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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat technique de la musique et de la danse} 
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin  2012}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large\textbf{Baccalauréat technique de la musique et de la danse \\ \decofourleft~Métropole juin  2012~\decofourright}}
    
\end{center}

\vspace{0,25cm}

Le candidat traitera trois exercices :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 1
\item[$\bullet~~$] Obligatoirement l'exercice 2
\item[$\bullet~~$] Au choix l'exercice 3 ou l'exercice 4 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 6 points}

\medskip

On note I l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~10\right]$. On désigne par ln la fonction logarithme népérien. 

On note e le nombre réel vérifiant $\ln (\text{e}) = 1$.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle I par 

\[g(x) = \ln x - 1.\]
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre, sur l'intervalle I, l'équation $g(x) = 0.$ 
\item Résoudre, sur l'intervalle I, l'inéquation $g(x) \geqslant  0$ et en déduire le tableau de signe de $g(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle 1.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I par 

\[f(x) = x(\ln x - 2).\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de $f(\text{e})$.
\item On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
 
Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle I, et vérifier que l'on a $f^{\prime}(x) = g(x)$. 
\item En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\item On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentant la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij{} d'unités graphiques 1~cm.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs au dixième). 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,5&1	& 2	& e	&3,5& 4 &5 	&6 	&7 	&8 	&9 	&10\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 7 points}

\medskip
 
Pour attirer la clientèle, un supermarché organise un jeu : pour tout passage en caisse, chaque client se voit remettre un ticket. Il gagne soit un paquet de bonbons soit un bon d'achat de 150~\euro, selon les modalités suivantes :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 1\up{re} étape : un grattage du ticket révèle soit une marque verte, soit une marque rouge.
 
La marque est verte dans 35\,\% des cas.
\item[$\bullet~~$] 2\up{e} étape : le ticket est passé dans une borne qui indique le gain du client.
\begin{itemize}
\item Si le ticket porte une marque verte, le client remporte un paquet de bonbons dans 90\,\% des cas et un bon d'achat de 150~\euro{} dans tous les autres cas. 
\item Si le ticket porte une marque rouge, le client remporte un paquet de bonbons dans 98\,\% des cas et un bon d'achat de 150~\euro{} dans tous les autres cas.
\end{itemize}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Tous les tickets ont été distribués.
 
À la sortie du magasin, on interroge un client au hasard. Chaque client a la même probabilité d'être choisi.
 
On note 

$V$ l'évènement \og le client a eu un ticket avec une marque verte \fg{}; 

$R$ l'évènement \og le client a eu un ticket avec une marque rouge\fg{}; 

$A$ l'évènement \og le client a gagné un bon d'achat de 150~\euro\fg{};
 
$B$ l'évènement \og le client a gagné un paquet de bonbons\fg.
 
\begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé :
	\begin{enumerate}
		\item Parmi les évènements $V, R, A$ et $B$, lequel a $0,35$ pour probabilité ? 
		\item Donner $p(B)$, la probabilité que le client gagne des bonbons sachant que son ticket est $R$. 
rouge.
	\end{enumerate} 
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $p(A)$, la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $V$ est réalisé. 
		\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités modélisant la situation étudiée :
		
\begin{center}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$V$}}
	{\TR{$B$}\taput{0,9}
	\TR{$A$}
	}
\pstree{\TR{$R$}}
	{\TR{$B$}
	\TR{$A$}
	}
}
\end{center}
 
	\end{enumerate}
\item Traduire l'évènement noté $V \cap A$ par une phrase. Calculer sa probabilité. 
\item Montrer que la probabilité $p(A)$ de l'évènement $A$ est égale à $0,048$. 
\item On sait que le client a gagné un bon d'achat de 150~\euro. Quelle est la probabilité qu'il ait eu un ticket portant une marge rouge ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} Enseignement obligatoire (au choix)  \hfill 7 points}

\medskip

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] On considère la gamme tempérée : l'octave est divisée en 12 demi-tons (DO, DO\#, RÉ, RÉ\#, MI, FA, FA\#, SOL, SOL\#, LA, LA\#, SI). Quand on monte d'un demi-ton, la fréquence de la note est multipliée par $q =2^{\frac{1}{12}}$ ; une quinte correspond à 7 demi-tons. 
\item[$\bullet~~$] À chaque octave est associé un indice $n$ entier, et les notes d'une octave portent l'indice de cette octave. Par exemple, la note LA$_{3}$ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3, et la note LA$_{4}$ à la note LA de l'octave supérieure d'indice 4. 
\item[$\bullet~~$] log désigne la fonction logarithme décimal. 
\item[$\bullet~~$] Pour deux notes de fréquences respectives $f_{1}$ et $f_{2}$ exprimées en Hertz, avec $f_{2} > f_{1}$ ; , la différence de hauteur de ces notes exprimée en savarts est égale à $\np{1000} \text{log}\left(\dfrac{f_{2}}{f_{1}}\right)$. 
\item[$\bullet~~$] On rappelle que lorsque deux entiers $a$ et $b$ ont le même reste dans la division euclidienne par 12, on dit que $a$ est congru à $b$ modulo 12 et on note 

$a \equiv b \quad \text{modulo}\: 12$.
\end{itemize}
 
Les fréquences demandées seront arrondies au dixième. 

On considère le LA$_{3}$ de fréquence $440$ Hz.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À partir du LA$_{3}$ on monte de 17 demi-tons. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la note obtenue ? 
		\item Quelle est la fréquence de cette note ? 
		\item De combien de savarts est-on monté? (on arrondira à l'unité).
	\end{enumerate} 
\item À partir du LA$_{3}$, on monte de $n$ quintes, (où $n$ désigne un nombre entier) et on obtient la note DO. On cherche à déterminer la valeur de l'entier $n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le problème revient à résoudre l'équation $7n \equiv 3\:\: (\text{modulo}\: 12)$. 
		\item Compléter le tableau suivant 
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$&0 &1&2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11\\ \hline
$7n$ modulo 12&&&&&&11&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item En déduire la valeur de l'entier $n$.
	\end{enumerate} 
\item On joue une note dont la fréquence est $311,1$ Hz.

On pose $q =2^{\frac{1}{12}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une valeur approchée, arrondie au millième, de $q^3,\:q^6$ et $q^9$. 
		\item À partir du LA$_{3}$, de combien de demi-tons est-on descendu pour obtenir cette note ? 
		\item Quelle est la note obtenue ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} Enseignement renforcé (au choix)  \hfill 7 points}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} où l'unité graphique est de 2~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 
 
\begin{enumerate}
\item On considère le point M$_{1}$ d'affixe $z_{1} = 1 + \text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer le point M$_{1}$ dans le repère \Ouv. 
		\item Calculer le module du nombre complexe $z_{1}$ et déterminer un argument de $z_{1}$.
	\end{enumerate} 
\item On considère le nombre complexe $z_{2}$ de module $2$ et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$.
 
On désigne par M$_{2}$ le point d'affixe $z_{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Construire le point M$_{2}$ dans le repère \Ouv. On laissera apparents les traits de construction. 
		\item Écrire le nombre complexe $z_{2}$ sous la forme algébrique $a + \text{i}b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
	\end{enumerate}
\item	 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe $z_{1} \times z_{2}$. 
		\item En utilisant le résultat de la question 1. b., démontrer que le nombre complexe $z_{1} \times z_{2}$ a pour module $2\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{11\pi}{12}$. 
		\item Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{11\pi}{12} \right)$  et $\sin \left(\dfrac{11\pi}{12} \right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}