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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre  2011}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourright\\Métropole septembre 2011}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traitera trois exercices :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 1
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 2
\item[$\bullet~~$] Au choix l'exercice 3 \textbf{ou} l'exercice 4 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

Un conservatoire organise un spectacle et auditionne des élèves de TMD. 
Parmi les élèves auditionnés, 80\,\% sont des musiciens et les autres sont des danseurs. Le conservatoire retient pour le spectacle 75\,\% des musiciens et 60\,\% des danseurs. 

On interroge au hasard un des élèves auditionnés.

 Chaque élève auditionné a la même probabilité d'être interrogé.
 
On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] $M$ : \og l'élève interrogé est musicien \fg{} ; 
\item[ ] $D$ : \og l'élève interrogé est danseur \fg{} ; 
\item[ ] $R$ : \og l'élève interrogé est retenu pour le spectacle \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note $\overline{R}$ l'évènement contraire de l'évènement $R$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités suivant qui correspond à cette situation. 

\medskip

\begin{center}\pstree[treemode=R,nodesep=3pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$M$}\taput{\ldots}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$R$}\taput{$0,75$}
\TR{}~[tnpos=r]{$\overline{R}$}\tbput{\ldots}
 		}
	\pstree{\TR{$D$}\tbput{\ldots}}
		{
\TR{}~[tnpos=r]{$R$}\taput{\ldots}
 \TR{}~[tnpos=r]{$\overline{R}$}\tbput{\ldots}
 		}
}
\end{center}
\medskip
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que l'élève interrogé soit musicien et soit retenu pour le spectacle. 
		\item Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $0,72$. 
	\end{enumerate}
\item Les évènements $M$ et $R$ sont-ils indépendants ? Justifier la réponse. 
\item Calculer la probabilité que l'élève interrogé soit musicien sachant qu'il est retenu pour le spectacle. On donnera la valeur décimale arrondie au centième. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 7 points}

\medskip

\textbf{Partie 1. Étude graphique}

\medskip
 
On donne ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~3].
 
L'unité graphique est de 2~cm en abscisse et de 1~cm en ordonnée.

\medskip
 
\parbox{0.4\linewidth}{Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner, avec la précision que permet le graphique, les valeurs 
des nombres $f(0,5)$ et $f(3)$ ; 
		\item du nombre réel $\alpha$ de l'intervalle [0,5~;~3] tel que $f(\alpha) = 0$ ; 
		\item de la valeur minimale de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~3].
	\end{enumerate} 
\item Sur quel intervalle, la fonction $f$ est-elle positive ?
\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-0.75,-3.15)(3.5,6.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-3)(3.5,6)
\psdots(0.5,-1)(3,5.6)\uput[ul](2.4,2){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0.5}{3}{x  dup mul 2 x mul add 5  sub x ln 4 mul sub}
\psline[linestyle=dashed](0,-1)(0.5,-1)(0.5,0)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-3)(3.5,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(3.5,6)
\end{pspicture*}}

\textbf{Partie 2. Étude de la fonction}

\medskip
 
On désigne par ln la fonction logarithme népérien. 

La fonction $f$ représentée dans la partie 1 est définie, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~3], par 

\[f(x) = x^2 + 2x - 5 - 4\ln x.\]
 
On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~3],\: $f^{\prime}(x)$. 
\item Développer l'expression $(x - 1)( x + 2)$. 
\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0,5~;~3]
 
\[f^{\prime}(x) = \dfrac{2(x - 1)(x + 2)}{x}.\]

\item Étudier le signe de la fonction dérivée $f^{\prime}$ sur l'intervalle [0,5~;~3]. 
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0,5~;~3]. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 7 points}

\textbf{Enseignement obligatoire (au choix) }

\medskip

Dans la gamme de tempérament égal :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] l'octave est divisée en 12 demi-tons égaux séparant les notes ; cela se traduit mathématiquement par le fait que la suite des fréquences des notes est une suite géométrique de raison $q$ , où $q$ est le nombre réel strictement positif tel que $q^{12} = 2$ ; 
\item[$\bullet~~$] une quinte juste contient sept demi-tons ; une quarte contient cinq demi-tons ; 
\item[$\bullet~~$] les notes d'une octave sont: DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI ; 
\item[$\bullet~~$] à chaque octave est associé un indice $n$ entier naturel ; les notes d'une octave portent l'indice de cette octave ; ainsi LA$_{3}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3 et  LA$_{4}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 4 située au-dessus de l'octave d'indice 3 ; 
\item[$\bullet~~$] la fréquence, exprimée en hertz (Hz), de la note LA$_{3}$ est 440 Hz ; 
\item[$\bullet~~$] la différence de hauteur entre deux notes de fréquences $f_{1}$ et $f_{2}$ (avec 

$f_{1} > f_{2}$) est le  nombre $10^3 \log \left(\dfrac{f_{1}}{f_{2}}\right)$ où log désigne la fonction logarithme décimal ; cette différence de hauteur s'exprime en savarts quand les fréquences sont exprimées en hertz.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Dans les questions 1. et 2., on ne tiendra pas compte des indices des octaves.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On part de la note LA. On ajoute quatre quintes. Quelle note obtient-on ? 
		\item Montrer que l'on obtient la même note qu'au a. en retranchant quatre quartes de la note LA.
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $n$ un entier naturel non nul. 
	\begin{enumerate}
		\item Établir la congruence $7n \equiv  - 5n\quad  (\text{modulo}\: 12)$. 
		\item On ajoute $n$ quintes à la note LA. Obtient-on la même note lorsque l'on retranche $n$ quartes de la note LA ?
	\end{enumerate} 
\item On part de la note LA$_{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fréquence $f_{1}$, exprimée en hertz, de la note obtenue en ajoutant quatre quintes à la note LA$_{3}$. On donnera la valeur arrondie à l'unité. 
		\item Calculer la fréquence $f_{2}$, exprimée en hertz, de la note obtenue en retranchant quatre quartes de la note LA$_{3}$. On donnera la valeur arrondie à l'unité. 
		\item Calculer la différence de hauteur, exprimée en savarts, entre les deux notes obtenues aux questions 3. a. et 3. b. On donnera la valeur arrondie à l'unité. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}  \hfill 7 points}

\textbf{Enseignement renforcé (au choix)}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} où l'unité graphique est 2~cm.
 
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
 
On considère le point A d'affixe $z_{\text{A}} = 1 - \text{i}$ et le point B d'affixe $z_{\text{B}} = \sqrt{3} + \text{i}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre complexe $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique, c'est-à-dire sous la forme $x + \text{i}y$  
où $x$ et $y$ sont des nombres réels.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point A dans le repère \Ouv. 
		\item Déterminer le module et un argument du nombre complexe $z_{\text{A}}$.
		 
On pourra exploiter le graphique. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que le module du nombre complexe $z_{\text{B}}$ est $2$, démontrer qu'un argument de $z_{\text{B}}$ est $\dfrac{\pi}{6}$. 
		\item Construire le point B dans le repère \Ouv. On laissera apparents les traits de  construction.
	\end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide des résultats établis dans les questions 2. b. et 3. a., déterminer le module et un  argument du nombre complexe $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}$.  
		\item En déduire que : $\dfrac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \sqrt{2} \cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) + \text{i}\sqrt{2} \sin \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$. 
		\item Déterminer alors la valeur exacte de $\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}