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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin  2013}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat technique de la musique et de la danse juin  2013~\decofourright \\[4pt] Métropole }}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traitera trois exercices :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 1
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 2
\item[$\bullet~~$] Au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip
 
Les membres de l'orchestre d'une ville se répartissent en deux catégories bien distinctes :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] un tiers sont des instrumentistes; 
\item[$\bullet~~$] tous les autres sont des chanteurs.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
D'autre part, on sait qu'un quart des instrumentistes et un dixième des chanteurs de cet orchestre sont solistes.
 
On choisit au hasard un membre de l'orchestre. Chaque membre de l'orchestre a la même probabilité d'être choisi.
 
On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{description}
\item $I$ = \og la personne choisie est un instrumentiste \fg, 
\item $C$ = \og la personne choisie est un chanteur \fg, 
\item $S$ = \og la personne choisie est un soliste \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\emph{On note $\overline{A}$ l'évènement contraire d'un évènement $A$ et $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$.\\
Dans cet exercice les résultats seront donnés sous forme de fractions.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous : 
 
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$I$~}\taput{\ldots}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$S$}\taput{\ldots}
\TR{}~[tnpos=r]{}\tbput{\ldots}
 		}
	\pstree{\TR{$C$~}\tbput{\ldots}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$S$}\taput{\ldots}
\TR{}~[tnpos=r]{}\tbput{\ldots}
 		}
}
\end{center}

\medskip
 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la personne choisie soit un instrumentiste soliste. 
		\item Calculer la probabilité que la personne choisie soit un soliste.
	\end{enumerate} 
\item Les évènements $I$ et $S$ sont-ils indépendants ?
\item Calculer la probabilité que la personne choisie soit un chanteur sachant qu'elle n'est pas soliste. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}

\medskip

On désigne par I l'intervalle $[- 1~;~2]$.

\bigskip
 
\textbf{Première partie}

\medskip
 
On considère la fonction $g$ dérivable et définie sur l'intervalle I par 

\[g(x) = \text{e}^x - x + 1.\]

On désigne par $g'$ la fonction dérivée de $g$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle I, $g'(x)$. 
		\item Résoudre dans l'intervalle I l'inéquation : $\text{e}^x - 1 > 0$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle I. 
		\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à I, $g(x) > 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ dérivable et définie sur l'intervalle I par : 

\[f(x) = x + 1 + \dfrac{x}{\text{e}^x}.\]
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.
 
On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle I, on a : 

\[f'(x) = \dfrac{g (x)}{\text{e}^x}.\] 

\item En utilisant les résultats de la première partie, préciser le signe de $f'$ sur l'intervalle I. 

En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I. 

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une équation de (T) la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$. 
		\item Recopier et compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs au centième). 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$- 1$	&$- 0,5$&0	&0,5&1	&1,5&2\\ \hline
$f(x)$	&		&		&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip
 
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente (T) dans le repère \Oij{} sur une feuille de papier millimétré fournie.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} Enseignement obligatoire (au choix)  \hfill 6 points}

\medskip

On rappelle que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] On désigne par log la fonction logarithme décimal. On rappelle que pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, on a : $\log (ab) = \log (a) + \log (b)$ . 
\item[$\bullet~~$] Si un son possède une intensité sonore $I$ (exprimée en W.m$^-2$), son niveau sonore $L(I)$ est exprimé en décibels (dB) par $L(I) = 10 \log \left(\frac{I}{I_{0}}\right)$ avec $I_{0}  =  10^{-12}$ W.m$^{- 2}$.
 
On rappelle que les intensités sonores s'ajoutent. 
\item[$\bullet~~$] Pour deux sons ayant respectivement pour fréquences, exprimées en hertz (Hz), $f_{1}$ et $f_{2}$ 
(avec $f_{1} < f_{2}$) la mesure de l'intervalle entre les deux sons s'exprime en savarts par $10^3 \log \left(\frac{f_{2}}{f_{1}}\right)$. 
\item[$\bullet~~$] Les questions font référence à la gamme de tempérament égal.
 
Dans cette gamme :

\setlength\parindent{8mm} 
	\begin{itemize}
		\item l'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes ; cela se traduit mathématiquement par le fait que la suite des fréquences des notes est géométrique de raison $q$ , où $q$ est le nombre réel strictement positif tel que $q^{12} = 2$ ; 
		\item les notes d'une octave sont : DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI ; 
		\item à chaque octave est associé un indice $n$ entier naturel ; les notes d'une octave portent l'indice de cette octave ; ainsi LA$_{3}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et 
LA$_{4}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus de l'octave d'indice 3.
	\end{itemize}
	\setlength\parindent{0mm} 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une conversation à voix basse a une intensité sonore de $10^{- 10}$~W.m$^{- 2}$. Calculer le niveau sonore de cette conversation en dB. 
\item Un marteau piqueur a un niveau sonore de $120$~dB. Calculer l'intensité sonore de ce marteau piqueur en W.m$^{- 2}$. 
\item Un violon a un niveau sonore de 70 dB. Quel est le niveau sonore, en dB, de 10 violons identiques jouant ensemble? 
\item L'oreille humaine est capable de percevoir les sons dont la fréquence est comprise entre 20~Hz et \np{20000}~Hz. Quelle est, en savarts, la mesure de cet intervalle ? 
\item Sachant que la fréquence (arrondie à 1 Hz près) du DO$_{0}$ est de 33 Hz, combien y a-t-il de DO différents audibles par l'oreille humaine ? 
\item On sait que la fréquence du LA$_{3}$ est 440 Hz.
 
On enregistre un son sur un oscilloscope et on obtient un signal périodique de période 18,2~millisecondes.
 
Donner la fréquence du signal en hertz (arrondie à l'unité). En déduire la note émise. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} Enseignement renforcé (au choix)  \hfill 6 points}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2 cm.

\medskip
 
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
On considère les points A et B d'affixes respectives : 

\[z_{\text{A}} = 3 + \text{i}\sqrt{3} \quad \text{et}\quad z_{\text{B}} = - \sqrt{3} + 3\text{i}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer les points A et B dans le repère \Ouv{} et tracer le triangle OAB. Utiliser la feuille de papier millimétré fournie. 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la forme algébrique de $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ est i.
		\item En déduire le module de $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$, puis l'égalité OA = OB.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un argument de $z_{\text{A}}$. 
		\item On admet qu'un argument de $z_{\text{B}}$ est $\dfrac{2\pi}{3}$. 
 
Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{\text{AOB}}$ (en radians),
	\end{enumerate} 
\item  Le triangle OAB est-il rectangle - isocèle ? 
\end{enumerate}
\end{document}