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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourright\\
Métropole juin 2009}}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip
 
\emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie, sans justification, la réponse choisie.\\ 
Chaque réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou une absence de réponse est comptée $0$ point.}

\medskip
 
Une boîte de jeu est constituée de cartes comportant chacune une question. Chaque question porte soit sur le thème \og Musique \fg, soit sur le thème \og Danse \fg. Le quart des questions porte sur le thème \og Musique \fg{} et le reste porte sur le thème \og Danse \fg. Claire et Élise, deux élèves de Terminale TMD, jouent à ce jeu. Élise tire une carte au hasard dans la boîte, puis pose la question à Claire. Chaque carte a la même probabilité d'être tirée.
 
On sait que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  Lorsque l'on pose à Claire une question sur le thème \og Danse \fg, la probabilité que Claire 
réponde correctement est $\dfrac{3}{5}$. 
\item[$\bullet~$] Lorsque l'on pose à Claire une question sur le thème \og Musique \fg, la probabilité que Claire 
réponde correctement est $\dfrac{2}{3}$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $D$ : \og la question posée porte sur le thème Danse \fg{} ; 
\item $M$ : \og la question posée porte sur le thème Musique\fg{} ;
\item $C$ : \og Claire répond correctement à la question posée \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip
 
Dans cet exercice, $A$ et $B$ étant deux évènements, la probabilité de l'évènement A se note $P(A)$ et la probabilité conditionnelle de l'évènement $A$ sachant $B$ se note $P_{B}(A)$.

\smallskip
 
On pourra s'aider d'un arbre de probabilité.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  La probabilité que la question posée à Claire porte sur le thème \og Musique \fg{} est : 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.} $\qquad \dfrac{1}{2}$&\textbf{b.} $\qquad \dfrac{1}{4}$&\textbf{c.} $\qquad \dfrac{2}{3}$\\
\end{tabularx}
\end{center} 


\item  La fraction $\dfrac{2}{3}$ de l'énoncé est égale à la probabilité: 
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.} $\qquad P(C \cap M)$&\textbf{b.} $\qquad  P_{\text{C}}(M)$ &\textbf{c.} $\qquad P_{M}(C)$\\
\end{tabularx}
\end{center} 

\item La probabilité que la question posée porte sur le thème \og Musique \fg{} et que Claire y réponde correctement est : 

\medskip

\begin{center}\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.} $\qquad \dfrac{1}{6}$&\textbf{b.} $\qquad \dfrac{3}{4}$&\textbf{c.} $\qquad \dfrac{1}{2}$\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item La probabilité que Claire ne réponde pas correctement à la question posée 
\medskip

\begin{center}\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.} $\qquad \dfrac{37}{60}$&\textbf{b.} $\qquad \dfrac{23}{60}$&\textbf{c.} $\qquad \dfrac{1}{12}$\\
\end{tabularx}
\end{center}
 
\item Sachant que Claire n'a pas répondu correctement à la question posée, la probabilité pour que la question posée porte sur le thème \og Musique \fg{} est : 
 
\medskip

\begin{center}\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.} $\qquad \dfrac{5}{23}$&\textbf{b.} $\qquad \dfrac{1}{12}$&\textbf{c.} $\qquad \dfrac{1}{3}$\\
\end{tabularx}
\end{center} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}

\medskip

$\bullet~$ Dans la gamme de tempérament égal :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  l'octave est divisée en 12 demi-tons par le fait que la suite des fréquences des notes est une suite géométrique de raison $q$, où $q$ est le  nombre réel strictement positif tel que $q^{12} =  2$ ; 
\item  une quinte juste contient sept demi-tons ;
\item  les notes d'une octave sont: DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI ;
\item  à chaque octave est associé un indice $n$ entier naturel ; les notes d'une octave portent l'indice de  cette octave ; ainsi LA$_{3}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et LA$_{4}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au dessus de l'octave d'indice 3 ; 
\item  la fréquence, exprimée en hertz (Hz), de la note LA$_{3}$ est $440$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
$\bullet~$ On rappelle que log désigne la fonction logarithme décimal et que pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs :

\[ \log (ab) = \log a + \log b~~ \text{et}~~ \log \left(\dfrac{a}{b}\right) = \log a - \log b.\] 
  
$\bullet~$ Un son d'intensité sonore $I$, exprimée en W.m$^{-2}$, a un niveau sonore L($I$), exprimé en décibels (dB), défini par L$(I) = 10\log \left(\dfrac{I}{I_{0}}\right)$ où $I_{0} = 10^{-12}$ W.m$^{-2}$. 

\medskip

Les questions l, 2 et 3 concernent la gamme de tempérament égal.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On ajoute une quinte juste à la note LA$_{3}$·
	\begin{enumerate}
		\item Quelle note obtient-on ? 
		\item Calculer la fréquence, exprimée en hertz, de la note obtenue. Donner la valeur arrondie à l'unité.
	\end{enumerate} 
\item En ajoutant une quinte juste à une note, on obtient la note LA$_{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item De quelle note est-on parti ? 
		\item Calculer la fréquence, exprimée en hertz, de cette note. Donner la valeur arrondie à l'unité.
	\end{enumerate}		 
\item Le rapport de fréquences $f_{1}$ et $f_{2}$, exprimées en hertz, de deux notes est de l'ordre de \nombre{2,3784}.
 
On désigne par $n$ le nombre de demi-tons qui séparent les deux notes. 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que résoudre l'équation $2^{\frac{n}{12}} = \nombre{2,3784}$ permet de trouver le nombre $n$. 
		\item  En déduire le nombre entier $n$.
	\end{enumerate} 
\item  Un son a une intensité sonore $I_{1}$, égale à $3,7 \times 10^{-6}$ W.m$^{-2}$. Calculer son niveau sonore L$\left(I_{1}\right)$. On donnera le résultat à 1~dB près. 
\item Un son d'intensité sonore $I_{2}$ a un niveau sonore L$\left(I_{2}\right)$ égal à $45$~dB. Déterminer une valeur approchée à $10^{-8}$ près de l'intensité sonore $I_{2}$ exprimée en W.m$^{-2}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 7 points} 

\textbf{Enseignement obligatoire (au choix)}
 
On désigne par I l'intervalle [1~;~9].
 
On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, par : 
\[f(x) = 10 \times  \dfrac{\ln (x) - 1}{x}~~ \text{où}~ \ln (x)~ \text{désigne le logarithme népérien du nombre}~ x.\]
 
On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle I et par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm. 

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, $f'(x) = 10 \times  
\dfrac{2 - \ln (x)}{x^2}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre, dans l'intervalle I, l'équation $2 - \ln (x) = 0$ puis l'inéquation 
		
$2 - \ln (x) > 0$. 
		\item En déduire, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre, dans l'intervalle I, l'équation $f(x) = 0$. Donner la valeur exacte de la solution. 
		\item  Que peut-on en déduire graphiquement pour la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ ?
	\end{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant. On donnera dans chaque cas la valeur décimale arrondie au centième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1	&2	&e	&3	&4	&5	&7	&9\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\item Construire, dans le repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm, la courbe $\mathcal{C}$, ainsi que la tangente parallèle à l'axe des abscisses. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}  \hfill 7 points} 

\textbf{Enseignement renforcé (au choix)}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} où l'unité graphique est 2~cm.
 
\begin{enumerate}
\item  On considère le point M$_{1}$ d'affixe $z_{1} = 1 - \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Placer le point M$_{1}$ dans le repère \Ouv. 
		\item  Calculer le module et un argument du nombre complexe $z_{1}$.
	\end{enumerate} 
\item On considère le nombre complexe $z_{2}$ de module 2 et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$ et M$_{2}$ le point d'affixe $z_{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point M$_{2}$ dans le repère \Ouv.
		 
On laissera apparents les traits de construction. 
	\item Écrire le nombre complexe $z_{2}$ sous la forme algébrique $a + \text{i} b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que  $\dfrac{z_{2}}{z_{1}} = \left(\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}\right) + \text{i}\left(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$. 
		\item En utilisant le résultat de la question 1. b., prouver que le nombre complexe $\dfrac{z_{2}}{z_{1}}$ a pour  module $\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{7\pi}{12}$. 
		\item Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$ et de $\sin \left(\dfrac{7\pi}{12}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \end{document} 
