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%Sujet aimablement fourni par Françoise Thiébaux
%Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat TMD~\decofourright\\  
Métropole juin 2010}}

%Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats.
%
%Durée : 2 heures
%
%\medskip
% 
%LE CANDIDAT TRAITERA TROIS EXERCICES :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 1
%\item[$\bullet~$] OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 2 
%\item[$\bullet~$] AU CHOIX L'EXERCICE 3 OU L'EXERCICE 4 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%LE CANDIDAT INDIQUERA CLAIREMENT SON CHOIX SUR LA COPIE.
     
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

%Tous les élèves lycéens en section TMD se réunissent pour proposer un concert.
% 
%Ils se répartissent de la manière suivante : la proportion d'élèves en classe de seconde est de $\dfrac{2}{5}$ ;  
%la proportion d'élèves en classe de première est de $\dfrac{4}{15}$ ; les autres sont en terminale.
% 
%À l'occasion de ce concert, certains élèves vont se produire en solistes : 
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] en seconde, la proportion de solistes est de $\dfrac{1}{6}$ ; 
%\item[$\bullet~$] en première, la proportion de solistes est de $\dfrac{1}{4}$ 
%\item[$\bullet~$] en terminale, la proportion de solistes est de $\dfrac{2}{5}$ 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%Un journaliste interroge au hasard un élève lycéen en section TMD. Chaque élève lycéen en section TMD a la même probabilité d'être interrogé.
% 
%On considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[] A : \og l'élève interrogé est en seconde \fg{} ;
%\item[] B : \og l'élève interrogé est en première \fg{} ; 
%\item[] C : \og l'élève interrogé est en terminale \fg{} ; 
%\item[] S : \og l'élève interrogé se produira en soliste \fg. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

%On rappelle que $\overline{\text{S}}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement S.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Prouver que la probabilité que l'élève interrogé soit en terminale est $\dfrac{1}{3}$.
Il reste en terminale : 

$1 - \dfrac{2}{5} - \dfrac{4}{15} = \dfrac{15 - 6 - 4}{15} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$. 
\item %Donner la probabilité que l'élève interrogé se produise en soliste sachant que cet élève est en première.
La probabilité est donnée dans l'énoncé : $\dfrac{1}{4}$. 
\item %Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant correspondant à la situation décrite par l'énoncé.

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{A}\taput{$\frac{2}{5}$}}
	{\TR{S}\taput{$\frac{1}{6}$}
	\TR{$\overline{\text{S}}$}\tbput{$\frac{5}{6}$}
	}
\pstree{\TR{B}\taput{$\frac{4}{15}$}}
	{\TR{S}\taput{$\frac{1}{4}$}
	\TR{$\overline{\text{S}}$}\tbput{$\frac{3}{4}$}
	}
\pstree{\TR{C}\tbput{$\frac{1}{3}$}}
	{\TR{S}\taput{$\frac{2}{5}$}
	\TR{$\overline{\text{S}}$}\tbput{$\frac{3}{5}$}
	}
}
\end{center} 

\item %Prouver que la probabilité que l'élève interrogé soit en première et qu'il se produise en soliste est $\dfrac{1}{15}$.
Il faut trouver $p(\text{B} \cap \text{S}$.

$p(\text{B} \cap \text{S}) = p(\text{B}) \times p_{\text{B}}(\text{S}) = \dfrac{4}{15} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{15}$.  
\item %Prouver que la probabilité que l'élève interrogé se produise en soliste est $\dfrac{4}{15}$.
On calcule de m\^eme  : 

$p(\text{A} \cap \text{S}) = p(\text{A}) \times p_{\text{A}}(\text{S}) = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{15}$.

$p(\text{C} \cap \text{S}) = p(\text{C}) \times p_{\text{C}}(\text{S}) = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{15}$.

Finalement :

$p(\text{S}) = p(\text{A} \cap \text{S}) +  p(\text{B} \cap \text{S}) + p(\text{C} \cap \text{S}) = \dfrac{4}{15}$.  
\item %Quelle est la probabilité que l'élève interrogé soit en terminale sachant que cet élève se produit en soliste ?

Il faut trouver :

$p_{\text{S}}(\text{C}) = \dfrac{p(\text{C} \cap \text{S})} {p(\text{S})} = \dfrac{\frac{2}{15}}{\frac{4}{15}} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 7 points}

\medskip

%Les questions qui suivent font référence à la gamme de tempérament égal.
% 
%Dans cette gamme, l'octave est divisée en douze demi-tons égaux séparant les notes.
%
%\medskip
% 
%Les notes d'une octave sont: DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI.
%
%\medskip
% 
%Une quarte juste contient cinq demi-tons. Une quinte juste contient sept demi-tons. On rappelle également que :
%
% 
%si $a$ et $b$ sont des entiers relatifs, \og $a$ congru à $b$ modulo 12\fg{} s'écrit $a \equiv b$~~ (modulo 12).
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On augmente un RÉ de 70 demi-tons. 
	\begin{enumerate}
		\item %De combien de quintes justes l'a-t-on augmenté ?
$70 = 7 \times 10$. Le RÉ a été augmenté de 10 quintes justes. 
		\item %De combien de quartes justes l'a-t-on augmenté ?
$70 = 5 \times 14$. Le RÉ a été augmenté de 14 quartes justes. 
		\item %Déterminer un entier $a$ compris entre $-11$ et $11$ satisfaisant la relation de congruence suivante : $70 \equiv  a$~~ (modulo 12).
On a $70 = 6 \times 12 - 2$, donc $70 \equiv - 2\quad $ (modulo 12). 
		\item %En utilisant le résultat de la question précédente, déterminer la note obtenue quand on augmente un RÉ de 70 demi-tons.
		D'après la question précédente le RÉ est devenu un RÉ six octaves au dessus moins deux demi-tons soit un DO.
	\end{enumerate} 
\item %On passe d'un LA à un DO en augmentant de $x$ demi-tons (où $x$ désigne un entier naturel). 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une valeur possible pour l'entier $x$.
On passe d'un LA à un DO en augmentant de $3$ demi-tons. 
		\item %Donner une relation de congruence modulo 12 vérifiée par $x$.
		On obtient également un DO pour tous les octaves suivants, c'est-à-dire en ajoutant un nombre entier de 12 demi-tons.
		
		On a donc $x = 3 + 12n$, avec $n \in \N$, soit $x \equiv 3 \quad$ (modulo 12).
		 
%Déterminer deux autres valeurs possibles pour l'entier $x$.
On a donc $x \in \{3~;~15~;~27~;~39~;~\cdots\}$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Recopier et compléter le tableau de congruences modulo 12 suivant en ne complétant qu'avec des entiers compris entre $0$ et $11$ :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		 
$n \equiv \ldots$ (modulo 12)&0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11
\\ \hline 
$5n \equiv \ldots$ (modulo 12)&0&5	&10	&3	&8 	&1	&6 	&11	&4	&9	&2	&7
\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item %On passe d'un MI à un SI en augmentant de $n$ quartes justes (où $n$ désigne un entier naturel).
		 
%Écrire une relation de congruence modulo 12 vérifiée par l'entier $n$.
On passe d'un MI à un SI en augmentant de 7 demi-tons, donc de $\dfrac{7}{5}$ quartes. En ajoutant $n$ quartes soit $5n$ demi-tons, on doit donc arriver à $5n = 12k + 7$ avec $k \in \N$ nombre d'octaves, soit encore $5n \equiv 7 \quad $ (modulo 12).

D'après le tableau précédent il en résulte que $n \equiv 11 \quad$  (modulo 12).
%Donner alors une valeur possible pour l'entier $n$.

Exemples : $n = 11,\, 23,$\,etc.
Ainsi pour $n = 11$, soit 55 demi-tons on a bien : $55 = 4 \times 12 + 7$ : on avance bien de quatre octaves et d'une quarte juste donc de MI à SI.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} Enseignement obligatoire (au choix) \hfill 7 points}

\medskip

%On désigne par I l'intervalle $\left[\dfrac{1}{4}~;~5\right]$.
% 
%On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, par :
% 
%\[f(x) = x \ln (x) - x,~~ \text{où ln désigne la fonction logarithme népérien.}\]
% 
%On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f(1)$ et $f(\text{e})$.
$f(1) = 1 \ln (1) - 1  = 0 - 1 = - 1$ ; $f(\text{e}) = \text{e} \ln (\text{e}) - \text{e} = \text{e} - \text{e} = 0$.
		\item %On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
		 
%Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, $f'(x) = \ln (x)$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R_{+}^{+}$, donc sur I et sur cet intervalle :

$f'(x) = \ln (x) + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln (x) + 1 - 1 = \ln (x)$. 
		\item %Rappeler quel est, selon le réel $x$ strictement positif, le signe de l'expression $\ln (x)$.
On sait que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] sur $]0~;~1[,\, \ln (x) < 0$ ;
\item[$\bullet~$] $\ln (1) = 0$ ;
\item[$\bullet~$] sur $]1~;~+ \infty[,\, \ln (x) > 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
		 
%En déduire, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, le signe de $f'(x)$.
Donc pour $f$ :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] sur $\left]\frac{1}{4}~;~1\right[,\, f'(x) < 0$ ;
\item[$\bullet~$] $f'(1) = 0$ ;
\item[$\bullet~$] sur $]1~;~5[,\, f'(x) > 0$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
		\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
On en déduit :

Sur $\left]\frac{1}{4}~;~1\right[,\, f$ est décroissante ;

Sur $]1~;~5[,\, f$ est croissante.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %On désigne par $\mathcal{D}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse e.
		Le point A a pour coordonnées $(\text{e}~;~0)$ et le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse e est égal à $f'(\text{e}) = \ln (\text{e}) = 1$.
		
Une équation de $\mathcal{D}$ est donc $y = x + b$.

A $ \in  \mathcal{D} \iff 0 = \text{e} + b \iff b = - \text{e}$.

Une équation de $\mathcal{D}$ est donc $y = x - \text{e}$.
		 
%Déterminer l'équation de la forme $y = ax + b$ de la droite $\mathcal{D}$. 
		\item %La courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente $\mathcal{D}'$, parallèle à l'axe des abscisses en un point B.
		 
%Donner les coordonnées de ce point B.
Le coefficient directeur de la tangente égal au nombre dérivé est donc nul, soit $\ln (x) = 0 \iff x = 1$.

Le point B a pour abscisse 1 et donc pour ordonnée $- 1$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous. On donnera, dans chaque cas, la valeur décimale arrondie au dixième.
		
\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.5}		 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$x$&$\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{1}{2}$& 1& 2& e& 3& 4& 5\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$f(x)$&$- 0,6$&$- 0,8$&$- 1$&$- 0,6$&$0$&$0,3$&$1,5$&$3$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

%Tracer, dans le repère orthonormal \Oij, la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$ et la droite $\mathcal{D}'$. On prendra comme unité graphique 2~cm sur chaque axe.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\medskip
\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,-1)(6,3.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,-1)(6,3)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{5}{x x ln mul x sub}
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange]
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} Enseignement renforcé (au choix) \hfill 7 points}

\medskip
 
%On désigne par I l'intervalle $[-1~;~2]$.
% 
%On considère la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, par :
% 
%\[f(x) = (2 - x)\text{e}^x,~~\text{où}~\text{e}^x~~ \text{représente l'exponentielle du nombre réel}~ x.\]
% 
%On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer les valeurs exactes des nombres réels $f(0),~f(- 1)$ et $f (2)$.
$f(0) = 2$ ; $f(- 1) = 3\text{e}^{-1} \approx 1,1$ ; $f(2) = 0$. 
\item %On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, $f'(x) = (1 - x)\text{e}^x$.
		$f$ est dérivable sur $\R$ donc a fortiori sur I et sur cet intervalle :
		
		$f'(x) = -1\text{e}^x + (2 - x)\text{e}^x = (1 - x)\text{e}^x$. 
		\item %Pour tout réel $x$ de l'intervalle I, étudier le signe de $f'(x)$.
On sait que quel que soit $x \in \R,\,\text{e}^x > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - x$.

Donc sur $[- 1~;~1[,\, f'(x) > 0$ ; 

et sur $]1~;~2[,\, f'(x) < 0$.		 
%Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
La fonction $f$ est donc croissante sur $[- 1~;~1[$ et décroissante sur $]1~;~2[$.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %La courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente $\mathcal{D}$ parallèle à l'axe des abscisses en un point A.
La tangente est horizontale si le nombre dérivé est nul, soit :

$f'(x) = 0 \iff (1 - x)\text{e}^x \iff 1 - x = 0 \iff x = 1$. Et $f(1) = 1\text{e}^1 = \text{e}$.
		 
%Donner les coordonnées de ce point A.
A$(1~;~\text{e})$. 
		\item %Sur la feuille annexe, à rendre avec la copie, on a tracé la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans le repère orthonormal \Oij{} en prenant pour unité graphique 3~cm. Tracer sur ce graphique la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %On considère la fonction $F$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, par : 

%\[F(x) = (3 - x)\text{e}^x.\]
 
%Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
$F$ est dérivable sur I et sur cet intervalle :

$F'(x) = - 1\text{e}^x + (3 - x)\text{e}^x = (2 - x)\text{e}^x = f(x)$.

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur I. 
		\item %On considère l'intégrale $K$ définie par : $K = \displaystyle\int_{0}^2  f(t)\: \text{d}t$.
		 
%Calculer l'intégrale $K$.
$K = \displaystyle\int_{0}^2 f(t)\: \text{d}t = \left[F(t)\right]_{0}^2 = F(2) - F(0) = (3 - 2)\text{e}^2 - (3 - 0)\text{e}^0 = \text{e}^2 - 3$.
	\end{enumerate} 
\item %On considère la partie du plan délimitée par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite d'équation $x = 2$ et la courbe $\mathcal{C}$.
 
%On désigne par $\mathcal{A}$ la mesure, exprimée en cm$^2$, de l'aire de cette partie du plan. 
	\begin{enumerate}
		\item %Hachurer cette partie du plan sur le graphique de la feuille annexe  (\textbf{à rendre avec la copie}).
Voir la figure. 
		\item Déterminer la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie au centième de la mesure $\mathcal{A}$, exprimée en cm$^2$.
Comme $- 1 \leqslant x \leqslant 2 \iff -2 \leqslant - x \leqslant 1 \iff 2 - 2 \leqslant 2 - x \leqslant 2 - 1 \iff 0 \leqslant (2 - x) \leqslant 1$ et finalement en multipliant par le nombre positif $\text{e}^x$, 

$0  \leqslant (2 - x)\text{e}^x \leqslant \text{e}^x$.

Conclusion : la fonction $f$ est positive (ou nulle) sur I et l'aire en unité l'aire de la surface hachurée est égale à l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^2  f(t)\: \text{d}t$.

On a vu que cette intégrale est égale à $\text{e}^2 - 3$ unités d'aire soit puisque 1 u. a. $ = 3 \times 3 = 9$~cm$^2$, l'aire est égale à $9\left(\text{e}^2 - 3 \right) \approx 39,50$~cm$^2$. (ce que l'on vérifie approximativement sur la figure). 	
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 4: ANNEXE (à rendre avec la copie)}

\vspace{2cm}

\psset{unit=2.25cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(3,3) 

\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[r](1.8,1.2){$\mathcal{C}$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=3,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-2,-1)(3,3)
\psdots(-1,1.1036)(2,0)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-1)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{2}{2 x sub 2.71828 x exp mul}
\psline(-1,2.71828)(2,2.71828)\uput[u](-1,2.71828){$\mathcal{D}$}
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2 x sub 2.71828 x exp mul}
\psline(2,0)(0,0)}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}