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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{13 mars 2023}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Polynésie 13 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 4 points \hfill Thème: probabilités}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées indépendamment}

\medskip

Les utilisateurs de vélo d'une ville sont classés en deux catégories disjointes:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]ceux qui utilisent le vélo dans leurs déplacements professionnels ;
\item[$\bullet~~$]ceux qui utilisent le vélo uniquement pour leurs loisirs.
\end{itemize}

\medskip

Un sondage donne les résultats suivants:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]21\,\% des utilisateurs ont moins de 35 ans.

Parmi eux, 68\,\% utilisent leur vélo uniquement pour leurs loisirs alors que les autres l'utilisent dans leurs déplacements professionnels ;
\item[$\bullet~~$]parmi les 35 ans ou plus, seuls 20\,\% utilisent leur vélo dans leurs déplacements professionnels, les autres l'utilisent uniquement pour leurs loisirs.
\end{itemize}

On interroge au hasard un utilisateur de vélo de cette ville.

Dans tout l'exercice on considère les évènements suivants:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$J$ : \og la personne interrogée a moins de 35 ans \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$T$ : \og la personne interrogée utilise le vélo dans ses déplacements professionnels \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$\overline{J}$ et $\overline{T}$ sont les évènements contraires de $J$ et $T$.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la personne interrogée ait moins de $35$~ans et utilise son vélo dans ses déplacements professionnels.

\emph{On pourra s'appuyer sur un arbre pondéré.}
\item Calculer la valeur exacte de la probabilité de $T$.
\item On considère à présent un habitant qui utilise son vélo dans ses déplacements professionnels.

Démontrer que la probabilité qu'il ait moins de 35 ans est $0,30$ à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse uniquement aux personnes utilisant leur vélo dans leurs déplacements professionnels.

\medskip

On admet que 30\,\% d'entre elles ont moins de $35$~ans.

On sélectionne au hasard parmi elles un échantillon de $120$~personnes auxquelles on va soumettre un questionnaire supplémentaire. 

On assimile la sélection de cet échantillon à un tirage aléatoire avec remise.

\medskip

On demande à chaque individu de cet échantillon son âge.

\medskip

X représente le nombre de personnes de l'échantillon ayant moins de $35$~ans.

\medskip

\emph{Dans cette partie, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
\item Calculer la probabilité qu'au moins $50$ utilisateurs de vélo parmi les $120$ aient moins de $35$~ans.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 5 points \hfill Thème: géométrie dans l'espace}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormée \Oijk.

On considère:
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$d_1$ la droite passant par le point H(2~;~3~;~0) et de vecteur directeur $\vect{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix}$ ;
\item[$\bullet~~$]$d_2$  la droite de représentation paramétrique :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 2k - 3\\
y &=&k\\
z &=&5
\end{array}\right. \quad \text{où }\:k \:\text{décrit }\: \R.\]
\end{itemize}

\medskip

Le but de cet exercice est de déterminer une représentation paramétrique d'une droite $\Delta$ qui soit perpendiculaire aux droites $d_1$ et $d_2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un vecteur directeur $\vect{v}$ de la droite $d_2$. 
		\item Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles. 
		\item Démontrer que les droites $d_1$ et $d_2$  ne sont pas sécantes. 
		\item Quelle est la position relative des droites $d_1$ et $d_2$ ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le vecteur $\vect{w}\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}$ est orthogonal à $\vect{u}$ et à $\vect{v}$.
		\item On considère le plan $P$ passant par le point H et dirigé par les vecteurs $\vect{u}$ et $\vect{w}$.
		
On admet qu'une équation cartésienne de ce plan est :
\[5x + 4y - z - 22 = 0.\]

Démontrer que l'intersection du plan $P$ et de la droite $d_2$ est le point M(3~;~3~;~5).
	\end{enumerate}
\item Soit $\Delta$ la droite de vecteur directeur $\vect{w}$ passant par le point M. 

Une représentation paramétrique de $\Delta$ est donc donnée par:

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&- r + 3 \\
y &= &2r + 3\\
z &=& 3r + 5
\end{array}\right. \quad \text{où }\:r\: \text{décrit }\R.\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les droites $\Delta$ et $d_1$ sont perpendiculaires
en un point L dont on déterminera les coordonnées.
		\item Expliquer pourquoi la droite $\Delta$ est solution du problème posé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 5 points \hfill Thème: fonction exponentielle, algorithmique}

\medskip

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. 

Chaque réponse doit être justifiée. 

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation :} La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \text{e}^x - x$ est convexe.
\item \textbf{Affirmation :} L'équation $\left(2\text{e}^x - 6\right)\left(\text{e}^x + 2\right) = 0$ admet $\ln (3)$ comme unique solution dans $\R$.
\item \textbf{Affirmation :}
\[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^{2x} - 1}{\text{e}^x - x} = 0.\]

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (6x + 5)\text{e}^{3x}$ et $F$ la fonction définie sur $\R$ par : 

$F(x) = (2x + 1)\text{e}^{3x} + 4$.

\textbf{Affirmation :} $F$ est la primitive de $f$ sur $\R$ qui prend la valeur 5 quand $x = 0$.
\item On considère la fonction \texttt{mystere} définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre.

On rappelle que \texttt{len}(L) représente la longueur de la liste L.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{def mystere(L)} :\\
	\quad  S $= 0$\\
	\quad \textbf{for} i in range(\texttt{len}(L)) :\\
	\quad \qquad S = S + L[i]\\
	\quad \textbf{return} S / \texttt{len}(L)\\ \hline
	\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Affirmation :} L'exécution de \texttt{mystere}([1, 9, 9, 5, 0, 3, 6,  12, 0, 5]) renvoie $50$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 6 points \hfill Thème: suites, fonctions}

\medskip

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = - 1$ et, pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+1} = 0,9u_n - 0,3.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout $n \in \N$,\: $u_n  = 2 \times 0,9^n - 3$.
		\item En déduire que pour tout $n \in \N,\: \: - 3 < u_n \leqslant - 1$.
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$  est strictement décroissante.
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge et préciser sa limite.
	\end{enumerate}
\item On se propose d'étudier la fonction $g$ définie sur $]-3~;~-1]$ par : 
\[g(x) = \ln (0,5 x + 1,5) - x.\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier toutes les informations données par le tableau de variations de la fonction $g$ (limites, variations, image de $-1$)
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(8.5,3.5)
\psframe(8.5,3.5)\psline(0,3)(8.5,3)\psline(2.5,0)(2.5,3.5)
\uput[u](1.25,2.9){$x$} \uput[u](2.7,2.9){$-3$} \uput[u](5.5,2.9){$-2$}\uput[u](8.2,2.9){$-1$} \uput[d](5.5,3){$g(-2)$}\uput[u](3.15,0){$- \infty$}\uput[u](8.3,0){$1$}
\rput(1.25,1.5){Variations de $g$}
\psline(2.65,0)(2.65,3)\psline(2.75,0)(2.75,3)
\psline{->}(3.2,0.5)(5.2,2.5)\psline{->}(5.8,2.5)(8.2,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
		\item En déduire que l'équation $g(x) = 0$ a exactement une solution que l'on
notera $\alpha$ et dont on donnera un encadrement d'amplitude $10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\item Dans la suite de l'exercice, on considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout $ \in \N$, par :
\[v_n = \ln \left(0,5 u_n + 1,5\right).\]
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la formule donnée à la question \textbf{1. a.}, démontrer que la suite v est arithmétique de raison $\ln (0,9)$.
		\item Soit $n$ un entier naturel.
		
Démontrer que $u_n = v_n$ si, et seulement si $g\left(u_n\right) = 0$.
		\item Démontrer qu'il n'existe aucun rang $k \in \N$ pour lequel $u_k = \alpha$.
		\item En déduire qu'il n'existe aucun rang $k \in \N$ pour lequel $v_k = u_k$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}