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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourright\\ 
Métropole juin 2006}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

Pour chacune des questions 1 à 6, trois affirmations vous sont proposées dont une seule est exacte. 

Indiquer sur la copie, pour chaque question, la bonne réponse. 

On ne demande pas de justification.

\medskip
 
\emph{Toute réponse bonne donne $1$ point ; toute mauvaise réponse enlève $0,5$ point ; une absence de réponse ne donne aucun point et n'en enlève aucun.}
 
\emph{S'il est négatif, le total de l'exercice est ramené à $0$.}

\medskip

Les six questions font référence à la \textbf{gamme de tempérament égal}. 

On rappelle que, dans cette gamme : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  l'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes ; cela se traduit mathématiquement par le fait que la suite des fréquences des notes est géométrique de raison $q$, où 
$q$ est un nombre réel strictement positif tel que $q^{12} = 2$ ; 
\item  une quinte juste contient sept demi-tons ; 
\item  une quarte juste contient cinq demi-tons. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  En partant de LA et en augmentant d'une quarte on obtient la note RÉ. Sachant que la fréquence du LA$_{3}$ est de 440 Hz, la fréquence du RÉ$_{4}$ est environ de : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 660,0 Hz&	\textbf{b.~~} 587,3 Hz& 	\textbf{c.~~} 586,7 Hz 
\end{tabularx}

\item Dans cette gamme, le rapport des fréquences correspondant à une quinte juste ascendante est égal à : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{3}{2}$&	\textbf{b.~~} $\sqrt[7]{2^{12}}$& 	\textbf{c.~~} $2^{\frac{7}{12}}$ 
\end{tabularx}

\item Sachant que le rapport des fréquences de deux notes vaut environ \nombre{1,4983}  le nombre de demi-tons entre les deux notes est de : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $6$&	\textbf{b.~~} $7$& 	\textbf{c.~~} $8$ 
\end{tabularx}

\item On considère la bande passante 20 à \nombre{20000}~Hz d'un appareil sonore. 

Sachant que la fréquence du DO$_{3}$ est d'environ 262~Hz, le nombre de DO d'octaves différentes pouvant passer dans cet appareil est de : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $4$&	\textbf{b.~~} $7$& 	\textbf{c.~~} $10$ 
\end{tabularx}

\item Si l'on additionne une fonction sinusoïdale de fréquence 110~Hz à une fonction sinusoïdale de fréquence 220 Hz, la fonction somme est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} Non périodique&	\textbf{b.~~} Périodique de fréquence 330 Hz& 	\textbf{c.~~} Périodique de fréquence 110 Hz 
\end{tabularx} 

\item En partant de RÉ et en augmentant de $n$ quartes on obtient la note MI.

 L'entier $n$ est tel que :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $5n \equiv 2\quad  (\text{modulo}~12)$&	\textbf{b.~~} $2n \equiv 12 \quad (\text{modulo}~ 5)$& 	\textbf{c.} $\log~(5n)~=~\log~2~+~k~\log 12$, où $k$ est un entier relatif
\end{tabularx}   

\medskip
 
\emph{Rappels} : 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  $\log$ désigne le logarithme décimal. 
\item[$\bullet~$]  Si $a,\: b$ et $c$ sont des entiers non nuls, \og $a$ congru à $b$ \: modulo $c$ \fg s'écrit : $a \equiv  b (\text{modulo}/:c)$. 
\end{itemize}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 7 points}


\medskip

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[-1~;~4]$ par 

\[f(x) = \dfrac{x^2}{\text{e}^x}.\] 

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij, d'unités graphiques 3~cm sur l'axe des abscisses et 6~cm sur l'axe des ordonnées. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ 

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ de  l'intervalle $[-1~;~4],\: f'(x)  = \dfrac{x(2 - x)}{\text{e}^x}$.
		\item Étudier le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle $[-1~;~4]$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{D}$ à la courbe $\mathcal{C}$ en son point A d'abscisse $1$. 
		\item  Prouver que la droite $\mathcal{D}$ est confondue avec la droite (OA).
	\end{enumerate} 
\item  Calculer une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près de $f(x) $ pour les valeurs de $x$ suivantes :
\[ -1 ~;~-0,5~;~- 0,25~;~ 0~;~ 0,25~;~ 0,5~;~1~;~2~;~3~;~4. \]

\item  Construire, dans le repère \Oij, la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $\mathcal{D}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} (au choix) Enseignement obligatoire  \hfill 7 points}


\medskip

Une classe de terminale TMD comporte un pianiste, trois violonistes et deux flûtistes ayant tous des noms différents. 

On met les noms de ces six musiciens dans un chapeau et on tire, successivement et sans remise, deux noms au hasard. On s'intéresse à l'instrument dont joue chacun des musiciens tirés au sort. 

On donnera les probabilités sous la forme de fractions irréductibles. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant en remplaçant les points d'interrogation par les probabilités correspondantes. 

\medskip

\begin{pspicture}(12,4.2)
%\psgrid
\rput(6,2){\pstree[nodesepB=0.15cm,nodesepA=0cm]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=0.15cm]{\TR{Piano}\taput{?}}
	{
	\TR{Violon}\nbput{$\frac{3}{5}$}
	\Tn{}	
	\TR{Flûte}\naput{?}	
	}
\pstree[nodesepA=0.15cm]{\TR{Violon}\naput{$\frac{1}{2}$}}
	{\TR{Piano}\nbput{?}
	\TR{Violon}\naput{?}
	\TR{Flûte}\naput{?}
	}
\pstree[nodesepA=0.15cm]{\TR{Flûte}\taput{?}}
	{\TR{Piano}\nbput{?}
	\TR{Violon}\naput{?}
	\TR{Flûte}\naput{?}
	}
}}
\rput(0,2){1\up{er} tirage}
\rput(-1.2,0){2\up{e} tirage}
\end{pspicture}

\bigskip

\item  Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] A : \og Les deux musiciens tirés au sort sont des violonistes \fg. 
\item[$\bullet~$] B : \og Les deux musiciens tirés au sort peuvent interpréter un duo violon-flûte \fg. 
\item[$\bullet~$] C : \og Les deux musiciens tirés au sort jouent du même instrument \fg. 
\item[$\bullet~$] D : \og Le deuxième musicien tiré au sort joue du violon \fg. 
\end{itemize}

\item Sachant que le deuxième musicien tiré au sort joue du violon, déterminer la probabilité pour que le premier musicien tiré au sort joue également du violon. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}(au choix) Enseignement renforcé  \hfill 7 points}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} où l'unité graphique est de 4~cm. On considère le point M$_{1}$ d'affixe $z_{1} =1 + \text{i}$ et le point M$_{2}$ d'affixe $z_{2} =\sqrt{3} -\text{i}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre complexe $z_{1}\times  z_{2}$ sous forme algébrique. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point M$_{1}$ dans le repère \Ouv. 
		\item Vérifier que $\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 1 + \text{i}$. 
		\item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_{1}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i}\right)= \sqrt{3} - \text{i}$.
		\item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_{2}$.
		\item Construire le point M$_{2}$ dans le repère \Ouv. 
		
On laissera apparents les traits de construction. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide des résultats établis dans les questions 2. c. et 3. b., déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_{1}\times  z_{2}$. 
		\item En déduire que la forme algébrique du nombre complexe $z_{1}\times  z_{2}$ est :
		 
\[2\sqrt{2}\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) + 2\text{i}\sqrt{2} \sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right).\]
 
		\item Déterminer alors la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}