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% Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\e{\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technologique, techniques de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Groupements I-II-III-IV }}
\rfoot{\small{18 juin 2019}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat technologique Métropole ~\decofourright   \\[4pt]Techniques de la musique et de la danse \hspace{1em} 19 juin 2018}}
    
\end{center}

\vspace{0,75cm}

Le candidat traitera \textbf{{\large trois} \textsc{exercices} }:

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] \textbf{ Obligatoirement l'exercice 1}
\item[$\bullet~~$] \textbf{ Obligatoirement l'exercice 2}
\item[$\bullet~~$] \textbf{ L’exercice} 3 (qui porte sur le programme de l’enseignement obligatoire)

\textbf{\large OU} \textbf{ l’exercice} 4  (qui porte sur le programme de l’enseignement renforcé.
\end{itemize}

\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Le candidat  indiquera clairement son choix sur la copie.}

\medskip
L’annexe en page ~\pageref{annexe} est à rendre avec la copie.

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill (7 points)}

\vspace{0.5cm}


Une classe de Terminale TMD comporte des élèves musiciens et des élèves danseurs.

Pour les besoins d’une enquête, on a distribué un questionnaire concernant les loisirs
à tous les élèves de cette classe. Tous y ont répondu.

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie A :}

\vspace{0.25cm}


Dans cette partie, on choisit un questionnaire au hasard parmi ceux des \textbf{élèves musiciens}
interrogés.

On considère les évènements :

\begin{itemize}
\item[] $F$ : \og le questionnaire est celui d’une fille \fg{};
\item[] $L$ : \og le questionnaire est celui d’un élève dont le loisir préféré est la lecture \fg.
\end{itemize}

\framebox{
\begin{minipage}[]{0.9\linewidth}
On rappelle que $B$ étant un évènement de probabilité non nulle, $P_B(A)$ est la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.

$\overline{B}$ est l'évènement contraire de $B$.\end{minipage}}

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau d’effectifs en \textbf{annexe page \pageref{annexe}/\pageref{LastPage}, à rendre avec la copie}.

Dans toute la suite de cette partie les résultats seront donnés sous forme de fractions
irréductibles.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité $P(F)$ de l’évènement $F$ .
		\item Calculer la probabilité $P(L)$ de l’évènement $L$.
		\item Décrire par une phrase, dans le contexte de l’énoncé, l’évènement $F\cap L$ puis calculer sa probabilité.
		\item Les évènements $F$ et $L$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que le questionnaire choisi est celui d’une fille, calculer la probabilité que
ce soit celui d’un élève dont le loisir préféré est la lecture.
		\item Calculer $P_{\overline{F}}(L)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie B}

\vspace{0.25cm}

Dans cette partie, on choisit un questionnaire au hasard parmi ceux des \textbf{élèves danseurs} interrogés.

On reprend les mêmes notations pour les évènements que dans la \textbf{partie A} c’est-à-dire :
\begin{itemize}
\item[]$F$ : \og le questionnaire est celui d’une fille \fg{} ;
\item[]$L$ : \og le questionnaire est celui d’un élève dont le loisir préféré est la lecture \fg.
\end{itemize}

On admet que l’on peut modéliser cette expérience aléatoire par l’arbre de probabilités suivant :
\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$F$~}\taput{$\np{0.75}$}}
	{
	\TR{$L$}\taput{$\np{0.72}$}
	\TR{$\overline{L}$}\tbput{$\np{0.28}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{F}$~}\tbput{$\np{0.25}$}}
	{\TR{$L$}\taput{$\np{0.74}$}
	\TR{$\overline{L}$}\tbput{$\np{0.26}$}
	}
}
\end{center}
\medskip

Dans toute la suite de cette partie les résultats seront donnés sous forme décimale.
\begin{enumerate}
\item  Par lecture de l’arbre, donner la probabilité que le questionnaire soit celui d’un élève dont
le loisir préféré est la lecture sachant que c’est une fille.
\item Déterminer $P(L)$ .
\item Le professeur de danse a calculé que parmi les lecteurs, 74\,\% d’entre eux sont des filles.

A-t-il raison ? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}

\medskip
\framebox{
\begin{minipage}[]{0.9\linewidth}
\textbf{RAPPELS}
\begin{itemize}
\item [$\bullet$] Dans la gamme de tempérament égal, l’octave est divisée en douze demi-tons égaux
séparant les notes DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI. Quand
on monte d’un demi-ton, la fréquence de la note, exprimée en hertz (Hz), est multipliée
par $2^{\frac{1}{12}}$ .

\item [$\bullet$] À chaque octave est associé un indice $n$ entier naturel et les notes d’une octave portent l’indice de cette octave. Ainsi LA$_3$ (le LA du diapason) correspond à la note LA de l’octave d’indice 3 et LA$_4$ correspond à la note LA de l’octave d’indice 4 située au dessus de l’octave d’indice 3. La fréquence de la note LA$_3$ est égale à \np[Hz]{440} .

\item [$\bullet$]La différence de hauteur, exprimée en savarts, entre deux notes de fréquences $f_1$ et $f_2$ exprimées en hertz (avec $f_1 > f_2$ ), est donnée par $\np{1000} \log \left(\dfrac{f_1}{f_2}\right)$, où $\log$ désigne la
fonction logarithme décimal.

\item [$\bullet$] Une quinte juste contient sept demi-tons.

\item [$\bullet$] Lorsque deux entiers $a$ et $b$ ont le même reste dans la division euclidienne par 12, on dit
que $a$ est congru à $b$ modulo 12 et on note $a  \equiv b$  modulo 12.
\end{itemize}
\end{minipage}
}

\medskip

Luc et Émilie sont frère et s\oe ur  ; ils aiment tous deux la musique et l’arithmétique.

Ils s’amusent parfois à inventer de petits jeux qui mêlent les deux disciplines.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Premier jeu :} Luc propose une note. Émilie joue avec sa clarinette la note 3 quintes au dessus de celle proposée par Luc.
	\begin{enumerate}
		\item  Luc propose la note RÉ\#$_3$. Quelle est la note jouée par Émilie ?
		\item Si Émilie joue un SI$_5$, quelle est la note proposée par Luc ?
		\item Calculer la fréquence du RÉ\#$_3$ ; \emph{\footnotesize le résultat sera arrondi à l’entier le plus proche.}
		\item Quel est le rapport de fréquence entre la note proposée par Luc et celle jouée par Émilie ?
		\item Calculer la différence de hauteur, en savarts, entre la note proposée par Luc et celle jouée par Émilie ; \emph{\footnotesize le résultat sera arrondi à l’entier le plus proche.}
	\end{enumerate}
\item \textbf{Deuxième jeu :} Lorsque Luc joue une note, Émilie repère l’entier naturel $n$ correspondant à cette note dans le tableau ci-dessous et calcule l’entier $m$ compris entre 0 et 11 de la façon suivante :

\[m \equiv 5n+1 \ \text{modulo }\ 12 .\]

Elle joue ensuite la note associée à $m$ avec sa clarinette.

\smallskip
\begin{tabular}{|m{1.62cm}|*{12}{c|}}\hline
$n$					& 0	& 1	& 2	& 3 	&4 	&5 	&6 	&7	& 8	& 9 &10	& 11\\\hline
Note associé à $n$	&DO &DO\#& RÉ& RÉ\#& MI& FA& FA\#& SOL& SOL\#& LA& LA\#& SI\\\hline
\end{tabular}

	\begin{enumerate}
		\item Luc joue un DO. Quelle est la note jouée par Émilie ?
		\item Compléter le tableau en \textbf{annexe page \pageref{annexe}/\pageref{LastPage}, à rendre avec la copie}.
\item Émilie joue la phrase musicale suivante :

DO\# --- DO\# --- DO\# --- SI --- LA --- SI --- DO\# --- LA --- SI --- SI --- DO\#.

Quelle était la phrase musicale jouée par Luc ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} portant sur l’enseignement obligatoire \hfill  7 points}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l’intervalle $[-1~;~4]$.
On désigne par $f'$ sa fonction dérivée. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère orthonormé  \Oij ci-dessous.
La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d’abscisse $x = 0$.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-1.6,-2.5)(4.2,3.3)
\multido{\n=-1+1}{6}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-2.2)(\n,3.1)}
\multido{\n=-2+1}{6}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-1.6,\n)(4.2,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt]{-}(0,0)(-1.6,-2.2)(4.3,3.1)
\def\Func{x 2 exp x 2 mul add 2.71828 x exp div 1 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{4}{\Func}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](-0.8,-1.2){\blue $\displaystyle \mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=0.95pt,linecolor=cyan]{-1.6}{1.1}{x 2 mul 1 add}
\uput[dl](-1.1,-1.2){\textcolor{cyan}{$T$}}
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0)\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1)\uput[d](0.4,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie A : lecture graphique}

\vspace{0.25cm}


Les réponses aux questions suivantes seront données avec la précision permise par la lecture du
graphique. Aucune justification ni aucun calcul ne sont attendus.

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la valeur maximale de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-1~;~4]$?

Pour quelle valeur est-elle atteinte ?
\item Résoudre l’équation   $f(x)= - 1$ sur l’intervalle $[-1~;~4]$.
\item Quelle est la valeur de  $f'(0)$?
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie B : étude de la fonction $f$}

\vspace{0.25cm}
 
On admet que la fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[-1~;~4]$ par :

\[f(x)=\dfrac{ x^2+ 2x}{\e^x}+ 1.\]

\begin{enumerate}
\item À l’aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs présenté en \textbf{annexe page \pageref{annexe}/\pageref{LastPage},
à rendre avec la copie}. Ces valeurs seront arrondies au \textbf{centième}.
\item Démontrer que pour tout nombre réel $x$ de l’intervalle $[-1~;~4]$ :
\[f (x)=\dfrac{2-x^2}{\e^x}.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que $2- x^2 = \left(\sqrt{2} - x\right)\left(\sqrt{2} + x\right)$.
		\item En déduire le signe de $f'(x)$    sur l'intervalle $[-1~;~4]$.
		\item Donner les variations de la fonction $f$ sur l’intervalle $[-1~;~4]$.
		\item En déduire que $f$ admet sur l’intervalle $[-1~;~4]$ une valeur maximale dont on déterminera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $f'(0)$, le nombre dérivé de $f$ en 0.
\item La courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente $T$ au point A d’abscisse 0.

Déterminer une équation de la droite $T$ .

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} portant sur l’enseignement renforcé\hfill  7 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[\np{0.5}~;~\np{3.5}]$, d’expression :

\[f (x)=x -x\ln(x)\ \text{où }\ln \text{représente le logarithme népérien du nombre  }\ x.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé

\Oij{}  d'unité graphique \np[cm]{2}.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\definecolor{grey}{rgb}{0.5,0.5,0.5}
\begin{pspicture}(-0.3,-1.5)(4.2,1.9)
\def\Func{x x x ln mul sub}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=grey,linecolor=aliceblue]
{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{\Func}
\lineto(2.7818,0)\lineto(1,0)
\closepath % indispensable !
}
\multido{\n=-0.4+0.2}{23}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](\n,-1.2)(\n,1.4)}
\multido{\n=-1.2+0.2}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](-0.4,\n)(4.1,\n)}
\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=lightgray](\n,-1.2)(\n,1.4)}
\multido{\n=-1+1}{3}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=lightgray](-0.4,\n)(4.1,\n)}
\psaxes[linewidth=1.3pt]{-}(0,0)(-0.4,-1.2)(4.1,1.4)

\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{3.5}{\Func}
\uput[dl](0,0){O}
\uput[ur](2,0.6){\blue $\displaystyle \mathcal{C}$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0)\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1)\uput[d](0.4,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](-0.1,0.5){$\vect{\jmath}$}

\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte du nombre  $f(\e)$.
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[\np{0.5}~;~\np{3.5}]$, $f' (x)= - \ln(x)$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[\np{0.5}~;~\np{3.5}]$.
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[\np{0.5}~;~\np{3.5}]$.
	\end{enumerate}
\item Justifier que $f (x)$ est positif, pour tout $x$ appartenant à l’intervalle [1 ; \e] .
\item Par lecture graphique, donner un encadrement en unités d’aire par deux entiers consécutifs de l’aire grisée.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On considère la fonction $F$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[\np{0.5}~;~\np{3.5}]$, par :
\[F (x)= \dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{x^2}{2}\ln(x)\]

Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[\np{0.5}~;~\np{3.5}]$.
		\item On considère l'intégrale $K$ définie par :
\[\displaystyle  K=\int_1^{\e} f(x)\mathrm{d}x\]

Calculer la valeur exacte de cette intégrale $K $ et en donner une valeur approchée au centième.
		\item On considère la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, les droites
d'équations $x = 1$,  $x =\e$ et la courbe $\mathcal{C}$ .

On désigne par $A$ la mesure, exprimée en cm$^2$, de l'aire de cette partie du plan.

Donner une valeur arrondie au centième de $A$ en cm$^2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}

\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}
\end{center}
\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\textbf{Partie A}

\textbf{Question 1 : tableau d’effectifs}

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\cline {2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&Le loisir préféré
est la lecture&
Le loisir préféré
n’est pas la lecture&
\multirow{2}{1.cm}{Total}\\\hline
Nombre de filles &&2& 4\\\hline
Nombre de garçons& 1&&\\\hline
Total &&&9\\\hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}}

\textbf{Question 2. b.}

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.87cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Note proposée
par Luc&
DO			& DO\# 	&RÉ	& RÉ\# &MI &FA &FA\# &SOL&SOL\#& LA& LA\# &SI\\\hline
$n$ repéré
par Émilie 	&0 		&1	& 2 	&3	& 4	& 5	& 6	& 7	& 8	& 9	& 10	& 11\\\hline
$m$ calculé
par Émilie	&		&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&8\\\hline
Note jouée
par Émilie	&		&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&SOL\#\\\hline
\end{tabularx}

\vspace{2cm}
\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\textbf{Partie B}

\textbf{Question 1 : tableau de valeurs} (valeurs à arrondir au \textbf{centième)}

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x$		& $-1$ 	&0	&1	&2	&3	&4\\\hline
$f(x)$	&		&	&	&	&	&\\\hline
\end{tabularx}

\label{annexe}
\end{document}

GROUPEMENTS I-II-III-IV BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE
Coef : 3 Session : 2019 Durée : 2 heures
SÉRIES TMD Épreuve : MATHÉMATIQUES
Repère : 19MAMDME1 Ce sujet comporte : 10 pages Page : 1/10
BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE
TECHNIQUES DE LA MUSIQUE ET DE LA DANSE
SESSION 2019
ÉPREUVE DU MARDI 18 JUIN 2019
MATHÉMATIQUES
NOTE IMPORTANTE
Dès que le sujet de l’épreuve vous est remis, assurez-vous qu’il est complet comme l’indique le cartouche situé en bas de page, en vérifiant le nombre de documents en votre possession.
S’il est incomplet, demandez immédiatement aux surveillants les documents qui vous manquent.
L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.
Conformément à la note de service n°2005-173 du 2 novembre 2005, il n’y a pas de formulaire pour cette épreuve.
LE CANDIDAT TRAITERA TROIS EXERCICES :
 OBLIGATOIREMENT L’EXERCICE 1
 OBLIGATOIREMENT L’EXERCICE 2
 L’EXERCICE 3 (qui porte sur le programme de l’enseignement obligatoire) OU L’EXERCICE 4 (qui porte sur le programme de l’enseignement renforcé).
LE CANDIDAT INDIQUERA CLAIREMENT SON CHOIX SUR LA COPIE.
Le sujet comporte 10 pages, avec l’annexe, numérotées de 1/10 à 10/10.

GROUPEMENTS I-II-III-IV BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE
Coef : 3 Session : 2019 Durée : 2 heures
SÉRIES TMD Épreuve : MATHÉMATIQUES
Repère : 19MAMDME1 Ce sujet comporte : 10 pages Page : 2/10