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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin  2011}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{Baccalauréat technique de la musique et de la danse \\\decofourleft ~Métropole juin  2011~\decofourright}}
    
\end{center}

\vspace{0,5cm}

Le candidat traitera trois exercices :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 1
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 2
\item[$\bullet~~$] Au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

Pour chaque question, une seule des réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie, sans justification, la réponse choisie. Chaque réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou une absence de réponse est comptée 0 point.

\medskip
 
Rappels :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Dans la gamme de tempérament égal: l'octave est divisée en 12 demi-tons (DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI). Quand on monte d'un demi-ton, la 
fréquence de la note est multipliée par $q = 2^{\frac{1}{12}}$. 
\item[$\bullet~$] À chaque octave est associé un indice $n$ entier ; les notes d'une octave portent l'indice de cette octave; ainsi LA$_{3}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et LA$_{4}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus de l'octave d'indice 3. 
\item[$\bullet~$] log désigne la fonction logarithme décimal. 
\item[$\bullet~$] Si un son possède une intensité sonore $I$ (exprimée en W.m$ ^{- 2}$), son niveau sonore est  exprimé en décibels (dB) par $\text{L}(I) = 10 \log \left(\dfrac{I}{I_{0}}\right)$ où $I_{0} = 1O^{-12}$~W.m$^{-2}$. 
\item[$\bullet~$] Pour deux notes de fréquences respectives $f_{1}$ et $f_{2}$, exprimées en hertz (Hz), avec $f_{2} > f_{1}$, la différence de hauteur de ces notes s'exprime en savarts par $\np{1000} \log \left(\dfrac{f_{2}}{f_{1}}\right)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item En partant de la note LA, on monte de 40 demi-tons; on obtient la note :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}RÉ& \textbf{b.~~} DO\# &\textbf{c.~~} MI \\
\end{tabularx}
\medskip

\item En partant de la note MI, on descend de 50 demi-tons; on obtient la note:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} RÉ&  \textbf{b.~~}DO\# &\textbf{c.~~} SI\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Un son passe d'un niveau sonore de 70~dB à un niveau sonore de 79~dB ; l'intensité sonore est multipliée par environ:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} 2 & \textbf{b.~~} 4 &\textbf{c.~~} 8.\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Un son a un niveau sonore de 70~dB ; son intensité sonore (en W.m$^{-2}$) est égale à:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} $10^{-6}$ & \textbf{b.~~} $10^{-4}$ &\textbf{c.~~} $10^{-5}$ \\
\end{tabularx}
\medskip

\item Le diapason donnant la note LA 3 a une fréquence de 440 Hz ; la fréquence (en Hz) de la note SOL 4 est environ égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} 988 & \textbf{b.~~} 784 &\textbf{c.~~} 880\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La mesure, en savarts, de la différence de hauteur entre les notes RÉ$_{3}$ et RÉ$_{4}$ est égale 
à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~} 401 & \textbf{b.~~} $10^3 \log 2$&\textbf{c.~~} $500 \log 2$\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 7 points}

\medskip

Une chorale lycéenne regroupe deux types d'élèves: des élèves qui jouent d'un instrument de musique et des élèves qui ne jouent d'aucun instrument de musique.
 
Les élèves qui jouent d'un instrument de musique représentent 25\,\% de l'effectif total de la 
chorale.
 
Parmi les élèves qui jouent d'un instrument de musique, 80\,\% connaissent l'air de l'Hymne à 
la joie.
 
Parmi les élèves qui ne jouent d'aucun instrument de musique, 10\,\% connaissent l'air de 
l'\emph{Hymne à la joie}.
 
On choisit au hasard un élève de la chorale. Chaque élève a la même probabilité d'être choisi. 

On considère les évènements suivants :
 
$M$ : \og l'élève choisi joue d'un instrument de musique \fg 

$H$ : \og l'élève choisi connaît l'air de l'\emph{Hymne à la joie} \fg
 
On rappelle que l'évènement contraire d'un évènement $A$ est noté $\overline{A}$.
 
Les probabilités seront données sous forme décimale.
 
\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs de la probabilité $p(M)$ de l'évènement $M$ et de la probabilité conditionnelle $P_{M}(H)$ de l'évènement $H$ sachant l'évènement $M$. 
\item Construire un arbre pondéré traduisant la situation. 
\item Calculer la probabilité que l'élève choisi joue d'un instrument de musique et connaisse l'air de l'\emph{Hymne à la joie}. 
\item Démontrer que la probabilité que l'élève choisi connaisse l'air de l'\emph{Hymne à la joie} est égale à $0,275$. 
\item Calculer la probabilité que l'élève choisi joue d'un instrument de musique sachant qu'il connaît l'air de l'\emph{Hymne à la joie} . On donnera la valeur décimale arrondie au millième. 
\item Les évènements $M$ et $H$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 7 points}

\medskip

\textbf{Enseignement obligatoire (au choix)}

\medskip
 
On désigne par I l'intervalle [0~;~2]. 

On considère la fonction $f$ définie, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle I, par : 

\[f(x) = \text{e}^x + 2x + 1.\]
 
On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle I. 
		\item Prouver que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle I. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
	\end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous.
		 
On donnera, dans chaque cas, la valeur décimale arrondie au dixième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$&  0 & 0,2 & 0,5 & 0,8 & 1 & 1,3 & 1,5 & 1,7 & 2 \\ \hline
$f(x)$&&&&&&&&& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère orthogonal \Oij. On prendra comme unités graphiques : 5~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $g$ définie, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle I, par : 

\[g(x) = 2x+3.\]
 
On désigne par $\Delta$ la droite d'équation $y = 2x + 3$. 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la droite $\Delta$ dans le repère de la question 2. b. 
		\item Déterminer, par lecture graphique, la solution $x_{0}$ de l'équation $f(x) = g(x)$. 

On donnera une valeur décimale de $x_{0}$ arrondie au dixième. 
		\item Déterminer, par le calcul, la valeur exacte du nombre réel $x_{0}$·
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}  \hfill 7 points}

\medskip

\textbf{Enseignement renforcé (au choix)}

\medskip

Début janvier 2011, Frédéric a lancé son site web d'apprentissage du piano en ligne. Ce site propose aux abonnés une méthode complète et progressive, incluant partitions et vidéos explicatives.
 
Frédéric a comptabilisé à la fin de chaque mois le nombre total d'abonnés sur son site.
 
Les résultats sont indiqués, pour les cinq premiers mois, dans le tableau suivant où $x_{i}$ désigne le rang du mois et $y_{i}$ désigne le nombre d'abonnés correspondant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline  
$x_{i}$&1 &2 &3 &4 &5\\ \hline 
$y_{i}$&21 &48 &57 &83 &105\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ , pour tout indice $i$ compris entre 1 et 5, dans un repère orthogonal du plan, où 2~cm représentent 1 rang de mois en abscisse et 1~cm représente 10~abonnés en ordonnée. 
		\item Pourquoi un ajustement affine est-il envisageable ? 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'équation de la forme $y = ax + b$ de la droite $\mathcal{D}$ d'ajustement de $y$ en $x$ du nuage, obtenue par la méthode des moindres carrés. On utilisera la calculatrice pour le calcul des coefficients $a$ et $b$. Aucune justification n'est demandée. 
		\item Construire, en précisant les coordonnées des points utilisés, la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique précédent.
	\end{enumerate} 
\item On suppose que la tendance d'évolution se poursuit. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement une estimation du nombre d'abonnés sur le site de Frédéric fin juin 2011. 
		\item Vérifier cette estimation par le calcul.
	\end{enumerate}		 
\item Répondre aux questions suivantes en utilisant l'ajustement affine précédent. 
	\begin{enumerate}
		\item Estimer, par le calcul, à la fin de quel mois le nombre d'abonnés devrait avoir dépassé 150. 
		\item Vérifier ce résultat graphiquement en laissant apparents les traits nécessaires à cette lecture graphique.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}