\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat TMD},
pdftitle = {Métropole  juin 2004},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin  2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat TMD Métropole~\decofourright\\[6pt]juin 2004}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice}  \hfill 7 points}

\medskip

On désigne par $f$ la fonction définie sur $\R$ par
 
\[f(x) = x + a + b\text{e}^{-x}, \]

où $a$ et $b$ sont des réels.

On rappelle que $\text{e}^{-x}$  peut aussi s'écrire $\dfrac{1}{\text{e}^{x}}$.

La courbe $\mathcal{C}$, sur la feuille annexe  à rendre avec la copie, est la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout nombre réel $x$, déterminer $f'(x)$.
\item Déterminer graphiquement les valeurs de $f(0)$ et $f'(0)$ sachant que ces valeurs sont de nombres entiers.
\item En déduire un système d'équations vérifié par les nombres réels $a$ et $b$.

Résoudre ce système pour déterminer les nombres réels $a$ et $b$.

On choisit pour la suite de l'exercice $f(x) = x + 3 + \text{e}^{-x}$.

\item Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
\item Montrer que la droite D d'équation $y =  x + 3$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$.
\item On nomme A le point d'abscisse $- 1$ de la courbe $\mathcal{C}$.

Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $\mathcal{C}$ au point A.
\item Tracer la droite D et la tangente T dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}$ sur la feuille annexe  que l'on joindra à la copie.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 13 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle	 $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$ par : 

\[f(x) = x^2\left(2\ln x - 3\right),\]

 et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm.
 
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[,$

$f'(x) = 4x(\ln x - 1)$.

\item  Résoudre dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$, l'inéquation $\ln x - 1> 0$.

En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$.

\item Déterminer les valeurs exactes de $f\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right),~ f(1),~ f\left(\sqrt{\text{e}}\right)$ et $f(\text{e})$.

\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur cet intervalle.

On portera les valeurs de $f(\text{e})$ et $f\left(\dfrac{1}{\text{e}}\right)$ et leur valeurs arrondies à $10^{-2}$ près.

\item On nomme A le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées du point A.
\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.

On fera apparaître le point A et la tangente au point d'abscisse e à la courbe $\mathcal{C}$.
\item Soit $m$ un nombre réel.

Déterminer graphiquement selon la valeur de $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x)  = m$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty\right[$ par
 
\[F(x) = \dfrac{2}{3}x^3 \ln x - \dfrac{11}{9}x^3.\]

Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\text{e}}~;~+ \infty \right[$.

\item  Calculer l'intégrale I $ = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$.

En donner la valeur exacte ainsi que la valeur décimale arrondie à $10^{-2}$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Feuille annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(8,10)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt](0,0)(-5,-1)(8,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-5,-1)(8,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.228}{7}{2.71828 x neg exp x add 3 add}
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(-2,4)(2,4)
\uput[r](6.6,9.5){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}