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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin  2005}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourright \\ 
Métropole  juin 2005}}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice}  \hfill 7 points}

Sur le schéma 1. $\mathcal{C}$ est la courbe représentative dans le repère \Oij{} d'une fonction $f$ définie  et dérivable sur $[-1~ ;~ 5]$.

On précise que la courbe passe par les points O(0~;~0), A (1~;~ 1) et B (3~;~0).

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}

\begin {pspicture}(-4,-4.255)(7,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-4,-4.25)(7.25,5.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{5}{x 3 exp 3 div x 2 exp 2 mul sub x 3 mul add 0.75 mul}
\uput[d](0,-4.5){Schéma 1}\uput[u](1,1){A}\uput[u](3,0){B}\uput[l](4.6,3){$\mathcal{C}$}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psline{<->}(0.2,1)(1.8,1)
\uput[dl](0,0){O}
\psdots[linecolor=blue](-1,-4)(5,5)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  L'un des trois schémas suivants, 2, 3 ou  4, correspond à la courbe représentative de la dérivée $f'$ de $f$. Préciser lequel, en justifiant la réponse.

\medskip

\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{unit=0.4cm}
\renewcommand\pshlabel{\small}
\renewcommand\psvlabel{\small}
\begin{pspicture}(-3,-5)(7,6.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-5)(7,7)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-1}{5}{x dup mul 0.83333 mul 10 x mul 3 div  sub 2.5 add}
\uput[d](0,-5){Schéma 2}
\psline{<->}(1,-.7666)(3,-.7666)
\end{pspicture}&\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(7,6)
\renewcommand\pshlabel{\small}
\renewcommand\psvlabel{\small}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-5)(7,6)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-1}{5}{x 3 exp  3 div x dup mul 2 mul sub 3 x mul add 4 3 div sub 0.75 neg mul}
\psline{<->}(2,1)(4,1)
\psline[linewidth=1.25pt]{<->}(0,0)(2,0)
\uput[d](0,-5){Schéma 3}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(7,6)
\renewcommand\pshlabel{\small}
\renewcommand\psvlabel{\small}
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,-5)(7,6)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-1}{5}{x 3  exp 3 div x dup mul 2 mul sub x 3 mul add 0.75 neg mul}
\uput[d](0,-5){Schéma 4}
\psline{<->}(0,-1)(2,-1) \psline[linewidth=1.25pt]{<->}(2,0)(4,0)
\end{pspicture} \\
\end{tabularx}
\bigskip
\item  Soit $m$ un réel quelconque. Préciser graphiquement (à l'aide du schéma 1), le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$, suivant la valeur de $m$.
\item  On admet que $f(x) = \dfrac{1}{4}x^3 + ax^2  + bx$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f(1)$ et $f(3)$ en fonction de $a$ et $b.$
		\item  En déduire les nombres réels $a$ et $b$.
		\item  À l'aide de l'expression de la fonction $f$, retrouver les valeurs de $f'(1)$ et $f'(3)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 13 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction, définie sur $\R$, par
 
\[f(x) =  \text{e}^{2x} - 5\text{e}^x +4.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{}
d'unités 2~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  En justifiant que $f(x)= \text{e}^x\left(\text{e}^x  - 5\right) + 4$, déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty.$
		\item  Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ ; en déduire l'existence d'une asymptote $D$ au voisinage de $- \infty$, dont on précisera une équation.
		\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
		
Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$.

		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout réel $x$.

		\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. On précisera la valeur de $f\left[\ln \left(\dfrac{5}{2}\right)\right]$.
	\end{enumerate}
\item Soit $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $\ln \left( \dfrac{1}{2}\right)$. Calculer les valeurs exactes de l'ordonnée de A et du coefficient directeur de la droite $T$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre dans $\R$ l'équation $X^2 - 5X + 4 = 0$.
		\item  En déduire la résolution de l'équation $f(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item Reproduire le tableau suivant et le compléter avec les valeurs décimales arrondies à $10^{-1}$ près.\\

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-5$	&$- 4$	&$- 2$	&$- 1,5$&$- 1$	&$- 0,5$&0	&0,5&1	&1,5&1,6\\ \hline
$f(x)$	&		&		&		&		&		&		&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item Construire dans le repère \Oij{} l'asymptote $D$, la tangente $T$ puis la courbe $\mathcal{C}$ en tenant compte des résultats obtenus aux questions 3. et 4.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$.
		\item  Calculer l'intégrale I$ = \displaystyle\int_{0}^{\ln (4)} f(x)\:\text{d}x$ (on donnera la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie à $10^{-2}$ près).
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}