%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Centres étrangers 13 juin 2012}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small 13 juin 2012} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers 13 juin 2012\decofourright}} \end{center} \medskip \subsection*{EXERCICE 1 \hfill 4 points} On considère un cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1. On se place dans le repère orthonormal $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}~;~\vect{\text{AE}}\right)$. On considère les points I$\left(1~;\dfrac{1}{3}~;~0\right)$, J$\left(0~;~\dfrac{2}{3}~;~1\right)$, K$\left(\dfrac{3}{4}~;~0~;~1\right)$ et L$(a~;~1~;~0)$ avec $a$ un nombre réel appartenant à l'intervalle [0~;~1]. \begin{center} \psset{unit=1.5cm,linewidth=1.25pt} \begin{pspicture}(6,5.5) \psframe(0.3,0.3)(4,4)%BCGF \psline(4,0.3)(5.4,1.5)(5.4,5.2)(4,4)%CDHG \psline(5.4,5.2)(1.7,5.2)(0.3,4)%HEF \psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.7,1.5)(5.4,1.5)%BAD \psline[linestyle=dashed](1.7,1.5)(1.7,5.2)%AE \uput[dl](0.3,0.3){B} \uput[dr](4,0.3){C} \uput[r](5.4,1.5){D} \uput[ul](1.7,1.5){A} \uput[l](0.3,4){F} \uput[dr](4,4){G} \uput[ur](5.4,5.2){H} \uput[u](1.7,5.2){E} \end{pspicture} \end{center} \emph{Les parties \rm A et \rm B sont indépendantes.} \bigskip \textbf{{Partie A}} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (IJ). \item Démontrer que la droite (KL) a pour représentation paramétrique \begin{center} $\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\frac{3}{4}+t'\left(a-\frac{3}{4}\right)\\ y&=&\phantom{1 -} t'\\ z&=&1 - t'\end{array}\right.,~t'\in\mathbb{R}$ \end{center} \item Démontrer que les droites (IJ) et (KL) sont sécantes si, et seulement si, $a=\dfrac{1}{4}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{{Partie B}} \medskip Dans la suite de l'exercice, on pose $a = \frac{1}{4}$.\\ Le point L a donc pour coordonnées $\left(\frac{1}{4}~;~1~;~0\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme. \item La figure ci-dessous fait apparaître l'intersection du plan (IJK) avec les faces du cube ABCDEFGH telle qu'elle a été obtenue à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique. On désigne par M le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (BF) et par N le point d'intersection du plan (IJK) et de la droite (DH). \smallskip \begin{center} \psset{unit=1.25cm} \begin{pspicture}(6,5.5) %\psgrid \psframe(0.3,0.3)(4,4)%BCGF \psline(4,0.3)(5.4,1.5)(5.4,5.2)(4,4)%CDHG \psline(5.4,5.2)(1.7,5.2)(0.3,4)%HEF \psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.7,1.5)(5.4,1.5)%BAD \psline[linestyle=dashed](1.7,1.5)(1.7,5.2)%AE \uput[dl](0.3,0.3){B} \uput[dr](4,0.3){C} \uput[r](5.4,1.5){D} \uput[ul](1.7,1.5){A} \uput[l](0.3,4){F} \uput[dr](4,4){G} \uput[ur](5.4,5.2){H} \uput[u](1.7,5.2){E} \psdots(1.533,0.3)(0.65,4.3)(4.475,5.2)(5.05,1.2)(5.4,3.2)(0.3,2.55) \psline[linestyle=dashed](1.533,0.3)(5.05,1.2) \uput[d](1.533,0.3){I} \uput[ul](0.65,4.28){K} \uput[u](4.475,5.2){J} \uput[l](0.3,2.55){M} \uput[r](5.4,3.2){N} \uput[dr](5.05,1.2){L} \psline(0.65,4.28)(4.475,5.2)%KJ \psline[linestyle=dashed](0.65,4.28)(0.3,2.48) \psline(0.3,2.55)(1.533,0.3)%IM \psline(5.05,1.2)(5.4,3.2)%LN \psline[linestyle=dashed](5.4,3.2)(4.475,5.2)%NJ \end{pspicture} \end{center} \emph{Le but de cette question est de déterminer les coordonnées des points M et N.} \begin{enumerate} \item Prouver que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées (8~;~9~;~5) est un vecteur normal au plan (IJK). \item En déduire que le plan (IJK) a pour équation $8x+9y+5z-11~=~0$. \item En déduire les coordonnées des points M et N. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{{EXERCICE 2 \hfill 5 points}} \medskip On considère la suite $\left(I_n\right)$ définie pour $n$ entier naturel non nul par : \[I_n=\int_0^1x^n\mathrm{e}^{x^2}\text{ d}x.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=x\mathrm{e}^{x^2}$. Démontrer que la fonction $G$ définie sur $\mathbb{R}$ par $G(x)=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{x^2}$ est une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $g$. \item En déduire la valeur de $I_1$. \item À l'aide d'une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 1, on a : \[I_{n+2}=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}I_n.\] \item Calculer $I_3$ et $I_5$. \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|*2{l|}} \hline \multirow{2}{*}\textbf{Initialisation}&Affecter à $n$ la valeur 1\\ &Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{1}{2}$\\ \hline \multirow{3}{*}&Tant que $n<21$\\ &\qquad Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{1}{2}\mathrm{e}-\dfrac{n+1}{2}u$\\ &\qquad Affecter à $n$ la valeur $n+2$\\ \hline \textbf{Sortie}&Afficher $u$\\ \hline \end{tabular} \end{center} Quel terme de la suite $\left(I_n\right)$ obtient-on en sortie de cet algorithme ? \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n$, $I_n\geqslant 0$. \item Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est décroissante. \item En déduire que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}. Déterminer la valeur de $\ell$. \end{enumerate} \subsection*{EXERCICE 3 \hfill 6 points} \medskip On considère l'équation (E) d'inconnue $x$ réelle : $\mathrm{e}^{x}=3\left(x^2+x^3\right)$. \medskip \textbf{{Partie A : Conjecture graphique}} \medskip Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=3\left(x^2+x^3\right)\] telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal. \begin{center} \psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-7,-6)(7,6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1pt](0,0)(-7,-6)(7,6) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7.0}{7.0}{EXP(x)} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7.0}{7.0}{3*(x^2+x^3)} \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture*} \end{center} À l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs. \bigskip \textbf{{Partie B : étude de la validité de la conjecture graphique}} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier selon les valeurs de $x$, le signe de $x^2+x^3$. \item En déduire que l'équation (E)n'a pas de solution sur l'intervalle $]-\infty~;~-1]$. \item Vérifier que 0 n'est pas solution de (E). \end{enumerate} \item On considère la fonction $h$, définie pour tout nombre réel de $]-1~;~0[ \:\cup \:]0~;~+\infty[$ par : \[h(x)=\ln 3 + \ln \left(x^2\right)+\ln(1 + x)-x.\] Montrer que, sur $]-1~;~0[\: \cup\: ]0~;~+\infty[$, l'équation (E) équivaut à $h(x) = 0$. \medskip \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout réel $x$ appartenant à $]-1~;~0[~\cup~]0~;~+\infty[$, on a : \[h'(x)=\dfrac{-x^2 + 2x + 2}{x(x + 1)}.\] \item Déterminer les variations de la fonction $h$. \item Déterminer le nombre de solutions de l'équation $h(x) = 0$ et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution. \item Conclure quant à la conjecture de la partie A. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{{EXERCICE 4 \hfill 5 points}} \emph{\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}} \medskip \emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\ Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.\\ Toute trace de recherche sera valorisée.} \bigskip \begin{enumerate} \item On considère l'arbre de probabilités suivant : \begin{center} \psset{nodesepA=0mm,levelsep=30mm,treesep=10mm,nodesepB=3pt} \pstree[treemode=R]{\TR{}} {\pstree{\TR{$A$~}\taput{$0,2$}} {\TR{$B$}\taput{$0,68$} \TR{$\overline{B}$}\tbput{$$} } \pstree{\TR{$\overline{A}$~}\tbput{$$}} {\TR{$B$}\taput{$$} \TR{$\overline{B}$}\tbput{ $0,4$} } } \end{center} \medskip \textbf{Affirmation} : la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé est égale à $0,32$. \item On considère une urne contenant $n$ boules rouges et trois boules noires, où $n$ désigne un entier naturel non nul. Les boules sont indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules dans l'urne. \textbf{Affirmation } : il existe une valeur de $n$ pour laquelle la probabilité d'obtenir deux boules de couleurs différentes est égale à $\dfrac{9}{22}$. \item Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv, on considère la transformation $t$ d'écriture complexe \[z' = - \text{i}z + 5 + \text{i}.\] \textbf{Affirmation } : la transformation $t$ est la rotation de centre A d'affixe $3 - 2\text{i}$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$. \item Dans l'ensemble des nombres complexes, on considère l'équation (E) d'inconnue $z$ : \[z^2-z\overline{z}-1=0.\] \textbf{Affirmation } : l'équation (E) admet au moins une solution. \item Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal \Ouv, on considère les points A, B et C d'affixes respectives $a=-1$, $b = \text{i}$ et $c=\sqrt{3}+\text{i}(1 - \sqrt{3})$. \medskip \textbf{Affirmation } : le triangle ABC possède un angle dont une mesure est égale à 60\degres. \end{enumerate} \subsection*{{EXERCICE 4 \hfill 5 points}} \emph{\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}} \medskip \emph{Les cinq questions sont indépendantes.\\ Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.\\ Toute trace de recherche sera valorisée.} \bigskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation (E) : $3x - 2y = 1$, où $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \textbf{Affirmation } : les solutions de l'équation (E) sont les couples $(9+2k~;~13+3k)$, avec $k$ appartenant à l'ensemble $\mathbb{Z}$ des entiers relatifs. \item Soit $n$ un entier naturel. On considère les deux entiers $a$ et $b$ définis par : \[a=3n+1\text{ et } b = 2n + 3.\] \textbf{Affirmation } : le PGCD de $a$ et $b$ est égal à 7 si et seulement si $n$ est congru à 2 modulo 7. \item Soit $n$ un entier naturel. On considère les deux entiers $a$ et $b$ définis par : \[a = 2n^2 + 7n + 21\text{ et } b = 2n + 2.\] \textbf{Affirmation } : pour tout entier naturel $n$, le quotient et le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ sont respectivement égaux à $n+2$ et $n + 17$. \item Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct, on considère le point A d'affixe $3 + 4\text{i}$. On note $s$ la similitude directe $s$ de centre A, de rapport $\sqrt{2}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$. \textbf{Affirmation } : la similitude directe réciproque $s^{-1}$ a pour écriture complexe : \[z'=\dfrac{1-\text{i}}{2}z+\dfrac{-1+7\text{i}}{2}.\] \item Dans le plan muni d'un repère orthonormal direct, on considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $a = 1 + 2\text{i}$, $b = 4 - \text{i}$, $c = 1 - 2\sqrt{3} + \text{i}(3 + \sqrt{3})$ et $d = 4 + \sqrt{3} + 4\text{i}\sqrt{3}$. \textbf{Affirmation } : la similitude directe qui transforme A en C et B en D a pour angle $\dfrac{\pi}{3}$. \end{enumerate} \end{document}