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% Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technologique, techniques de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Groupements I-II-III-IV }}
\rfoot{\small{8 septembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat technologique Métropole ~\decofourright   \\[4pt]Techniques de la musique et de la danse \hspace{1em} 8 septembre 2020}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

LE CANDIDAT TRAITERA TROIS EXERCICES :

\begin{itemize}
\item OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 1
\item OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 2
\item L'EXERCICE 3 (qui porte sur le programme de l'enseignement obligatoire) OU L'EXERCICE~4 (qui porte sur le programme de l'enseignement renforcé).
\end{itemize}

\bigskip

{\bfseries EXERCICE 1 \hfill 7 points}

\medskip

Dans une école de danse, trois types de cours sont dispensés :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item des cours de danse contemporaine ;
\item des cours de modern-jazz;
\item des cours de danse classique.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

Chaque élève de cette école choisit, le jour de son inscription, un et un seul type de cours qu'il suivra pendant l'année.
L'étude du fichier des élèves inscrits dans cette école révèle que:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item 35\,\% des élèves suivent des cours de danse contemporaine;
\item 40\,\% des élèves suivent des cours de modern-jazz;
\item 44\,\% des élèves sont des garçons ;
\item parmi les élèves inscrits au cours de danse contemporaine, il y a autant de filles que de garçons;
\item 60\,\% des élèves inscrits au cours de modern-jazz sont des garçons.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

On choisit au hasard un élève inscrit dans cette école et on considère les évènements ci- dessous:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item $C$ : \og l'élève suit les cours de danse contemporaine \fg{} ; 
\item $J$ : \og l'élève suit les cours de modern-jazz \fg{} ;
\item $L$ : \og l'élève suit les cours de danse classique \fg{} ;
\item $G$ : \og l'élève est un garçon \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
On note $\overline{A}$ l'évènement contraire d'un évènement $A$.\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\
$A$ étant un évènement de probabilité non nulle, on note $P_A(B)$ la probabilité de
l'évènement $B$ sachant que $A$ a été réalisé.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

Dans cet exercice, on donnera les résultats sous forme décimale exacte. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide des données de l'énoncé :
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de la probabilité $p(C)$ de l'évènement $C$.
		\item Donner la valeur de la probabilité $P_C(G)$ de l'évènement $G$ sachant que
l'évènement $C$ est réalisé.
	\end{enumerate}
\item  Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous correspondant à la situation décrite dans l'énoncé. Seules les sept valeurs représentées par des pointillés sont attendues.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$~~}\taput{\ldots}}
	{
	\TR{$G$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{G}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$J$~~}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$G$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{G}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$L$~~}\tbput{\ldots}}
	{\TR{$G$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{G}$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center}


\item Calculer la probabilité que l'élève choisi soit un garçon inscrit aux cours mde modern-jazz.
\item Démontrer que la probabilité $P(L \cap G)$ de l'évènement $L \cap G$ vaut 0,025.
\item Calculer la probabilité $P_L(G)$ de l'évènement $G$ sachant que l'évènement $L$ est réalisé.
\item On affirme que parmi les filles inscrites cette année-là, plus d'un tiers suivent des cours de danse classique. Cette affirmation est-elle exacte ?
\end{enumerate}

\bigskip

{\bfseries EXERCICE 2 \hfill 7 points}

\medskip

\textbf{Cet exercice comporte deux parties qui peuvent être traitées indépendamment}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-3~;~1,5]$. On désigne par $f'$ sa fonction dérivée.

\smallskip

Sur l'\textbf{annexe}, on a tracé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij.

\bigskip

\textbf{Partie 1 : Étude graphique}

\medskip

Les réponses aux questions suivantes seront données avec la précision permise par la lecture graphique. Aucune justification n'est attendue.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les valeurs de $f( -2)$ et de $f(0)$.
\item  Estimer $f'(0,5)$.
\item  Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 0$ dans l'intervalle $[-3~;~1,5]$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2 : Étude algébrique}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[-3~;~1,5]$ par 

\[f(x) = 3 - x^2\text{e}^x.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que, pour tout réel $x$ dans l'intervalle $[-3~;~1,5]$, on a $f'(x) =-x(2 + x)\text{e}^x$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[-3~;~1,5]$.
		\item Construire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[-3~;~1,5]$.
		\item Justifier que, pour tout réel x dans l'\textbf{intervalle} $[-3~;~0]$, on a $f(x) > 2,45$.
		\item Justifier que, dans l'intervalle $[-3~;~1,5]$, l'équation $f(x) = 0 $possède une unique solution.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\bfseries EXERCICE 3 \hfill 6 points}

portant sur l'enseignement obligatoire 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Rappels\\
$\bullet~~$Dans la gamme de tempérament égal, l'octave est divisée en 12 demi-tons égaux
séparant les notes: DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI.\\
$\bullet~~$Quand on monte d'un demi-ton, la fréquence de la note, exprimée en hertz (Hz), est multipliée par $2^{\frac{1}{12}}$.\\
$\bullet~~$À chaque octave est associé un entier $n$ appelé indice et les notes d'une octave portent l'indice de cette octave. Ainsi le LA$_3$ (le LA du diapason) correspond à la note LA de l'octave d'indice 3, le LA$_4$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au- dessus de l'octave d'indice 3. La fréquence de la note LA$_3$ est égale à 440 Hz.\\
$\bullet~~$Une quinte juste contient sept demi-tons.\\
$\bullet~~$Si un son possède une intensité sonore $I$ (exprimée en W.m$^{-2}$) son niveau sonore est exprimé en décibels (dB) par:\\

$N(I)~ 10\log{}\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$\: où\: $I_0 = 10^{-2}\text{W.m}^{-2}$, et log désigne la fonction logarithme décimal.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Les parties 1 et 2 de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau de congruence modulo 12 suivant. Les réponses
attendues sont des entiers compris entre 0 et 11.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$p$& 0 &1 &2 &3&4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11\\ \hline
$7p$ est congru à&& 7 &2 &&&11 &&1 &&3 &10&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Combien y a-t-il de demi-tons entre un DO et un MI de la même octave?
\item On note $p$ le nombre minimal de quintes que l'on doit ajouter à un DO afin d'obtenir un MI.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle égalité, modulo 12, le nombre entier $p$ doit-il vérifier ?
		\item Déterminer la valeur de $p$.
	\end{enumerate}
\item À partir d'un LA$_3$, on monte de 4 quintes justes. Calculer la fréquence, exprimée en Hz, de la note obtenue. Arrondir le résultat à l'unité.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'intensité sonore d'une conversation à voix basse vaut $10^{-10}$ W.m$^{-2}$. 

Calculer le niveau sonore, exprimé en dB, de cette conversation.
\item Un son passe d'un niveau sonore de $15$ dB à $22$ dB.

Par quel nombre l'intensité de ce son a-t-elle été multipliée ?
\end{enumerate}

\bigskip

{\bfseries EXERCICE 4 \hfill 6 points}

portant sur l'enseignement renforcé

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv. On note i le
7r nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.


\smallskip

On considère les points A, B et C d'affixes respectives $Z_{\text{A}},\: Z_{\text{B}}$ et $Z_{\text{C}}$ définis par :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item $Z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$,
\item $Z_{\text{B}}$ a pour module 2 et pour argument $- \dfrac{\pi}{2}$,
\item $Z_{\text{C}} = \dfrac{Z_{\text{A}}}{Z_{\text{B}}}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}
\medskip

Les constructions sont à faire sur l'\textbf{annexe fournie  à rendre avec la copie}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le module et un argument du nombre complexe $Z_{\text{A}}$.
		\item Justifier que le point A appartient au cercle $\mathcal{C}$ de centre O et de rayon 2.
		\item Placer le point A dans le repère orthonormé \Ouv{} sur l'\textbf{annexe à rendre avec la copie}.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point B dans le repère orthonormé \Ouv{} sur l'\textbf{annexe à rendre avec la copie}.
		\item Déterminer la forme exponentielle du nombre $Z_{\text{B}}$. 
		\item Déterminer la forme algébrique du nombre $Z_{\text{B}}$.
	\end{enumerate}
\item Placer le point C sur l'\textbf{annexe à rendre avec la copie} et justifier que le triangle AOC est rectangle.
\item Calculer la longueur AC.
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}
 
\textbf{À rendre avec la copie uniquement pour les candidats ayant choisi de traiter l'exercice 4.}
\end{center}

\textbf{EXERCICE 2}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-3,-6)(2,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5](-3,-6)(2,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-3,-6)(2,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-3}{1.5}{3 x dup mul 2.71828 x exp mul sub}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[l](1.18,-4){\red $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 4}

\medskip

\parbox{0.2\linewidth}{\begin{tabular}{l l}
Questions &1. c.\\
&2.a.\\
&3.\\
\end{tabular}}\hfill
\parbox{0.68\linewidth}{\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-2,-2)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle(0,0){2}\uput[dl](2;225){$\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
}
\end{document}