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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin  2003}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourright\\
Métropole juin 2003}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice}  \hfill 7 points}

\medskip
 
On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 3~;~2]$.
 
La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij. 

\medskip

\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,- 6)(2,16)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none]{->}(0,0)(-3,- 6)(2,16)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{2}{x 3 exp x 2 exp add 6 x mul sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{2}{2 x mul 12 add}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](-2,0)(-2,8)(0,8)
\uput[dr](1.5,-3.4){\blue $\mathcal{C}$}
\multido{\n=-3+1}{6}{\uput[d](\n,0){\n}}
\uput[r](0,8){8} \uput[r](0,12){12}
\uput[ul](-2,8){A}\uput[ul](0,12){B} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{En utilisant ce graphique :}
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs entières de $f(- 2)$ et $f(- 1)$. 
		\item Donner, dans l'intervalle $[- 3~;~2]$, les solutions de l'équation $f(x) = 0$. 
		\item Donner, dans un tableau, le signe de $f(x)$ lorsque $x$ varie dans l'intervalle $[- 3~;~2]$.
	\end{enumerate} 
\item A est le point de la courbe $\mathcal{C}$ ayant pour abscisse $- 2$ et B est le point de coordonnées (0~;~12).
 
En admettant que la droite (AB) est tangente au point A à la courbe $\mathcal{C}$, calculer $f'(-2)$. 

\item  On suppose qu'il existe des réels $a,\, b,\, c$ et $d$ tels que pour tout $x$ de l'intervalle $\mathcal{C}$,\, $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$. 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant certains résultats obtenus au 1. a. et au 1. b., montrer que les réels $a,\, b,\, c$ et $d$ vérifient le système : 

\[\left\{\begin{array}{r c l} 
-27a + 9b - 3c + d 	&=&0\\
d 					&=&0 \\
8a + 4b + 2c + d 	&=&0\\ 
- 8a + 4b - 2c + d 	&=&8
\end{array}\right.\] 

		\item En déduire les valeurs des réels $a,\, b,\, c$ et $d$ et donner l'expression de $f(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $[- 3~;~2]$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 13 points}

\medskip

\textbf{I.} On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par 

\[g(x) = x - \text{e}^x.\]
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $g'$ la fonction dérivée de $g$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, pour tout $x$ de $\R$, l'expression de $g'(x)$. 
		\item Étudier le signe de $g'(x)$ selon les valeurs de $x$.
	\end{enumerate} 
\item Établir le tableau de variations de la fonction $g$ sur $\R$ (on ne calculera pas les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $- \infty$). 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le maximum de la fonction $g$ sur $\R$ ? 
		\item Quel est le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à $\R$ ? 
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{II.} On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{x^2}{2}  - \text{e}^x,\]

et on désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij d'unité graphique 2~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $- \infty$. 
		\item Vérifier que, pour tout $x$ de $\R*$,\, $f(x) = x^2\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{\text{e}^x}{x^2}\right)$. 

En utilisant le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x^2} = + \infty$, déduire la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $\R$,\, $f'(x) = g(x)$. 
		\item En utilisant la partie I. 3. dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Préciser le coefficient directeur de la droite (T) tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$. 
		\item Dans le repère \Oij, tracer la droite (T) et la courbe $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$. 
		\item Calculer l'intégrale I $ = \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$. En donner la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie à $10^{- 2}$ près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}