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% Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technologique, techniques de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{19 juin 2018}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat technologique Métropole TMD~\decofourright\\[5pt]19 juin 2018}}
 
\end{center}

\vspace{0,75cm}

Le candidat traitera \textbf{{\large trois} \textsc{exercices} }:

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] \textbf{ Obligatoirement l'exercice1}
\item[$\bullet~~$] \textbf{ Obligatoirement l'exercice 2}
\item[$\bullet~~$] \textbf{ L’exercice} 3 (qui porte sur le programme de l’enseignement obligatoire)

\textbf{\large OU} \textbf{ l’exercice} 4 (qui porte sur le programme de l’enseignement renforcé.
\end{itemize}

\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Le candidat  indiquera clairement son choix sur la copie.}

\medskip

La page ~\pageref{exo}~/\pageref{LastPage} est une annexe à rendre avec la copie.

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill (6 points)}

\vspace{0.5cm}

Dans cet exercice, on s’intéresse aux blessures liées à la pratique de la danse chez des
professionnels. Ces blessures s’apparentent à celles rencontrées chez les sportifs de haut niveau.

Dans la suite de l’exercice, on désignera par \textbf{\og danseur \fg{} une femme ou un homme }pratiquant la
danse de manière professionnelle.

La région pied-cheville est particulièrement sollicitée au cours de la carrière de danseur et les
blessures de cette partie du corps nécessitent un traitement spécifique.

Dans une clinique spécialisée dans le traitement des blessures des sportifs, on étudie les dossiers des
danseurs qui ont été soignés pour des blessures liées à leur profession.

\medskip

On constate que :

\begin{itemize}
\item [$\bullet$] 58\,\% des danseurs soignés dans cette clinique, pour des blessures liées à leur profession,
sont des femmes ;
\item [$\bullet$] parmi les danseurs soignés dans cette clinique, pour des blessures liées à leur profession :
\begin{itemize}
\item [\tiny  $\square$] 46\,\% des hommes ont été soignés pour des blessures de la région pied-cheville ;
\item [\tiny $\square$] 62\,\% des femmes ont été soignées pour des blessures de la région pied-cheville.
\end{itemize}
\end{itemize}

On choisit au hasard le dossier d’un danseur soigné dans cette clinique pour une blessure liée à sa
profession.


On note $F$ l’évènement \og le dossier est celui d’une femme\fg{} et $C$ l’évènement \og le dossier est celui
d’un danseur qui a été soigné pour une blessure de la région pied-cheville\fg.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
$B$ étant un évènement de probabilité non nulle, $P_{B}( A)$    est la probabilité de l’évènement $A$ sachant
que l’évènement $B$ est réalisé.\\
$\overline{B}$ est l’évènement contraire de $B$.\\
\hline
\end{tabularx}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Donner à partir de l’énoncé :
			\begin{enumerate}
			\item  La probabilité $P(F)$ de l’évènement $F$.
			\item  La probabilité $P_{F}(C)$ de l’évènement $C$ sachant que l’évènement $F$ est réalisé.
			\end{enumerate}
\item La situation de l’exercice est modélisée par l’arbre pondéré représenté ci-dessous.

Reproduire cet arbre en complétant les valeurs représentées par des pointillés.


\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$F$~}\taput{$\dots$}}
	  { 
		  \TR{$C$}\taput{$\dots$}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{$\dots$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{F}$~}\tbput{$\dots$}}
	  {
		  \TR{$C$}\taput{\np{0.46}}
		  \TR{$\overline{C}$}\tbput{$\dots$}
	  }
	
}
\end{center}



 \item \begin{enumerate}
		\item  Traduire l’évènement $\overline{F}\cap C$ par une phrase.
		\item Calculer $P\left(\overline{F} \cap C\right)$ la probabilité de l’évènement $\overline{F}\cap C$ .
		\end{enumerate}
\item Justifier que la probabilité $P(C)$ de l’évènement $C$ est égale à \np{0,5528}.
\item La directrice de la clinique affirme que plus d’un tiers des danseurs soignés dans son
établissement pour une blessure pied-cheville sont des hommes. Cette affirmation est-elle
exacte ?
\end{enumerate}


\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill (8 points)}

\vspace{0.5cm}

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle [0 ; 2,5]. On désigne par $f '$ sa
fonction dérivée.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij

\medskip

\textbf{Partie 1 : Lecture graphique}

On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans le repère \Oij.

Les réponses aux questions suivantes seront données avec la précision permise par la lecture du
graphique. Aucune justification n’est attendue.
\begin{enumerate}
\item Estimer la valeur de $f '(2)$ le nombre dérivé de $f$ en 2.
\item Estimer la valeur maximale de la fonction $f$ sur l’intervalle [0 ; 2,5].
\item Résoudre graphiquement dans l’intervalle [0 ; 2,5] l’équation $f (x) = 2$.
\end{enumerate}





\begin{center}
\psset{xunit=4cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-3)(3.2,7.4)
\multido{\n=-0.2+0.2}{18}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-2.5)(\n,7.4)}
\multido{\n=-2.4+0.2}{50}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](-0.2,\n)(3.2,\n)}
 \psaxes[linewidth=0.85pt,]{-}(0,0)(-0.25,-2.6)(3.2,7.4)
\psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{2.5}{ 2.71828 x  exp 2  x sub mul  4 add }
\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=darkgray](\n,-2.5)(\n,7.4)}
\multido{\n=-2+1}{10}{\psline[linewidth=0.65pt,linecolor=darkgray](-0.2,\n)(3.2,\n)}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,1)\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(1,0)
\uput[l](0,0.52){$\vect{\jmath}$}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}

\uput[ur](2.3,-1){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center} 



\medskip

\textbf{Partie 2 : Étude de la fonction $f$}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle [0 ; 2,5] par l’expression :

\[ f(x) = (2 - x)\e^{x} + 4.\]
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle [0 ; 2,5], $f '(x) = (1- x)\e^{x} $.
\item Étudier le signe de $f '(x)$ sur l’intervalle [0 ; 2,5].
\item Construire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle [0 ; 2,5].
\item Calculer la valeur exacte de $f '(2)$ le nombre dérivé de $f$ en 2.
\item  Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle [0 ; 2,5], $f (x) < 6,75$.
\item  On admet que l’équation $f (x) = 2$ possède une seule solution comprise entre 2 et 2,5.

À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement au centième de cette solution.
\end{enumerate}


\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} portant sur l’enseignement obligatoire\hfill (6 points)}

\vspace{0.5cm}



\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}
\hline 


\textbf{Rappels :}\\
\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item Dans la gamme de tempérament égal, l’octave est divisée en douze demi-tons égaux
séparant les notes DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI.

Quand on monte d’un demi-ton, la fréquence de la note, exprimée en hertz (Hz), est
multipliée par $2^{\frac{1}{12}}.$
\item On dit qu’une note $N_1$ est plus aiguë qu’une note $N_2$ lorsque la fréquence de $N_1$ est
supérieure à celle de $N_2$. On dit également que $N_2$ est plus grave que $N_1$.
\item À chaque octave est associé un indice $n$ entier naturel et les notes d’une octave portent
l’indice de cette octave. Ainsi LA$_3$ (le LA du diapason) correspond à la note LA de
l’octave d’indice 3 et LA$_4$ correspond à la note LA de l’octave d’indice 4 située au-dessus
de l’octave d’indice 3. La fréquence de la note LA$_3$ est égale à \np[Hz]{440}.
\item Si $I$ est l’intensité sonore (exprimée en $\mathrm{W} \cdot \mathrm{m}^{-2})$ d’un son, alors son niveau sonore,
exprimé en décibels (dB), est $N(I)=10\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ avec $I_0= \np[W\cdot m^{-2}]{e{-12}}$
\item Les intensités sonores s’ajoutent.
\item La différence de hauteur, exprimée en savarts, entre deux notes de fréquences $f_1$ et $f_2$
exprimées en hertz (avec   $f_1> f_2$), est donnée par $\np{1000}\log\left(\dfrac{f_1}{f_2}\right)$
, où $\log$ désigne la fonction logarithme décimal.
\end{itemize}\\
\hline

\end{tabularx}
\setlength\parindent{0mm}


On considère une guitare qui comporte six cordes et des tiges métalliques situées sur le manche,
appelées frettes, permettant en pinçant les cordes de modifier la note produite.

\psset{unit=0.875cm}
\begin{pspicture}(16,4)
%\psgrid
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=Dandelion](0,1.2)(16,1.2)(16,2.7)(0,2.7)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=white](15.1,1.2)(15.2,2.7)
\multido{\n=1.35+0.25}{6}{\psline[linewidth=1pt](0,\n)(16,\n)}
\psline(0.3,1.2)(0.3,2.7)
\psline(0.6,1.2)(0.6,2.7)
\psline(0.9,1.2)(0.9,2.7)
\psline(1.22,1.2)(1.22,2.7)
\psline(1.6,1.2)(1.6,2.7)
\psline(1.95,1.2)(1.95,2.7)
\psline(2.3,1.2)(2.3,2.7)
\psline(2.7,1.2)(2.7,2.7)
\psline(3.15,1.2)(3.15,2.7)
\psline(3.6,1.2)(3.6,2.7)
\psline(4.1,1.2)(4.1,2.7)
\psline(4.6,1.2)(4.6,2.7)
\psline(5.15,1.2)(5.15,2.7)
\psline(5.75,1.2)(5.75,2.7)
\psline(6.4,1.2)(6.4,2.7)
\psline(7.05,1.2)(7.05,2.7)
\psline(7.8,1.2)(7.8,2.7)
\psline(8.5,1.2)(8.5,2.7)
\psline(9.2,1.2)(9.2,2.7)
\psline(10.1,1.2)(10.1,2.7)
\psline(10.9,1.2)(10.9,2.7)
\psline(11.9,1.2)(11.9,2.7)
\psline(12.9,1.2)(12.9,2.7)
\psline(14,1.2)(14,2.7)
\rput(12,0.2){Frettes}\psline{->}(11.6,0.3)(10.9,1.2)\psline{->}(11.6,0.3)(11.9,1.2)
\rput(5,3.5){Manche de la guitare}\psline{->}(6,3.3)(5,2.7)
\rput(11,3.5){Cordes}
\psline{->}(11,3.2)(9,2.6)
\psline{->}(11,3.2)(9,2.35)
\psline{->}(11,3.2)(9,2.1)
\psline{->}(11,3.2)(9,1.85)
\psline{->}(11,3.2)(9,1.6)
\psline{->}(11,3.2)(9,1.35)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=Dandelion]{
\pscurve(15.2,2.7)(15.4,2.78)(15.6,2.9)(15.8,3.1)(16,3.25)
\psline(16,2.7)(15.2,2.7)
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=Dandelion]{
\pscurve(15.2,1.2)(15.4,1.12)(15.6,1)(15.8,0.8)(16,0.65)
\psline(16,1.2)(15.2,1.2)
}
\end{pspicture}

\medskip

On peut gratter chaque corde \og à vide\fg, c’est-à-dire sans pincer la corde sur le manche, ce qui
produit un son ; on peut aussi gratter chaque corde en la pinçant entre deux frettes, ce qui produit un
autre son.

\begin{itemize}
\item Les notes produites par chacune des six cordes grattées \og à vide\fg{} sont les suivantes :

MI$_1$, LA$_1$, RÉ$_2$, SOL$_2$, SI$_2$ et MI$_3$.
\item  En pinçant une corde, on peut monter au maximum de 24 demi-tons à partir de la note
obtenue lorsque la même corde est grattée \og à vide\fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la note la plus aiguë que l’on puisse obtenir avec cette guitare est MI$_5$.
\item \begin{enumerate}
\item  Justifier que la fréquence, arrondie à l’unité, de la note MI$_3$ vaut \np[Hz]{330}.
\item Calculer la fréquence, arrondie à l’unité, de la note la plus grave produite par une corde
grattée \og à vide\fg{} (MI$_1$).
\item Calculer la différence de hauteur, exprimée en savarts, entre les notes MI$_1$ et MI$_3$.
Arrondir le résultat à l’unité.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau en \textbf{annexe page~\pageref{exo}/\pageref{LastPage}, à rendre avec la copie.}
\item Un guitariste a endommagé la corde qui produit un MI$_3$ à vide et ne peut s’en servir.

Combien de demi-tons séparent désormais la note la plus grave et la note la plus aiguë
jouable sur cette guitare ?
\end{enumerate}
\item Le niveau sonore des sons produits par cette guitare vaut \np[dB]{90}.

Quatre guitares du même modèle jouent simultanément avec un niveau sonore de \np[dB]{90}  chacune.

Calculer le niveau sonore, exprimé en dB, des sons produits par ces quatre guitares jouant simultanément
\end{enumerate}



\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}  portant sur l’enseignement renforcé \hfill (6 points)}

\vspace{0.5cm}

Le rapport 2017 du SNEP (Syndicat National de l’Édition Phonographique) présente une synthèse
du marché français de la musique enregistrée.

La répartition ci-dessous donne les revenus annuels de la musique enregistrée en France entre 2010
et 2016, les montants étant exprimés en \textbf{millions d’euros}.

On distingue deux types de revenus :
\begin{itemize}
\item les revenus des ventes physiques correspondant aux ventes de CD, disques vinyles,…
\item les revenus des ventes numériques correspondant aux ventes des services d’accès à la
musique en ligne (téléchargement légal ou lecture en ligne).
\end{itemize}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
Année& 2010& 2011& 2012& 2013& 2014& 2015 &2016\\\hline
Rang de l’année : $x_i$& 0& 1 &2& 3& 4 &5& 6\\\hline
Revenus annuels des ventes
physiques en millions d’euros : $y_i$ &466& 413& 364& 367& 325& 274& 267\\\hline
Revenus annuels des ventes
numériques en millions d’euros : $z_i$&88& 111& 125& 126& 133 &152& 183\\\hline
\multicolumn{8}{r}{\emph{Source : rapport 2017 du SNEP}}
\end{tabularx}

\medskip

Le nuage des points de coordonnées $( x_i~;~y_i)$ associé à la série des revenus des ventes physiques est
représenté, en annexe  page~\pageref{exo}/\pageref{LastPage}, par des croix $\times$.

Le nuage des points de coordonnées $(x_i~;~z_i)$ associé à la série des revenus des ventes numériques
est représenté, en annexe page~\pageref{exo}/\pageref{LastPage}, par des points $\bullet$.

\begin{enumerate}
\item  On note $\mathcal{D}$ la droite d’ajustement de $y$ en $x$ de la série $(x_i~;~y_i)$, obtenue par la méthode des
moindres carrés. Donner l’équation de la droite $\mathcal{D}$ sous la forme $y = ax + b$ et la tracer dans le
repère donné en \textbf{annexe  page~\pageref{exo}/\pageref{LastPage}, à rendre avec la copie}. Les valeurs $a$ et $b$ seront arrondies  au centième. Aucune justification n’est attendue.
\end{enumerate}
Dans la suite de l’exercice, on choisit de modéliser l’évolution des revenus des ventes physiques
jusqu’en 2020 par la droite d’équation $y = -33x + 452$.
\begin{enumerate}[resume]
\item Donner une estimation des revenus, en millions d’euros, des ventes physiques en 2020, selon ce
modèle. Expliquer la démarche.
\end{enumerate}
On admet qu’une droite d’ajustement de la série $( x_i~;~z_i) $   a pour équation $y =13x + 91$ et que ce
modèle est valide jusqu’en 2020.
\begin{enumerate}[resume]
\item  Selon ce modèle, à partir de quelle année le revenu des ventes numériques sera-t-il supérieur à
210 millions d’euros ?
\item En utilisant ces deux modèles, estimer l’année à partir de laquelle les revenus des ventes
numériques dépasseront les revenus des ventes physiques. Expliquer la démarche.
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}
\end{center}
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice}3}

\medskip

\textbf{Question 3. a.}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.75cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline 
Notes							& MI$_1$ et LA$_1$& LA$_1$ et RÉ$_2$&RÉ$_2$ et SOL$_2$& SOL$_2$ et SI$_2$ &SI$_2$ et MI$_3$\\\hline
Nombre de demi-tons séparant les
deux notes 						&5					&				&				&			&\\\hline
\end{tabularx}
\label{exo}

\vspace{1.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4}

\medskip

\textbf{Question 1.}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1.205cm,yunit=0.015cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.05,-100)(11.6,550)
\multido{\n=0+0.2}{58}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,540)}
\multido{\n=0+20}{28}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(11.4,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,,Dy=100,]{-}(0,0)(11.2,550)
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](0,466)(1,413)(2,364)(3,367)(4,325)(5,274)(6,267)
\psdots[dotstyle=Bullet,dotscale =1.4](0,88)(1,111)(2,125)(3,126)(4,133)(5,152)(6,183)
\uput[ur](0,550){\footnotesize Revenus annuels }
\uput[ur](0,535){\footnotesize en millions d'euros}
\uput[dl](11,- 30){\footnotesize Rang de l'année : $x_i$}
\end{pspicture}

Le nuage des points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$   associé à la série des revenus des ventes physiques est représenté par des croix $\times$.

Le nuage des points de coordonnées $\left(x_i~;~z_i\right)$    associé à la série des revenus des ventes numériques est représenté par des points {\huge $\bullet$}.
\end{document}