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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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% pour le pied de page central
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Baccalauréat S}}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2012}}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie juin 2012~\decofourright}}
 \end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 1 \hfill 5 points}}

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

On considère les points B (100~;~100) et $\text{C}\left(50~;~\dfrac{50}{\sqrt{\mathrm{e}}}\right)$ et la droite (D) d'équation $y=x$.

On note $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ dont la courbe représentative, notée $\Gamma$ , est donnée en annexe.

On suppose de plus qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que :

\medskip

\begin{enumerate}
\item[$\bullet$~~] pour tout $x$ réel, $f(x) = x\text{e}^{ax + b}$.
\item[$\bullet$~~] les points B et C appartiennent à la courbe $\Gamma$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que le couple $(a~;~b)$ est solution du système :
\[\left\{\begin{array}{l c r}100a + b &=& 0\\\phantom{1}50a + b&=&-\dfrac{1}{2}\end{array}\right.\]

		\item En déduire que, pour tout $x$ réel, $f (x) = x\text{e}^{0,01x-1}$.
	\end{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ .
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout $x$ réel, $f(x)=\dfrac{100}{\text{e}}\times 0,01x\text{e}^{0,01x}$
		\item En déduire la limite de $f$ en $-\infty$.
	\end{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$. On donnera le tableau de variations complet.
\item Étudier la position relative de la courbe $\Gamma$ et de la droite (D).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer à l'aide d'une intégration par parties l'intégrale $\displaystyle\int_0^{100}f(t)\text{ d}t$.
\item On désigne par $A$ l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par les droites d'équations $x = 0$ et $x = 100$ , la droite (D) et la courbe $\Gamma$.

Calculer $A$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2\hfill 5 points}}

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = -2 + 2\text{i}$, $b = -3 - 6\\text{i}$ et $c = 1$.\\

La figure de l'exercice est donnée en annexe. Elle peut servir à émettre des conjectures, à vérifier des résultats.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner l'écriture complexe de la rotation $r$ de centre B et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
		\item En déduire l'affixe du point A$'$ image de A par $r$.
		\item Vérifier que l'affixe $s$ du point S milieu de [AA'] est $s=-\dfrac{13}{2}-\dfrac{3}{2}\text{i}$.
		\item Démontrer que le point S appartient au cercle circonscrit au triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item On construit de la même manière C' l'image de C par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, Q le milieu de [CC'], B' l'image de B par la rotation de centre C et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ et P le milieu de [BB'].

On admet que les affixes respectives de Q et de P sont  $q =\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}\mathrm{i}$ et $p = 2 - 5 \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\dfrac{s - q}{p - a}= - \text{i}$.
		\item En déduire que les droites (AP) et (QS) sont perpendiculaires et que les segments [AP] et [QS] sont de même longueur.
	\end{enumerate}
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}.

Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CS) sont concourantes.
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip

On considère l'algorithme suivant :

Les variables sont le réel $U$ et les entiers naturels $k$ et $N$.\\

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{9cm}
\textbf{Entrée}

Saisir le nombre entier naturel non nul $N$.\\

\textbf{Traitement}\\
Affecter à $U$ la valeur 0\\
Pour $k$ allant de 0 à $N -1$\\

\hspace{0.8cm}| Affecter à $U$ la valeur $3U - 2k + 3$\\
Fin pour\\

\textbf{Sortie}\\
Afficher $U$
\end{minipage}}
\end{center}
\medskip

Quel est l'affichage en sortie lorsque $N = 3$ ?

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, 

\[u_{n+1}= 3u_n - 2n + 3.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant n$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
\item Soit la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - n +1$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.

		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + n -1$.
	\end{enumerate}
\item Soit $p$ un entier naturel non nul.
	\begin{enumerate}
		\item Pourquoi peut-on affirmer qu'il existe au moins un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, $u_n\geqslant 10^p$ ?
		
On s'intéresse maintenant au plus petit entier $n_0$.
		\item Justifier que $n_0\leqslant 3p$.
		\item Déterminer à l'aide de la calculatrice cet entier $n_0$ pour la valeur $p = 3$.
		\item Proposer un algorithme qui, pour une valeur de $p$ donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geqslant n_0$, on ait $u_n\geqslant 10^p$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 \hfill 5 points}}

\emph{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On désigne par $x$ un réel appartenant à l'intervalle [0~;~80].

Une urne contient 100 petits cubes en bois dont 60 sont bleus et les autres rouges.

Parmi les cubes bleus, 40\,\% ont leurs faces marquées d'un cercle, 20\,\% ont leurs faces marquées d'un losange et les autres ont leurs faces marquées d'une étoile.

Parmi les cubes rouges, 20\,\% ont leurs faces marquées d'un cercle, $x$\,\% ont leurs faces marquées d'un losange et les autres ont leurs faces marquées d'une étoile.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A : expérience 1}}

\medskip

On tire au hasard un cube de l'urne.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la probabilité que soit tiré un cube marqué d'un losange est égale à $0,12 + 0,004x$.
\item Déterminer $x$ pour que la probabilité de tirer un cube marqué d'un losange soit égale à celle de tirer un cube marqué d'une étoile.
\item  Déterminer $x$ pour que les évènements \og{} tirer un cube bleu\fg{} et \og{} tirer un cube marqué d'un losange \fg{} soient indépendants.
\item On suppose dans cette question que $x = 50$.

Calculer la probabilité que soit tiré un cube bleu sachant qu'il est marqué d'un losange.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B : expérience 2}}

\medskip

On tire au hasard simultanément 3 cubes de l'urne.

Les résultats seront arrondis au millième.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité de tirer au moins un cube rouge ?
\item Quelle est la probabilité que les cubes tirés soient de la même couleur ?
\item Quelle est la probabilité de tirer exactement un cube marqué d'un cercle ?
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4 \hfill 5 points}}
\emph{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}\\

\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip

On considère l'équation (E) : $25x -108y =1$ où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que le couple $(13~;~3)$ est solution de cette équation.
\item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip

Dans cette partie, $a$ désigne un entier naturel et les nombres $c$ et $g$ sont des entiers naturels vérifiant la relation $25g -108c =1$.

On rappelle le petit théorème de Fermat : 

Si $p$ est un nombre premier et $a$ un entier non divisible par $p$, alors $a^{ p-1}$ est congru à 1 modulo $p$ que l'on note $a^{ p-1}\equiv 1~[p]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $x$ un entier naturel.

Démontrer que si $x\equiv a~[7]$ et $x\equiv a~[19]$, alors $x\equiv a~[133]$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On suppose que $a$ n'est pas un multiple de 7.
		
Démontrer que $a^6\equiv 1~[7]$ puis que $a^{108}\equiv 1~[7]$.

En déduire que $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[7]$.
		\item On suppose que a est un multiple de 7.
		
Démontrer que $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[7]$.
		\item  On admet que pour tout entier naturel $a$, $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[19]$.
		
Démontrer que $\left(a^{25}\right)^g\equiv a~[133]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie C}}

\medskip

On note A l'ensemble des entiers naturels $a$ tels que : $1\leqslant a\leqslant 26$.

Un message, constitué d'entiers appartenant à A, est codé puis décodé.

La phase de codage consiste à associer, à chaque entier $a$ de A, l'entier $r$ tel que $a^{25}\equiv r~[133]$ avec $0\leqslant r< 133$.

La phase de décodage consiste à associer à $r$ , l'entier $r_1$ tel que $r^{13}\equiv r_1~[133]$ avec $0\leqslant r_1 < 133$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $r_1\equiv a~[133]$.
\item Un message codé conduit à la suite des deux entiers suivants : $128 \qquad 59$.

Décoder ce message.
\end{enumerate}

\newpage
%\begin{center}
%\textbf{\textcolor{blue}{Annexe de l'exercice 1}}
%\end{center}
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.05cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-150,-20)(140,180)
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%\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt]{-140.0}{140.0}{x*EXP(0.01*x-1)}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](100,100)
%\uput[d](100,100){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](50,30.33)
%\uput[d](50,30.33){\blue{$C$}}
%\multido{\n=-20+20}{11}{\psline[linewidth=0.3pt](-140,\n)(140,\n)}
%\multido{\n=-140+20}{16}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-20)(\n,180)}
%\uput[d](120,145){$\Gamma$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%\bigskip
%\begin{center}
%\textbf{\textcolor{blue}{Annexe de l'exercice 2}}
%\end{center}
%
%\medskip
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
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%
%\psline(-2,2)(-3,-6)
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%%\psline[linestyle=dashed](7,-4)(1,0)
%\psline(0.5,2.5)(1,0)
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%\psline(-6.5,-1.5)(1,0)
%\psline[linestyle=dashed](1,0)(7,-4)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-2,2)
%\rput[bl](-1.92,2.12){\blue{$A$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-3,-6)
%\rput[bl](-2.92,-5.88){\blue{$B$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1,0)
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%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](-11,-5)
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%\rput[bl](-6.42,-1.38){\darkgray{$S$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0,5)
%\rput[bl](0.08,5.12){\darkgray{$C'$}}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.5,2.5)
%\rput[bl](0.58,2.62){\darkgray{$Q$}}
%\rput[bl](0.8,2.58){$e$}
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](7,-4)
%\psdots[dotstyle=*,linecolor=darkgray](2,-5)
%\rput[bl](2.08,-4.88){\darkgray{$P$}}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
\label{fin}
\begin{center}
\textbf{Annexe de l'exercice 1}
\bigskip

\psset{xunit=0.04cm,yunit=0.04cm,algebraic=true,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt
2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-150,-25)(145,185)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=0,gridcolor=gray,unit=1cm](0,0)(-7,-1)(7,9)
\multido{\n=-140+20}{15}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=gray](\n,-20)(\n,180)}
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\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-140.0}{131.5}{x*EXP(0.01*x-1)}
\psdots(50,30.33)(100,100)
\uput[r](100,100){B}
\uput[-45](50,30.33){C}
\uput[r](120,145){\blue $\Gamma$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%-----------------------------------------------------------------------
\vspace{1cm}

\begin{center}
\textbf{Annexe de l'exercice 2}
\end{center}

\medskip
\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt
2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-12,-8)(8,6)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt
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\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt,gridcolor=gray](-12,-7)(8,6)%grille
\psline(-2,2)(-3,-6)
\psline(1,0)(-3,-6)
\psline(1,0)(-2,2)
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\psline[linestyle=dashed](1,0)(0,5)
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\psline[linestyle=dashed](0.5,2.5)(-6.5,-1.5)
\psline(0.5,2.5)(-3,-6)
\psline(-6.5,-1.5)(1,0)
\psline[linestyle=dashed](1,0)(7,-4)
\psdots[](-2,2)	\uput[135](-2,2){A}
\psdots(-3,-6)	\uput[-90](-3,-6){B}
\psdots(1,0)	\uput[45](1,0){C}
\psdots(-11,-5)(-6.5,-1.5)\uput[-90](-11,-5){A$'$}	
\uput[-45](-6.5,-1.5){S}
\psdots(0,5)(0.5,2.5)(7,-4)(2,-5)
\uput[0](0,5){C$'$}\uput[0](0.5,2.52){Q}
\uput[-45](7,-4){B$'$}	\uput[-50](2,-5){P}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}