\documentclass[10pt,a4paper]{article}		
\usepackage[T1]{fontenc}	
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}		
\usepackage[french]{babel}	
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\usepackage{multicol}
%\usepackage{adforn}
\usepackage{color}			
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
\usepackage{tabularx}
%\usepackage{tkz-euclide,tkz-tab}
%\usepackage{nccrules}
%\usepackage{fourier}
\usepackage{pst-all,pst-eucl}
\usepackage{textcomp} 
\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
%% TMD sujet 2019 10 septembre Tapuscrit : Willy Viriot
%% Relecture : François Hache
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{}
\rfoot{\small{10 septembre 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\decofourleft {\Large ~\textbf{Baccalauréat  -- Terminale TMD 10 septembre 2019}}~\decofourright
\end{center}
%\normalsize

\vspace{0.5cm}

{\bfseries EXERCICE 1 \hfill 6 points}

\medskip

À un concours de musique, 70\,\% des candidats sont des filles. Les candidats choisissent de jouer au concours soit du piano, soit du violon, soit de la flûte traversière. Parmi les filles, 60\,\% jouent du piano et 30\,\% du violon. Parmi les garçons, 70\,\% jouent du piano et 15\,\% du violon.

\begin{list}{\textbullet}{On choisit au hasard un candidat à ce concours et on note:}
\item $F$ l'évènement \og le candidat est une fille \fg{} ;
\item $T$ l'évènement \og le candidat joue de la flûte traversière \fg{} ;
\item $V$ l'évènement \og le candidat joue du violon \fg{} ;
\item $P$ l'évènement \og le candidat joue du piano \fg{}.
\end{list}

\medskip

\fbox{
\parbox{\linewidth}{
\emph{On rappelle que $B$ étant un évènement de probabilité non nulle, $P_B ( A )$ est la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.
$\overline{B}$ est l'évènement contraire de $B$.}
}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La situation de l'exercice est modélisée par l'arbre pondéré représenté ci-dessous.
Reproduire cet arbre en complétant les probabilités manquantes.

\begin{center}
\bigskip
{\small
\psset{levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm,treemode=R,nodesepA=0pt}
\pstree{\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$F$}\ncput*{$0,7$}}
	                        {
	                        \TR{$P$}\ncput*{$0,6$}
			                \TR{$V$}\ncput*{\dots}
		                    \TR{$T$} \ncput*{\dots}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{F}$}\ncput*{\dots}}
                            {
	                        \TR{$P$}\ncput*{\dots}
	                        \TR{$V$}\ncput*{\dots}
	                        \TR{$T$} \ncput*{\dots}
	                        }
      }
}% fin du \small
\bigskip
\end{center}

\item À partir de l'énoncé, donner les probabilités suivantes :
\begin{enumerate}
\item $P ( F )$
\item $P_F ( P )$
\end{enumerate}

\item Traduire par une phrase, dans le contexte de l'énoncé, l'évènement $F \cap T$ et calculer sa probabilité.
\item Justifier que la probabilité $P ( T )$ est égale à 0,115.
\item Sachant que le candidat joue de la flûte traversière, calculer la probabilité que ce soit une fille. On donnera le résultat sous forme décimale arrondie au centième.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

{\bfseries EXERCICE 2 \hfill 7 points}

\emph{Dans cet exercice, on note $\ln$ la fonction logarithme népérien. On rappelle que $\ln(\e) =1$.}

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left[\frac{1}{2}~;~5\right]$. On désigne par $f'$ sa fonction dérivée.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère orthonormé \Oij{} ci-dessous.

La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $x = \e$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm, yunit=1.5cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {6}
\def\ymin {-3}   \def\ymax {5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=2, gridlabels=0, gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)[$x$,-120][$y$,210] 
\uput[dl](0,0){O}
\def\f{x x ln 1 sub mul 1 add}%          définition de la fonction
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=red]{0.5}{5}{\f}%  tracé de la courbe
\uput[ul](4.4,3.1){\red $\mathcal{C}$}
\psline[linestyle=dashed](2.7183,0)(2.7183,1)(0,1)
\uput[d](2.7183,0){e} \uput[100](2.7183,1){A}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{-0.5}{5.5}{x 1.7183 sub}%  tracé de la droite
\uput[dr](4.55,2.8){\blue $T$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les réponses aux questions suivantes seront données avec la précision permise par la lecture du graphique. Aucune justification ni aucun calcul ne sont attendus.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $f\left(\frac{1}{2}\right)$.
		\item Donner l'antécédent de 2 par $f$ sur l'intervalle $\left[\frac{1}{2}~;~5\right]$.
		\item Donner l'ordonnée à l'origine de la droite $T$.
		\item Donner le coefficient directeur de la droite $T$.
	\end{enumerate}
\item On admet dans toute la suite de l'exercice que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\left[\frac{1}{2}~;~5\right]$ par l'expression : $f(x) = x \ln( x )-x+1$.

Justifier que $f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}\ln(2)+\frac{1}{2}$.
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[\frac{1}{2}~;~5\right]$, $f'(x)=\ln(x)$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\left[\frac{1}{2}~;~5\right]$, puis construire le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\left[\frac{1}{2}~;~5\right]$.
\item Justifier que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution $\alpha$ appartenant à l'intervalle $\left[1~;~5\right]$.
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $x = \e$ .
\end{enumerate}

\newpage

{\bfseries EXERCICE 3 -- Obligatoire\hfill 7 points }

\medskip

\fbox{
\parbox{\linewidth}{
\textbf{Rappels}\rule{0pt}{13pt}

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Dans la gamme de tempérament égal, l'octave est divisée en 12 demi-tons égaux séparant les notes : DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI. \\
Quand on monte d'un demi-ton, la fréquence de la note, exprimées en hertz (Hz), est multipliée par $q = 2^{\frac{1}{12}}$.
\item[$\bullet~~$] À chaque octave est associée un entier naturel $n$ appelé indice et les notes d'une octave portent l'indice de cette octave. Ainsi le LA$_3$ (le LA du diapason) correspond à la note LA de l'octave d'indice 3, le LA$_4$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus de l'octave d'indice 3.\\
La fréquence de LA$_3$ est 440 Hz.
\item[$\bullet~~$] Si un son possède une intensité sonore $I$ (exprimée en W.m$^{-2}$), son niveau sonore est exprimé en décibels (dB) par :
\[N(I) = 10 \log \left(\dfrac{I}{I_0}\right)\: \text{ où }\:I_0 = 10^{-12} \text{W.m}^{-2} \text{ et log désigne la fonction logarithme décimal.}\]
\item[$\bullet~~$] On rappelle que les intensités sonores s'ajoutent.
\item[$\bullet~~$] Pour deux notes de fréquences respectives $f_1$ et $f_2$, avec $f_2 \geqslant  f_1$, la différence de hauteur de ces notes, exprimée en savarts, est égale à $\np{1000} \log \left(\dfrac{f_2}{f_1}\right)$.
\item[$\bullet~~$] Une quarte juste contient cinq demi-tons. Une quinte juste en contient sept.\rule[-7pt]{0pt}{0pt}
\end{itemize}
}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À partir du LA$_3$ , on monte de trois quartes justes. Justifier que la note obtenue est le DO$_5$.
		\item Montrer que la fréquence de la note obtenue est égale à \numprint{1047} Hz, arrondie à l'unité.
		\item Calculer la différence de hauteur, exprimée en savarts et arrondie à l'unité, entre ces deux notes.
	\end{enumerate}
\item On admet que l'intensité sonore moyenne d’une guitare classique est égale
à $3, 2\times 10^{-5}$ W.m$^{-2}$. Calculer le niveau sonore moyen d’une guitare classique, arrondi à l'unité.
\item On admet que le niveau sonore moyen d’une clarinette est de 90 dB. Montrer que l'intensité sonore moyenne d’une clarinette est égale à $10^{-3}$ W.m$^{-2}$.
\item On admet que l'intensité sonore moyenne d’un trombone est égale à $3, 2\times 10^{-3}$~W.m$^{-2}$. 

Léa affirme qu'un pupitre de $8$ clarinettes jouant ensemble, joue avec le même niveau sonore
moyen qu'un pupitre de $3$ trombones jouant ensemble.

Indiquer si l'affirmation de Léa est juste. Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

{\bfseries EXERCICE 4 -- Renforcé  \hfill 7 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv.

On note $\i$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text A}$, $z_{\text B}$ et $z_{\text C}$ définis par:

\[ z_{\text A}= \sqrt{3}-\i, \quad z_{\text B}=3\i  \text{ et }  z_{\text C} = z_{\text A} \times z_{\text B}.\]

Les constructions demandées dans la suite de l'exercice seront réalisées sur une même figure en prenant pour unité graphique 1 cm.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point B dans le repère orthonormé \Ouv.
		\item Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe $z_{\text B}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument du nombre complexe $z_{\text A}$.
		\item Construire le point A dans le repère orthonormé \Ouv.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text C}$.
		\item Construire le point C dans le repère orthonormé \Ouv.
		\item Justifier que le triangle AOC est rectangle en O.
		\item Calculer la longueur AC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}