucun.}

\medskip

\emph{Les parties \text{I} et \text{II} sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

L'arbre pondéré ci-dessous a été construit à partir d'une expérience aléatoire. On désigne par $A$ et $B$ deux évènements, $\overline{A}$ et $\overline{B}$ leurs évènements contraires.
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{$A$~}\taput{0,35}}
	{\Tr{$B$}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{0,3}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~}\tbput{\ldots}}
	{\Tr{$B$}\taput{0,2}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{\ldots}
	}
}

\end{center}

\emph{Les valeurs des probabilités proposées ci-dessous ont été arrondies à $0,001$ près si nécessaire.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité de l'évènement $A \cap B$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}0,105 &\textbf{b.~~}0,7 &\textbf{c.~~}0,245
\end{tabularx}
\medskip

\item La probabilité de l'évènement $B$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}0,375 &\textbf{b.~~}0,9 &\textbf{c.~~}0,395
\end{tabularx}
\medskip

\item La probabilité de l'évènement $A$, sachant que l'évènement $B$ est réalisé, est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}0,245 &\textbf{b.~~}0,653 &\textbf{c.~~}0,7
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{Partie II}

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{On considère une fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-4~;~3]$.

\smallskip

On a tracé sa représentation graphique $\mathcal{C}_g$ ci-contre dans un
repère du plan ainsi que la tangente $T$ à cette courbe au point A d'abscisse 2.

\smallskip

On note $g'$ la fonction dérivée de $g$ sur l'intervalle $[-4~;~3]$.}\hfill
\parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-4)(3.5,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-3.99)(3.5,8.99)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{3}{x 2 mul x 3 exp 3 div sub x dup mul 2 div sub 11 3 div add}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.pt]{-4}{3}{11 4 x mul sub}
\uput[r](-3.5,5){\blue $\mathcal{C}_g$}\uput[ur](2,3){A}\uput[ur](1,7){$T$}
\psdots(2,3)
\end{pspicture*}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'intervalle $[-4~;~3]$ l'équation $g(x) = 1$ admet

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}1 solution &\textbf{b.~~}3 solutions&\textbf{c.~~} 4 solutions
\end{tabularx}
\medskip
\item  Le nombre dérivé de la fonction $g$ en 2, $g'(2)$, vaut

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $- 4$&\textbf{b.~~}$- \dfrac{1}{4}$&\textbf{b.~~} $3$
\end{tabularx}
\medskip

\item   Parmi les représentations graphiques ci-dessous, une courbe pouvant représenter la fonction dérivée $g'$ est

\newpage
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} la courbe 1 &\textbf{b.~~} la courbe 2 &\textbf{c.~~} la courbe 3\\
\psset{unit=0.45cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-14)(3.5,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4.5,-13.9)(3,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{3}{x 3 exp 3 div  x dup mul 4 div  sub 1.5 x mul sub 11 3 div sub}
\end{pspicture*}&\psset{unit=0.45cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-12)(3.5,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](-4.5,-10)(3.5,3)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4,-10)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-4}{3}{2 x  sub x dup mul  sub }
\end{pspicture*}&\psset{unit=0.45cm}
\begin{pspicture*}(-5,-10)(3,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](-5,-2)(3,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-5,-2)(3,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.46}{3}{x 2 add dup mul  x 2.5 add mul}
\end{pspicture*}
\end{tabularx}

\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 7 points}

\medskip

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]On désigne par log la fonction logarithme décimal.
\item[$\bullet~~$]Si un son possède une intensité sonore $I$ (exprimée en W.m$^{-2}$), son niveau sonore $L(I)$ est exprimé en décibels (dB) par $L(I) = 10 \log \left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ avec

$I_0 =  10^{- 12}$ W.m$^{- 2}$.
\item[$\bullet~~$]La différence de hauteur entre deux notes de fréquences $f_1$ et $f_2$ (avec $f_1 < f_2$) exprimées en hertz (Hz) est le nombre $\np{1000} \log \left(\dfrac{f_2}{f_1}\right)$ exprimé en savarts.
\item[$\bullet~~$]Les questions font référence à la gamme de tempérament égal.
\end{itemize}
 
\medskip
 
Dans cette gamme :

\medskip
 
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item L'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes; cela se traduit
mathématiquement par le fait que la suite des fréquences des notes est géométrique de raison
$q$, où $q$ est le nombre réel strictement positif tel que : $q^{12} = 2$.
\item Les notes d'une octave sont : DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI.
\item À chaque octave est associé un indice $n$, qui est un entier naturel ; les notes d'une octave portent l'indice de cette octave ; ainsi LA$_3$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et LA$_4$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus de l'octave d'indice 3.
\item La fréquence de la note LA$_3$ est 440 Hz.
\item Une tierce majeure contient 4 demi-tons, une quarte contient 5 demi-tons.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On rajoute une quarte à la note LA$_3$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la note obtenue ?
		\item Calculer la fréquence, exprimée en hertz, de la note obtenue. Donner une réponse
arrondie à l'unité.
	\end{enumerate}
\item  Julien prétend qu'en ajoutant des tierces majeures à la note DO, il peut obtenir toutes les
notes (DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI). Julien a-t-il raison ?
	
Justifier votre réponse.
\item  Une guitare classique a un niveau sonore d'environ $85$~dB. Quelle est son intensité sonore $I_G$ exprimée en W.m$^{-2}$ ?
\item  À partir du LA$_3$ on monte jusqu'à une note de fréquence $987$~Hz.
	\begin{enumerate}
		\item De combien de demi-tons est-on monté ?
		\item Calculer, en savarts, la différence de hauteur entre ces deux notes. Arrondir à l'unité.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} Enseignement obligatoire (au choix) \hfill 7 points}

\medskip
 
On désigne par $I$ l'intervalle [1~;~7].
 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I$ par : 
 
\[f(x)= \dfrac{x^2}{2}\left(\dfrac{3}{2} - \ln (x)\right)\]
 
où $\ln (x)$ désigne le logarithme népérien du nombre réel $x$.

On note e le nombre réel vérifiant $\ln (\text{e}) = 1$.

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, d'unité graphique 1~centimètre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte de $f(1)$ et de $f(\text{e})$.
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$,\: $f'(x) = x(1 - \ln(x))$.
		\item Résoudre dans l'intervalle $I$,

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]l'équation $1 - \ln (x) = 0$
\item[$\bullet~~$]puis l'inéquation  $1 - \ln (x) > 0$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur $I$.
	\end{enumerate}
\item On note $(T)$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse 1.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser le coefficient directeur de la droite $(T)$.
		\item Déterminer une équation de la tangente $(T)$.
	\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau ci-dessous: on donnera les valeurs approchées arrondies au centième.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
$x$		&1	& 2	& 3	& 4	& 5	& 6	& 7\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans le repère \Oij, tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $(T)$ sur une feuille de papier millimétré.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre par le calcul l'équation $f(x) = 0$, dans l'intervalle $I$.
		\item En déduire le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$ dans l'intervalle $I$.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} Enseignement renforcé (au choix) \hfill 7 points}

\medskip
 
On désigne par $I$ l'intervalle $[-1~;~2]$ et on note e le nombre réel vérifiant $\ln (\text{e}) = 1$.
 
 \smallskip
 
On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$ par : 
 
\[f(x) = \text{e}x - \text{e}^x + 2.\]
 
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté au repère orthonormé \Oij, d'unité graphique 2~centimètres.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f(0) = 1$.
\item Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'intervalle $I$,

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] l'équation $\text{e} - \text{e}^x = 0$
\item[$\bullet~~$] puis l'inéquation $\text{e} - \text{e}^x > 0.$
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

		\item Établir le tableau de variation de $f$.
		\item La courbe $\mathcal{C}$ admet-elle une tangente parallèle à l'axe des abscisses ? Si oui, préciser en quel(s) pointes).
		\item Recopier et compléter le tableau suivant en donnant les valeurs approchées au centième près :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$- 1$ 	&$- 0,5$& 0	&0,5&1 	&1,5&2\\ \hline
$f(x)$	&		&		& 1	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item Dans le repère \Oij, tracer la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $I$ par 
		
\[F(x) = \text{e}\dfrac{x^2}{2} - \text{e}^x + 2x\]
		
est une primitive de la fonction $f$.
		\item Hachurer sur le graphique le domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations : $x = 0$ et $x = 2$.
		\item Calculer l'aire exacte en cm$^2$ de ce domaine puis en donner une valeur approchée au mm$^2$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
