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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{19 juin  2014}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 19 juin  2014~\decofourright\\[4pt]Technique de la musique et de la danse}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traitera trois exercices :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 1
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 2
\item[$\bullet~~$] Au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip
 
Dans un conservatoire de musique des élèves se présentent à l'examen instrumental final. 

50\,\% d'entre eux disposent d'une console de jeux vidéo.

\smallskip
 
Lors de l'examen instrumental final certains élèves souffrent d'une tendinite les empêchant d'exécuter au mieux leur morceau d'étude. Il s'agit :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] de 10\,\% des élèves ne disposant pas d'une console de jeux et, 
\item[$\bullet~~$] de 40\,\% des élèves disposant d'une console de jeux.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On choisit au hasard un candidat se présentant à l'examen instrumental final. 

Chaque candidat a la même probabilité d'être choisi.
 
On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] $C$ : \og le candidat choisi dispose d'une console de jeux vidéo, \fg 
\item[ ] $T$ : \og le candidat choisi souffre de tendinite le jour de l'examen final. \fg
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\emph{On note $p(E)$ la probabilité d'un évènement $E$ et $p_{E}(F)$ la probabilité d'un évènement $F$ sachant qu'un évènement $E$ est réalisé.\\
On note $\overline{C}$ et $\overline{T}$ les évènements contraires de $C$ et $T$.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En utilisant l'énoncé, donner les valeurs de $p(C),\: p_{\overline{C}}(T)$ et $p_{C}(T)$. 
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré. 
\item Calculer la probabilité que le candidat dispose d'une console de jeux vidéo et soit atteint de tendinite le jour de l'examen final. 
\item Prouver que $p(T) = 0,25$. 
\item Sachant que le candidat souffre de tendinite le jour de l'examen final, quelle est la probabilité qu'il dispose d'une console de jeux vidéo ? 
\item Les évènements $C$ et $T$ sont-ils indépendants ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un QCM}

\medskip
 
\emph{Pour chaque question. une seule des trois réponses proposées est exacte, Le candidat indiquera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question et la réponse choisie.\\
Chaque réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou une absence de réponse est comptée zéro point.}
 
\smallskip
  
Dans cet exercice on désigne par log la fonction logarithme décimal.

\medskip
 
\textbf{Rappels :}
 
Dans la gamme de tempérament égal:

\setlength\parindent{5mm}
 \begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Une octave est divisée en 12 demi-tons égaux séparant les notes ; ainsi la suite des fréquences des notes est une suite géométrique de raison $q$, où $q$ est le réel strictement positif tel que: $q^{12} = 2$. 
\item[$\bullet~~$] Une quatre juste contient cinq demi-tons. Une quinte juste contient sept demi-tons. 
\item[$\bullet~~$] Les notes d'une octave sont: DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI. 
\item[$\bullet~~$] À chaque octave est associé un indice $n$ entier naturel ; les notes d'une octave portent l'indice de cette octave ; ainsi SOL$_{2}$ correspond à la note SOL de l'octave d'indice 2 et SOL$_{3}$ correspond à la note SOL de l'octave d'indice 3 située au-dessus de l'octave d'indice 2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On rappelle de plus :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Lorsque deux sons ont pour fréquences respectives $f_{1}$ et $f_{2}$ exprimées en hertz (Hz), avec $f_{1} < f_{2}$, alors la mesure de l'intervalle entre ces deux sons, exprimée en savarts, est le nombre $10^3\log \left(\dfrac{f_{2}}{f_{1}}\right)$.  
\item[$\bullet~~$] Si $I$ est l'intensité sonore (exprimée en W,m$^{-2}$) d'un son, alors son niveau sonore exprimé en décibels (dB) est   $L(I)$ défini par : $L(I) = 10 \log \left(\dfrac{I}{I_{0}}\right)$  avec $I_{0} = 10^{-12}$~W.m$^{-2}$. 
\item[$\bullet~~$] Les intensités sonores s'ajoutent.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En partant de la note SOL, on ajoute quatre quartes justes et trois quintes justes, Quelle note obtient-on ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}  SI& \textbf{b.~~}  DO\# &\textbf{c.~~}  DO
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Quel est le nombre minimum de quartes justes à ajouter à la note FA pour obtenir la note LA?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} 6& \textbf{b.~~} 7&\textbf{c.~~} 8
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Quelle est la mesure en savarts (arrondie au dixième près) de l'intervalle entre les notes LA$_{3}$ et MI$_{5}$ ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~}  476,6& \textbf{b.~~}  610,4& \textbf{c.~~}  299,4
\end{tabularx}
\medskip
 
\item L'intensité sonore correspondant à un niveau sonore de cinquante décibels est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} $2 \times 10^{- 6}$~W.m$^{- 2}$&\textbf{b.~~} $10^{- 7}$~W.m$^{- 2}$&
\textbf{c.~~} \np{0,0001}~W.m$^{- 2}$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item L'intensité d'un signal sonore est multipliée par quatre. De combien de décibels augmente son niveau sonore ? 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}  4 dB& \textbf{b.~~}  $10^4$ dB& \textbf{c.~~}  $10 \log 4$ dB
\end{tabularx}
\medskip
 
\item À deux kilomètres le niveau sonore d'une éolienne d'une commune est de 25~dB. 

Combien peut-on installer au maximum de telles éoliennes à deux kilomètres pour ne pas dépasser 40~dB ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~}  31 &
\textbf{b.~~}  30 &
\textbf{c.~~} 33
\end{tabularx}
\medskip
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 8 points}

\textbf{Enseignement obligatoire (au choix)}

\medskip
 
On désigne par I l'intervalle [0,5~;~8].
 
On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle I par: 

\boldmath\[ f(x) =  - \dfrac{3}{2}\ln (x) + \dfrac{1}{4} x^2 - x + 3, \]\unboldmath

où $\ln (x)$ désigne le logarithme népérien de $x$.
 
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormé \Oij, d'unité graphique 2~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle I, $f'(x) = \dfrac{(x + 1)(x - 3)}{2x}$. 
		\item Étudier, selon les valeurs de $x$ dans l'intervalle I, le signe de $f'(x)$. 
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&0,5&1&2& 3& 4& 5& 6& 7& 8\\ \hline
$f(x)$&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\emph{Les valeurs seront arrondies à $0,1$ près.}
 
\item On note (T) la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur du coefficient directeur de la droite (T) ? 
		\item Déterminer une équation de la tangente (T).
	\end{enumerate} 
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente (T) dans le repère \Oij. Utiliser la feuille de papier millimétré fournie.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}  \hfill 8 points}

\textbf{Enseignement renforcé (au choix)}

\medskip
	 
Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique 1~cm. On note I l'intervalle [0,5~;~10].

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction dérivable et définie sur l'intervalle I, par : 

\[f(x) = x - 1 - \ln (x)\]

 où $ln (x)$ désigne le logarithme népérien de $x$.
 
 \medskip
  
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle I, $f'(x) = \dfrac{x - 1}{x}$. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier, selon les valeurs de $x$ dans l'intervalle I, le signe de $f'(x)$ sur I. 
		\item En déduire le tableau des variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}		
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous (on donnera les valeurs arrondies à $0,1$ près).
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,5&1	&2	&3,5&5 	&6 	&7 	&8 	&9 	&10\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij{} d'unité graphique 1~cm sur la feuille de papier millimétré fournie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère $F$ la fonction dérivable et définie sur l'intervalle I par : 
 
\[F(x) = \dfrac{x^2}{2} -  x \ln (x).\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle I.  
		\item On pose $S = \displaystyle\int_{1}^{10} f(x)\:\text{d}x$.
		 
Calculer la valeur exacte de $S$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique de la question 3. b. de la Partie A, hachurer le domaine du plan délimité par  l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et situé entre les droites d'équation $x = 1$ et $x = 10$. 
		\item Donner une valeur de l'aire, exprimée en cm$^2$, de ce domaine.
		 
Arrondir à l'unité.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}