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% Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\def\e{\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Groupements I-II-III-IV }}
\rfoot{\small{15 juin 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Groupements I-II-III-IV 15 juin 2016~\decofourright \\[4pt]Technique de la musique et de la danse}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traitera trois exercices :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 1
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 2
\item[$\bullet~~$] Au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill(7 points)}
 
Les élèves musiciens d’un lycée ont la possibilité de suivre trois activités différentes :

\setlength\parindent{10mm}

\begin{itemize}
\item [\textbullet ~~] le \emph{marching-band} qui est une sorte de fanfare très populaire où des élèves jouent d’un
instrument en marchant en rythme ou en dansant ;
\item [\textbullet~~] la chorale du lycée ;
\item [\textbullet~~] l’orchestre du lycée.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On ne s’intéresse dans cet exercice qu’aux élèves musiciens de ce lycée.

Une étude montre que :
\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item [\textbullet] chaque élève n’est inscrit qu’à l’une de ces trois activités ;
\item[\textbullet] $\dfrac{2}{5}$ de ces élèves sont des garçons parmi lesquels $\dfrac{1}{10}$ sont inscrits à la chorale et $\dfrac{2}{5}$ à l’orchestre ;
\item[\textbullet] les élèves filles, quant à elles, se répartissent de la façon suivante :

$\dfrac{1}{6}$ sont inscrites à l’activité \emph{ marching-band} et $\dfrac{1}{3}$ à la chorale.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}


On choisit au hasard un élève musicien de ce lycée. Tous les élèves ont la même probabilité d’être
choisis.

On considère les évènements suivants :

\begin{tabbing}
\hspace{10mm}\=$G$ : \og l’élève est un garçon \fg ;\hspace{4cm}\= $F$ : \og l’élève est une fille \fg ;\\
\>$M$ : \og l’élève est inscrit au marching-band \fg ;\> $C$ : \og l’élève est inscrit à la chorale \fg ;\\
\>$O$ : \og l’élève est inscrit à l’orchestre \fg ;
\end{tabbing}
\medskip

On notera : $p(A)$ la probabilité d’un évènement $A$ ;
  $p_B ( A)$ la probabilité d’un évènement $A$ sachant qu’un évènement $B$ est réalisé.
  
\smallskip
\textbf{Les résultats des probabilités seront donnés sous forme de fractions.}

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité $p(F)$ de l’évènement $F$.
\item Reproduire et compléter l’arbre de probabilités modélisant la situation étudiée :


\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$G$~}\taput{$\frac{2}{5}$}}
	  { 
		  \TR{$M$}\taput{\ldots}
		  \TR{$C$}\taput{\footnotesize $\frac{1}{10}$}	
		  \TR{$O$}\tbput{\ldots}   
	  }
	\pstree{\TR{$F$~}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$M$}\taput{\footnotesize $\frac{1}{6}$}
		  \TR{$C$}\tbput{\ldots}
		  \TR{$O$}\tbput{\ldots}
	  }		  
}
\end{center}


\item Traduire l’évènement $G \cap C$ par une phrase puis calculer sa probabilité $p(G \cap C)$.
\item Prouver que la probabilité $p(C)$ est égale à $\dfrac{6}{25}$.
\item Calculer la probabilité  $p_C (G)$.
\item Calculer la probabilité que l’élève choisi soit une fille sachant qu’il fait partie de la chorale.

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill(6 points)}

\medskip
Le niveau sonore $N (I )$, exprimé en décibels (dB), d’un son d’intensité acoustique $I$ est donné par la
formule :

\[N (I)=10 \log \left(\dfrac{I}{I_0}\right),\]

où $I_0$ correspond à la plus petite intensité perceptible par l’oreille humaine et où $\log$ désigne le
logarithme décimal.

On rappelle que, pour tous nombres réels strictement positifs $a$ et $b$ :

\[\log (ab) = \log a + \log b \quad \text{ et  }\quad \log \left(\dfrac{a}{b}\right)= \log a -\log b.\]

\smallskip
\begin{enumerate}
\item  L’intensité I d’une sonnerie de téléphone est telle que $I = I_0 \times 10^ 7$.

Calculer le niveau sonore correspondant, exprimé en décibels.
\item Pour l’oreille humaine, le seuil de la douleur est situé à \np[dB]{130}. Pour un tel son, donner
l’expression de l’intensité acoustique en fonction de $I_0$ .
\item \begin{enumerate}
\item   On considère deux sons d’intensités acoustiques $I_1$ et $I_2$.

Démontrer que : $N(I_2)-N(I_1)=10\log\left(\dfrac{I_2}{I_1}\right)$.

\emph{On pourra utiliser ce résultat pour répondre aux deux questions suivantes.}
\item Démontrer que si on double l’intensité acoustique d’un son, alors son niveau sonore augmente
d’environ \np[dB]{3}.
\item Des bouchons antibruit permettent une atténuation du niveau sonore de \np[dB]{20}.

On appelle $I_e$ l’intensité du son émis et $I_ p$ l’intensité du son perçu avec les bouchons.

Démontrer que $I_e =100 I_p$ .
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill(7 points)}

\smallskip
 Enseignement obligatoire (au choix)
 \smallskip
 
On désigne par I l’intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~4\right]$.

On désigne par $\ln$ la fonction logarithme népérien.

On note $\e $ le nombre réel tel que $\ln (\e) =1$.

On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle I par :
  
\[f(x)=\dfrac{\ln (x )}{x}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij.

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle I, $f'(x)=\dfrac{1- \ln(x)}{x^2}$
\item Sur l’intervalle I, résoudre l’équation $ 1- \ln (x) = 0$, puis résoudre l’inéquation $1- \ln (x) > 0$ .
\item En déduire le signe de $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l’intervalle I. Dresser le tableau de
variation de la fonction $f$ , en faisant apparaître la valeur exacte du maximum.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  La courbe $\mathcal{C}$ possède une tangente parallèle à l’axe des abscisses en un point A.

Donner les coordonnées de ce point A.
\item On appelle B le point de la courbe $\mathcal{C}$ d’abscisse 1. On appelle $\mathsf{D}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$
au point B.
Déterminer l’équation réduite de la droite $\mathsf{D}$.
\end{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. On donnera des valeurs approchées
arrondies au centième.

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}p{1.2cm}|}}
\hline
$x$& 0,5& 1& 1,5& 2& \e &3,5& 4\\\hline
$f (x)$&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}




\medskip
\item En prenant comme unités graphiques : \np[cm]{4}  sur l’axe des abscisses et \np[cm]{8}  sur l’axe des
ordonnées, construire dans le repère  \Oij~  la courbe $\mathcal{C}$ ainsi que la tangente $\mathsf{D}$. Utiliser le
papier millimétré fourni.
\end{enumerate}


\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill(7 points)}

\smallskip
 Enseignement renforcé (au choix)
\smallskip

On désigne par I l’intervalle $\left[-\dfrac{5}{2}~;~5\right]$.

On considère la fonction $f$, définie sur l’intervalle I, par :
\[f(x)=\dfrac{x+2}{\e^x}.\]

où $\e^x$ représente l’exponentielle du nombre réel $x$.

Sur la feuille annexe (page \pageref{courbe}/\pageref{LastPage}) à rendre avec la copie, on a tracé la courbe $\mathcal{C}$ dans un repère
orthonormal \Oij{}  d’unité graphique 2 centimètres.
\begin{enumerate}
\item  Calculer les valeurs exactes des nombres réels $f (-1)$ et $f (1)$ .
\item Résoudre l’équation $f (x) = 0$ sur l’intervalle I. Interpréter graphiquement le résultat.
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l’intervalle I.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que, pour tout réel $x$ de l’intervalle I,
\[f'(x) =\dfrac{-x-1}{\e^x}.\]
\item Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l’intervalle I.

En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle I.
\end{enumerate}
\item On considère la fonction $F$ définie sur l’intervalle I, par :
\[F (x)= \dfrac{-x - 3}{\e^x}.\]
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l’intervalle I.
		\item Calculer la valeur exacte de l’intégrale :
\[\displaystyle \int_{-2}^0 f(t)\mathrm{d}t.\]
\item On considère la partie du plan délimitée d’une part par l’axe des ordonnées et la droite
d’équation $x = -2$, d’autre part par l’axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$ , et contenant le point de coordonnées $(-1~,~1)$ .

Hachurer cette partie du plan sur la feuille annexe (page \pageref{courbe}/\pageref{LastPage}) \textbf{à rendre avec la copie.}
		\item Soit $A$ la mesure, en cm$^2$ , de l’aire de cette partie du plan.
Déterminer la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième de la mesure $A$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE DE l'EXERCICE 4\\[5pt]à rendre avec la copie}

\vspace{1,5cm}

\psset{unit=1.6cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-3.05,-6.5)(5.05,3.15)
\multido{\n=-3+1}{9}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,-6)(\n,3)}
\multido{\n=-6+1}{10}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](-3,\n)(5.05,\n)}
\psaxes[linewidth=1.pt](0,0)(-3.05,-6.2)(5.1,3.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.495}{5}{x 2 add 2.71828 x exp div}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed] (-2.5,0)(-2.5,-6)
\uput[dl](0,0){O}
\uput[u](-2.5,0){\!\! $-\dfrac{5}{2}$}
\end{pspicture}
\end{center} 

Rappel : \Oij{} est un repère orthonormal d'unité 2\,cm.

\label{courbe}
\end{document}


