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%Tapuscrit : René Roux
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Mathématiques Générales Avancées}}
\lfoot{\small{Épreuve 2, Option B}}
\rfoot{\small{session 15 mars 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
	{\Large \textbf{\decofourleft~Évaluation TeSciA  session 15 mars 2025~\decofourright\\[7pt]Mathématiques Générales Avancées Épreuve 2 , option B}\\[7pt]Durée : 1h 30 min}

\medskip

\textbf{FONCTIONNEMENT DES QUESTIONS}
\end{center}

$\bullet~~$Les questions à \emph{choix multiples} sont numérotées M1, M2, etc. Le candidat y répond en \textbf{noircissant} la case correspondant à sa réponse dans la feuille-réponse $\square$.

Pour chacune de ces questions, il y a une et une seule bonne réponse.

Toute réponse fausse retire des points aux candidats. 

Noircir plusieurs réponses à une même question a un effet de neutralisation (le candidat récoltera 0 point).

$\bullet~~$Les questions \emph{à réponse brute} sont numérotées L1, L2 etc.

Elles ne demandent aucune justification : les résultats sont reportés par le candidat dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\triangle$. Tout débordement de cadre est interdit.

$\bullet~~$Les questions \emph{à réponse rédigée} sont numérotées RI, R2, etc. Elles sont écrites dans le cadre correspondant sur la feuille-réponse $\bigcirc$ ou la feuille-réponse $\triangle$, selon le symbole précédant le numéro de la question. Tout débordement de cadre est interdit.

\bigskip

\begin{center}
\textbf{CONSEILS DE BON SENS}\end{center}

$\bullet~~$L'énoncé est (très) long: il n'est absolument pas nécessaire d'avoir tout traité pour avoir une note et un classement excellents.

$\bullet~~$Ne vous précipitez pas pour reporter vos réponses, notamment aux questions à choix multiples. Il est préférable d'avoir terminé un exercice avant d'en reporter les réponses.

$\bullet~~$Ne répondez jamais au hasard à une question à choix multiples !

$\bullet~~$Selon l'exercice, les questions peuvent être dépendantes les unes des autres ou non. Soyez attentifs à la variété des situations.

\newpage

\textbf{\Large Exercice 1. Calcul algébrique, équations et inéquations}

\medskip

$\square$~\textbf{M1} \hspace{0.5cm} L'expression $\sqrt{\dfrac{3}{5}}\times \sqrt{\dfrac{24}{5}}$ sans radicaux au dénominateur est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\dfrac{2\sqrt{15}}{5}$ &\B $\dfrac{2\sqrt{6}}{5}$&\C $\dfrac{6\sqrt{10}}{5}$&\D $\dfrac{6\sqrt{2}}{5}$ &\E $\dfrac{3\sqrt{10}}{5}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M2} \hspace{0.5cm} Quand le réel $x$ parcourt l'intervalle $]3~;~+\infty[$, le réel $\dfrac{2x-3}{1-x}$ parcourt l'intervalle : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\left]-2~;~-\dfrac53\right[$ &\B $\left]-1~;~\dfrac32\right[$&\C$\left]-1~;~-\dfrac12\right[$&
\D $\left]-2~;~-\dfrac32\right[$&\E $]-\infty~;~-2[$\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M3} \hspace{0.5cm} Pour deux réels $x$ et $y$, l'égalité $(x-y)^2=(1+x^2)(1+y^2)$ est réalisée si et seulement si :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $xy<0$&\B $xy=1$&\C $x>0$ et $y>0$&\D $x>0$ et $y<0$&\E $xy=-1$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
$\square$~\textbf{M4} \hspace{0.5cm} L'ensemble des solutions de l'inéquation $\dfrac{2x-3}{x+1}+\dfrac{3}{x-1}<\dfrac{2x^2}{x^2-1}$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
\A $\left]-1~;~-\dfrac12\right[ \cup ]1~;~5[$&\B $]-1~;~1[\cup ]3~;~+\infty[$&\C $]-\infty~;~-1[\cup ]1~;~3[$ &\D {\small aucune des autres réponses proposées}&\E $\left]-\dfrac12~;~1\right[$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M5} \hspace{0.5cm} L'ensemble des solutions de l'équation $1+\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)+\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^2+\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^3=0$ est :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
		\A $\varnothing$&\B $\{0~;~2\}$&\C $\{~0~\}$ &\D {\small aucune des autres réponses proposées}&\E $\{0~;~1\}$
	\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M6} \hspace{0.5cm} L'ensemble des solutions de l'inéquation $\sqrt{x^2+21}\geqslant x-7$ est :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
		\A $\varnothing$&\B $\R$&\C $[2~;~+\infty[$ &\D $\left]\dfrac13~;~+\infty\right[$&\E $[7~;~+\infty[$
	\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M7} \hspace{0.5cm} La valeur de $\dfrac{7}{16}\ln(3+2\sqrt{2})-4\ln(\sqrt{2}+1)-\dfrac{25}{8}\ln(\sqrt{2}-1)$ est :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
		\A 1&\B $-\dfrac18\ln(\sqrt{2}-1)$&\C $\dfrac18\ln(\sqrt{2}+1)$ &\D $\dfrac{1}{16}\ln(2\sqrt{2}+3)$&\E 0
	\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\triangle$~\textbf{L1}  Donner le domaine de définition et une expression simplifiée de $A(x)=\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}$.

\medskip

$\square$~\textbf{M8} \hspace{0.5cm} Soit $m$ un nombre réel. Le nombre de solutions de $\e^{2x}-2m\e^x+1=0$ est :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
		\A $\left \{\begin{array}{c @{~~\text{ si }~~} c}0 & |m-1|<1 \\1 & |m-1|=1 \\ 2 & |m-1|>1 \end{array}\right.$
		&\B $\left \{\begin{array}{c @{~~\text{ si }~~} c}0 & -1<m<2 \\1 & m=-1 \text{ ou }2 \\ 2 & m>2 \text{ ou } m<-1\end{array}\right.$&
		\C $\left \{\begin{array}{c @{~~\text{ si }~~} c}0 & m<1 \\1 & m=1 \\ 2 & m>1\end{array}\right.$ \\
		&& \\
		\D $\left \{\begin{array}{c @{~~\text{ si }~~} c}0 & m<-1 \\1 & m=-1 \\ 2 & m>-1\end{array}\right.$&
		\E $\left \{\begin{array}{c @{~~\text{ si }~~} c}0 & |m|<1 \\1 & |m|=1 \\ 2 & |m|>1\end{array}\right.$
	\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{center}
	\rule{0.5\linewidth}{1pt}
\end{center}

\newpage

\textbf{\Large Exercice 2. Différence symétrique d'ensembles}

\medskip

Pour deux ensembles $A_1$ et $A_2$, on note $A_1\Delta A_2$ l'ensemble formé des objets $x$ qui appartiennent à $A_1$ mais pas à $A_2$ et des objets $x$ qui appartiennent à $A_2$ mais pas à $A_1$. On dit que $A_1\Delta A_2$ est la \textbf{différence symétrique} de $A_1$ et $A_2$ (dans cet ordre).

Par exemple :
\begin{enumerate}[label=\textbullet]
	\item pour $A_1=\{1~;~2~;~4\}$ et $A_2=\{1~;~2~;~3\}$, on a $A_1 \Delta A_2=\{3~;~4\}$ ;
	\item pour l'ensemble $B$ formé des élèves Léa, Paul et Séverine, et l'ensemble $C$ formé des élèves Paul et Mathilde, l'ensemble $B\Delta C$ est formé des élèves Léa, Mathilde et Séverine, autrement dit $B \Delta C=\{\text{Léa}~,~\text{Mathilde}~,~\text{Séverine}\}$.
\end{enumerate}

On rappelle aussi que $A_1\cap A_2$ désigne l'ensemble des objets qui appartiennent à la fois à $A_1$ et à $A_2$. Dans le premier exemple ci-dessus, on a donc $A_1\cap A_2=\{1~;~2\}$, et dans le deuxième $B\cap C=\{\text{Paul}\}$.

On note $\varnothing$ l'ensemble vide.

\bigskip

\textbf{Propriétés élémentaires de la différence symétrique}

\medskip

$\triangle$ \textbf{L2} \hspace{0.5cm} Donner la différence symétrique des ensembles $\R_{-}$ et $\Z$. 

\bigskip

$\square$ \textbf{M9} \hspace{0.5cm} Vrai ou Faux ? ON a $A\Delta B=B \Delta A$

\medskip
\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
		\A Vrai& \B Faux&\C Cette affirmation n'a pas de sens\\
	\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M10} \hspace{0.5cm} Pour tout ensemble $A$, la différence symétrique de $A\Delta A$ est égale à :

\medskip
\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
		\A $A$& \B $\varnothing$&\C aucune des autres réponses\\
	\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M11} \hspace{0.5cm} Pour tout ensemble $A$, la différence symétrique de $A\Delta \varnothing$ est égale à :

\medskip
\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
		\A $A$& \B $\varnothing$&\C aucune des autres réponses\\
	\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M12} \hspace{0.5cm} Pour tout ensemble $A$, l'ensemble $(A\Delta A) \Delta A$ est égal à :

\medskip
\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
		\A $A$& \B $\varnothing$&\C aucune des autres réponses\\
	\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M13} \hspace{0.5cm} Pour deux ensembles $A$ et $B$, une condition équivalente au fait que $A \Delta B$ soit vide est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A $A$ est vide& \B $A=B$&\C \small{aucune des autres réponses}&\D $A$ et $B$ sont vides& \E $B$ est vide\\
\end{tabularx}

\medskip

$\square$ \textbf{M14} \hspace{0.5cm} Pour deux ensembles $A$ et $B$, si tout élément de $A \Delta B$ est élément de $A$ alors on peut affirmer que :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
	\A $B$ est vide& \B \small{tout élément de $B$ est élément de $A$} &\C $A \Delta B$ est vide\\
	&&\\
	\D \small{tout élément de $A$ est élément de $B$}&\E \small{aucune des autres affirmations proposées ne peut être soutenue} 
\end{tabularx}

\medskip

$\square$ \textbf{M15} \hspace{0.5cm} Pour deux ensembles $A$ et $B$, si $A \Delta B$ possède exactement un élément alors on peut affirmer que :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
	\A $A$ est vide &\small{\B ou bien tout élément de $A$ est élément de $B$, ou bien tout élément de $B$ est élément de $A$} &\
	\C $B$ est vide\\
	&& \\
	\D \small{tout élément de $A$ est élément de $B$}& 	\E \small{aucune des autres affirmations proposées ne peut être soutenue}
\end{tabularx}

\medskip

$\bigcirc$ \textbf{R1} \hspace{0.5cm} Justifier votre réponse à la question \textbf{M15}.


\newpage

$\square$ \textbf{M16} \hspace{0.5cm} Soit $A$ et $B$ deux ensembles. Laquelle des propositions suivantes est vraie ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
	\A Il existe toujours un et un seul ensemble $X$ tel que $A\Delta X=B$ &\B \small{Il existe toujours plusieurs ensembles $X$ tel que $A\Delta X=B$}\\
	& \\
	\C \small{Il existe toujours au moins un ensemble $X$ tel que $A\Delta X=B$, mais il peut n'en exister qu'un seul ou plusieurs, selon le choix de $A$ et $B$} &\D \small{Il peut ne pas exister d'ensemble $X$ tel que $A\Delta X=B$, selon le choix de $A$ et $B$}
	
\end{tabularx}

\medskip

$\square$ \textbf{M17} \hspace{0.5cm} On introduit deux égalités qui peuvent être vraies ou non :

\begin{enumerate}
	\item[(i)]  $(A\Delta B)\cap C=(A\cap C)\Delta (B\cap C)$
	\item[(ii)] $(A\cap B)\Delta C=(A\Delta C)\cap (B \Delta C)$
\end{enumerate}

Lesquelles sont vraies indépendamment du choix des ensembles $A$, $B$ et $C$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A (i) mais pas (ii)& \B les deux &\C (ii) mais pas (i)& \D aucune des deux
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Différence symétrique et finitude}

\bigskip
Pour tout ensemble fini $A$, on note $c(A)$ le nombre de ses éléments (aussi appelé son cardinal).

\medskip

$\square$ \textbf{M18} \hspace{0.5cm} On introduit trois implications, qui peuvent être vraies ou non :

\begin{enumerate}
	\item[(i)]  Si $A$ et $B$ sont finis alors $A\Delta B$ est fini.
	\item[(ii)] Si $A \Delta B$ est fini alors $A$ et $B$ sont finis.
	\item[(iii)] Si $A\Delta B$ et $A$ sont finis alors $B$ est fini.
\end{enumerate}

Parmi ces implications, lesquelles sont vraies indépendamment du choix des ensembles $A$ et $B$ ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A toutes sauf (iii)& \B toutes sauf (ii)&\C les trois& \D une seule& \E toutes sauf (i)
\end{tabularx}

\medskip

$\square$ \textbf{M19} \hspace{0.5cm} Soit $A$ et $B$ deux ensembles finis tels que $A \Delta B$ soit fini. le nombre $c(A\Delta B)$ vaut alors systématiquement :

\medskip


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
		\A $c(A)+c(B)-2c(A\cap B)$& \B $c(A)+c(B)-c(A\cap B)$&\C $c(A)+c(B)$ \\
		&&\\
		\D $\dfrac{c(A)c(B)}{c(A\cap B)}$ &	\E \small{aucune des autres valeurs proposées, en général}  
\end{tabularx}

\medskip

$\square$ \textbf{M20} \hspace{0.5cm} Quels que soient les ensembles finis $A$ et $B$ tels que $A \Delta B$ soit fini et $c(B)$ soit impair :


\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\A $c(A \Delta B)$ est pair& \B $c(A \Delta B)$ est impair\\
		& \\
		\C $c(A \Delta B)$ n'a pas la même parité que $c(A)$ &\D $c(A \Delta B)$ a la même parité que $c(A)$\\
		&\\
		\E \small{on ne peut pas statuer sur la parité de $c(A\Delta B)$, même en connaissant celle de $A$}
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Différence symétrique itérée}

\bigskip

$\square$ \textbf{M21} \hspace{0.5cm} Soit $A_1$, $A_2$ et $A_3$ des ensembles. Pour un objet $x$, on note $n(x)$ le nombre d'entiers $i$ dans $\{1~;~2~;3\}$ tels que $x$ appartienne à $A_i$. L'appartenance de $x$ à $(A_1\Delta A_2)\Delta A_3$ est alors équivalente à la condition :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
		\A $n(x)=1$& \B $n(x)$ est pair&\C $n(x)$ est impair  \\
		&&\\
		\D $n(x)=2$ &\E \small{aucune des autres réponses proposées en général}
	\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

$\bigcirc$ \textbf{R2} \hspace{0.5cm} En utilisant le résultat de la question \textbf{M21}, et en le combinant avec d'autres résultats antérieurs (dont on citera alors les numéros des questions), démontrer que $(A \Delta B)\Delta C=A\Delta (B \Delta C)$ quels que soient les ensembles $A$, $B$ et $C$.

\bigskip

\newpage

Le résultat de \textbf{R2} permet de définir sans ambiguïté $A_1\Delta \ldots \Delta A_n$ pour n'importe quelle liste d'ensembles $(A_1,\ldots,A_n)$, sans tenir compte de l'ordre de parenthésage. Par exemple $A_1\Delta A_2 \Delta A_3 \Delta A_4$ peut être défini comme $(((A_1\Delta A_2)\Delta A_3)\Delta A_4)$ mais aussi comme $A_1 \Delta ((A_2 \Delta A_3)\Delta A_4)$, ce qui fournit le même résultat.

\bigskip

$\square$ \textbf{M22} \hspace{0.5cm} On note $A=\{1~;~i\}$ pour tout entier naturel $i\geqslant 1$. L'ensemble $A_1\Delta \ldots \Delta A_{2025}$ est alors égal à : 


\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
		\A $\{0~;~2~;~\ldots~;~2025\}$& \B $\varnothing$ &\C $\{0~;~1~;~2~;~\ldots~;~2025\}$ \\
		&& \\
		\D $\{1~;~2~;~\ldots~;~2025\}$&\E \small{aucune des autres réponses proposées}
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M23} \hspace{0.5cm} Soit $A_1, \ldots ,A_p$ des ensembles, où $p\geqslant 4$. Pour un objet $x$, on note $n(x)$ le nombre d'entiers $i$ dans $\{1~;~2~; \ldots~;~p\}$ tels que $x$ appartienne à $A_i$. L'appartenance de $x$ à $A_1\Delta \ldots \Delta A_p$ est alors équivalente à la condition : 


\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
		\A $n(x)$ est impair& \B $n(x)=1$ &\C $n(x)=p-1$ \\
		&& \\
		\D $n(x)$ a la même parité que $p$&\small{\E aucune des autres réponses proposées, en général}
	\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Classe stables}

\bigskip


On appelle \textbf{classe} tout ensemble fini non vide dont les éléments sont eux-mêmes des ensembles finis. Par exemple, l'ensemble $\mathcal{C}=\{\{1~;~2~;~3\};\{1~;~3~;~5\};\varnothing\}$ est une classe dont les éléments sont $\{1~;~2~;~3\}$, $\{1~;~3~;~5\}$ et l'ensemble vide (tous finis). Dans ce qui suit,, les classes sont systématiquement représentées par des majuscules calligraphiées, par exemple $\mathcal{A},~\mathcal{B},~\mathcal{C}$, et leurs éléments sont représentés par des majuscules d'imprimerie, par exemple $A,~B,~C$.

\medskip

Une classe est dite \textbf{stable} lorsque, quels que soient les éléments $A$ et $B$ de $\mathcal{C}$, l'objet $A\Delta B$ est un élément de $\mathcal{C}$.

\medskip

Par exemple, la classe $\{\{1~;~2~;~3\};\{1~;~2~;~4\}\}$ n'est pas stable car $\{1~;~2~;~3\}\Delta\{1~;~2~;~4\}$, qui vaut $\{3~;~4\}$, n'en est pas un élément.


\bigskip

$\square$ \textbf{M24} \hspace{0.5cm} Parmi les ensembles suivants, combien sont des classes stables ?

$\mathcal{A}=\{\{1~;~2~;~3\};\varnothing\}$, \hspace{0.5cm} $\mathcal{B}=\{\varnothing\}$, \hspace{0.5cm} $\mathcal{C}=\{\{1~;~2~;~3\}\}$, \hspace{0.5cm} $\mathcal{D}=\varnothing$.


\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A aucun& \B un&\C deux& \D trois& \E quatre
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip
On rappelle que pour tout ensemble $A$, un \textbf{sous-ensemble} de $A$ est un ensemble $B$ tel que tout élément de $B$ soit élément de $A$. Par exemple, $\varnothing$ et $A$ sont deux sous-ensembles de $A$.

\bigskip

$\square$ \textbf{M25} \hspace{0.5cm} Pour un ensemble fini $X$, l'ensemble constitué de tous les sous-ensembles de $X$ :


\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
		\A est toujours une classe stable& \B n'est pas toujours une classe &\C est toujours une classe, mais n'est pas toujours stable
	\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
$\square$ \textbf{M26} \hspace{0.5cm} Soit $X$ un ensemble fini et $Y$ un sous-ensemble de $X$. On considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des sous-ensembles $Z$ de $X$ tel que $Y$ soit un sous-ensemble de $Z$. Alors $\mathcal{C}$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
		\A est toujours une classe stable& \B n'est pas toujours une classe	& \C est toujours une classe, mais n'est pas toujours stable
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M27} \hspace{0.5cm} Soit $X$ un ensemble fini. On considère :
\begin{enumerate}[label=\textbullet]
	\item L'ensemble $\mathcal{C}$ formé de tous les sous-ensembles de $X$ ayant un nombre pair d'éléments.
	\item L'ensemble $\mathcal{D}$ formé de tous les sous-ensembles de $X$ ayant un nombre impair d'éléments.
\end{enumerate}

Lesquels sont des classes stables quel que soit le choix de $X$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
		\A $\mathcal{D}$& \B $\mathcal{C}$&\C $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$& \D aucun d'entre eux
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

$\square$ \textbf{M28} \hspace{0.5cm} Soit $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ deux classes stables. On considère la différence symétrique $\mathcal{C} \Delta \mathcal{D}$ et l'intersection $\mathcal{C} \cap \mathcal{D}$. Lesquelles sont des classes stables quel que soit le choix de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
		\A $\mathcal{C} \cap \mathcal{D}$& \B $\mathcal{C} \cap \mathcal{D}$ et $\mathcal{C} \Delta \mathcal{D}$&\C $\mathcal{C} \Delta \mathcal{D}$& \D aucune d'entre elles
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M29} \hspace{0.5cm} Soit $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ deux classes stables. On considère les ensembles suivants :

\begin{enumerate}[label=\textbullet]
	\item L'ensemble $\mathcal{E}$ constitué de toutes les différence symétrique $C\Delta D$, avec $C$ élément de $\mathcal{C}$ et $D$ élément de $\mathcal{D}$.
	\item L'ensemble $\mathcal{F}$ constitué de toutes les intersections $C \cap D$ avec $C$ élément de $\mathcal{C}$ et $D$ élément de $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}

Lesquels sont des classes stables quel que soit le choix de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$ ?

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
	\A $\mathcal{F}$& \B $\mathcal{E}$ et $\mathcal{F}$&\C $\mathcal{E}$& \D aucune d'entre eux
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
	\rule{0.5\linewidth}{1pt}
\end{center}

\begin{center}
	\textbf{\Large Exercice 3. Une suite définit par récurrence}
\end{center}

On s'intéresse dans cet exercice aux suites réelles $(u_n)_{n \in \N}$ vérifiant la relation de récurrence $u_{n+1}=|u_n-n|$ pour tout entier naturel $n$.

On fixe une telle suite $(u_n)_{n \in \N}$ tout au long de l'exercice.

\medskip

\textbf{Le cas particulier $u_0=0$}
\bigskip

$\square$ \textbf{M29} \hspace{0.5cm} Si $u_0=0$ alors $u_8$ vaut :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
		\A 0& \B 1&\C 2& \D 4& \E 6
	\end{tabularx}
\end{center}

$\triangle$ \textbf{L3} \hspace{0.5cm} On suppose dans cette question que $u_0=0$. Quelle conjecture peut-on, formuler sur la valeur du couple $(u_{2n}~;~u_{2n+1})$ en fonction de $n$ ?

\bigskip
\textbf{Le cas général}
\bigskip

$\square$~\textbf{M31} \hspace{0.5cm}  Vrai ou Faux ? La suite $(u_n)_{n \in \N}$ a une limite finie.

\begin{center}\A Vrai \qquad \B Faux \end{center}

\medskip

$\square$ \textbf{M32} \hspace{0.5cm} Si la suite $\left(\dfrac{u_n}{n}\right)_{n\in \N^*}$ a une limite finie alors cette limite est égale à :
\medskip

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
		\A $\dfrac12$&\B -1&\C 2& \D 1& \E 0
	\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M33} \hspace{0.5cm} La suite $(u_n)_{n\in \N}$  est :

\medskip

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
		\A périodique&\B non bornée&\C bornée& \D de limite nulle& \E de limite $\dfrac{n}{2}$
	\end{tabularx}
\end{center}

$\bigcirc$~\textbf{R3} \hspace{0.5cm} Justifier votre réponse à la question \textbf{R33}.

\newpage

$\square$~\textbf{M34} \hspace{0.5cm} On fait l'hypothèse qu'il existe un entier $N$ tels que $u_\geqslant n$. La conséquence la plus immédiate que l'on peut alors en tirer est qu'il existe une constante $K$ telle que :

\medskip

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
		\A $u_n=K+\dfrac{n^2}{2}$ pour tout entier $n\geqslant N$&\B $u_n=K-\dfrac{n(n-1)}{2}$ pour tout entier $n\geqslant N$\\
		&\\
		\C $u_n=K-\dfrac{n^2}{2}$ pour tout entier $n\geqslant N$&	\D $u_n=K-\dfrac{n}{2}$ pour tout entier $n\geqslant N$\\
		& \\
		\E $u_n=K+\dfrac{n(n-1)}{2}$ pour tout entier $n\geqslant N$
	\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
$\square$~\textbf{M35} \hspace{0.5cm}  Vrai ou Faux ? Il existe un entier naturel $N$ tel que $u_n\geqslant n$ pour tout entier $n \geqslant N$.

\begin{center}\A Vrai \qquad \B Faux \end{center}

\medskip

À partir de maintenant et dans toutes les questions suivantes, on suppose que, pour tout entier naturel $N$, il existe un entier $n\geqslant N$ tel que $u_n<n$.

\medskip

$\square$~\textbf{M35} \hspace{0.5cm}  Laquelle des affirmations est vraie ?

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{1}{X}}
		\A La suite $(u_n)_{n\in \N}$ ne peut être arithmétique.\\
		\\
		\B La suite $(u_n)_{n\in \N}$ peut être arithmétique, et dans ce cas sa raison est nécessairement $\dfrac12$.\\
		\\
		\C La suite $(u_n)_{n\in \N}$ peut être arithmétique, et dans ce cas sa raison est nécessairement $-\dfrac12$.\\
		\\
		\D La suite $(u_n)_{n\in \N}$ peut être arithmétique, et dans ce cas sa raison est nécessairement $\dfrac12$ ou$-\dfrac12$, selon les cas.\\
		\\
		\E Aucune des autres réponses proposées n'est vraie.
	\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

On suppose dans la suite qu'il existe un entier $p>0$ tel que $u_p<p$, et on en fixe un définitivement.

\medskip

$\bigcirc$~\textbf{R4} \hspace{0.5cm}Montrer que $u_n<n$ pour tout entier $n\geqslant p$.
\medskip

$\square$~\textbf{M37} \hspace{0.5cm} Pour tout entier $n\geqslant p$, le terme $u_{n+2}$ est égal à :

\medskip

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
		\A $u_n-1$&\B $u_{n+1}$&\C $u_n+1$& \D $u_n$& \E $-u_n+1$
	\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M38} \hspace{0.5cm} Pour tout entier  naturel $n$, on définit $\alpha_n=u_n-\dfrac{n}{2}+\dfrac14$. Alors, pour tout entier $n\geqslant p$, le terme $\alpha_{n+1}$ vaut :

\medskip

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
		\A $\alpha_n+\dfrac14$&\B $\alpha_n-\dfrac14$&\C $\alpha_n$& \D $-\alpha_n+\dfrac14$& \E $-\alpha_n$
	\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M39} \hspace{0.5cm} On peut donc conclure à l'existence d'un réel $C$ tel que, pour tout entier $n\geqslant p$ : 

\medskip

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
		\A $u_n=\dfrac{n}{2}+C^n$&\B $u_n=\dfrac{n}{2}-\dfrac14+(-1)^nC$&\C $u_n=\dfrac{n}{2}+\dfrac14+(-1)^nC$\\
		&& \\
		\D $u_n=-\dfrac{n}{2}+\dfrac14+(-1)^nC$& \E $u_n=\dfrac{n}{2}+(-1)^nC$
	\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
	\rule{0.5\linewidth}{1pt}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
	\textbf{\Large Exercice 4. Détection de réels par des suites d'entiers}
\end{center}


On fixe un objet mathématique qui n'est pas un nombre réel, et on le note $+\infty$ (sa nature profonde n'a pas d'importance dans la suite). On note $]1~;~+\infty]$ l'ensemble formé de $+\infty$ et des réels strictement supérieurs à 1.

Pour un élément $x$ de $]1~;+\infty~]$ :

\begin{enumerate}[label=\textbullet]
	\item ou bien $x$ est réel et on note $E(x)$ l'unique entier naturel tel que $k\leqslant x <k+1$ (autrement dit, la partie entière de $x$) ;
	\item ou bien $x=+\infty$ et on pose $E(x)=+\infty$.
\end{enumerate} 

Pour un élément $x$ de $]1~;+\infty~]$, on définit un objet $x'$ comme suit :

\begin{enumerate}[label=\textbullet]
	\item $x'=\dfrac{1}{x-E(x)}$ si $x$ est réel mais pas entier ;
	\item $x'=+\infty$ dans tout autre cas.
\end{enumerate}

On rappelle enfin qu'un nombre rationnel est un nombre de la forme $\dfrac{a}{b}$, où $a$ et $b$ sont des entiers relatifs dont $b\neq 0$. On admet que tout rationnel $r$ possède une unique écriture sous la forme $r=\dfrac{p}{q}$ où $p$ est un entier relatif et $q$ un entier naturel non nul tels que $p$ et $q$ n'aient aucun diviseur premier commun : on dit qu'il s'agit de l'écriture de $r$ sous forme irréductible.

\medskip

\textbf{Considérations élémentaires sur la transformation $x\mapsto x'$}

\bigskip

\medskip
$\square$~\textbf{M40} \hspace{0.5cm}  Vrai ou Faux ? L'objet $x'$ est dans $]-1~;~+\infty]$ quel que soit $x$ dans $]-1~;~+\infty]$.

\begin{center}\A Vrai \qquad \B Faux \end{center}

\medskip

$\square$~\textbf{M41} \hspace{0.5cm} On donne les quatre affirmations :

\begin{enumerate}
	\item[(i)] Si $x$ est un entier alors $x'$ n'est pas un entier.
	\item[(ii)] Si $x$ est un entier alors $x'$ est un entier.
	\item[(iii)] Si $x$ n'est pas un entier alors $x'$ n'est pas un entier.
	\item[(iv)] Si $x$ n'est pas un entier alors $x'$ est un entier.
\end{enumerate}

Combien sont vraies indépendamment du choix de $x$ dans $]-1~;~+\infty]$ ?

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
		\A 0&\B 1&\C 2& \D 3& \E 4
	\end{tabularx}
\end{center}

$\triangle$~\textbf{L4} \hspace{0.5cm} Donner sans justifications les x dans $]-1~;~+\infty]$ pour lesquels $x=x'$.

\medskip

$\square$~\textbf{M42} \hspace{0.5cm} On donne quatre affirmations :

\begin{enumerate}
	\item[(i)] Si $x$ est rationnel alors $x'$ est un rationnel.
	\item[(ii)] Si $x$ est rationnel alors $x'$ n'est pas un rationnel.
	\item[(iii)] Si $x$ n'est pas rationnel alors $x'$ n'est pas un rationnel.
	\item[(iv)] Si $x$ n'est pas rationnel alors $x'$ est un rationnel
\end{enumerate}

Laquelle est vraie indépendamment du choix de $x$ dans $]-1~;~+\infty]$ ?

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
		\A (i)&\B (ii)&\C (iii)& \D (iv)& \E \small{Aucune d'entre elles}
	\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\textbf{Itérations de l'opération prime, suite de parties entières}

\bigskip

On part d'un élément $x$ de $]-1~;~+\infty]$. On construit une suite $(r_n)_{n \in \N}$ d'éléments de $]-1~;~+\infty]$ par récurrence en posant $r_0=x$ et en imposant, pour tout entier naturel $n$, la relation $r_{n+1}=(r_n)'$.

On construit alors en parallèle la suite $(c_n)_{n \in \N}$ en posant $c_n=E(r_n)$ pour tout entier naturel $n$.

Par exemple, pour $x=\dfrac32$, on a $r_0=\dfrac32$, $r_1=2$, $r_2=+\infty$, etc., et $c_0=1$, $c_1=2$, $c_2=+\infty$, etc.

\medskip

$\square$~\textbf{M43} \hspace{0.5cm} On suppose que $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$. Alors $c_{2025}$ vaut :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
		\A 0&\B 1&\C 2& \D 3& \E $+\infty$
	\end{tabularx}
\end{center}


$\square$~\textbf{M44} \hspace{0.5cm} On suppose que $x=\sqrt{3}$. Alors $c_{2025}$ vaut :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
		\A 0&\B 1&\C 2& \D 4& \E $+\infty$
	\end{tabularx}
\end{center}

$\triangle$~\textbf{L5} \hspace{0.5cm} On suppose que $c_7=+\infty$ et $c_6=2$. Que vaut $r_6$ ?

\medskip

$\square$~\textbf{M45} \hspace{0.5cm} On suppose que $c_7=+\infty$, que $c_i=2$ pour tout entier pair $i$ compris entre 0 et 6, et que $c_i=1$ pour tout entier impair $i$ compris entre 0 et 6. Alors $x$ vaut :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
		\A $\dfrac{194}{71}$&\B $\dfrac{112}{41}$&\C $\dfrac{153}{56}$& \D $\dfrac{41}{15}$& \E  \small{il n'y a pas assez d'informations pour le savoir}
	\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M46} \hspace{0.5cm} On se donne une liste $(d_0~;~\ldots~;~d_p)$ d'entiers naturels non nuls. On dit que $x$ est adapté à cette liste lorsque $c_k=d_k$ pour tout entier $k$ compris entre 0 et $p$, et $c_{p+1}=+\infty$. On introduit plusieurs affirmations :

\begin{enumerate}
	\item[(i)] S'il existe un nombre réel $x>1$ adapté à $(d_0~;~\ldots~;~d_p)$ alors $d_p\neq 1$.
	\item[(ii)] Si $d_p\neq 1$ alors il existe un nombre réel $x>1$ adapté à $(d_0~;~\ldots~;~d_p)$ .
\end{enumerate}

Lesquelles sont vraies indépendamment du choix de $(d_0~;~\ldots~;~d_p)$  ?

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
		\A (i)&\B (ii)&\C Toutes& \D Aucune
	\end{tabularx}
\end{center}


\textbf{Terminaison pour les rationnels}

\bigskip

Pour tout nombre rationnel positif $x$, que l'on écrit sous forme irréductible $x=\dfrac{p}{q}$, l'entier $p+q$ est appelé \textbf{poids} de $x$.

$\square$~\textbf{M47} \hspace{0.5cm} Soit $x$ un rationnel strictement supérieur à 1 tel que $x'$ soit rationnel. On note $x=\dfrac{p}{q}$ son écriture sous forme irréductible. On introduit des affirmations :

\begin{enumerate}
	\item[(i)] L'écriture sous forme irréductible de $x'$ a $q$ pour numérateur.
	\item[(ii)] Le poids de $x'$ est strictement inférieur à celui de $x$.
\end{enumerate}

Lesquelles sont vraies ?

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
		\A (i)&\B (ii)&\C Toutes& \D Aucune
	\end{tabularx}
\end{center}

$\square$~\textbf{M48} \hspace{0.5cm} On donne deux implications :

\begin{enumerate}
	\item[(i)] Si $x$ est rationnel ou vaut $+\infty$ alors il existe un entier naturel $n$ tel que $r_n=+\infty$.
	\item[(ii)] S'il existe un entier naturel $n$ tel que $r_n=+\infty$ alors $x$ est rationnel ou vaut $+\infty$.
\end{enumerate}

Lesquelles sont vraies ?

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
		\A (i)&\B (ii)&\C Toutes& \D Aucune
	\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\textbf{Caractérisation par la suite des parties entières}

\bigskip

On reprend la construction précédente. Cette fois-ci, on suppose plus précisément que $x$ n'est ni un nombre rationnel ni $+\infty$. On se propose dans ce cas de démontrer que la connaissance de la suite $(c_n)_{n\in \N}$ suffit à reconstituer $x$. Pour clarifier le discours, on notera désormais $c_n(x)$ le terme de rang $n$ de cette suite, afin de marquer la dépendance envers $x$. De même, on notera $r_n(x)$ le terme de rang $n$ de la suite $(r_k)_{k\in \N}$ afin de bien marquer sa dépendance envers $x$.

\bigskip

$\triangle$~\textbf{R5} \hspace{0.5cm} Soit $x$ et $y$ deux nombres non rationnels dans $]1~;~+\infty[$. On suppose que $c_0(x)=c_0(y)$ et $c_1(x)=c_1(y)$. Démontrer qu'il existe des entiers naturels non nuls $a$, $b$, $c$, $d$ tels que $x=\dfrac{ar_2(x)+b}{cr_2(x)+d}$ et $y=\dfrac{ar_2(y)+b}{cr_2(y)+d}$, et en déduire que $|x-y|\leqslant \dfrac{|r_2(x)-r_2(y)|}{4}$. 

\medskip

$\square$~\textbf{M49} \hspace{0.5cm} Soit $x$ et $y$ deux nombres réels strictement supérieurs à 1. On suppose trouvé un entier naturel $n$ tel que $c_k(x)=c_k(y)$ pour tout entier $k$ compris entre 0 et $2n$.

Quelle affirmation la plus précise peut-on déduire de cette hypothèse, par application directe de résultats antérieurs ?

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
		\A $|x-y| \leqslant \dfrac{1}{2^n}$&\B $|x-y| \leqslant \dfrac{1}{4^n}$&\C $|x-y| \leqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}$ \\
		&&  \\
		\D $|x-y| \leqslant \dfrac{1}{4^{n+1}}$ & \E aucune des autres réponse proposées
	\end{tabularx}
\end{center}


\begin{center}
	\rule{0.5\linewidth}{1pt}
\end{center}

\begin{center}
	\textbf{\Large Exercice 5. Records d'une permutation}
\end{center}

Dans tout l'exercice, on fixe un entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3.
\medskip

On appelle \textbf{permutation} de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ toute liste (ordonnée) $(i_1~;~i_2~;~\ldots~i_n)$ dans laquelle chaque entier de 1 à $n$ est représenté exactement une fois. Pour la liste $\sigma=(i_1~;~i_2~;~\ldots~i_n)$, on écrit aussi $\sigma(k)=i_k$. Par exemple, pour $n=4$ la liste $\sigma=(4~;~3~;~1~;~2)$ est une permutation de $\{1~;~2~;~3~;~4\}$ et $\sigma(3)=1$ et $\sigma(4)=2$.

\medskip

On dit qu'une permutation $\sigma$ de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ présente un \textbf{record en position} $i$ (où $i\in \{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$) si $i=1$ ou si $i>1$ et $\sigma(i)$ est le plus grand des nombres $\sigma(1~;~\sigma(2)~;\ldots~;~\sigma(i)$. On notre $\mathcal{R}(\sigma)$ le nombre record de la permutation $\sigma$.

\medskip

Par exemple, pour $n=6$ et $\sigma=(4~;~3~;~1~;~6~;~2~;~5)$, la permutation $\sigma$ a exactement 2 records, en position 1 et 4 (ainsi $\mathcal{R}(\sigma)=2$).
\medskip

Ou encore, pour $n=7$ et $\sigma=(2~;~3;~5~;~1~;~4~;~7~;~6)$, la permutation $\sigma$ a exactement 4 records en positions 1, 2, 3 et 6.  (ainsi $\mathcal{R}(\sigma)=4$).

\bigskip

\textbf{Le cas $n=3$}

\bigskip

$\triangle$ \textbf{L6} \hspace{0.5cm} Donner toutes les permutations de $\{1~;~2~;~3\}$.

\bigskip

\textbf{Le cas $n=4$}

\medskip
Dans cette partie on étudie le cas $n=4$.


\medskip

$\square$ \textbf{M50} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations de  $\{1~;~2~;~3~;~4\}$ est :

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{2.5cm}L{6cm}}
	\A 6& \B 16&\C 24& \D 256& \E aucune des autres réponses
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

$\square$ \textbf{M51} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations $\sigma$ de  $\{1~;~2~;~3~;~4\}$ telle que $\mathcal{R}(\sigma)=4$ est :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A 1& \B 2&\C 3& \D 6& \E 11
\end{tabularx}
\end{center}



$\square$ \textbf{M52} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations $\sigma$ de  $\{1~;~2~;~3~;~4\}$ telle que $\mathcal{R}(\sigma)=1$ est :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A 1& \B 2&\C 3& \D 6& \E 11
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

$\triangle$ \textbf{L7} \hspace{0.5cm} Donner les permutations $\sigma$ de  $\{1~;~2~;~3~;~4\}$ telle que $\mathcal{R}(\sigma)=3$.

\bigskip

$\square$ \textbf{M53} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations $\sigma$ de  $\{1~;~2~;~3~;~4\}$ telle que $\mathcal{R}(\sigma)=2$ est :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A 1& \B 2&\C 3& \D 6& \E 11
\end{tabularx}
\end{center}


\bigskip

\textbf{Le cas $n\geqslant 4$}

\bigskip

$\square$ \textbf{M54} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ est :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A $n~!$& \B $2^n$&\C $2^{n+1}$& \D $n^n$& \E aucune des autres réponses
\end{tabularx}
\end{center}



$\square$ \textbf{M55} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ ayant $n$ records est :


\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A 1& \B $n$&\C $2^{n}$& \D $2^{n-1}$& \E aucune des autres réponses
\end{tabularx}
\end{center}



$\square$ \textbf{M56} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ n'ayant qu'un seul record est :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A $n+2$& \B $2(n-1)$&\C $(n-1)~!$& \D $2^{n-1}-2$& \E $\dfrac{n(n-1)}{2}$
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Permutations ayant $n-1$ records}

\bigskip


$\square$ \textbf{M57} \hspace{0.5cm} Pour toute permutation $\sigma$ de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ ayant exactement $n-1$ records, on a :


\begin{center}
\begin{tabular}{L{5cm}L{5cm}L{5cm}}
	\A $\sigma(n-1)=n$ ou $\sigma(n)=n$& \B $\sigma(n)=n-1$&\C $\sigma(n)<n-1$ \\
	& &\\
	\D $\sigma(n)=1$& \E $\sigma(n)=n$ ou $\sigma(n)=n-1$& 
\end{tabular}
\end{center}




$\square$ \textbf{M58} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations $\sigma$ de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ ayant exactement $n-1$ records et telles que $\sigma(n-1)=n$ est :



\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A 1& \B $(n-2)~!$&\C $n$& \D $n-1$& \E 0
\end{tabularx}
\end{center}


$\square$ \textbf{M59} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations $\sigma$ de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ ayant exactement $n-1$ records et telles que $\sigma(n)=n$ et $\sigma(1)\neq 1$ est :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A 1& \B $n-2$&\C $n$& \D $n-1$& \E 0
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage
$\square$ \textbf{M60} \hspace{0.5cm} Soit $k$ un élément de $\{2~;~\ldots~;~n-1\}$. Le nombre de permutations $\sigma$ de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ ayant exactement $n-1$ records et telles que $\sigma(n)=n$, $\sigma(1)= 1$ et n'ayant pas de record en position $k$ est :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A 1& \B $k-2$&\C $n-1$& \D $1+2+\ldots+(k-1)$& \E $1+2+\ldots+(n-1)$
\end{tabularx}
\end{center}



$\square$ \textbf{M61} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations $\sigma$ de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ ayant exactement $n-1$ records et telles que $\sigma(n)=n$ et $\sigma(1)= 1$ est :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A 1& \B $n-2$&\C $n-1$& \D $\dfrac{n^2-3n-2}{2}$& \E $\dfrac{n^2-5n+6}{2}$
\end{tabularx}
\end{center}

$\triangle$ \textbf{L8} \hspace{0.5cm} Donner le nombre de permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ ayant exactement $n-1$ records.

\bigskip

\textbf{Permutations ayant $2$ records}

\bigskip

$\square$ \textbf{M62} \hspace{0.5cm} Soit $p$ un élément de $\{2~;~\ldots~;~n\}$. Le nombre de $p$-listes $(k_1~;~k_2~;~\ldots~;~k_p)$ d'éléments distincts de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ dont $k_p$ est le plus grand élément vaut :


\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A $n^{p-1}$& \B $\dbinom{n}{p}$&\C $\dfrac{n~!}{(n-p)~!}$& \D $\dfrac{n~!}{p(n-p)~!}$& \E $(p-1)~!$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M63} \hspace{0.5cm} Soit $p$ un élément de $\{2~;~\ldots~;~n\}$. Le nombre de permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ dont ayant exactement deux records lesquels sont atteints en positions 1 et $p$, est :

\medskip

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A $\dfrac{1}{p}$& \B $\dfrac{1}{p-1}$&\C $\dfrac{(n-1)~!}{p}$& \D $\dfrac{(n-1)~!}{(p-1)~!}$& \E $\dfrac{(n-1)~!}{p-1}$
\end{tabularx}
\end{center}

$\square$ \textbf{M64} \hspace{0.5cm} Le nombre de permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$ dont ayant exactement deux records  est :

\medskip

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
	\A $\dfrac12+\ldots+\dfrac{1}{p}+\ldots+\dfrac{1}{n}$& \B $(n-1)~!\left(1+\dfrac12+\ldots+\dfrac{1}{p}+\ldots+\dfrac{1}{n-1}\right)$\\
	& \\
	\C $(n-1)~!\left(\dfrac12+\ldots+\dfrac{1}{p}+\ldots+\dfrac{1}{n}\right)$& \D $1+\dfrac{1}{2~!}+\ldots+\dfrac{1}{p~!}+\ldots+\dfrac{1}{n~!}$\\
	& \\
	\E $1+\dfrac12+\ldots+\dfrac{1}{p}+\ldots+\dfrac{1}{n-1}$
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Une loi de probabilités sur l'ensemble des permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$}

\bigskip

On note $\mathcal{S}_n$ l'ensemble des permutations de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$. On le munit de la probabilité uniforme $\textbf{P}$, c'est-à-dire que, pour toute permutation $\sigma$ de $\mathcal{S}_n$, on a $\textbf{P}(\{\sigma\})=\dfrac{1}{n~!}$.
\medskip

On définit une variable aléatoire $\mathcal{R}_n$, qui à toute permutation $\sigma$ de $\mathcal{S}_n$ associe le nombre de records de $\sigma$.

\medskip

On note, pour tout entier $i$ de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$, $\mathcal{T}_i$ la variable aléatoire qui, à chaque permutation $\sigma$ de $\mathcal{S}_n$, associe 1 si $\sigma$ présente un record en position $i$, et 0 sinon. La variable aléatoire $\mathcal{T}_1$ est donc constante égale à 1.

\bigskip

$\square$ \textbf{M65} \hspace{0.5cm} L'espérance de $\mathcal{R}_3$ est :



\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A $\dfrac{5}{3}$& \B $\dfrac{4}{3}$&\C $\dfrac{11}{6}$& \D $\dfrac{7}{6}$& \E 2
\end{tabularx}
\end{center}

\bigskip

$\square$ \textbf{M66} \hspace{0.5cm} La variance de $\mathcal{R}_3$ est :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A $\dfrac{19}{36}$& \B $\dfrac{5}{54}$&\C $\dfrac{7}{54}$& \D $\dfrac{13}{36}$& \E $\dfrac{17}{36}$
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

$\square$ \textbf{M67} \hspace{0.5cm} Soit $i$ un élément de $\{1~;~2~;~\ldots~;~n\}$. La probabilité $\textbf{P}(T_i=1)=$ vaut alors :

\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
	\A $\dfrac{1}{i}$& \B $\dfrac{1}{i+1}$&\C $\dfrac{1}{i~!}$& \D $\dfrac{1}{(i+1)~!}$& \E aucune des autres réponses
\end{tabularx}
\end{center}


$\triangle$ \textbf{L9} \hspace{0.5cm} On admet que l'espérance d'une somme de variables aléatoires est la somme de leurs espérances. Donner une expression simple de l'espérance $\mathcal{R}_n$. 























 
%Dans tout l'exercice, on appelle suite réelle toute suite à termes réels définie à partir du rang 0.
%
%Pour deux suites réelles $u$ et $v$, on note $u = v$ pour signifier que $u_n = v_n$ pour tout $n \in \N$.
%
%Lorsque $a$ désigne un nombre réel, on note $\tilde{a}$ la suite réelle dont tous les termes sont égaux à $a$, autrement dit
%$\tilde{a}_n = a$ pour tout $n \in \N$. En particulier $\tilde{0}$ a tous ses termes nuls, et est appelée la suite nulle.
%
%On note $e$ la suite réelle définie par $e_0 = 1$ et $e_n = 0$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$.
%
%Lorsque $u = \left(u_n\right)_{n \in \N}$ et $v = \left(v_n\right)_{n \in \N}$ désignent deux suites réelles, on définit une nouvelle suite réelle, notée $u \star v$
%et appelée produit de convolution de $u$ et $v$, en posant
%\[\begin{array}{l c l}
%(u \star v)_0&=&u_0v_0,\\
%(u \star v)_1&=&u_1v_0 + u_0v_1,\\
%(u \star v)_2&=&u_2v_0 + u_1v_1 +  u_0v_2,\\
%\dotfill\\
%(u \star v)_n&=&u_nv_0 + u_{n-1}v_1 + _{n-2}v_2 + \ldots + u_1v_{~-1} + u_0v_n.
%\end{array}\]
%
%$\triangle$ \textbf{L2} On considère la suite $u$ définie par $u_0 = 4, u_1 =2$ et $u_n = 1$ pour tout entier $n \geqslant 2$. Donner la valeur de $(u \star u)_3$.
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M8} On considère la suite $u$ définie par $u_0 = 4,\: u_1 =2$ et $u_n = 1$ pour tout entier $n \geqslant 2$. Alors $(u \star u)_{10}$ vaut : 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
%\A 28& \B 29 &\C 18 &\D 12 &\E 19
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%\textbf{Vrai ou faux ?}
%
%\medskip
%
%Dans les questions \textbf{M9}, \textbf{M10}, \textbf{M11} et \textbf{M12}, on demande d'évaluer la validité des propositions indiquées.
%
%\smallskip
%
%$\square$~\textbf{M9} On a $u \star \tilde{0} = \tilde{0}$ pour toute suite réelle $u$.
%
%\begin{center}\A Vrai \qquad \B Faux \end{center}
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M10} On a $u \star \tilde{1} = u$ pour toute suite réelle $u$.
%
%\begin{center}\A Vrai \qquad \B Faux \end{center}
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M11} On a $u \star e = u$ pour toute suite réelle $u$.
%
%\begin{center}\A Vrai \qquad \B Faux \end{center}
%
%$\square$~\textbf{M12} On a $u \star v = v \star u$ quelles que soient les suites réelles $u$ et $v$.
%
%\begin{center}\A Vrai \qquad \B Faux \end{center}
%
%$\square$~\textbf{M13} On considère la suite réelle $w$ définie par $w_0 = 0, w_1 = 1$ et $w_n = 0$ pour tout entier naturel .
%
%Pour toute suite réelle $u$ et tout entier naturel $n$ :
%
%\medskip
%
%\A $(u \star w)_{n+1} = u_n$
%
%\B aucune des autres réponses proposées n'est vraie en toute généralité
%
%\C $(u\star w)_n = u_{n-1}$
%
%\D $(u \star w)_n = u_{n+1}$
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M14} On considère la suite réelle $u$ définie par $u_n = 1$ si $n$ est pair, et $u_n = 0$ si $n$ est impair ; on considère aussi la suite réelle $v$ définie par $v_n = 0$ si $n$ est pair, et $v_n = 1$ si $n$ est impair. Pour tout entier naturel $n$ :
%
%\medskip
%
%\A $(u \star v)_n = (n + 2)/2$ si $n$ est pair, et $(u \star v)_n = 0$ si $n$ est impair 
%
%\B $(u \star v)_n = n/2$ si $n$ est pair, et $(u \star v)_n = 0$ si $n$ est impair
%
%\C $(u \star v)_n = (n - 1)/2$ si $n$ est impair, et $(u \star v)_n = 0$ si $n$ est pair 
%
%\D aucune des autres réponses proposées n'est vraie en toute généralité 
%
%\E $(u \star v)_n = (n +1)/2$ si $n$ est impair, et $(u \star v)_n = 0$ si $n$ est pair
%
%\bigskip
%
%{\large \textbf{Suites arithmétiques/géométriques}}
%
%\medskip
%
%Dans les questions \textbf{M15} à \textbf{M19}, on fixe deux suites réelles $u$ et $v$. On rappelle que toute suite constante est arithmétique (de raison 0).
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M15} Si $u$ et $v$ sont constantes, alors $u \star v$ :
%
%\medskip
%
%\A est arithmétique
%
%\B peut n'être ni arithmétique ni géométrique, selon le choix de U 
%
%\C est géométrique
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M16} Si $u$ et $v$ sont arithmétiques alors $u \star v$ :
%
%\medskip
%
%\A n'est jamais arithmétique
%
%\B peut être arithmétique ou non, selon le choix de $u$ et $v$ 
%
%\C est arithmétique
%
%\medskip
%
%$\triangle$ \textbf{L3} On suppose $u$ géométrique de raison 2 et $v$ géométrique de raison 4. Donner une expression simplifiée de $(u \star v)_n$ en fonction de $n, u_0$ et $v_0$.
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M17} Si $u$ et $v$ sont géométriques de raisons non nulles différentes, et si $u_0 \ne =0$ et $v_0 \ne 0$, alors $u \star v$: 
%
%\medskip
%
%\A n'est jamais géométrique
%
%\B peut être géométrique ou non, selon les valeurs respectives de $u$ et $v$
%
%\C est géométrique
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M18} Si $u$ et $v$ sont géométriques de raisons non nulles différentes, et si $u_0 \ne 0$ et $v_0 \ne 0$,  alors $u \star v$ : 
%
%\medskip
%
%\A est la somme de deux suites géométriques 
%
%\B peut être la somme de deux suites géométriques ou non, selon les valeurs respectives de $u$ et $v$
%
%\C n'est jamais la somme de deux suites géométriques
%
%\medskip
%
%$\bigcirc$ \textbf{R1} Justifier votre réponse à la question \textbf{M18}.
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M19} Si $u$ et $v$ sont géométriques et de raisons différentes de 0 et 1, alors $u \star v$ :
%
%\medskip
%
%\A peut être arithmétique ou non, selon les valeurs respectives de $u$ et $v$
%
%\B est arithmétique
%
%\C n'est jamais arithmétique
%
%\bigskip
%
%\textbf{Valuation, résolution d'équations}
%
%\medskip
%
%Soit $u$ une suite réelle différente de $\tilde{0}$. Il existe donc un entier $n \geqslant 0$ tel que $u_n \ne 0$, et on note $\alpha(u)$ le plus petit de ces entiers, appelé \textbf{valuation} de $u$. Par exemple, pour une suite $u$ vérifiant $u_0 = 0, u_1 = 0, u_2 = - 4$ et $
%u_3 = 9$, on a $\alpha(u)= 2.$
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M20} Soit $u$ et $v$ deux suites réelles différentes de $\tilde{0}$. On note $p$ la valuation de $u$, et $q$ celle de $v$. On note $m$ le plus petit des entiers $p$ et $q$, et $M $le plus grand d'entre eux. On peut alors affirmer :
%
%\medskip
%
%\A qu'aucune des autres affirmations n'est systématiquement vraie
%
%\B que $(u \star v)_n = 0$ pour tout entier naturel $n < pq$, mais que $(u \star v)_{pq} \ne 0$
%
%\C que $(u \star v)n = 0$ pour tout entier naturel $n < p + q$, mais que $(u \star v)_{p+q} \ne  0 $
%
%\D que $(u \star v)_n = 0$ pour tout entier naturel $n < m$, mais que $(u \star v)_m \ne 0 $
%
%\E que $(u \star v)n = 0$ pour tout entier naturel $n < M$, mais que $(u \star v)_M \ne 0$
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M21} Soit $u$ et $v$ deux suites différentes de la suite nulle. On peut alors affirmer:
%
%\medskip
%
%\A que $u \star v$ n'est pas la suite nulle, et que sa valuation est le plus petit des entiers $\alpha(u)$ et $\alpha(v)$
%
%\B que $u \star v$ n'est pas la suite nulle, et que sa valuation est $\alpha(u) + \alpha(v)$
%
%\C qu'aucune des autres affirmations n'est systématiquement vraie
%
%\D que $u \star v$ n'est pas la suite nulle, et que sa valuation est le plus grand des entiers $\alpha(u)$ et $\alpha(v)$
%
%\E que $u \star v$ n'est pas la suite nulle, et que sa valuation est $\alpha(u)\alpha(v)$
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M22} Soit $b$ une suite réelle. S'il existe une suite réelle $u$ telle que $u \star b = e$, alors la conséquence la plus précise que l'on puisse en tirer est :
%
%\medskip
%
%\A aucune des autres affirmations n'est vraie en toute généralité 
%
%\B $b_1 \ne 0$
%
%\C $b_n \ne 0$ pour tout $n \in \N$
%
%\D il existe un $n \in \N$ tel que $b_n \ne 0$
%
%\E $b_0 \ne  0$
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M23} On fixe deux suites réelles $b$ et $c$ telles que $b \ne 0$.
%
%L'affirmation la plus précise que l'on puisse soutenir est :
%
%\medskip
%
%\A il n'existe aucune suite réelle $u$ telle que $u  \star b = c$
%
%\B aucune des autres affirmations ne peut être soutenue
%
%\C il existe une et une seule suite réelle $u$ telle que $u \star b = c$
%
%\D il existe plusieurs suites réelles $u$ telles que $u \star b = c$
%
%\E il existe au moins une suite réelle $u$ telle que $u \star b = c$
%
%\medskip
%
%$\bigcirc$ \textbf{R2} Justifier votre réponse à la question \textbf{M23}.
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M24} Soit $b$ une suite réelle non nulle. S'il existe une suite réelle $u$ telle que $u \star u = b$, alors :
%
%\medskip
%
%\A on peut affirmer que la valuation de $u$ est paire
%
%\B on peut affirmer que la valuation de $b$ est paire
%
%\C on peut affirmer que la valuation de $b$ est impaire
%
%\D aucune des autres affirmations ne peut être soutenue 
%
%\E on peut affirmer que la valuation de $u$ est impaire
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M25} Soit $b$ une suite réelle telle que $b_0 > 0$. On peut alors affirmer:  
%
%\medskip
%
%\A qu'il existe exactement deux suites réelles $u$ telles que $u \star u = b$
%
%\B qu'il existe exactement une suite réelle u telle que $u \star u = b$
%
%\C qu'aucune des autres affirmations ne peut être soutenue
%
%\D qu'il existe une infinité de suites réelles u telles que $u \star u = b$ 
%
%\E qu'il n'existe aucune suite réelle u telle que $u \star u = b$
%
%\bigskip
%
%\textbf{\large Exercice 3. Arithmétique}
%
%\medskip
%
%$\triangle$ \textbf{L4} Parmi les entiers suivants, indiquer lesquels sont premiers
%
%\[1, \quad 2, \quad 43, \quad 59, \quad 111, \quad 143, \quad 147, \quad 187\]
%
%$\square$~\textbf{M26} Le pgcd de 720 et 210 est :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
%\A 60&\B 30&\C 90&\D 15&\E 105
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%$\square$~\textbf{M27} le nombre 66 est premier avec 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
%\A 45&\B 111&\C 35&\D 143&\E 105
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%$\square$~\textbf{M28} Le dernier chiffre de $\np{2023}^{\np{2024}}$ est :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
%\A 2&\B 1&\C 7&\D 9&\E 3
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%$\square$~\textbf{M29} On rappelle que $10! = 2 \times 3 \times \ldots  \times 9 \times 10$. On considère les nombres $2 +  10!,\: \ldots, \:  9 + 10!$.
%
%Parmi ces nombres, combien sont premiers ?
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
%\A Aucun &\B Un &\C  Tous &\D Trois & Deux
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M30} Le pgcd des nombres $2.10! + 1$ et $3.10! + 1$ est :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{p{2.5cm}*{4}{X}}
%\A aucune des autres réponses&\B 1 &\C 5 &\D 3 &\E 7
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%$\bigcirc $ \textbf{R3} justifier votre réponse à la question \textbf{M30}.
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M31} Vrai ou Faux?
%
%Tout entier $a \geqslant  4$ est de la forme $3k+1$ ou $3k+2$, où $k$ est un entier naturel.
%
%\begin{center}\A Vrai \qquad  \B Faux\end{center}
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M32} Vrai ou Faux?
%
%Tout entier impair $a \geqslant 1$ est de la forme $4k +1$ ou $4k +3$, où $k$ est un entier naturel.
%
%\begin{center}\A Vrai \qquad  \B Faux\end{center}
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M33} Vrai ou Faux? 
%
%Pour tout entier impair $a \geqslant 1$, le nombre $a^2 - 1$ est divisible par 8.
%
%\begin{center}\A Vrai \qquad  \B Faux\end{center}
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M34} Vrai ou Faux? 
%
%Pour tout entier $a \geqslant 5$ non divisible par $3$, le nombre $a^2 - 1$ est divisible par 24.
%
%\begin{center}\A Vrai \qquad  \B Faux\end{center}
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M35} Combien y a-t-il de nombres premiers $p$ tels que $p - 2$ et $p + 2$ soient premiers ?
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
%\A 0&\B une infinité &\C 4&\D 2&\E 1
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\bigskip
%
%\textbf{\Large Exercice 4. Nombres complexes et trigonométrie}
%
%\medskip
%
%$\square$ \textbf{M36} Soit $z$ un nombre complexe. À partir de l'hypothèse qu'il existe un nombre réel $x$ tel que $z = x\overline{z}$, la conséquence la plus précise que l'on puisse en tirer est :
%
%\medskip
%
%\A $z$ est imaginaire pur
%
%\B l'un des nombres $z$ ou $\text{i}z$ est réel
%
%\C aucune des autres réponses proposées 
%
%\D $z$ est un nombre réel
%
%\E $z$ est de module 1
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M37} Soit $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls, et $n$ un entier naturel non nul. L'affirmation la plus précise que l'on puisse soutenir est :
%
%\medskip
%
%\A $(a + \text{i}b)^n + (a - \text{i}b)^n$ est réel négatif
%
%\B $(a + \text{i}b)^n + (a - \text{i}b)^n$ est imaginaire pur
%
%\C aucune des autres affirmations ne peut être soutenue 
%
%\D $(a + \text{i}b)^n + (a - \text{i}b)^n$ est réel positif 
%
%\E $(a + \text{i}b)^n+ (a - \text{i}b)^n$ est réel
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M38} Soit $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls, et $n$ un entier naturel non nul. L'affirmation la plus précise que l'on puisse soutenir est :
%
%\medskip
%
%\A $(a + \text{i}b)^n - (a - \text{i}b)^n$ est réel
%
%\B $(a + \text{i}b)^n - (a - \text{i}b)^n$ est réel positif
%
%\C aucune des autres affirmations ne peut être soutenue 
%
%\D $(a + \text{i}b)^n - (a - \text{i}b)^n$ est réel négatif
%
%\E $(a + \text{i}b)^n - (a - \text{i}b)^n$ est imaginaire pur
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M39} Soit $n$ un entier naturel non nul. Le nombre complexe $(1 + \text{i})^n + (1 - \text{i})^n$ est systématiquement égal à:
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
%\A $2^n$&\B $\left(\sqrt 2\right)^n \cos \dfrac{n \pi}{4}$&\C $2^n\cos \dfrac{n \pi}{4}$&\D $2\left(\sqrt 2\right)^n \cos \dfrac{n \pi}{4}$&\E $2^{n+1}\cos \dfrac{n \pi}{4}$
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M40} Soit $n$ un entier naturel non nul. La somme
%
%\[\binom{2n}{0} - \binom{2n}{2} + \ldots + (-1)^p \binom{2n}{2p} + \ldots + (-1)^n \binom{2n}{2bn}\] 
%est égale à :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
%\A $2^n \cos \dfrac{n \pi}{2}$&\B $\left(\sqrt 2\right)^{n+2} \cos \dfrac{n \pi}{4}$&\C $2^{2n - 1}$ &\D $\left(\sqrt 2\right)^n \cos \dfrac{n \pi}{4}$&\E $2^{n+1}\cos \dfrac{n \pi}{2}$
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M41} L'ensemble des valeurs prises par $\left|\e^{\text{i} t} - 1\right|$ lorsque $t$ varie dans $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ est :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
%\A $\left]- \sqrt 2~;~\sqrt 2\right[$&\B $\left]0~;~\sqrt 2\right[$&\C ]0~;~1[&\D [0~;~1]&\E $\left[0~;~\sqrt 2\right]$
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M42}  Les complexes $z$ tels que $z^{10} = 1$ et Im$(z) \geqslant 0$ sont au nombre de :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
%\A  4&\B 2 &\C 6&\D 5 &\E 10
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\bigskip
%
%\textbf{\Large Exercice 5. Systèmes de Steiner}
%
%\medskip
%
%On définit la terminologie suivante :
%
%\medskip
%
%\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
%\item Une \textbf{paire} d'un ensemble $E$ est un sous-ensemble de E possédant exactement deux éléments. Par exemple, les ensembles $\{1~;~3\}$ et $\{2~;~ 4\}$ sont des paires de l'ensemble $\{1~;~2~;~3~;~4~;~5\}$.
%
%On rappelle que les ensembles $\{3~;~1\}$ et $\{1~;~3\}$ sont identiques puisqu'ils ont les mêmes éléments.
%\item Un \textbf{triplet} d'un ensemble E est un sous-ensemble de $E$ possédant exactement trois éléments. Par exemple $\{1~;~2~;~4\}$ est un triplet de $\{1~;~2~;~3~;~4~;~5\}$, égal au triplet $\{4~;~2~;~1\}$, au triplet $\{1~;~4~;~2\}$ etc.
%\item Une paire est dite \textbf{incluse} dans un triplet lorsque tout élément de la paire est aussi un élément du triplet. Par exemple $\{1~;~4\}$ est incluse dans $\{1~;~2~;~4\}$ (les éléments 1 et 4 sont tous deux dans $\{1~;~2~;~4\}$), mais $\{1~;~5\}$ n'est pas incluse dans $\{1~;~2~;~4\}$ car 5 appartient à $\{1~;~5\}$ mais pas à $\{1~;~2~;~4\}$.
%Dans tout l'exercice, on note $E_n$ l'ensemble des entiers naturels compris entre 1 et $n$, autrement dit 
%\[E_n = \{1~;~2~;~ \ldots ~;~n\}.\]
%\end{itemize}
%
%\medskip
%
%\textbf{\large Un peu de dénombrement}
%
%\medskip
%
%Dans les questions \textbf{M43}, \textbf{M44} et \textbf{M45}, on considère les 7 sommets d'un heptagone convexe.
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(4.8,3.4)
%\psdots[dotscale=2.2](0,0.7)(0,2)(1.2,3)(3.2,3)(4.2,2.6)(3.2,0.6)(1.3,0)
%\pspolygon(0,0.7)(0,2)(1.2,3)(3.2,3)(4.2,2.6)(3.2,0.6)(1.3,0)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M43} Le nombre de paires de sommets de l'heptagone est:
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X p{4cm} *{3}{X}}
%\A 14&\B aucune des autres réponses proposées&\C 21 &\D 42& \E 13
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M44} Le nombre de paires de sommets de l'heptagone qui ne sont pas côte-à-côte  est:
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{p{4cm}*{4}{X}}
%\A aucune des autres réponses proposées&\B 11 &\C 28&\D  12&\E  14
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M45} Le nombre total de triangles que l'on peut former sur des sommets de l'heptagone et qui n'ont pas de côté commun avec l'heptagone est:
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X p{4cm} *{3}{X}}
%\A 7 &\B aucune des autres réponses proposées&\C 2 &\D21&\E 3
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%$\square$~\textbf{M45}  Soit un entier naturel $n \geqslant 3$. Le nombre de paires de $E_n$ et le nombre de triplets de $E_n$ sont respectivement égaux à :
%
%\medskip
%
%\A  $\dfrac{n(n-1)}{2}$  et $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$
%
%\B $\dfrac{n(n+1)}{2}$  et $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}$
%
%\C $\dfrac{n(n-1)}{2}$  et $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3}$
%
%\D $\dfrac{n(n+1)}{2}$  et $\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$
%
%\E $2^{n-1}$ et $2^{n-2}$
%
%\medskip
%
%$\triangle $ \textbf{L5} Donner tous les entiers $n \geqslant 3$ tels que $E_n$ ait autant de paires que de triplets.
%
%\bigskip
%
%{\large \textbf{Introduction aux systèmes de Steiner}}
%
%\medskip
%
%On considère dans la suite un ensemble fini $E$. Un système de Steiner sur $E$ est un ensemble $T$ tel que:
%
%(i) Les éléments de $T$ sont des triplets de $E$.
%
%(ii) Toute paire $\{i~;~j\}$ de $E$ est incluse dans un et un seul élément de $T$.
%
%Par exemple, pour $E = \{1~;~2~;~3\}$ :
%
%$\bullet~$ l'ensemble $T$ formé de $\{1~;~2~;~3\}$ et $\{1~;~2\}$ n'est pas un système de Steiner car il n'est pas exclusivement constitué de triplets (l'objet $\{1~;~2\}$ de $T$ n'est pas un triplet) ;
%
%$\bullet~$ l'ensemble $T$ formé du seul triplet $\{1~;~2~;~3\}$ est bien un système de Steiner. En effet, $\{1~;~2~;~3\}$ est bien un triplet,
%et toute paire de $\{1~;~2~;~3\}$ est incluse dans $\{1~;~2~;~3\}$, qui est le seul élément de $T$.
%
%Autre exemple, sur $E_4 = \{1~;~2~;~3~;~4\}$, l'ensemble $T$ formé des quatre triplets $\{1~;~ 2~;~3\}, \{1~;~2~;~4\}, \{2~;~3~;~4\}$ et $\{1~;~3~;~4\}$ n'est pas un système de Steiner : bien que toute paire de $E_4$ soit incluse dans l'un de ses éléments (ce que l'on vérifie facilement), la paire $\{1~;~2\}$ est incluse dans plusieurs éléments de $T$.
%
%\medskip
%
%$\square$ \textbf{M47} Sur $E_4$, l'ensemble $T$ formé du seul triplet $\{1~;~2~;~3\}$ :
%
%\medskip
%
%\A n'est pas un système de Steiner car au moins une paire de $E_4$ n'est incluse dans aucun élément de $T$
%
%\B n'est pas un système de Steiner car $T$ n'est pas constitué uniquement de triplets
%
%\C n'est pas un système de Steiner car au moins une paire de $E_4$ est incluse dans plusieurs éléments de $T$ 
%
%\D est un système de Steiner
%
%\E n'est pas un système de Steiner car n'importe quelle paire de $E_4$ est incluse dans plusieurs éléments de $T$
%
%\medskip
%
%$\square$ \textbf{M48} Sur $E_4$, l'ensemble $T$ formé des triplets $\{1~;~2~;~3\}, \{1~;~2~;~4\}$ et $\{2~;~3~;~4\}$ :
%
%\medskip
%
%\A n'est pas un système de Steiner car au moins une paire de $E_4$ est incluse dans plusieurs éléments de $T$ 
%
%\B n'est pas un système de Steiner car n'importe quelle paire de $E_4$ est incluse dans plusieurs éléments de $T$
%
%\C n'est pas un système de Steiner car $T$ n'est pas constitué uniquement de triplets
%
%\D est un système de Steiner
%
%\E n'est pas un système de Steiner car au moins une paire de $E_4$ n'est incluse dans aucun élément de $T$
%
%\bigskip
%
%\textbf{\large Vrai ou faux ?}
%
%\medskip
%
%$\square$ \textbf{M49}  Il existe un et un seul système de Steiner sur $E_3$.
%
%\begin{center} \A Faux\qquad \B Vrai \end{center}
%
%\medskip
%
%$\square$ \textbf{M50} Il existe un système de Steiner sur $E_4$.
%
%\begin{center} \A Vrai\qquad \B Faux \end{center}
%
%\medskip
%
%$\square$ \textbf{M51} Il existe un système de Steiner sur $E_5$.
%
%\begin{center} \A Faux\qquad \B Vrai \end{center}
%
%\medskip
%
%$\bigcirc$ \textbf{R4} Justifier votre réponse à la question \textbf{M51}.
%
%\medskip
%
%$\square$ \textbf{M52} Pour obtenir un système de Steiner sur $E_7$, quels triplets adjoindre aux triplets 
%
%$\{1~;~2~;~3\}, \{1~;~6~;~7\}, \{2~;~4~;~6\}, \{3~;~4~;~7\}$ et $\{3~;~5~;~6\}$ ?
%
%\medskip
%
%\A $\{2~;~4~;~5\}$ et $\{1~;~5~;~7\}$
%
%\B aucune des autres réponses proposées ne convient 
%
%\C $\{2~;~5~;~7\}$ et $\{1~;~4~;~5\}$
%
%\D $\{2~;~5~;~7\}$ et $\{1~;~5~;~6\}$
%
%\E $\{2~;~5~;~6\}$ et $\{1~;~4~;~7\}$
%
%\bigskip
%
%\textbf{\large Une construction sur un carré}
%
%\medskip
%
%On se place dans un plan euclidien, muni d'un repère orthonormal. On considère un carré représenté par le dessin suivant :
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(2.4,2.4)
%\psframe(2.2,2.2)
%\psdots[dotscale=2](0,0)(0,1.1)(0,2.2)(1.1,2.2)(1.1,1.1)(1.1,0)(2.2,0)(2.2,1.1)(2.2,2.2)
%\uput[dl](0,0){$A$} \uput[l](0,1.1){$M_1$} \uput[ul](0,2.2){$A$} 
%\uput[u](1.1,2.2){$M_1$} \uput[u](1.1,1.1){$\Omega$} \uput[d](1.1,0){$M_3$} 
%\uput[dr](2.2,0){$C$} \uput[r](2.2,1.1){$M_2$} \uput[ur](2.2,2.2){$B$} 
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%On note $E$ l'ensemble constitué des sommets du carré, des milieux des côtés, et du centre du carré. Ces points sont représentés par des pastilles $\bullet$ sur le dessin.
%
%On forme :
%
%\begin{itemize}[label=$\bullet$]
%\item l'ensemble $T_c$ des triplets constitués de trois points de E alignés sur une droite parallèle à l'un des côtés du carré;
%\item l'ensemble $T_d$ constitués des deux diagonales $\{A~;~\Omega~;~C\}$ et $\{B~;~\Omega~;~D\}$.
%\end{itemize}
%
%On réunit ces deux ensembles de triplets pour former un ensemble $T$.
%
%\medskip
%
%$\square$ \textbf{M53} L'ensemble $T$ n'est pas un système de Steiner sur $E$ parce que : 
%
%\medskip
%
%\A $T$ n'est pas constitué uniquement de triplets
%
%\B aucune paire de $E$ n'est incluse dans au moins un élément de $T$
%
%\C toutes les paires de $E$ sont incluses dans plusieurs éléments de $T$ 
%
%\D au moins une paire de $E$ n'est incluse dans aucun élément de $T$
%
%\E au moins une paire de $E$ est incluse dans plusieurs éléments de $T$
%
%\medskip
%
%$\triangle $ \textbf{L6} Quels triplets rajouter à $T$ pour obtenir un système de Steiner sur $E$ ?
%
%On obtient ainsi plus généralement la construction suivante : étant donné deux triplets $A = \{x_1~;~x_2~;~x_3\}$ et $B = \{y_1~;~y_2~;~y_3\}$ de nombres, on considère l'ensemble $E$ des points du plan dont l'abscisse est dans $A$, et l'ordonnée dans $B$. Alors $E$ possède un système de Steiner, et mieux il existe un système de Steiner sur $E$ contenant, entre autres :
%
%\begin{itemize}[label=$\bullet$]
%\item tous les triplets de points de $E$ alignés sur une même droite horizontale ;
%\item tous les triplets de points de $E$ alignés sur une même droite verticale.
%\end{itemize}
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7.5,4.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(7.5,4.5)
%\uput[d](1,0){$x_1$} \uput[d](2.7,0){$x_2$} \uput[d](5,0){$x_3$} 
%\uput[l](0,1.1){$y_1$}\uput[l](0,1.6){$y_2$}\uput[l](0,2.8){$y_3$}
%\psline[linestyle=dashed](1.1,0)(1.1,2.8)
%\psline[linestyle=dashed](2.7,0)(2.7,2.8)
%\psline[linestyle=dashed](5,0)(5,2.8)
%\psline[linestyle=dashed](0,1.1)(5,1.1)
%\psline[linestyle=dashed](0,1.6)(5,1.6)
%\psline[linestyle=dashed](0,2.8)(5,2.8)
%\psdots[dotscale=1.8](1.1,1.1)(1.1,2.8)(2.7,2.8)(5,1.6)(5,1.1)(5,2.8)(1.1,1.6)(2.7,1.6)(5,1.1)(2.7,1.1)(1.1,1.6)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%$\square$ \textbf{M54} Ce qui précède permet d'affirmer :
%
%\medskip
%
%\A qu'aucune des autres affirmations n'est vraie
%
%\B qu'aucun ensemble fini de cardinal 9 ne possède de système de Steiner
%
%\C que tout ensemble fini de cardinal 9 possède un système de Steiner
%
%\D que certains ensembles finis de cardinal 9 possèdent un système de Steiner, mais peut-être pas tous
%
%\medskip
%
%\textbf{Une idée séduisante}
%
%\medskip
%
%Pour une certaine valeur de l'entier $n \geqslant 6$, Jean-Pascal cherche à construire un système de Steiner sur $E_n$. On suppose qu'il a déjà réussi :
%
%\begin{itemize}[label=$\bullet$]
%\item à partager $E_n$ en deux sous-ensembles $A$ et $B$, tous deux non vides, et sans élément commun ;
%\item à construire, avec quelque effort, un système de Steiner $T$ sur $A$ et un système de Steiner $T'$ sur $B$.
%\end{itemize}
%
%Il réunit les deux systèmes, c'est-à-dire qu'il prend tous les triplets qui sont soit dans $T$ soit dans $T'$. Il obtient ainsi un ensemble $T \cup T'$ de triplets de $E_n$.
%
%\medskip
%
%$\square$ \textbf{M55} L'ensemble $T \cup T'$ n'est pas un système de Steiner sur $E_n$ parce que :
%
%\medskip
%
%\A au moins une paire de $E_n$ est incluse dans plusieurs éléments de $T \cup T'$
%
%\B $T \cup T'$ n'est pas constitué uniquement de triplets
%
%\C au moins une paire de $E_n$ n'est incluse dans aucun élément de $T \cup T'$
%
%\D toutes les paires de $E_n$ sont incluses dans plusieurs éléments de $T \cup T'$
%
%\medskip
%
%Jean-Pascal a bien compris que sa construction n'est pas suffisante. Il va donc tenter de la modifier, soit en retirant des triplets à $T \cup T'$, soit en rajoutant des triplets à $T \cup T'$.
%
%\medskip
%
%$\square$ \textbf{M56} Laquelle des affirmations suivantes est vraie ?
%
%\A Il est possible, pour au moins un jeu de données $n, A, B, T, T'$, d'obtenir un système de Steiner sur $E_n$ à partir de $T \cup T'$ en rajoutant certains triplets bien choisis.
%
%\B Il est possible, pour au moins un jeu de données $n, A, B, T, T'$, d'obtenir un système de Steiner sur $E_n$ à partir de $T \cup T'$ en retirant certains triplets bien choisis 
%
%\C Aucune des autres réponses n'est correcte
%
%\medskip
%
%$\triangle$ \textbf{R5} Justifier votre réponse à la question \textbf{M56}.
%
%\medskip
%
%\textbf{Une autre idée séduisante}
%
%\medskip
%
%Jean-Pascal considère maintenant la situation suivante. Il prend deux entiers naturels $n \geqslant 3$ et $p \geqslant 3$ pour lesquels il a réussi à construire un système de Steiner $T_n$ sur $E_n$ et un système de Steiner $T_p$ sur $E_p$. Il considère l'ensemble $F$ des points du plan dont l'abscisse $x$ est dans $E_n$ et l'ordonnée $y$ dans $E_p$. Il espère construire un système de Steiner sur $F$.
%
%\smallskip
%
%$\square$ \textbf{M57} Si Jean-Pascal parvient à ses fins, il saura qu'il existe un système de Steiner sur $E_N$ pour $N$ égal à :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
%\A $n + p$	& \B $np$	& \C $n^p$	&\D {\footnotesize aucun des autres nombres indiqués, en général}	&\E $p^n$
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%Jean-Pascal regroupe alors tous les triplets suivants :
%
%\medskip
%
%(i) ceux qui sont formés de trois points ayant la même abscisse, et les ordonnées appartiennent à un même triplet du système de Steiner $T_p$ ;
%
%(ii) ceux qui sont formés de trois points ayant la même ordonnée, et les abscisses appartiennent à un même triplet du système de Steiner $T_n$ ;
%
%(iii) enfin, pour chaque triplet $A$ dans $T_n$ et chaque triplet $B$ dans $T_p$, il prend tous les triplets d'un système de Steiner décrit à partir de $A$ et $B$ entre les questions \textbf{L6} et \textbf{M54}.
%
%Il forme ainsi un ensemble de triplets qu'il note $T$. Jean-Pascal prétend alors que $T$ est un système de Steiner sur $F$.
%
%Voici son raisonnement:
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%Soit $\{M,~ N\}$ une paire de $F$.\\
%Étape 1 : les points $M$ et $N$ sont différents, donc leurs coordonnées respectives $(x~;~y)$ et $(x'~;~ y')$ vérifient $x =1- x'$ et $y =1 - y'$.\\
%Étape 2 : Puisque $\{x~;~ x'\}$ est une paire de $E_n$, on la rentre dans un unique triplet $A$ du système $T_n$.\\
%Étape 3 : Puisque $\{y~;~y'\}$ est une paire de $E_p$, on la rentre dans un unique triplet $B$ du système $T_p$.\\
%Étape 4: La paire $\{M~;~N\}$ est alors incluse dans un unique triplet construit à partir de $A$ et $B$ (point (iii) ci-dessus).\\
%Étape 5 : La paire $\{M~;~N\}$ est alors incluse dans un unique élément du système $T$.\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%Chacune de ces étapes, \emph{en admettant la validité des précédentes}, est soit juste, soit fausse, soit incomplète car l'affirmation ne découle pas de manière immédiate de la situation (il manque une justification).
%
%\medskip
%
%$\square$ \textbf{M58} L'étape 1 est :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\A juste &\B fausse& \C  incomplète
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%$\square $ \textbf{M59} En admettant la validité des étapes précédentes, l'étape 2 est : 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\A incomplète &\B juste&\C fausse
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%$\square $ \textbf{M60} En admettant la validité des étapes précédentes, l'étape 3 est: 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\A incomplète &\B fausse&\C juste
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%$\square $ \textbf{M61} En admettant la validité des étapes précédentes, l'étape 4 est: ~ 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\A incomplète &\B juste&\C fausse
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%$\square $ \textbf{M62} En admettant la validité des étapes précédentes, l'étape 5 est: 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\A juste &\B incomplète&\C fausse
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\bigskip
%
%\textbf{\large Une question de cardinal}
%
%\medskip
%
%On suppose dans cette partie que $E_n$ possède un système de Steiner
%
%\medskip
%
%$\square $ \textbf{M63}  Le nombre de paires de $E_n$ qui contiennent 1 et le nombre de triplets dans $T$ qui contiennent 1 sont respectivement égaux à :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\A {\footnotesize aucune des autres réponses proposées, en général}&\B $n$ et $\dfrac{n(n - 1)}{2}$&\C $n - 1$ et $\dfrac{n + 1}{3}$\\
%\D $n - 1$ et $\dfrac{n + 2}{3}$ &\E $n - 1$ et $\dfrac{n - 1}{2}$& \\
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%$\square $ \textbf{M64} Le nombre de triplets qui composent le système de Steiner $T$ vaut:
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
%\A $\dfrac{n+2}{3}$ &\B $\dfrac{n - 1}{2}$ &\C $\dfrac{n + 1}{2}$ &\D $\dfrac{n(n - 1)}{6}$ &\E $n - 1$ \end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%$\triangle$ \textbf{L7} Donner, au vu de ce qui précède, les restes possibles dans la division euclidienne de $n$ par 3.
%
%\medskip
%
%$\square $ \textbf{M65} Les restes possibles dans la division euclidienne de $n$ par 6 sont :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
%\A 1 et 3 &\B 0, 1 et 3 &\C 1, 3 et 5 &\D 1, 2 et 3& \E 1, 3 et 4 
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%$\square $ \textbf{M66} On peut affirmer que tout diviseur premier de $n$ est congru modulo 6 à :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
%\A 1, 3 ou 0 &\B 1, 3 ou $-1$&\C 1, $- 1$, ou 0&\D $- 1$ ou 3 &\E 1 ou 3
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%$\square$~\textbf{M67} Au vu du reste de l'exercice, quel est le plus grand des nombres $p$ suivants pour lequel la question de l'existence d'un système de Steiner sur $E_p$ reste en suspens ?
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{X}}
%\A 49 & \B 15 &\C 21 &\D 62 &\E 25
%\end{tabularx}
%\end{center}
\end{document}