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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{France}}
\rfoot{\small{septembre 2006}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{Baccalauréat technique de la musique et de la danse \\  \\
\decofourleft~Métropole septembre 2006~\decofourright}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

Pour chacune des questions 1 à 6, trois affirmations vous sont proposées dont une seule est exacte. Pour chaque question, indiquer sur la copie la réponse exacte. 

\emph{Une bonne réponse rapporte $1$ point.}

\emph{Une réponse fausse enlève $0,5$ point.}
  
\emph{L'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.}

\emph{Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip

{\footnotesize
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&Question& Réponse A& Réponse B& Réponse C\\ \hline 
1&Le nombre réel  $\ln \left(\text{e}^3\right) - \ln \left(\dfrac{1}{\text{e}^2}\right)+ 2\ln \left(\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}\right)$ est égal à : &2&$\sqrt{\text{e}}$&4\\ \hline
2&L'équation $\ln \left( x^2\right) = 0$ a pour solution(s) dans $\R$ : &0& e& $-1$ et 1\\ \hline 
3&Une valeur approchée à l'unité près de $\ln \left(2^{\nombre{10000}}\right)$ est : & \nombre{6931}& 693& \nombre{69315}\\ \hline 
4&La dérivée $g'$ de la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par $g(x)=x(\ln x - 1)$, est définie par : &$g'(x) = \ln x$& $g'(x)=\dfrac{1}{x}- 1$& $g'(x) = \ln x - 1$\\ \hline 
5&Dans un repère, une équation de la tangente au point d'abscisse 
e à la courbe représentative de la fonction $f$ définie sur l'intervalle 
$]0~;~+ \infty[$ par 

$f(x) = x+ \ln x$ est : &$y=x+ \text{e} + 1$&$ y =(1+\text{e})x$& $y = \left(1 + \frac{1}{\text{e}} \right)x$\\ \hline 
6&La fonction $f$ étant définie sur l'intervalle ]0~;~10[ par 

$f(x) =(\ln x)^2 -2\ln x$, on peut affirmer que : &L'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique sur l'intervalle $]0 ~;~ 10[$&La fonction $f$ est décroissante sur  l'intervalle $]0 ~;~ 10[$&\scriptsize La fonction $f'$ est 
dérivée de la fonction $f$ s'annule une fois en changeant de 
signe sur l'intervalle $]0~;~10[$ \\ \hline
\end{tabularx}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}

On enregistre un son correspondant à une certaine note de musique. Ce son est analysé à l'oscilloscope. On obtient la courbe, donnée sur le document 1 de l'annexe~1 (ci-dessous). 

La courbe obtenue est celle d'une fonction périodique $g$ de variable $t$, où $t$ est le temps exprimé en millisecondes.
 
\textbf{A.} Utiliser le graphique pour répondre aux questions suivantes. On justifiera chaque réponse. 

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~14].
 
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est le signe de la fonction $g'$ sur l'intervalle [2 ~;~ 4] ? 

		\item Quel est le signe de la fonction $g'$ sur l'intervalle [9~;~ 11] ? 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le nombre de solutions de l'équation $g(x) = 0$ sur l'intervalle [1 ~;~ 10]. 
		\item Donner une valeur approchée à 0,2 ms près de la solution qui appartient à l'intervalle [3~;~4]. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B.} On sait que la période $T$, exprimée en ms, de la fonction $g$ est comprise entre 0 et 14. 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer graphiquement la valeur de $T$ arrondie au dixième. 
\item Déterminer la fréquence $f$ en Hz de la note (on rappelle que la fréquence en Hz est l'inverse de la période exprimée en s). On donnera le résultat arrondi à l'unité. 
\item En utilisant le document 2 de l'annexe 1 (ci-dessous), en déduire la note jouée. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{ANNEXE 1}

\medskip
 
\textbf{Document 1 :} Graphique de la fonction $g$ pour $t \in [0 ~;~ 14]$ : en abscisse, une unité correspond à 1 ms, c'est-à-dire $0,001$ seconde

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-4)(14.5,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt](0,0)(0,-4)(14.4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-4)(14.5,4)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{14}{x 180 mul 3.14159 div sin  x 45 mul 3.14159 div sin 2 mul add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{14}{x 180 mul 3.14159 div 1.23 mul sin  x 180 mul 3.14159 div 0.615 mul sin 1.2 mul add 1.5 mul}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(1,2.4)(1.6,2.85)(2,2.8)(3,1)(3.6,0)(4.35,-0.4)(5.1,0)(5.95,0.4)(6.6,0)(7,-0.5)(8,-2.4)(8.6,-2.85)(9,-2.7)(10,-0.6)(10.2,0)(11.2,2.4)(11.85,2.85)(12,2.8)(13,1.45)(13.2,1)(14,-0.2)
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Document 2 :} Fréquence en hertz des notes de la gamme tempérée, arrondie à 1 hertz 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-8}
\multicolumn{1}{c|}{}&DO&RE &MI &FA &SOL 	&LA 	&SI\\ \hline 
Octave 0	&33	&37		&41	&44 	&49 	&55 	&62 \\ \hline
Octave 1 	&65 &73 	&82 &87 	&98 	&110 	&123 \\ \hline
Octave 2	&131&147 	&165&175 	&196 	&220 	&247 \\ \hline
Octave 3 	&262&294 	&330&349 	&392 	&440 	&494\\ \hline 
Octave 4 	&523&587 	&659&698 	&784 	&880 	&988 \\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 (au choix) Enseignement obligatoire}  \hfill 6 points}

Une urne contient des jetons de trois couleurs (blanc, vert et jaune) et de deux formes différentes (rond et carré). 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]La moitié des jetons sont blancs. 
\item[$\bullet~$]Le tiers des jetons sont verts. 
\item[$\bullet~$]Tous les autres jetons sont jaunes. 
\item[$\bullet~$]Parmi les jetons blancs, la moitié sont ronds. 
\item[$\bullet~$]Parmi les jetons verts, les trois dixièmes sont ronds. 
\item[$\bullet~$]Parmi les jetons jaunes, les deux cinquièmes sont ronds. 
\item[$\bullet~$]Tous les autres jetons sont carrés. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On tire au hasard un jeton de l'urne. On considère que chacun des jetons a la même probabilité d'être tiré. 

On note : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $B$ l'évènement \og le jeton est blanc \fg
\item[] $V$ l'évènement \og le jeton est vert \fg 
\item[] $J$ l'évènement \og le jeton est jaune \fg
\item[] $R$ l'évènement \og le jeton est rond \fg
\item[] $C$ l'évènement \og le jeton est carré \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On donnera les probabilités sous la forme de fractions irréductibles. 

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la probabilité pour que le jeton tiré soit jaune. 
\item  Donner un arbre de probabilités correspondant à la situation décrite par l'énoncé. 
\item  À l'aide de cet arbre, déterminer la probabilité : 
	\begin{enumerate}
		\item  Que le jeton tiré soit rond. 
		\item  Que le jeton tiré ne soit ni blanc, ni carré. 
	\end{enumerate}
\item Sachant que le jeton tiré est rond, quelle est la probabilité qu'il soit jaune ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{EXERCICE 4 (au choix) Enseignement renforcé} \hfill 6 points} 

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = x - 1 + \dfrac{4}{ x+1}.\]
 
Sur l'annexe 2, on a tracé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Tracer la droite $\Delta$ d'équation $y = x - 1$ sur l'annexe 2  à rendre avec la copie. 
\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$.  
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f'(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{(x+1)^2}$ pour tout $x$ de l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$. 

		\item Étudier le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$. On pourra s'aider d'un tableau. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$. 
	\end{enumerate}
On considère le domaine plan délimité par les droites d'équations $x = 1$ et $x = 3$, la droite $\Delta$ et la courbe $\mathcal{C}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Hachurer soigneusement ce domaine sur l'annexe 2  à rendre avec la copie. 
		\item On indique que si $u$ est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I, la fonction $g$ définie sur l'intervalle I par $g(x) = \ln [u (x)]$ a pour dérivée la fonction $g'$ 
définie sur l'intervalle I par $g'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$.
 
En appliquant cette formule, donner la dérivée de la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]-1~;~+ \infty[$ par $H(x) = 4\ln (x + 1)$. 
		\item Montrer que la mesure $\mathcal{A}$ exprimée en cm$^2$, de l'aire du domaine hachuré à la question 3. a., est égale à $\displaystyle\int_{1}^3 \dfrac{4}{x + 1}\:\text{d}x$. 

Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{FEUILLE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 4 : ANNEXE 2}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-2.5)(11,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt](0,0)(-2,-2.5)(11,8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.5)(11,8)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{-0.583}{8.55}{x 1 sub 4 x 1 add div add}
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=red](-1,-2.5)(-1,8)
\uput[u](7.5,7){\blue $\mathcal{C}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}

\end{center}

\end{document}