\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx,stmaryrd} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \usepackage{arydshln} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : René Roux \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} %\newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} %\newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=2.5cm, right=2.5cm, top=1.9cm, bottom=2.4cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\A}{\fbox{A}~~}\newcommand{\B}{\fbox{B}~~}\newcommand{\C}{\fbox{C}~~} \newcommand{\D}{\fbox{D}~~}\newcommand{\E}{\fbox{E}~~} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\Alph{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat spécialité}, pdftitle = {Évaluation TeSciA session 2025\\}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \newcommand{\e}{\text{e}} \newcommand{\im}{\textit{i}} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{pstricks,pst-all,pstricks-add,pst-tree,pst-3dplot} \usepackage{pgfplots} \usepackage{alterqcm} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{intersections} \usepackage{tkz-euclide} \usetikzlibrary{angles} \usepackage{array,multirow,makecell} \setcellgapes{4pt} \makegapedcells \newcolumntype{R}[1]{>{\raggedleft\arraybackslash }b{#1}} \newcolumntype{L}[1]{>{\raggedright\arraybackslash }b{#1}} \newcolumntype{C}[1]{>{\centering\arraybackslash }b{#1}} \usepackage{pdfpages} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Mathématiques Expertes}} \lfoot{\small{Épreuve 2, Option A}} \rfoot{\small{session 15 mars 2025}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Évaluation TeSciA session 15 mars 2025~\decofourright\\[7pt]Mathématiques expertes Épreuve 2 , option A}\\[7pt]Durée : 1 h 30 min} \medskip \textbf{FONCTIONNEMENT DES QUESTIONS} \end{center} $\bullet~~$Les questions à \emph{choix multiples} sont numérotées M1, M2 etc. Le candidat y répond en \textbf{noircissant} la case correspondant à sa réponse dans la feuille-réponse $\square$. Pour chacune de ces questions, il y a une et une seule bonne réponse. Toute réponse fausse retire des points aux candidats. Noircir plusieurs réponses à une même question a un effet de neutralisation (le candidat récoltera 0 point). $\bullet~~$Les questions \emph{à réponse brute} sont numérotées L1, L2 etc. Elles ne demandent aucune justification : les résultats sont reportés par le candidat dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\triangle$. Tout débordement de cadre est interdit. $\bullet~~$Les questions \emph{à réponse rédigée} sont numérotées RI, R2, etc. Elles sont écrites dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\bigcirc$ ou la feuille-réponse $\triangle$, selon le symbole précédant le numéro de la question. Tout débordement de cadre est interdit. \bigskip \begin{center} \textbf{CONSEILS DE BON SENS}\end{center} $\bullet~~$L'énoncé est (très) long: il n'est absolument pas nécessaire d'avoir tout traité pour avoir une note et un classement excellents. $\bullet~~$Ne vous précipitez pas pour reporter vos réponses, notamment aux questions à choix multiples. Il est préférable d'avoir terminé un exercice avant d'en reporter les réponses. $\bullet~~$Ne répondez jamais au hasard à une question à choix multiples ! $\bullet~~$Selon l'exercice, les questions peuvent être dépendantes les unes des autres ou non. Soyez attentifs à la variété des situations. \newpage \begin{center} \textbf{\Large Exercice 1. Nombres complexes } \end{center} \medskip Pour les questions \textbf{M1}à \textbf{M3} et \textbf{L1}, on considère le nombre complexe $Z=\dfrac{\textit{i}-4}{2\textit{i}}$ \medskip $\square$ \textbf{M1} \hspace{0.5cm} La partie imaginaire de $Z$ vaut : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7.5cm}} \A $2$& \B $-\dfrac12$&\C $-2$& \D $\dfrac12$& \E aucune des autres réponses proposées \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M2} \hspace{0.5cm} Le module de $Z$ vaut : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7.5cm}} \A $\dfrac{\sqrt{17}}{2}$& \B $\dfrac52$&\C $\dfrac{17}{4}$& \D $-\dfrac32$& \E aucune des autres réponses proposées \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M3} \hspace{0.5cm} Le nombre complexe de $Z$ possède un argument dans l'intervalle : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7.5cm}} \A $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$& \B $\left]\dfrac{\pi}{2}~;~\pi\right[$&\C $\left]\dfrac{3\pi}{2}~;~2\pi\right[$& \D $\left]\pi~;~\dfrac{3\pi}{2}\right[$& \E aucune des autres réponses proposées \end{tabular} \bigskip $\triangle$ \textbf{L1} Donner l'entier $k$ compris entre $-4$ et $3$ tel que $Z$ possède un argument dans $\left[\dfrac{k\pi}{4}~;~\dfrac{(k+1)\pi}{4}\right[$. \bigskip \textbf{Questions diverses} \medskip $\square$ \textbf{M4} \hspace{0.5cm} On considère les nombres complexes $A=(2-\im)^3$, $B=\dfrac{-18+26\im}{-2+2\im}$ et $C=\dfrac{4}{1+\im}+\dfrac{9}{\im}$. Laquelle des affirmations est vraie ? \medskip \begin{tabular}{L{6cm}L{6cm}L{6cm}} \A $A=B$ et $B\neq C$& \B $A=B=C$&\C $A=C$ et $A\neq B$\\ &&\\ \D $A\neq B$, $A\neq C$ et $B\neq C$& \E $B=C$ et $A\neq B$& \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M5} \hspace{0.5cm} Le nombre de solutions complexes de l'équation $z^5-z^2=0$ est : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}} \A 1& \B 2&\C 3& \D 4& \E 5 \end{tabular} \bigskip \textbf{Questions d'arguments} \medskip Dans les questions \textbf{M6} à \textbf{M8}, on considère le nombre complexe $A=\dfrac{1+\im\sqrt{3}}{1-\im}$. \medskip $\square$ \textbf{M6} \hspace{0.5cm} Un argument de $A$ est : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7.5cm}} \A $\dfrac{7\pi}{12}$& \B $\dfrac{5\pi}{12}$&\C$\dfrac{\pi}{12}$& \D$-\dfrac{\pi}{12}$& \E aucune des autres réponses proposées \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M7} \hspace{0.5cm} On choisit un argument $\theta$ de $A$. Le nombre $\cos(\theta)$ vaut alors : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}} \A $\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$& \B $1-\sqrt{3}$&\C $\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$& \D $\sqrt{2}-\sqrt{3}$& \E $\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M8} \hspace{0.5cm} Les entiers naturels $n$ tels que $A^n$ soit un entier relatif sont : \medskip \begin{tabular}{L{5cm}L{5cm}L{8cm}} \A les multiples de 48& \B les multiples de 12&\C aucune des autres réponses proposées\\ &&\\ \D les multiples de 24& \E les multiples de 6& \end{tabular} \bigskip $\bigcirc$ \textbf{R1} \hspace{0.5cm} Justifier votre réponse à la question \textbf{M8}. \begin{center} \rule{0.5\linewidth}{1pt} \end{center} \newpage \begin{center}\textbf{\Large Exercice 2. Différence symétrique d'ensembles } \end{center} \medskip Pour deux ensembles $A_1$ et $A_2$, on note $A_1\Delta A_2$ l'ensemble formé des objets $x$ qui appartiennent à $A_1$ mais pas à $A_2$ et des objets $x$ qui appartiennent à $A_2$ mais pas à $A_1$. On dit que $A_1\Delta A_2$ est la \textbf{différence symétrique} de $A_1$ et $A_2$ (dans cet ordre). Par exemple : \begin{enumerate}[label=\textbullet] \item pour $A_1=\{1~;~2~;~4\}$ et $A_2=\{1~;~2~;~3\}$, on a $A_1 \Delta A_2=\{3~;~4\}$ ; \item pour l'ensemble $B$ formé des élèves Léa, Paul et Séverine, et l'ensemble $C$ formé des élèves Paul et Mathilde, l'ensemble $B\Delta C$ est formé des élèves Léa, Mathilde et Séverine, autrement dit $B \Delta C=\{\text{Léa}~,~\text{Mathilde}~,~\text{Séverine}\}$. \end{enumerate} On rappelle aussi que $A_1\cap A_2$ désigne l'ensemble des objets qui appartiennent à la fois à $A_1$ et à $A_2$. Dans le premier exemple ci-dessus, on a donc $A_1\cap A_2=\{1~;~2\}$, et dans le deuxième $B\cap C=\{\text{Paul}\}$. On note $\varnothing$ l'ensemble vide. \bigskip \textbf{Propriétés élémentaires de la différence symétrique} \medskip $\triangle$ \textbf{L2} \hspace{0.5cm} Donner la différence symétrique des ensembles $\R_{-}$ et $\Z$. \bigskip $\square$ \textbf{M9} \hspace{0.5cm} Vrai ou Faux ? On a $A\Delta B=B \Delta A$ \begin{center} \begin{tabular}{L{3cm}L{3cm}L{6cm}} \A Vrai& \B Faux&\C Cette affirmation n'a pas de sens\\ \end{tabular} \end{center} $\square$ \textbf{M10} \hspace{0.5cm} Pour tout ensemble $A$, la différence symétrique de $A\Delta A$ est égale à : \begin{center} \begin{tabular}{L{3cm}L{3cm}L{6cm}} \A $A$& \B $\varnothing$&\C aucune des autres réponses\\ \end{tabular} \end{center} $\square$ \textbf{M11} \hspace{0.5cm} Pour tout ensemble $A$, la différence symétrique de $A\Delta \varnothing$ est égale à : \begin{center} \begin{tabular}{L{3cm}L{3cm}L{6cm}} \A $A$& \B $\varnothing$&\C aucune des autres réponses\\ \end{tabular} \end{center} $\square$ \textbf{M12} \hspace{0.5cm} Pour tout ensemble $A$, l'ensemble $(A\Delta A) \Delta A$ est égal à : \begin{center} \begin{tabular}{L{3cm}L{3cm}L{6cm}} \A $A$& \B $\varnothing$&\C aucune des autres réponses\\ \end{tabular} \end{center} $\square$ \textbf{M13} \hspace{0.5cm} Pour deux ensembles $A$ et $B$, une condition équivalente au fait que $A \Delta B$ soit vide est : \medskip \begin{tabular}{L{5cm}L{5cm}L{8cm}} \A $A$ est vide& \B $A=B$&\C aucune des autres réponses\\ &&\\ \D $A$ et $B$ sont vides& \E $B$ est vide& \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M14} \hspace{0.5cm} Pour deux ensembles $A$ et $B$, si tout élément de $A \Delta B$ est élément de $A$ alors on peut affirmer que : \medskip \begin{tabular}{L{8cm}L{8cm}} \A $B$ est vide& \B tout élément de $B$ est élément de $A$ \\ &\\ \C $A \Delta B$ est vide& \D tout élément de $A$ est élément de $B$\\ & \\ \multicolumn{2}{l}{\E aucune des autres affirmations proposées ne peut être soutenue} \end{tabular} \newpage $\square$ \textbf{M15} \hspace{0.5cm} Pour deux ensembles $A$ et $B$, si $A \Delta B$ possède exactement un élément alors on peut affirmer que : \medskip \begin{tabular}{L{18cm}} \A $A$ est vide \\ \\ \B ou bien tout élément de $A$ est élément de $B$, ou bien tout élément de $B$ est élément de $A$ \\ \\ \C $B$ est vide\\ \\ \D tout élément de $A$ est élément de $B$\\ \\ \E aucune des autres affirmations proposées ne peut être soutenue \end{tabular} \bigskip $\bigcirc$ \textbf{R2} \hspace{0.5cm} Justifier votre réponse à la question \textbf{M15}. \bigskip $\square$ \textbf{M16} \hspace{0.5cm} Soit $A$ et $B$ deux ensembles. Laquelle des propositions suivantes est vraie ? \medskip \begin{tabular}{L{18cm}} \A Il existe toujours un et un seul ensemble $X$ tel que $A\Delta X=B$ \\ \\ \B Il existe toujours plusieurs ensembles $X$ tel que $A\Delta X=B$\\ \\ \C Il existe toujours au moins un ensemble $X$ tel que $A\Delta X=B$, mais il peut n'en exister qu'un seul ou plusieurs, selon le choix de $A$ et $B$ \\ \\ \D Il peut ne pas exister d'ensemble $X$ tel que $A\Delta X=B$, selon le choix de $A$ et $B$\\ \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M17} \hspace{0.5cm} On introduit deux égalités qui peuvent être vraies ou non : \begin{enumerate} \item[(i)] $(A\Delta B)\cap C=(A\cap C)\Delta (B\cap C)$ \item[(ii)] $(A\cap B)\Delta C=(A\Delta C)\cap (B \Delta C)$ \end{enumerate} Lesquelles sont vraies indépendamment du choix des ensembles $A$, $B$ et $C$ ? \medskip \begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{4cm}} \A (i) mais pas (ii)& \B les deux &\C (ii) mais pas (i)& \D aucune des deux \end{tabular} \bigskip \textbf{Différence symétrique et finitude} \bigskip Pour tout ensemble fini $A$, on note $c(A)$ le nombre de ses éléments (aussi appelé son cardinal). \medskip $\square$ \textbf{M18} \hspace{0.5cm} On introduit trois implications, qui peuvent être vraies ou non : \begin{enumerate} \item[(i)] Si $A$ et $B$ sont finis alors $A\Delta B$ est fini. \item[(ii)] Si $A \Delta B$ est fini alors $A$ et $B$ sont finis. \item[(iii)] Si $A\Delta B$ et $A$ sont finis alors $B$ est fini. \end{enumerate} Parmi ces implications, lesquelles sont vraies indépendamment du choix des ensembles $A$ et $B$ ? \medskip \begin{tabular}{L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}} \A toutes sauf (iii)& \B toutes sauf (ii)&\C les trois& \D une seule& \E toutes sauf (i) \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M19} \hspace{0.5cm} Soit $A$ et $B$ deux ensembles finis tels que $A \Delta B$ soit fini. le nombre $c(A\Delta B)$ vaut alors systématiquement : \begin{center} \begin{tabular}{L{8.5cm}L{8.5cm}} \A $c(A)+c(B)-2c(A\cap B)$& \B $c(A)+c(B)-c(A\cap B)$\\ &\\ \C $c(A)+c(B)$ &\D $\dfrac{c(A)c(B)}{c(A\cap B)}$ \\ &\\ \E aucune des autres valeurs proposées, en général& \end{tabular} \end{center} $\square$ \textbf{M20} \hspace{0.5cm} Quels que soient les ensembles finis $A$ et $B$ tels que $A \Delta B$ soit fini et $c(B)$ soit impair : \begin{center} \begin{tabular}{L{8.5cm}L{8.5cm}} \A $c(A \Delta B)$ est pair& \B $c(A \Delta B)$ est impair\\ & \\ \C $c(A \Delta B)$ n'a pas la même parité que $c(A)$ &\D $c(A \Delta B)$ a la même parité que $c(A)$ \\ & \\ \multicolumn{2}{l}{\E on ne peut pas statuer sur la parité de $c(A\Delta B)$, même en connaissant celle de $c(A)$} \end{tabular} \end{center} \bigskip \textbf{Différence symétrique itérée} \bigskip $\square$ \textbf{M21} \hspace{0.5cm} Soit $A_1$, $A_2$ et $A_3$ des ensembles. Pour un objet $x$, on note $n(x)$ le nombre d'entiers $i$ dans $\{1~;~2~;3\}$ tels que $x$ appartienne à $A_i$. L'appartenance de $x$ à $(A_1\Delta A_2)\Delta A_3$ est alors équivalente à la condition : \begin{center} \begin{tabular}{L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}} \A $n(x)=1$& \B $n(x)$ est pair&\C $n(x)$ est impair& \D $n(x)=2$ \\ &&& \\ \multicolumn{3}{l}{\E aucune des autres réponses proposées en général} \end{tabular} \end{center} $\bigcirc$ \textbf{R3} \hspace{0.5cm} En utilisant le résultat de la question \textbf{M21}, et en le combinant éventuellement avec d'autres résultats antérieurs (dont on citera alors les numéros des questions), démontrer que $(A \Delta B)\Delta C=A\Delta (B \Delta C)$ quels que soient les ensembles $A$, $B$ et $C$. \bigskip Le résultat de \textbf{R3} permet de définir sans ambiguïté $A_1\Delta \ldots \Delta A_n$ pour n'importe quelle liste d'ensembles $(A_1,\ldots,A_n)$, sans tenir compte de l'ordre de parenthésage. Par exemple $A_1\Delta A_2 \Delta A_3 \Delta A_4$ peut être défini comme $(((A_1\Delta A_2)\Delta A_3)\Delta A_4)$ mais aussi comme $A_1 \Delta ((A_2 \Delta A_3)\Delta A_4)$, ce qui fournit le même résultat. \bigskip $\square$ \textbf{M22} \hspace{0.5cm} On note $A=\{1~;~i\}$ pour tout entier naturel $i\geqslant 1$. L'ensemble $A_1\Delta \ldots \Delta A_{2025}$ est alors égal à : \begin{center} \begin{tabular}{L{4cm}L{2cm}L{4cm}L{4cm}} \A $\{0~;~2~;~\ldots~;~2025\}$& \B $\varnothing$ &\C $\{0~;~1~;~2~;~\ldots~;~2025\}$& \D $\{1~;~2~;~\ldots~;~2025\}$\\ &&& \\ \multicolumn{3}{l}{\E aucune des autres réponses proposées} \end{tabular} \end{center} $\square$ \textbf{M23} \hspace{0.5cm} Soit $A_1, \ldots ,A_p$ des ensembles, où $p\geqslant 4$. Pour un objet $x$, on note $n(x)$ le nombre d'entiers $i$ dans $\{1~;~2~; \ldots~;~p\}$ tels que $x$ appartienne à $A_i$. L'appartenance de $x$ à $A_1\Delta \ldots \Delta A_p$ est alors équivalente à la condition : \begin{center} \begin{tabular}{L{3.5cm}L{3cm}L{3cm}L{6cm}} \A $n(x)$ est impair& \B $n(x)=1$ &\C $n(x)=p-1$ & \D $n(x)$ a la même parité que $p$\\ &&& \\ \multicolumn{3}{l}{\E aucune des autres réponses proposées, en général} \end{tabular} \end{center} \medskip \textbf{Classe stables} \bigskip On appelle \textbf{classe} tout ensemble fini non vide dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles finis. Par exemple, l'ensemble $\mathcal{C}=\{\{1~;~2~;~3\};\{1~;~3~;~5\};\varnothing\}$ est une classe dont les éléments sont $\{1~;~2~;~3\}$, $\{1~;~3~;~5\}$ et l'ensemble vide (tous finis). Dans ce qui suit, les classes sont systématiquement représentées par des majuscules calligraphiées, par exemple $\mathcal{A},~\mathcal{B},~\mathcal{C}$, et leurs éléments sont représentés par des majuscules d'imprimerie, par exemple $A,~B,~C$. \medskip Une classe est dite \textbf{stable} lorsque, quels que soient les éléments $A$ et $B$ de $\mathcal{C}$, l'objet $A\Delta B$ est un élément de $\mathcal{C}$. \medskip Par exemple, la classe $\{\{1~;~2~;~3\};\{1~;~2~;~4\}\}$ n'est pas stable car $\{1~;~2~;~3\}\Delta\{1~;~2~;~4\}$, qui vaut $\{3~;~4\}$, n'en est pas un élément. \newpage $\square$ \textbf{M24} \hspace{0.5cm} Parmi les ensembles suivants, combien sont des classes stables ? $\mathcal{A}=\{\{1~;~2~;~3\};\varnothing\}$, \hspace{0.5cm} $\mathcal{B}=\{\varnothing\}$, \hspace{0.5cm} $\mathcal{C}=\{\{1~;~2~;~3\}\}$, \hspace{0.5cm} $\mathcal{D}=\varnothing$. \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}} \A aucun& \B un&\C deux& \D trois& \E quatre \end{tabular} \bigskip On rappelle que pour tout ensemble $A$, un \textbf{sous-ensemble} de $A$ est un ensemble $B$ tel que tout élément de $B$ soit élément de $A$. Par exemple, $\varnothing$ et $A$ sont deux sous-ensembles de $A$. \bigskip $\square$ \textbf{M25} \hspace{0.5cm} Pour un ensemble fini $X$, l'ensemble constitué de tous les sous-ensembles de $X$ : \medskip \begin{tabular}{L{7cm}L{7cm}} \A est toujours une classe stable& \B n'est pas toujours une classe\\ & \\ \multicolumn{2}{l}{\C est toujours une classe, mais n'est pas toujours stable} \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M26} \hspace{0.5cm} Soit $X$ un ensemble fini et $Y$ un sous-ensemble de $X$. On considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des sous-ensembles $Z$ de $X$ tel que $Y$ soit un sous-ensemble de $Z$. Alors $\mathcal{C}$ : \medskip \begin{tabular}{L{7cm}L{7cm}} \A est toujours une classe stable& \B n'est pas toujours une classe\\ & \\ \multicolumn{2}{l}{\C est toujours une classe, mais n'est pas toujours stable} \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M27} \hspace{0.5cm} Soit $X$ un ensemble fini. On considère : \begin{enumerate}[label=\textbullet] \item L'ensemble $\mathcal{C}$ formé de tous les sous-ensembles de $X$ ayant un nombre pair d'éléments. \item L'ensemble $\mathcal{D}$ formé de tous les sous-ensembles de $X$ ayant un nombre impair d'éléments. \end{enumerate} Lesquels sont des classes stables quel que soit le choix de $X$ ? \medskip \begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{4cm}} \A $\mathcal{D}$& \B $\mathcal{C}$&\C $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$& \D aucun d'entre eux \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M28} \hspace{0.5cm} Soit $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ deux classes stables. On considère la différence symétrique $\mathcal{C} \Delta \mathcal{D}$ et l'intersection $\mathcal{C} \cap \mathcal{D}$. Lesquelles sont des classes stables quel que soit le choix de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ ? \medskip \begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{4cm}} \A $\mathcal{C} \cap \mathcal{D}$& \B $\mathcal{C} \cap \mathcal{D}$ et $\mathcal{C} \Delta \mathcal{D}$&\C $\mathcal{C} \Delta \mathcal{D}$& \D aucune d'entre elle \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M29} \hspace{0.5cm} Soit $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ deux classes stables. On considère les ensembles suivants : \begin{enumerate}[label=\textbullet] \item L'ensemble $\mathcal{E}$ constitué de toutes les différence symétrique $C\Delta D$, avec $C$ élément de $\mathcal{C}$ et $D$ élément de $\mathcal{D}$. \item L'ensemble $\mathcal{F}$ constitué de toutes les intersections $C \cap D$ avec $C$ élément de $\mathcal{C}$ et $D$ élément de $\mathcal{D}$. \end{enumerate} Lesquels sont des classes stables quel que soit le choix de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ ? \medskip \begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{4cm}} \A $\mathcal{F}$& \B $\mathcal{E}$ et $\mathcal{F}$&\C $\mathcal{E}$& \D aucune d'entre eux \end{tabular} \begin{center} \rule{0.5\linewidth}{1pt} \end{center} \begin{center} \textbf{\Large Exercice 3. Arithmétique } \end{center} $\triangle$ \textbf{L3} \hspace{0.5cm} Donner la liste des nombres premiers compris entre 91 et 100 au sens large. \bigskip $\square$ \textbf{M30} \hspace{0.5cm} Dans l'algorithme d'Euclide de recherche du pgcd, on compte une étape pour chaque division euclidienne effectuée jusqu'à trouver un reste nul. Par exemple, l'algorithme d'Euclide se fait e, 2 étapes pour calculer le pgcd de 6 et 4. \medskip On veut calculer le pgcd de 1007 et de 689 par l'algorithme d'Euclide. Le nombre d'étapes est alors : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}} \A 1& \B 2&\C 3& \D 4 &\E 5 \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M31} \hspace{0.5cm} Pour tout entier naturel $n$ non nul, le pgcd des entiers $n$ et $n+2$ est : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}} \A $n(n+2)$& \B 1&\C 2& \D 1 ou 2 &\E aucune des autres réponses proposées \end{tabular} \newpage $\square$ \textbf{M32} \hspace{0.5cm} On donne deux affirmations : \begin{enumerate} \item[(i)] Si deux carrés d'entiers naturels diffèrent d'un nombre premier, alors ce sont des carrés consécutifs. \item[(ii)] Pour tout nombre premier impair $p$, il existe deux carrés consécutifs qui diffèrent de $p$. \end{enumerate} Lesquelles sont vraies ? \medskip \begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{4cm}} \A Les deux& \B Aucune des deux&\C (i)& \D (ii) \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M33} \hspace{0.5cm} Le nombre de diviseurs positifs de l'entier $2^6\times 3^2 \times 5^3$ est : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}} \A 11& \B 14&\C 36& \D 84 &\E aucune des autres réponses proposées \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M34} \hspace{0.5cm} Pour tout entier naturel $n\geqslant10$, le pgcd des coefficients binomiaux $\dbinom{6n+3}{2}$ et $\dbinom{6n+3}{3}$ est : \medskip \begin{tabular}{L{3cm}L{3cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}} \A $(6n+3)(3n+1)$& \B $(2n+1)(3n+1)$&\C $6n+3$& \D $2n+1$&\E aucune des autres réponses proposées \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M35} \hspace{0.5cm} Le nombre d'entiers naturels $n$ tel que $n+3$ divise $2n^2-5n+1$ est : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}} \A 0& \B 1&\C 2& \D 3 &\E 4 \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M36} \hspace{0.5cm} On s'intéresse à l'ensemble $A$ formé des nombres de la forme $20a + 63b$ où $a$ parcourt les entiers de 1 à 63, et $b$ parcourt les entiers de 1 à 20. Trois élèves inspectent le problème puis proposent une conjecture : \begin{enumerate}[label=\textbullet] \item Caroline dit que $A$ contient exactement \np{1260} éléments. \item Olivier dit que $A$ contient tous les entiers de 83 à 4369. \item Anne dit que $A$ contient exactement 83 éléments. \end{enumerate} Qui a raison ? \medskip \begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{4cm}} \A Anne& \B Caroline&\C Olivier& \D Aucun d'entre eux \end{tabular} \bigskip $\bigcirc$ \textbf{R4} \hspace{0.5cm} Justifier votre réponse à la question \textbf{M36}. \bigskip $\square$ \textbf{M37} \hspace{0.5cm} Le nombre de couples $(a~;~b)$ d'entiers premiers entre eux, compris entre 1 et 50 tels que 7 divise $a^2+b^2$ est : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}} \A 0& \B 4&\C 7& \D 49 & \E $4\times 49$ \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M38} \hspace{0.5cm} Le nombre d'entiers naturels $n$ tels que $1\leqslant n \leqslant 30$ et 7 divise $3^{2n}+5^n$ est : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}} \A 12& \B 14&\C 15& \D 16 & \E 20 \end{tabular} \bigskip \bigskip $\square$ \textbf{M39} \hspace{0.5cm} Soit $p$ et $q$ deux nombres premiers distincts. Le produit de tous les diviseurs positifs de $p^5q^6$ vaut : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{7cm}} \A $p^{15}q^{21}$& \B $p^{30}q^{30}$&\C $p^{90}q^{105}$& \D $p^{105}q^{126}$&\E aucune des autres réponses proposées \end{tabular} \begin{center} \rule{0.5\linewidth}{1pt} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Exercice 4. Nombres complexes et géométrie } \end{center} Dans tout l'exercice on se place dans un plan $\mathcal{P}$ rapporté à un repère orthonormal \Oij, et on repère chaque point de $\mathcal{P}$ par son affixe. Dans les figures, on représente le point de $\mathcal{P}$ d'affixe 1 par le caractère \textbf{1}. \smallskip \textbf{Sur une figure} \smallskip $\square$ \textbf{M40} \hspace{0.5cm} On considère la figure suivante. \medskip \begin{minipage}{7cm} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm,scale=1.5] \draw (0,0) node[below left]{$O$}; \draw (1,0) node[below]{$1$}; \draw (1,0) node {$\bullet$}; \draw (0,0) -- (1,0) ; \draw[->] (0,0) -- (2,0) ; \draw[->] (0,0) -- (0,2) ; \draw (0,0) -- (0,1) ; %\draw (0,0) circle (1) ; \draw (1,0) arc (0:90:1); %%% a \draw (1.5,0) node[below]{\textbf{a}}; \draw (1.5,0) node {$\bullet$}; %%% b \draw (0,1.5) node[left]{\textbf{b}}; \draw (0,1.5) node {$\bullet$}; %%% z \draw (1.2,0.75) node[right]{\textbf{z}}; \draw (1.2,0.75) node {$\bullet$}; %%% c \draw (0.75,1.2) node[right]{\textbf{c}}; \draw (0.75,1.2) node {$\bullet$}; %%%d \draw (1.2,-0.75) node[below]{\textbf{d}}; \draw (1.2,-0.75) node {$\bullet$}; %%% e \draw (-1.2,-0.75) node[below]{\textbf{e}}; \draw (-1.2,-0.75) node {$\bullet$}; \end{tikzpicture} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{10cm} Sachant que le point d'affixe $z$ sur la figure ci-contre par la lettre $z$, le point d'affixe $\im~\overline{z}$ est repéré par la lettre : \medskip \begin{tabular}{L{1cm}L{1cm}L{1cm}L{1cm}L{1cm}} \A \textbf{a}& \B \textbf{b}&\C \textbf{c}& \D \textbf{d}&\E \textbf{e} \end{tabular} \end{minipage} \medskip $\square$ \textbf{M41} \hspace{0.5cm} On considère la figure suivante. \medskip \begin{minipage}{7cm} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1.0cm,scale=1.5] \draw (0,0) node[below left]{$O$}; \draw (1,0) node[below right]{$1$}; \draw (1,0) node {$\bullet$}; \draw (0,0) -- (1,0) ; \draw[->] (-2,0) -- (2,0) ; \draw[->] (0,0) -- (0,2) ; \draw (0,0) -- (0,1) ; \draw (0,0) circle (1) ; %\draw (1,0) arc (0:90:1); %%% a \draw (0.683,-0.415) node[below]{\textbf{a}}; \draw (0.683,-0.415) node {$\bullet$}; %%% b \draw (0.683,0.415) node[left]{\textbf{b}}; \draw (0.683,0.415) node {$\bullet$}; %%% z \draw (1.07,0.65) node[right]{\textbf{z}}; \draw (1.07,0.65) node {$\bullet$}; %%% c \draw (-0.683,-0.415) node[below]{\textbf{c}}; \draw (-0.683,-0.415) node {$\bullet$}; %%%d \draw (0.415,0.683) node[left]{\textbf{d}}; \draw (0.415,0.683) node {$\bullet$}; %%% e \draw (1.07,-0.65) node[below]{\textbf{e}}; \draw (1.07,-0.65) node {$\bullet$}; \end{tikzpicture} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{10cm} Sachant que le point d'affixe $z$ sur la figure ci-contre par la lettre $z$, le point d'affixe $\dfrac{1}{z}$ est repéré par la lettre : \medskip \begin{tabular}{L{1cm}L{1cm}L{1cm}L{1cm}L{1cm}} \A \textbf{a}& \B \textbf{b}&\C \textbf{c}& \D \textbf{d}&\E \textbf{e} \end{tabular} \end{minipage} \medskip $\square$ \textbf{M42} \hspace{0.5cm} On considère la figure suivante. \medskip \begin{minipage}{7cm} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1cm,scale=1.5] \draw (0,0) node[below left]{$O$}; \draw (1,0) node[below]{$1$}; \draw (1,0) node {$\bullet$}; \draw (0,0) -- (1,0) ; \draw[->] (0,0) -- (2,0) ; \draw[->] (0,0) -- (0,2) ; \draw (0,0) -- (0,1) ; %\draw (0,0) circle (1) ; \draw (1,0) arc (0:90:1); %%% a \draw (1.556,-0.667) node[below]{\textbf{a}}; \draw (1.556,-0.667) node {$\bullet$}; %%% b \draw (1.78,0.333) node[right]{\textbf{b}}; \draw (1.78,0.333) node {$\bullet$}; %%% z \draw (1.2,0.75) node[below]{\textbf{z}}; \draw (1.2,0.75) node {$\bullet$}; %%% c \draw (0.673,1.38) node[right]{\textbf{c}}; \draw (0.673,1.38) node {$\bullet$}; %%%d \draw (0.8775,1.8) node[below]{\textbf{d}}; \draw (0.8775,1.8) node {$\bullet$}; %%% e \draw (1.389,1) node[right]{\textbf{e}}; \draw (1.389,1) node {$\bullet$}; \end{tikzpicture} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{10cm} Sachant que le point d'affixe $z$ sur la figure ci-contre par la lettre $z$, le point d'affixe $z^2$ est repéré par la lettre : \medskip \begin{tabular}{L{1cm}L{1cm}L{1cm}L{1cm}L{1cm}} \A \textbf{a}& \B \textbf{b}&\C \textbf{c}& \D \textbf{d}&\E \textbf{e} \end{tabular} \end{minipage} \medskip $\square$ \textbf{M43} \hspace{0.5cm} On considère la figure suivante. \medskip \begin{minipage}{7cm} \begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,>=triangle 45,x=1cm,y=1.0cm,scale=1.5] \draw (0,0) node[below left]{$O$}; \draw (1,0) node[above right]{$1$}; \draw (1,0) node {$\bullet$}; \draw (0,0) -- (1,0) ; \draw[->] (-1.7,0) -- (1.7,0) ; \draw[->] (0,-1.7) -- (0,1.7) ; \draw (0,0) -- (0,1) ; \draw (0,0) circle (1) ; %\draw (1,0) arc (0:90:1); %%% a \draw (0.333,1.278) node[below]{\textbf{a}}; \draw (0.333,1.278) node {$\bullet$}; %%% b \draw (0.333,-0.111) node[below]{\textbf{b}}; \draw (0.333,-0.111) node {$\bullet$}; %%% z et z' \draw (1.07,0.65) node[right]{\textbf{z}}; \draw (1.07,0.65) node {$\bullet$}; \draw (0.45,-0.45) node[below]{\textbf{z'}}; \draw (0.45,-0.45) node {$\bullet$}; %%% c \draw (0.8325,-0.2475) node[below]{\textbf{c}}; \draw (0.8325,-0.2475) node {$\bullet$}; %%%d \draw (1.222,-0.333) node[right]{\textbf{d}}; \draw (1.222,-0.333) node {$\bullet$}; %%% e \draw (0.167,0.667) node[below]{\textbf{e}}; \draw (0.167,0.667) node {$\bullet$}; \end{tikzpicture} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{10cm} Sachant que le point d'affixe $z$ (respectivement $z'$) est repéré sur la figure ci-contre par la lettre $z$ (respectivement $z'$), le point d'affixe $zz'$ est repéré par la lettre : \medskip \begin{tabular}{L{1cm}L{1cm}L{1cm}L{1cm}L{1cm}} \A \textbf{a}& \B \textbf{b}&\C \textbf{c}& \D \textbf{d}&\E \textbf{e} \end{tabular} \end{minipage} \newpage \textbf{Une application du plan complexe dans lui-même} \bigskip ON définit une application $F$ comme suit : pour tout point $M$ de $\mathcal{P}$ privé de l'origine $O$, on note $z$ l'affixe de $M$ et on prend le point $M'$ d'affixe $z'=\dfrac12\left(z+\dfrac{1}{z}\right)$, dit image de $M$ par $F$ et aussi noté $F(M)$. On dit aussi que $M$ est un antécédent de $M'$ par $F$. \medskip $\square$ \textbf{M44} \hspace{0.5cm} L'image par $F$ du point d'affixe $1+2\im$ est le point d'affixe : \medskip \begin{tabular}{L{3cm}L{3cm}L{3cm}L{3cm}L{3cm}} \A $\dfrac35-\dfrac45 \im$& \B $3+4\im$&\C $\dfrac45+\dfrac35 \im$& \D $\dfrac45-\dfrac35 \im$&\E $\dfrac35+\dfrac45 \im$ \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M45} \hspace{0.5cm} Le point d'affixe $\dfrac12$ est l'image par $F$ : \medskip \begin{tabular}{L{8cm}L{8cm}} \A d'aucun point& \B des points d'affixes $\dfrac{1+\im\sqrt{3}}{2}$ et $\dfrac{1-\im\sqrt{3}}{2}$\\ & \\ \C uniquement du point d'affixe $\dfrac{1+\im\sqrt{3}}{2}$& \D du point d'affixe $\dfrac54$\\ & \\ \E uniquement du point d'affixe $\dfrac{1-\im\sqrt{3}}{2}$ & \end{tabular} \bigskip $\triangle$ \textbf{L4} \hspace{0.5cm} Démontrer les antécédents par $F$ du point d'affixe $\im$. \bigskip $\square$ \textbf{M46} \hspace{0.5cm} On donne deux affirmations : \begin{enumerate} \item[(i)] Tout point $M$ de $\mathcal{P}$ privé de $O$ admet une unique image par $F$. \item[(ii)] Tout point $N$ de $\mathcal{P}$ est l'image par $F$ d'un unique point de $\mathcal{P}$. \end{enumerate} \medskip Parmi ces affirmations, les quelles sont vraies ? \medskip \begin{tabular}{L{4cm}L{4cm}L{4cm}L{4cm}} \A (i) mais pas (ii)& \B (ii) mais pas (i)&\C Toutes& \D Aucune \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M47} \hspace{0.5cm} On donne deux affirmations : \begin{enumerate} \item[(i)] Tout point de $\mathcal{P}$ a au plus deux antécédents par $F$. \item[(ii)] Tout point de $\mathcal{P}$ a au moins un antécédent par $F$. \item[(iii)] Il existe au moins deux points de $\mathcal{P}$ ayant un seul antécédent par $F$. \end{enumerate} \medskip Parmi ces affirmations, les quelles sont vraies ? \medskip \begin{tabular}{L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}} \A Une seule& \B Toutes sauf (i)&\C Toutes sauf (iii)& \D Toutes & \E Toutes sauf (ii) \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M48} \hspace{0.5cm} Un point $M$ est dit invariant par $F$ lorsque $F(M)=M$. Le nombre de points invariants par $F$ est alors : \medskip \begin{tabular}{L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}L{3.5cm}} \A 0& \B 1&\C 2& \D 3& \E infini \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M49} \hspace{0.5cm} Lorsque $M$ parcourt (entièrement le cercle de centre $O$ et de rayon 1, le point $F(M)$ parcourt (entièrement) : \medskip \begin{tabular}{L{7cm}L{7cm}L{6cm}} \A un cercle& \B la réunion d'un segment et d'un cercle&\C un segment \\ &&\\ \D une droite& \E aucune des autres réponses proposées \end{tabular} \bigskip $\triangle$ \textbf{L5} \hspace{0.5cm} Donner sans justification l'ensemble des points dont l'image par $F$ est sur l'axe des ordonnées. \bigskip $\triangle$ \textbf{R5} \hspace{0.5cm} Déterminer, en justifiant votre réponse, l'ensemble des points dont l'image par $F$ est sur l'axe des abscisses. \begin{center} \rule{0.5\linewidth}{1pt} \end{center} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Exercice 5. Records d'un permutation } \end{center} Dans tout l'exercice, on fixe un entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3. \medskip On appelle \textbf{permutation} de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ toute liste (ordonnée) $(i_1~;~i_2~;~\ldots~i_n)$ dans laquelle chaque entier de 1 à $n$ est représenté exactement une fois. Pour la liste $\sigma=(i_1~;~i_2~;~\ldots~i_n)$, on écrit aussi $\sigma(k)=i_k$. Par exemple, pour $n=4$ la liste $\sigma=(4~;~3~;~1~;~2)$ est une permutation de $\{1~;~2~;~3~;~4\}$ et $\sigma(3)=1$ et $\sigma(4)=2$. \medskip On dit qu'une permutation $\sigma$ de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ présente un \textbf{record en position} $i$ (où $i\in \{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$) si $i=1$ ou si $i>1$ et $\sigma(i)$ est le plus grand des nombres $\sigma(1~;~\sigma(2)~;\ldots~;~\sigma(i)$. On notre $\mathcal{R}(\sigma)$ le nombre record de la permutation $\sigma$. \medskip Par exemple, pour $n=6$ et $\sigma=(4~;~3~;~1~;~6~;~2~;~5)$, la permutation $\sigma$ a exactement 2 records, en position 1 et 4 (ainsi $\mathcal{R}(\sigma)=2$). \medskip Ou encore, pour $n=7$ et $\sigma=(2~;~3~;~5~;~1~;~4~;~7~;~6)$, la permutation $\sigma$ a exactement 4 records en positions 1, 2, 3 et 6. (ainsi $\mathcal{R}(\sigma)=4$). \bigskip \textbf{Le cas $n=3$} \bigskip $\triangle$ \textbf{L6} \hspace{0.5cm} Donner toutes les permutations de $\{1~;~2~;~3\}$. \bigskip \textbf{Le cas $n=4$} \medskip Dans cette partie on étudie le cas $n=4$. \medskip $\square$ \textbf{M50} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations de $\{1~;~2~;~3~;~4\}$ est : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}} \A 6& \B 16&\C 24& \D 256& \E aucune des autres réponses \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M51} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations $\sigma$ de $\{1~;~2~;~3~;~4\}$ telle que $\mathcal{R}(\sigma)=4$ est : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}} \A 1& \B 2&\C 3& \D 6& \E 11 \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M52} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations $\sigma$ de $\{1~;~2~;~3~;~4\}$ telle que $\mathcal{R}(\sigma)=1$ est : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}} \A 1& \B 2&\C 3& \D 6& \E 11 \end{tabular} \bigskip $\triangle$ \textbf{L7} \hspace{0.5cm} Donner les permutations $\sigma$ de $\{1~;~2~;~3~;~4\}$ telle que $\mathcal{R}(\sigma)=3$. \bigskip $\square$ \textbf{M53} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations $\sigma$ de $\{1~;~2~;~3~;~4\}$ telle que $\mathcal{R}(\sigma)=2$ est : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}} \A 1& \B 2&\C 3& \D 6& \E 11 \end{tabular} \bigskip \textbf{Le cas $n\geqslant 4$} \bigskip $\square$ \textbf{M54} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ est : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}} \A $n~!$& \B $2^n$&\C $2^{n+1}$& \D $n^n$& \E aucune des autres réponses \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M55} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ ayant $n$ records est : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}} \A 1& \B $n$&\C $2^{n}$& \D $2^{n-1}$& \E aucune des autres réponses \end{tabular} \bigskip $\square$ \textbf{M56} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ n'ayant qu'un seul record est : \medskip \begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}} \A $n+2$& \B $2(n-1)$&\C $(n-1)~!$& \D $2^{n-1}-2$& \E $\dfrac{n(n-1)}{2}$ \end{tabular} \newpage \textbf{Permutations ayant $n-1$ records} \bigskip $\square$ \textbf{M57} \hspace{0.5cm} Pour toute permutation $\sigma$ de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ ayant exactement $n-1$ records, on a : \medskip \begin{tabular}{L{5cm}L{5cm}L{5cm}} \A $\sigma(n-1)=n$ ou $\sigma(n)=n$& \B $\sigma(n)=n-1$&\C $\sigma(n)