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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small Centres étrangers}
\rfoot{\small 12 juin 2013}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée  : 4 heures }

\vspace{0,25cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers
~\decofourright\\[4pt] 12 juin 2013}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999.

\emph{Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 6 points}

\textbf{\emph{Commun à tous les candidats}}

\medskip

Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des  circuits hydrauliques.

Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La durée de vie d'une vanne, exprimée en heures, est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle\index{loi exponentielle} de paramètre $\lambda = \numprint{0,0002} $.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la durée de vie moyenne d'une vanne ? 

\item Calculer la probabilité, à $0,001$ près, que la durée de vie d'une vanne soit supérieure à \np{6000} heures.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie B}

\parbox{5cm}{ Avec trois vannes identiques $V_{1}$, $V_{2}$ et $V_{3}$, on fabrique le circuit hydraulique ci-contre.\\
Le circuit est en état de marche si $V_{1}$ est en état de  marche ou si $V_{2}$ et $V_{3}$ le sont simultanément.}\hfill\parbox{7cm}{\psset{unit=0.6}
\begin{pspicture}(-1,-2)(10,3)
%\psgrid
\psline(0,0)(2,0)
\psline(2,0)(4,1)
\psframe(4,0.5)(5,1.5)
\psline(5,1)(8,0)
\psline(2,0)(3,-1)
\psframe(3,-1.5)(4,-0.5)
\psline(4,-1)(5,-1)
\psframe(5,-1.5)(6,-0.5)
\psline(6,-1)(8,0)
\psline(8,0)(10,0)
\rput(4.5,0.95){$V_{1}$}
\rput(3.5,-1.05){$V_{2}$}\rput(5.5,-1.05){$V_{3}$}
\end{pspicture}}

On assimile à une expérience aléatoire le fait que chaque vanne est ou n'est pas en état de marche après \numprint{6000} heures. On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $F_{1}$ l'évènement : \og la vanne $V_{1}$ est en état de marche après \np{6000} heures \fg.
\item[$\bullet~~$] $F_{2}$ l'évènement : \og la vanne $V_{2}$ est en état de marche après \np{6000} heures \fg.
\item[$\bullet~~$] $F_{3}$ l'évènement : \og la vanne $V_{3}$ est en état de marche après \np{6000} heures \fg.
\item[$\bullet~~$] $E$ : l'évènement : \og le circuit est en état de marche après \np{6000} heures \fg.
\end{itemize}

On admet que les évènements $F_{1}$, $F_{2}$ et $F_{3}$ sont deux à deux indépendants et ont chacun une  probabilité égale à $0,3$.

\parbox{0.7\linewidth}{\begin{enumerate}
\item L'arbre probabiliste ci-contre représente une partie de la situation.

Reproduire cet arbre et placer les probabilités sur les branches. 
\item Démontrer que $P(E) = 0,363$. 

\item Sachant que le circuit est en état de marche après \np{6000} heures, calculer la probabilité que la vanne $V_{1}$ soit en état de marche à ce moment là. Arrondir au millième.

\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.28\linewidth}{
\psset{nodesep=2mm,levelsep=15mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\TR{$F_1$}
\pstree
	{\TR{$\overline{F_{1}}$}}
		{
			\pstree
				{\TR{$F_{2}$}}
				{\TR{$F_{3}$}
				\Tn
				}
				\Tn
		}
  }
}
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'industriel affirme que seulement 2\,\% des vannes qu'il fabrique sont défectueuses. On suppose que cette affirmation est vraie, et l'on note $F$ la variable aléatoire égale à la fréquence de vannes défectueuses dans un échantillon aléatoire de $400$ vannes prises dans la production totale.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer l'intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la variable $F$, 

\item On choisit $400$ vannes au hasard dans la production, On assimile ce choix à un tirage aléatoire de $400$ vannes, avec remise, dans la production.

Parmi ces $400$ vannes, $10$ sont défectueuses.
 
Au vu de ce résultat peut-on remettre en cause. au seuil de 95\,\%, l'affirmation de l'industriel? 
\end{enumerate}
\bigskip
 \textbf{Partie D}

\medskip

\emph{Dans cette partie, les probabilités calculées seront arrondies au millième.}

L'industriel commercialise ses vannes auprès de nombreux clients, La demande mensuelle est une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale\index{loi normale} d'espérance $\mu = 800$ et d'écart-type $\sigma = 40$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(760\leqslant D \leqslant 840)$.
\item Déterminer $P(D\leqslant 880)$. 

\item L'industriel pense que s'il constitue un stock mensuel de $880$ vannes, il n'aura pas plus de 1\,\% de chance d'être en rupture de stock. A-t-il raison ? \hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 2 \hfill 4 points}

\emph{\textbf{Commun à tous les candidats}}

\medskip

\emph{Les quatre questions sont indépendantes.}
 
\emph{Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.}
\medskip

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère 
\begin{itemize}
\item les points A $(12~;~0~;~0)$, B $( 0~;~-15~;~0)$, C $( 0~;~0~;~20)$, D $(2~;~7~;~- 6)$, E $(7~;~3~;~-3)$;
\item le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne : $2x + y - 2z - 5 = 0 $
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Affirmation 1}

Une équation cartésienne du plan parallèle à $\mathscr{P}$ et passant par le point A est :
 
\[2x + y + 2z - 24 = 0\]

\textbf{Affirmation 2}

Une représentation paramétrique de la droite (AC) est : $\left\{\begin{array}{*{3}{l}}x&=&9 - 3t\\y&=&0\\
z&=&5 + 5t\end{array}\right.,~t\in\mathbb{R}$.

\textbf{Affirmation 3}

La droite (DE) et le plan $\mathscr{P}$ ont au moins un point commun.

\textbf{Affirmation 4}

La droite (DE) est orthogonale au plan (ABC).\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 3\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ~;~1]$ par : 

\[g(x) = 1 + \mathrm{e}^{-x}.\]

On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~ 1]$, $g(x) >0$.

\medskip

\parbox{8cm}{On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthogonal, et $\mathscr{D}$ le domaine plan compris d'une part entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathscr{C}$, d'autre part entre les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1 $.\\
La courbe $\mathscr{C}$ et le domaine $\mathscr{D}$ sont représentés ci-contre.}\hfill\parbox{8cm}{

\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.3)(1.5,2.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\def\f{1+EXP(-x)}
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{1.0}{\f}
\def\inf{0} \def\sup{1}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=orange]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\uput[u](0.68,1.51){$\mathscr{C}$}\\
\uput[u](0.5,1){$\mathscr{D}$}
\uput[d](1.2,0){$x$}
\uput[l](0,2.1){$y$}
\uput[ul](0,0){0}
\end{pspicture*}}

\bigskip

Le but de cet exercice est de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire, d'abord par une droite parallèle à l'axe des ordonnées (partie A), puis par une droite parallèle à l'axe des abscisses (partie B).

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\parbox{8cm}{Soit $a$ un réel tel que $0\leqslant a\leqslant 1$.\\
On note $\mathscr{A}_{1}$ l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, l'axe $(Ox)$,les droites d'équation $x = 0$ et $x =a$ , puis $\mathscr{A}_{2}$ celle du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$, $(Ox)$ et les droites d'équation $x = a$ et $x = 1$.\\ 
$\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont exprimées en unités d'aire. }\hfill
\parbox{8cm}{
\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.3)(1.4,2.2)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
\psset{xunit=4.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1.25pt](0,0)(-0.2,-0.2)(1.2,2.2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\def\f{1+EXP(-x)}
\psplot[plotpoints=200]{0.0}{1.0}{\f}
\def\inf{0} \def\sup{0.4}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=orange]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\def\inf{0.4} \def\sup{1}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=orange, hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)\closepath % indispensable !
}
\psline(0.4,0)(0.4,2)
\uput[u](0.2,1){$\mathscr{A}_{1}$}
\uput[u](0.6,1){$\mathscr{A}_{2}$}
\uput[u](0.68,1.51){$\mathscr{C}$}
\uput[d](0.4,0){$a$}
\uput[d](1.2,0){$x$}
\uput[l](0,2.1){$y$}
\uput[ul](0,0){0}
\end{pspicture*}}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\mathscr{A}_{1}= a - \mathrm{e}^{-a} + 1$.
		\item Exprimer $\mathscr{A}_{2}$ en fonction de $a$.
	\end{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~1]$ par : 

\[f(x) =2x - 2\,\mathrm{e}^{- x} + \dfrac{1}{\mathrm{e}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~1]$. On précisera les valeurs exactes de $f(0)$ et $f(1)$. 
		\item Démontrer que la fonction $f$ s'annule une fois et une seule sur l'intervalle $[0~;~1]$. en un réel $\alpha$. Donner la valeur de $\alpha$ arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\item En utilisant les questions précédentes, déterminer une valeur approchée du réel $a$ pour lequel les aires $\mathscr{A}_{1}$ et $\mathscr{A}_{2}$ sont égales.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $b$ un réel positif.

Dans cette partie, on se propose de partager le domaine $\mathscr{D}$ en deux domaines de même aire par la droite d'équation $y=b$. On admet qu'il existe un unique réel $b$ positif solution. 
\begin{enumerate}
\item Justifier l'inégalité $b<1 + \dfrac{1}{\mathrm{e}}$. On pourra utiliser un argument graphique. 
\item Déterminer la valeur exacte du réel $b$. \hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'avant pas choisi la spécialité mathématique }

\medskip

L'objet de cet exercice est l'étude de la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par son premier terme 

$u_{1}=\dfrac{3}{2}$ et la relation  de récurrence : $u_{n+1} =\dfrac{nu_{n}+1}{2(n + 1)}$.

\medskip

\textbf{Partie A - Algorithmique et conjectures }

\medskip

\parbox{0.45\linewidth}{Pour calculer et afficher le terme $u_{9}$ de la suite, un élève propose l'algorithme\index{algorithme} ci-contre.

Il a oublié de compléter deux lignes.}\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\arraybackslash}X|}} \hline
Variables&$n$ est un entier naturel \\
&$u$ est un réel \\
\hline
Initialisation &Affecter à $n$ la valeur 1\\
&Affecter à $u$ la valeur 1,5 \\
\hline
Traitement &Tant que $n<9 $\\
&\hspace*{1cm}Affecter à $u$ la valeur \dots\\ 
&\hspace*{1cm}Affecter à $n$ la valeur \dots\\
%\hline
&Fin Tant que \\
\hline
Sortie&Afficher la variable $u$ \\
\hline
\end{tabularx}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension. 
\item Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de $u_{2}$ jusqu'à $u_{9}$ ? 
\item  Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième: 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\small  \centering \arraybackslash}X|}} \hline
n &1&2 &3 &4 &5 &6 &\dots&99 &100 \\
\hline
$u_{n}$ &1,5 &0,625 &0,375 &0,2656 &\np{0,2063} &\np{0,1693}&\dots&\np{0,0102} &\np{0,0101} \\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude mathématique}

\medskip

On définit une suite\index{suite} auxiliaire $\left(v_{n}\right)$ par : pour tout entier $n\geqslant 1$, $v _{n} = nu_{n} -1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique ; préciser sa raison et son premier terme. 

\item En déduire que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : $u_{n}= \dfrac{1 + (0,5)^{n}}{n}$.
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\item Justifier que, pour tout entier $n\geqslant 1$ , on a : $u_{n+1}- u_{n}=- \dfrac{1 + (1 + 0,5n)(0,5)^{n}}{n(n + 1)}$.

En déduire le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Retour à l'algorithmique }

En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier $n$ tel que $u_{n} < 0,001$.\hyperlink{Index}{*} 

\vspace{0,5cm}

\subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi la spécialité mathématique }

\medskip

Une espèce d'oiseaux ne vit que sur deux îles A et B d'un archipel.

Au début de l'année 2013, 20 millions d'oiseaux de cette espèce sont présents sur l'île A et 10 millions sur l'île B.

Des observations sur plusieurs années ont permis aux ornithologues d'estimer que, compte tenu des naissances, décès, et migrations entre les deux îles, on retrouve au début de chaque année les proportions suivantes : 
\begin{itemize}
\item sur l'île A : 80\,\% du nombre d'oiseaux présents sur l'île A au début de l'année précédente et 30\,\% du nombre d'oiseaux présents sur l'île B au début de l'année précédente;
\item sur l'île B : 20\,\% du nombre d'oiseaux présents sur l'île A au début de l'année précédente et  70\,\% du nombre d'oiseaux présents sur l'île B au début de l'année précédente.
\end{itemize}

\medskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $a_{n}$ (respectivement $b_{n}$) le nombre d' oiseaux (en millions) présents sur l'île A (respectivement B) au début de l'année $(2013 + n)$.

\bigskip

\textbf{Partie A - Algorithmique et conjectures }

\medskip

\parbox{5cm}{On donne ci-contre un algorithme\index{algorithme} qui doit afficher le nombre d'oiseaux vivant sur chacune des deux iles,  pour chaque année comprise entre 2013 et une année  choisie par l'utilisateur.}\hfill
\parbox{6.5cm}{\fbox{\begin{minipage}{6.5cm}
\textbf{\emph{Début de l'algorithme}}\\
Lire $n$\\
Affecter à $a$ la valeur 20\\
Affecter à $b$ la valeur 10\\
Affecter à $i$ la valeur 2013\\
Afficher $i$\\
Afficher $a$\\
Afficher $b$\\ 
Tant que $i < n$ faire\\
\hspace*{1cm} Affecter à $c$ la valeur $(0,8a + 0,3b)$\\
\hspace*{1cm} Affecter à $b$ la valeur $(0,2a + 0,7 b)$\\
\hspace*{1cm} Affecter à $a$ la valeur $c$\\
Fin du Tant que\\
\textbf{\emph{Fin de l 'algorithme}}
\end{minipage}}}

\begin{enumerate}
\item Cet algorithme comporte des oublis dans le traitement. Repérer ces oublis et les corriger. 

\item On donne ci-dessous une copie d'écran des résultats obtenus après avoir corrigé l'algorithme précédent dans un logiciel d'algorithmique, l'utilisateur avant choisi l'année 2020.

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{11cm}
$\star\star\star$ Algorithme lancé $\star\star\star$\\
En l'année 2013, $a$ prend la valeur 20  et $b$ prend la valeur 10\\ 
En l'année 2014, $a$ prend la valeur 19 et $b$ prend la valeur 11\\
En l'année 2015, $a$ prend la valeur 18,5 et $b$ prend la valeur 11,5\\
En l'année 2016, $a$ prend la valeur 18,25 et $b$ prend la valeur 11,75\\
En l'année 2017, $a$ prend la valeur 18,125 et $b$ prend la valeur 11,875\\
En l'année 2018. $a$ prend la valeur \np{18,0425} et $b$ prend la valeur \np{11,9375}\\ 
En l'année 2019, $a$ prend la valeur \np{18,03125} et $b$ prend la valeur \np{11,96875}\\ 
En l'année 2020, $a$ prend la valeur \np{18,015625} et $b$ prend la valeur \np{11,984375}\\ 
$\star\star\star$ Algorithme terminé $\star\star\star$
\end{minipage}}
\end{center}
Au vu de ces résultats, émettre des conjectures concernant le sens de variation et la convergence des suites $\left(a_{n}\right)$ et $\left(b_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude mathématique}

\medskip

On note $U_{n}$ la matrice\index{matrice} colonne $\begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=MU_{n}$, où $M$ est une matrice carrée d'ordre 2 que l'on déterminera.

On admet alors que $U_{n}= M^{n}U_{0}$ pour tout entier naturel $n\geqslant 1$.
\item À l'aide d'un raisonnement par récurrence, justifier que, pour tout  entier naturel $n\geqslant 1$ : 
\[M^{n}= \begin{pmatrix}
0,6 + 0,4\times 0,5^{n}&0,6 - 0,6\times 0,5^{n}\\
0,4 - 0,4\times 0,5^{n}&0,4 + 0,6\times 0,5^{n}
\end{pmatrix}.\]

On ne détaillera le calcul que pour le premier des coefficients de la matrice $M^{n}$.

\item Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$.

\item Avec ce modèle, peut-on dire qu'au bout d'un grand nombre d'années, le nombre d'oiseaux sur l'île A va se stabiliser? Si oui, préciser vers quelle valeur.
\end{enumerate}
\label{fin}
\end{document}