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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat technique de la musique et de la danse~\decofourright\\[3pt]
Métropole juin 2007}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie et sans justification la réponse choisie.\\
Chaque réponse exacte rapporte $1$ point, chaque fausse réponse enlève $0,5$ point Une absence de réponse est comptée $0$ point Si le total est négatif la note est ramenée a zéro.}
 
\medskip

On rappelle que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] log désigne la fonction logarithme décimal.
\item[$\bullet~$] Si un son possède une intensité sonore $I$ (exprimée en W.m$^{-2}$), son niveau sonore $L(I)$ est exprimé en décibels (dB) par $L(I) = 10\log \left(\dfrac{I}{I_{0}}\right)$ avec $I_{0} =  10^{-12}$ W.m$^{-2}$.

\medskip

On rappelle que les intensités sonores s'ajoutent.
\item[$\bullet~$]	Pour deux notes ayant respectivement pour fréquences (exprimées en Hertz) $f_{1}$ et $f_{2}$ ($f_{2}$ plus grande que $f_{1}$), la différence de hauteur de ces deux notes s'exprime en savarts par $10^3 \log \left(\dfrac{f_{2}}{f_{1}} \right)$.

\item[$\bullet~$]	Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, $\log (ab) = \log a + \log b$ et \\$\log \left(\dfrac{a}{b}\right) = \log a - \log b$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le niveau sonore associé à une intensité de $9,95 \times 10^{-5}$ W.m$^{-2}$ est à l'unité près environ égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 80 dB&\textbf{b.~~} 90 dB&\textbf{c.~~} 100 dB.\\
\end{tabularx}
\medskip

\item  Soit $I$ une intensité telle que $L(I) = 11$~dB. Alors $L(10 \times I)$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 14 dB&\textbf{b.~~} 21 dB& \textbf{c.~~} 110 dB
\end{tabularx}
\medskip

\item  L'intensité correspondant à un niveau sonore de 38 dB est environ égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $4,1 \times 10^{-7}$ W.m$^{-2}$&\textbf{b.~~} $5,2 \times 10^{-8}$ W.m$^{-2}$&\textbf{c.~~} $6,3 \times 10$ W.m$^{-2}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Une enceinte de chaîne Hi-Fi génère en un point un son de niveau sonore 30~dB. Si on ajoute à son côté une enceinte de même niveau sonore, le son aura alors un niveau de l'ordre de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 33 dB	&\textbf{b.~~}40 dB&\textbf{c.~~} 60 dB
\end{tabularx}
\medskip

\item  Un son passe d'un niveau sonore de 20 dB à 50 dB. On peut alors dire que l'intensité $I$ correspondante :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\footnotesize}X}}
\textbf{a.~~} a augmenté de \mbox{$30 \times 10^{-12}$ W.m$^{-2}$}
&\textbf{b.~~} a été multipliée par 30
&\textbf{c.~~} a été multipliée par \np{1000}\\
\end{tabularx}
\medskip

\item  Au XVII\up{e} siècle, la note de référence LA$_{3}$ avait pour fréquence 415~Hz. Depuis 1945, cette note de référence a pour fréquence 440~Hz. La mesure, en savarts, de la différence de hauteur entre ces deux notes a pour valeur décimale approchée à $10^{-1}$ près :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} 58,5	&\textbf{b.~~} 25,4 	&\textbf{c.~~} 254,0\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 
 
\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 7 points}

\medskip

Dans cet exercice, la probabilité d'un évènement $A$ est notée $P(A)$. Les probabilités seront données sous forme de fractions.

Une classe de terminale TMD de 30~élèves est constituée de 40\:\% de filles. La moitié des filles étudie la musique et l'autre moitié la danse. Parmi les garçons, cinq étudient la danse et les autres la musique. Aucun élève n'étudie à la fois la musique et la danse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau suivant :\\

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}				&Filles	&Garçons&Total\\ \hline
Nombre d'élèves étudiant la musique	&		&		&\\ \hline
Nombre d'élèves étudiant la danse	&		&		&\\ \hline
Total								&		&		&30\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On choisit au hasard un élève de cette classe. Tous les élèves ont la même probabilité d'être choisis.\\
On considère les évènements :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $M$ : \og l'élève étudie la musique \fg{} ;
\item[$\bullet~$] $G$ : \og l'élève est un garçon \fg.
\end{itemize}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $M$ et la probabilité de l'évènement~$G$.
		\item Vérifier que la probabilité de l'évènement $(M ~\cap~ G)$ est $\dfrac{13}{30}$.
		\item Les évènements $M$ et $G$ sont-ils indépendants ?
		
Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Exprimer par une phrase l'évènement $\overline{G}$, évènement contraire de l'évènement $G$.

		\item  Calculer la probabilité de l'évènement $G$ sachant que l'évènement $M$ est réalisé.
		
On pourra noter cette probabilité $P_{M}\left( \overline{G}\right)$.

		\item  Calculer la probabilité de l'évènement \og l'élève étudie la musique  sachant que l'élève est un garçon \fg.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
 \vspace{0,5cm} 
 
\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 7 points}

\textbf{Enseignement obligatoire (au choix)}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ l'intervalle [1~;~9] par
 
\[f(x) = 2x - 4\ln x.\]

 On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$, et par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan d'unité graphique : 1~cm.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~ 9].
		\item  Montrer que, pour tout réel x de l'intervalle [1~;~ 9] : $f'(x) = \dfrac{2x -  4}{x}$.
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~ 9].
		\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les valeurs exactes des réels $f(\text{e})$ et $f\left(\text{e}^2\right)$.
		\item  On désigne par $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse e.
		
Déterminer l'équation réduite de la droite $\mathcal{T}$.
		\item Reproduire et compléter le tableau suivant, en donnant à chaque fois une valeur décimale approchée à $10^{-1}$ près.\\

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
$x$		&1	&1,5	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9\\ \hline
$f(x)$	&	&		&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Construire, dans le repère \Oij{} la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $\mathcal{T}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm} 
 
\textbf{\textsc{Exercice 4}  \hfill 7 points}

\textbf{Enseignement renforcé (au choix)}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~2] par :

\[ f(x) = x \text{e}^x.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$, et $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} du plan d'unités graphiques : 5~cm sur l'axe des abscisses et 1~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la valeur exacte des réels $f(0)$ et $f(2)$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~; ~2], $f'(x) = (x + 1) \text{e}^x$.
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle [0~;~ 2].
		\item  En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant :
	\end{enumerate}		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
$x$								&0	&0,2&0,4&0,5&0,8&1	&1,5&2\\ \hline
\footnotesize Valeur décimale approchée 
de $f(x)$ à $10^{-1}$ près.		&	&	&	&	&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
	\begin{enumerate}[resume]
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $F$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~ 2] par 

		\[F(x) = (x - 1) \text{e}^x.\]
		
Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$.
		\item   En déduire la valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x.$
		\item   On désigne par $\mathcal{A}$ la mesure, exprimée en cm$^2$, de l'aire du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$.
		
Hachurer ce domaine sur le graphique réalisé au 3. b.

Donner une valeur approchée de la mesure $\mathcal{A}$ au cm$^2$ près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\end{document}