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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourright \\[3pt] 
Métropole septembre 2007}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 7 points}

Dans une université, 55\:\% des étudiants possèdent un ordinateur. 
Parmi les étudiants ayant un ordinateur :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 20\:\% ont un violon ; 
\item[$\bullet~$] 30\:\% ont une flûte ; 
\item[$\bullet~$] Aucun étudiant ne possède à la fois une flûte et un violon. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
Parmi les étudiants n'ayant pas d'ordinateur : 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 5\:\% ont un violon ; 
\item[$\bullet~$] 15\:\% ont une flûte ; 
\item[$\bullet~$] Aucun étudiant ne possède à la fois une flûte et un violon.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard un étudiant de cette université. Tous les étudiants ont la même probabilité d'être choisis. 

On définit les évènements suivants : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $D$ : \og l'étudiant a un ordinateur \fg{} ; 
\item[$\bullet~$] $V$ : \og l'étudiant a un violon \fg{} ; 
\item[$\bullet~$] $F$ : \og l'étudiant a une flûte \fg{} ; 
\item[$\bullet~$] $R$ : \og l'étudiant n'a aucun de ces deux instruments de musique \fg. 
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

On rappelle que $\overline{D}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement $D$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la probabilité pour que l'étudiant n'ait pas d'ordinateur. 
\item  Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant, correspondant à la situation décrite par l'énoncé.

\begin{center}
\psset{nodesepB=2.5pt,nodesepA=0}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$D$}^{0,55}}
	{
	\TR{$V$}^{0,2}
	\TR{$F$}_{\ldots}
	\TR{$R$}_{\ldots}
	}
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{D}$}_{\ldots}}
	{
	\TR{$V$}^{\ldots}
	\TR{$F$}_{\ldots}
	\TR{$R$}_{\ldots}
	}
}
\end{center} 
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement \og l'étudiant a un ordinateur et un violon \fg. 
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement \og l'étudiant a un violon et n'a pas d'ordinateur \fg. 
		\item  En déduire que la probabilité de l'évènement V est égale à \np{0,1325}. 
		
Quelle est la probabilité de l'évènement \og l'étudiant a un ordinateur \fg sachant qu'il a un violon ? 

On donnera la valeur exacte puis une valeur décimale approchée à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 6 points}

\begin{center} \textbf{Questionnaire à choix multiple} \end{center}

\emph{Pour chacune des questions $1$ à $6$, trois affirmations sont proposées dont \textbf{une seule est exacte}.}

\emph{Indiquer sur la copie, pour chaque question, la bonne réponse.}
  
\emph{Toute réponse bonne donne $1$ point, toute mauvaise réponse enlève $0,5$ point, une absence de réponse ne donne aucun point et n'en enlève aucun. S'il est négatif, le total de l'exercice est ramené à $0$.}

\medskip
 
On désigne par log le logarithme décimal et par $\ln$ le logarithme népérien. 

\begin{enumerate}
\item  Soit T le nombre réel tel que : $5^{\np{4000}} = 10^{\text{T}}$. Alors on peut affirmer que : 

\medskip
\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~$\ln \text{T} = \np{4000}\ln 5 - \ln 10$  &\textbf{b.}~~$\log 5 = \dfrac{\text{T}}{\np{ 4000}}$  &\textbf{c.}~~ T $ = \np{2000}$\\
\end{tabularx}
\medskip
\item   On rappelle que, dans la gamme de tempérament égal :
\begin{itemize}
\item  l'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes, si bien que la suite des fréquences des notes est géométrique de raison $q$ où $q$ est un nombre réel positif tel que $q^{12} =  2$. 
\item  une quarte juste contient cinq demi-tons. 
\end{itemize}

Dans cette gamme, le rapport des fréquences correspondant à une quarte juste ascendante est : 

\medskip
\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~égal à $\dfrac{4}{3}$   &\textbf{b.}~~inférieur \`a  $\dfrac{4}{3}$&\textbf{c.}~~égal à $2^{\frac{5}{12}}$\\
\end{tabularx}
\medskip 
\item   La somme d'une fonction sinusoïdale de fréquence 400~Hz et d'une fonction sinusoïdale de fréquence 800~Hz, est : 

\textbf{a.}~~non périodique

\textbf{b.}~~périodique de fréquence \np{1200} Hz 

\textbf{c.}~~périodique de fréquence 400 Hz

\item  On rappelle que : 

Si $a,\:b$ et $c$ sont des entiers naturels, \og $a$ congru à $b$ modulo $c$ \fg s'écrit : 

$a \equiv  b\: (\text{modulo}~ c)$.

L'équation $7n \equiv 11 (\text{modulo}\: 12)$ d'inconnue $n$, entier compris entre 0 et 6 : 

\medskip
\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~a une solution et une seule   &\textbf{b.}~~n'a aucune solution &\textbf{c.}~~a deux solutions\\
\end{tabularx}
\medskip
\item   L'ensemble des solutions de l'inéquation $\text{e}^{-3x+1} < \text{e}^{-2x+3}$  d'inconnue réelle $x$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{1.2\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}~~l'intervalle $]-\infty~;~- 2[$ &\textbf{b.}~~l'intervalle $[-2~;~+ \infty[$&\textbf{c.}~~$]- 2~;~+ \infty[$
\end{tabularx}
\medskip
\item  On considère une échelle de fréquence logarithmique graduée de 40 à \np{10000}~Hz et de longueur totale 24 cm.
 
Sachant que de 40 Hz à \np{10000}~Hz, il y a entre sept et huit octaves, on peut alors affirmer que sur  cette échelle : 

\textbf{a.}~~ toutes les octaves ont une \og largeur \fg{} de 15 mm environ.

\textbf{b.}~~toutes les octaves ont une \og largeur \fg{} de 3 cm environ.

\textbf{c.}~~  l'octave DO$_{4}$--DO$_{5}$ a une \og largeur \fg{} bien supérieure à l'octave DO$_{3}$--DO$_{4}$. On considère ici que la note DO$_{4}$ correspond à une fréquence de 520~Hz. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 7 points}

\textbf{Enseignement obligatoire (au choix)}
 
\begin{enumerate}
\item  Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par :

\[ g(x) = x^2 + 3 - 2 \ln x. \]

	\begin{enumerate}
		\item  On désigne par $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. 

	Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[,\: g'(x) = \dfrac{2(x - 1)(x + 1) }{x}$. 
		\item  Étudier le signe de $g'(x$) pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle 
$]0~;~+ \infty[$.
		 
Les limites aux bornes de l'intervalle ne sont pas demandées. 
		\item  En déduire que, pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[,\: g(x) > 0$.
	\end{enumerate} 
\item  Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle 
$]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = x - \dfrac{1}{x} + \dfrac{ 2\ln x}{x}.\]

On désigne par $f'$, la fonction dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout $x$ de J'intervalle $]0~;~+ \infty[,~f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}.$ 
		\item À l'aide des résultats de la question 1., en déduire le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle 
	$]0~;~+ \infty[$. 
		
Les limites aux bornes de l'intervalle ne sont pas demandées. 
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant en donnant, à chaque fois, une valeur décimale approchée à $10^{-1}$ près : 
		
\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0,75 	&1 	&1,5 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7 \\ \hline
$f(x)$	&		&	&		&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
		\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ \textbf{sur l'intervalle [0,75~;~7]}, dans un repère orthonormal \Oij{} du plan d'unité graphique 2~cm. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}  \hfill 7 points}

\textbf{Enseignement renforcé (au choix)}
 
\textbf{A. } On considère la fonction $T$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{3\pi}{2}\right]$ par :
 
\[T(x) = 2 \cos \left(\dfrac{2x}{3}\right).\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer le réel $T\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout réel $x$ tel que $0 \leqslant  x < \dfrac{3\pi}{4}$, on a $0 \leqslant  \dfrac{2x}{3} < \dfrac{\pi}{2}$. 
		\item   En déduire le signe de $T(x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle $\left[0~;~  \dfrac{3\pi}{4}\right[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

Par la suite, on admettra que si $x$ appartient à l'intervalle $\left] \dfrac{3\pi}{4}~;~  \dfrac{3\pi}{2}\right]$ alors $T( x) < 0$. 

\textbf{B.} On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $\left[0~;~  \dfrac{3\pi}{2}\right]$  par : 

\[f(x) = 3\sin  \left(\dfrac{2x}{3}\right).\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer les réels $f(0),~ f\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)$ et $f\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
		
Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{3\pi}{2}\right],~ f'(x) = T(x)$. 
		\item En utilisant les résultats de la partie A, dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{3\pi}{2}\right]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	 
\textbf{C.}

\begin{enumerate}
\item Calculer l'intégrale I définie par I $ = \displaystyle\int_{0}^{\frac{3\pi}{2}}  3 \sin \left(\dfrac{2x}{3}\right)\:\text{d}x.$
\item Sur le graphique de la fin, on a tracé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm. 

On considère le domaine plan délimité par les droites d'équation $x = 0$ et 

$x = \dfrac{3\pi}{2}$, l'axe des   abscisses et la courbe $\mathcal{C}$. 

Déduire du calcul de l'intégrale I, la mesure $\mathcal{A}$, exprimée en cm$^2$, de ce domaine. 
\end{enumerate}

\vspace{2cm}

\begin{center}
\textbf{FEUILLE ANNEXE}

\medskip

\textbf{ENSEIGNEMENT RENFORCÉ (au choix)}

\vspace{1cm}

\end{center}

\textbf{Exercice 4 : annexe}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.75)(5.1,4.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt](-0.5,-1)(5,4)
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\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](4.712,0){$\dfrac{3\pi}{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}