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% Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technologique, techniques de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{6 septembre 2018}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat technologique TMD Métropole~\decofourright\\[5pt]6 septembre 2018}}
 
\end{center}

\vspace{0,75cm}

Le candidat traitera \textbf{{\large trois} \textsc{exercices} }:

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] \textbf{ Obligatoirement l'exercice1}
\item[$\bullet~~$] \textbf{ Obligatoirement l'exercice 2}
\item[$\bullet~~$] \textbf{ L’exercice} 3 (qui porte sur le programme de l’enseignement obligatoire)

\textbf{\large OU} \textbf{ l’exercice} 4 (qui porte sur le programme de l’enseignement renforcé.
\end{itemize}

\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Le candidat indiquera clairement son choix sur la copie.}

\medskip

L'annexe est à rendre avec la copie.

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 7 points}

\vspace{0.5cm}

Un club de loisirs propose des activités artistiques et compte $150$ inscrits :

\medskip
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]15 inscrits en chant ;
\item[$\bullet~~$]75 en danse;
\item[$\bullet~~$]60 en graphisme.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Chaque inscrit pratique une et une seule activité.

Parmi les inscrits en chant, 40\,\% sont des filles.

Parmi les inscrits en danse, 68\,\% sont des filles.

Parmi les inscrits en graphisme, 20\,\% sont des filles.

On choisit au hasard un inscrit de ce club. Chaque inscrit a la même probabilité d'être choisi.

On note $F$ l'évènement: \og l'inscrit est une fille \fg,\\
\phantom{On note }$C$ l'évènement: \og l'inscrit pratique le chant \fg,\\
\phantom{On note }$D$ l'évènement: \og l'inscrit pratique la danse \fg,\\
\phantom{On note }$G$ l'évènement: \og l'inscrit pratique le graphisme \fg.

\medskip

\emph{On note $p(A)$ la probabilité d'un évènement $A$.\\
$B$ étant un évènement de probabilité non nulle, on note $p_B(A)$ la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.\\
On note $\overline{B}$ l'évènement contraire d'un évènement $B$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner à partir de l'énoncé :
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité $P(G)$ de l'évènement $G$.
		\item La probabilité $P_G(F)$ de l'évènement $F$ sachant que l'évènement $G$ est réalisé.
	\end{enumerate}
\item  Construire un arbre pondéré représentant la situation.
\item  Calculer la probabilité que l'inscrit soit une fille et qu'elle pratique le chant.
\item  Justifier que la probabilité que l'inscrit soit une fille est égale à $0,46$.
\item  Sachant que l'inscrit est une fille, calculer la probabilité qu'elle pratique le chant. On arrondira
le résultat à $10^{-3}$ près.
\item  Les évènements $D$ et $F$ sont-ils indépendants ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 7 points}

\vspace{0.5cm}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par 

\[f(x) = \dfrac{x^3}{\text{e}^x}.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~4] et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.

Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~4], on a

\[ f'(x)= \dfrac{x^2 (3 - x)}{\text{e}^x}.\]

\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0~;~4].
\item Construire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4].
\item On admet que la courbe $\mathcal{C}$ possède deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses, l'une au
point O origine du repère, l'autre en un point A.

Déterminer les coordonnées exactes du point A.
\item Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point B d'abscisse 2.
\item Recopier et compléter à l'aide de la calculatrice, le tableau de valeurs ci-dessous. On arrondira les
résultats au dixième.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&0&1&2&3&4\\ \hline
$f(x)$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item \textbf{Sur la feuille de papier millimétré fournie, à rendre avec la copie}, représenter la droite $T$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques : 2~cm pour l'axe des abscisses et 5~cm pour l'axe des ordonnées. On pourra s'aider des tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux
points O et A.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 portant sur l'enseignement obligatoire}\hfill 6 points}

\vspace{0.5cm}

\emph{Cet exercice est un QCM.\\
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie, sans justification, le numéro de la question et la réponse choisie (a, b ou c). Chaque réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse est comptée zéro point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Rappels}\\[4pt]
$\bullet~~$ Dans la gamme de tempérament égal :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Une octave est divisée en 12 demi-tons égaux séparant les notes. Quand on monte d'un demi-
ton, la fréquence de la note est multipliée par $q = 2^{\frac{1}{12}}$
\item Une quarte juste contient cinq demi-tons. Une quinte juste contient sept demi-tons.
\item Les notes d'une octave sont : DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

$\bullet~~$ Lorsque deux notes ont pour fréquence $f_1$ et $f_2$ avec $f_1 \leqslant f_2$  la différence de hauteur entre ces deux notes, exprimée en savarts, est égale à $10^3 \log \left(\dfrac{I}{I_0}\right)$, où log désigne la fonction logarithme décimal.

$\bullet~~$Si $I$ est l'intensité sonore (exprimée en W.m$^{-2}$) d'un son, alors son niveau sonore, exprimé en
décibels (dB), est $N(I) = 10 \log \left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ avec $I_0 = 10^{-12}$ W.m$^{-2}$.\\
$\bullet~~$Les intensités sonores s'ajoutent.\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item En partant de la note SI, on ajoute cinq quartes justes. La note obtenue est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} un SI &\textbf{b.~~} un LA\# &\textbf{c.~~} un DO
\end{tabularx}
\medskip

\item  On ajoute deux quintes justes à une note de fréquence $f$. La fréquence de la note obtenue est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$f \times 2^{14}$&\textbf{b.~~}$f \times 2^{\frac{7}{6}}$&\textbf{c.~~} $14 f$
\end{tabularx}
\medskip

\item  On ajoute une octave à une note $N_1$. On obtient une note $N_2$. La mesure en savarts de la
différence de hauteur entre les notes $N_1$ et $N_2$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \np{2000} &\textbf{b.~~} $\np{1000}\log 2$ &\textbf{c.~~} $2 \times 10^3$
\end{tabularx}
\medskip

\item  L'intensité sonore correspondant à un niveau sonore de 70 décibels est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $2 \times 10^{-7}$ W.m$^{-2}$ &\textbf{b.~~} $10^{-5}$W.m$^{-2}$&\textbf{c.~~} 7 W.m$^{-2}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  L'intensité sonore d'un son est multipliée par 5. Le niveau sonore augmente de:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $10 \log 5$ dB &\textbf{b.~~} $10^5$ dB &\textbf{c.~~} $5$ dB
\end{tabularx}
\medskip

\item  En partant de la note RÉ, on ajoute $n$ quintes, où $n$ est un entier naturel. On obtient un DO\#.
L'entier $n$ vérifie la congruence:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $5n \equiv 11$ (modulo 12) &\textbf{b.~~} $7n \equiv 1$ (modulo 12) &\textbf{c.~~} $7n \equiv 11$  (modulo 12)
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4 portant sur l'enseignement renforcé}\hfill 6 points}

\vspace{0.5cm}

Un diagnostic acoustique est réalisé dans une discothèque. Une mesure du niveau sonore moyen (en
dB) est réalisée heure par heure à partir de 22 h.

\medskip

La mesure réalisée entre 22 h et 23 h est celle de rang 1.

\medskip

Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Plage horaire 						&22 h--23 h &23 h--0 h	& 0 h--1 h 	&1 h--2 h 	&2 h--3 h\\ \hline
Rang des mesures : $x_i$			& 1 		&2 			&3 			&4 			&5\\ \hline
Niveau sonore moyen (en dB) : $y_i$	&90 		&93 		&95 		&97 		&100\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\smallskip

Par exemple, le niveau sonore moyen entre 2 h et 3 h du matin correspond à la mesure de rang 5 et
vaut $100$~dB.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter sur la \textbf{feuille annexe  à rendre avec la copie}, le nuage de points
$M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le repère orthogonal déjà construit.
\item  On désigne par $\mathcal{D}$ la droite d'ajustement de $y$ en $x$ de cette série statistique, obtenue par la méthode des moindres carrés.

À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$.

Cette équation sera donnée sous la forme $y = ax + b$. Aucune justification n'est demandée.
\item  Représenter la droite $\mathcal{D}$ sur la \textbf{feuille annexe  à rendre avec la copie}, dans le repère
orthogonal déjà construit.
\item  La réglementation impose, aux établissements ouverts au public et diffusant à titre habituel de
la musique amplifiée, un niveau sonore moyen inférieur ou égal à $105$~dB. On suppose que la
discothèque respecte la réglementation jusqu'à sa fermeture qui a lieu à 7~h du matin.

L'ajustement déterminé dans la question 2. semble-t-il adapté pour représenter l'évolution du
niveau sonore de cette discothèque jusqu'à l'heure de sa fermeture ? Justifier la réponse.
\item  On choisit dans cette question de modéliser l'évolution du niveau sonore moyen jusqu'à la
fermeture de la discothèque par la fonction $f$ qui est définie sur l'intervalle [1~;~9] par

\[f(x) = 89,4 + 5,84\ln x,\]

où $x$ représente le rang de la mesure du niveau sonore moyen et ln la
fonction logarithme népérien.

Ainsi, selon ce modèle, pour $n$ entier naturel compris entre 1 et 9, $f(n)$ est une estimation du
niveau sonore moyen de la mesure de rang $n$.

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~9].
		\item Justifier que selon ce modèle, le niveau sonore moyen jusqu'à la fermeture de la discothèque
est toujours inférieur à $105$~dB.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{landscape}

\begin{center}

\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}

\medskip

\textbf{EXERCICE 4 questions 1. et 3.}

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=0.55cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(9,20)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0,0)(0,0)(9,20)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=87](0,0)(9,20)
\rput{90}(-0.6,16.5){Niveau sonore moyen en dB}
\uput[d](8.4,-0.75){Rang des mesures}
\end{pspicture} 
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}