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%Sujet aimablement fourni par Françoise Thi\'ebaux
%Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{ Baccalauréat technique de la musique et de la danse \\\decofourleft~Métropole juin 2010~\decofourright}}

Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats.

Durée : 2 heures

\medskip
 
LE CANDIDAT TRAITERA TROIS EXERCICES :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 1
\item[$\bullet~$] OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 2 
\item[$\bullet~$] AU CHOIX L'EXERCICE 3 OU L'EXERCICE 4 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

LE CANDIDAT INDIQUERA CLAIREMENT SON CHOIX SUR LA COPIE.
     
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

Tous les élèves lycéens en section TMD se réunissent pour proposer un concert.
 
Ils se répartissent de la manière suivante : la proportion d'élèves en classe de seconde est de $\dfrac{2}{5}$ ;  
la proportion d'élèves en classe de première est de $\dfrac{4}{15}$ ; les autres sont en terminale.
 
À l'occasion de ce concert, certains élèves vont se produire en solistes : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] en seconde, la proportion de solistes est de $\dfrac{1}{6}$ ; 
\item[$\bullet~$] en première, la proportion de solistes est de $\dfrac{1}{4}$ 
\item[$\bullet~$] en terminale, la proportion de solistes est de $\dfrac{2}{5}$ 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Un journaliste interroge au hasard un élève lycéen en section TMD. Chaque élève lycéen en section TMD a la même probabilité d'être interrogé.
 
On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[] A : \og l'élève interrogé est en seconde \fg{} ;
\item[] B : \og l'élève interrogé est en première \fg{} ; 
\item[]C  : \og l'élève interrogé est en terminale \fg{} ; 
\item[]S  : \og l'élève interrogé se produira en soliste \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On rappelle que $\overline{\text{S}}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement S.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Prouver que la probabilité que l'élève interrogé soit en terminale est $\dfrac{1}{3}$. 
\item Donner la probabilité que l'élève interrogé se produise en soliste sachant que cet élève est en première. 
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant correspondant à la situation décrite par l'énoncé.

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{A}\taput{\ldots}}
	{\TR{S}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{\text{S}}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{B}\taput{$\dfrac{4}{15}$}}
	{\TR{S}\taput{\ldots}
	\TR{$\overline{\text{S}}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{C}}
	{\TR{S}\taput{$\dfrac{2}{5}$}
	\TR{$\overline{\text{S}}$}\tbput{\ldots}
	}
}
\end{center} 

\item Prouver que la probabilité que l'élève interrogé soit en première et qu'il se produise en soliste est $\dfrac{1}{15}$. 
\item Prouver que la probabilité que l'élève interrogé se produise en soliste est $\dfrac{4}{15}$.  
\item Quelle est la probabilité que l'élève interrogé soit en terminale sachant que cet élève se produit en soliste ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 7 points}

\medskip

Les questions qui suivent font référence à la gamme de tempérament égal.
 
Dans cette gamme, l'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes.

\medskip
 
Les notes d'une octave sont: DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI.

\medskip
 
Une quarte juste contient cinq demi-tons. Une quinte juste contient sept demi-tons. On rappelle également que :

 
si $a$ et $b$ sont des entiers relatifs, \og $a$ congru à $b$ modulo 12\fg{} s'écrit $a \equiv b$~~ (modulo 12).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On augmente un RÉ de 70 demi-tons. 
	\begin{enumerate}
		\item De combien de quintes justes l'a-t-on augmenté? 
		\item De combien de quartes justes l'a-t-on augmenté? 
		\item Déterminer un entier $a$ compris entre $-11$ et $11$ satisfaisant la relation de congruence suivante : $70 \equiv  a$~~ (modulo 12). 
		\item En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer la note obtenue quand on augmente un RÉ de 70 demi-tons.
	\end{enumerate} 
\item On passe d'un LA à un DO en augmentant de $x$ demi-tons (où $x$ désigne un entier naturel). 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une valeur possible pour l'entier $x$. 
		\item Donner une relation de congruence modulo 12 vérifiée par $x$.
		 
Déterminer deux autres valeurs possibles pour l'entier $x$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau de congruences modulo 12 suivant en ne complétant qu'avec des entiers compris entre $0$ et $11$ :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		 
$n \equiv \ldots$ (modulo 12)& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11
\\ \hline 
$5n \equiv \ldots$ (modulo 12)&	&	&	&	&8 	&	&6 	&	&	&	&	&
\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item On passe d'un MI à un SI en augmentant de $n$ quartes justes (où $n$ désigne un entier naturel).
		 
Écrire une relation de congruence modulo 12 vérifiée par l'entier $n$. Donner alors une valeur possible pour l'entier $n$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} Enseignement obligatoire (au choix) \hfill 7 points}

\medskip

On désigne par I l'intervalle $\left[\dfrac{1}{4}~;~5\right]$.
 
On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, par :
 
\[f(x) = x \ln (x) - x,~~ \text{où ln désigne la fonction logarithme népérien.}\]
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(1)$ et $f(\text{e})$. 
		\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
		 
Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, $f'(x) = \ln (x)$. 
		\item Rappeler quel est, selon le réel $x$ strictement positif, le signe de l'expression $\ln (x)$.
		 
En déduire, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, le signe de $f'(x)$. 
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On désigne par $\mathcal{D}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse e.
		 
Déterminer l'équation de la forme $y = ax + b$ de la droite $\mathcal{D}$. 
		\item La courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente $\mathcal{D}'$, parallèle à l'axe des abscisses en un point B.
		 
Donner les coordonnées de ce point B.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. On donnera, dans chaque cas, la valeur décimale arrondie au dixième.
		
\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}		 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$x$&$\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{1}{2}$& 1& 2& e& 3& 4& 5\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$f(x)$&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Tracer, dans le repère orthonormal \Oij, la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et la droite $\mathcal{D}'$. On prendra comme unité graphique 2~cm sur chaque axe.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} Enseignement renforcé (au choix) \hfill 7 points}

\medskip
 
On désigne par I l'intervalle $[-1~;~2]$.
 
On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, par :
 
\[f(x) = (2 - x)\text{e}^x,~~\text{où}~\text{e}^x~~ \text{représente l'exponentielle du nombre réel}~ x.\]
 
On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les valeurs exactes des nombres réels $f(0),~f(- 1)$ et $f (2)$. 
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, $f'(x) = (1 - x)\text{e}^x$. 
		\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle I, étudier le signe de $f'(x)$.
		 
Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente $\mathcal{D}$ parallèle à l'axe des abscisses en un point A.
		 
Donner les coordonnées de ce point A. 
		\item Sur la feuille annexe, à rendre avec la copie, on a tracé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans le repère orthonormal \Oij{} en prenant pour unité graphique 3~cm. Tracer sur ce graphique la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On considère la fonction $F$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, par : 

\[F(x) = (3 - x)\text{e}^x.\]
 
Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle I. 
		\item On considère l'intégrale $K$ définie par : $K = \displaystyle\int_{0}^2  f(t)\: \text{d}t$.
		 
Calculer l'intégrale $K$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite d'équation $x = 2$ et la courbe $\mathcal{C}$.
 
On désigne par $\mathcal{A}$ la mesure, exprimée en cm$^2$, de l'aire de cette partie du plan. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer cette partie du plan sur le graphique de la feuille annexe  (\textbf{à rendre avec la copie}). 
		\item Déterminer la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au centième de la mesure $\mathcal{A}$, exprimée en cm$^2$	
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 4: ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\psset{unit=2.25cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(3,3) 

\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[r](1.8,1.2){$\mathcal{C}$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-2,-1)(3,3)
\psdots(-1,1.1036)(2,0)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-1)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2}{2 x sub 2.71828 x exp mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}