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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Polynésie Sujet 2 14 mars 2023},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{14 mars 2023}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Polynésie 14 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \quad 5 points \hfill Thème: probabilités, suites}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées indépendamment}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
Chaque jour, un athlète doit sauter une  haie en fin d'entraînement. Son entraîneur estime, au vu de la saison précédente que

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]si l'athlète franchit la haie un jour,  alors il la franchira dans $90\,\%$ des cas le jour suivant ;
\item[$\bullet~~$]si l'athlète ne franchit pas la haie un jour, alors dans $70\,\%$ des cas il ne la franchira pas non plus le lendemain.
\end{itemize}

On note pour tout entier naturel $n$ :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$R_n$ l'évènement : \og L'athlète réussit à franchir la haie lors de la $n$-ième séance \fg,
\item[$\bullet~~$]$p_n$ la probabilité de l'évènement $R_n$. On considère que $p_0 = 0,6$.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel, recopier l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les
pointillés.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R_n$~}\taput{$p_n$}}
{\TR{$R_{n+1}$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{R_{n+1}}$}\tbput{\ldots}
}
\pstree{\TR{$\overline{R_n}$~}\tbput{$1 - p_n$}}
{\TR{$R_{n+1}$}\taput{\ldots}
\TR{$\overline{R_{n+1}}$}\tbput{\ldots}
}
}
\end{center}
\item Justifier en vous aidant de l'arbre que, pour tout entier naturel $n$, on a :
\[p_{n+1} = 0,6p_n + 0,3.\]

\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = p_n - 0,75$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
		\item Démontrer que, pour tout entier $n$ naturel $n$ :
		\[p_n = 0,75 - 0,15 \times  0,6^n.\]
		
		\item En déduire que la suite $\left(p_n\right)$ est convergente et déterminer sa limite $\ell$.
		\item Interpréter la valeur de $\ell$ dans le cadre de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Apres de nombreuses séances d'entraînement, l'entraineur estime maintenant que l'athlète franchit chaque haie avec une probabilité de $0,75$ et ce indépendamment d'avoir franchi ou non les haies précédentes.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de haies franchies par l'athlète à l'issue d'un $400$~mètres haies qui comporte $10$~haies,

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser la nature et les paramètres de la loi de probabilité suivie par $X$.
\item Déterminer, à $10^{-3}$ près, la probabilité que l'athlète franchisse les $10$~haies.
\item Calculer $p(X \geqslant 9)$, à $10^{-3}$ près,
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \quad 5 points \hfill Thème: géométrie dans l'espace}

\medskip

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. 

On considère :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]le point A$(1~;~-1~;~-1)$ ;
\item[$\bullet~~$]le plan $\mathcal{P}_1$, d'équation : $5x +2y + 4z= 17$ ;
\item[$\bullet~~$]le plan $\mathcal{P}_2$ d'équation : $10x+ 14y + 3z = 19$;
\item[$\bullet~~$]la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1+2t\\
y &=& - t\\ 
z&=&3-2t
\end{array}\right. \quad \text{où } \:t \:\text{décrit } \R.\]
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Justifier que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ ne sont pas parallèles.
\item Démontrer que $\mathcal{D}$ est la droite d'intersection de $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que A n'appartient pas à $\mathcal{P}_1$.
		\item Justifier que A n'appartient pas à $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item  Pour tout réel $t$, on note $M$ le point de $\mathcal{D}$ de coordonnées $(1 +2t~;~-t~;~3 - 2t)$.

On considère alors la fonction $f$ qui à tout réel $t$ associe A$M^2$, soit $f(t) = \text{A}M^2$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $t$, on a: $f(t) = 9t^2 - 18t + 17$.
		\item Démontrer que la distance AM est minimale lorsque $M$ a pour
coordonnées $(3~;~-1~;~1)$.
	\end{enumerate}
\item  On note H le point de coordonnées $(3~;~-1~;~1)$.

Démontrer que la droite (AH) est perpendiculaire à $\mathcal{D}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \quad 5 points \hfill Thème: étude de fonctions}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} peuvent être traitées indépendamment}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le plan  est ramené à un repère orthogonal.

On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$, ainsi que celle de sa dérivée $f'$ et de sa dérivée seconde $f''$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2.pt,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.5,-4.05)(8,5.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,-4)(8,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(0,-3.95)(8,5)
\psline[linewidth=4.pt](-3.320081944682136,4.772338854767012)(-1.5600159659972166,4.772338854767012)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=red,plotpoints=2000]{0}{8}{4.0/(1.0+2.718281828^(-3.0*x+12.0))}\uput[r](5,3.6){\red $\mathcal{C}_2$}
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{0}{8}{4.0*3.0*2.71828^(-3.0*x+12.0)/(2.0*2.71828^(-3.0*x+12.0)+(2.71828^(-3.0*x+12.0))^(2.0)+1.0)}\uput[r](5,0.6){\blue $\mathcal{C}_3$}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=2000]{0}{8}{(-4.0*3.0^(2.0)*2.71828^(-3.0*x+12.0)+4.0*3.0^(2.0)*(2.71828^(-3.0*x+12.0))^(2.0))/(3.0*2.71828^(-3.0*x+12.0)+(2.71828^(-3.0*x+12.0))^(3.0)+3.0*(2.71828^(-3.0*x+12.0))^(2.0)+1.0)}\uput[r](5,-1.6){$\mathcal{C}_1$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.
\item Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$ au point d'abscisse 4.
\item Donner avec la précision permise par le graphique, l'abscisse de chaque point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit un réel $k$ strictement positif.

On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par:
\[g(x) = \dfrac{4}{1 + \text{e}^{- kx}}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $-\infty$,
\item  Prouver que $g'(0) = k$.
\item  En admettant le résultat ci-dessous obtenu avec un logiciel de calcul formel,
prouver que la courbe de $g$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse 0.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c l|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{$\triangleright$ Calcul formel}\\ \hline
&g(x) =4/(1 + e{}\^{}(-kx))\\
1&\\
&$\to g(x) = \dfrac{4}{\text{e}^{-kx} + 1}$\\ \hline
&Simplifier$(g''(x))$\\
2&\\
&$\to g''(x) = - 4\text{e}^{kx}\left(\text{e}^{kx} - 1\right)\dfrac{k^2}{\left(\text{e}^{kx} + 1 \right)^3}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \quad 5 points \hfill Thème: suites, fonction logarithme, algorithmique}

\medskip

\emph{Pour  chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Chaque
réponse doit être justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation :} La suite $u$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = \dfrac{(- 1)^n}{n + 1}$ est bornée.
\item \textbf{Affirmation :} Toute suite bornée est convergente.
\item \textbf{Affirmation :} Toute suite croissante tend vers $+\infty$.
\item Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + 2x + 2\right)$.

\textbf{Affirmation :} La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[-3~;~1]$.
\item On considère la fonction {\ttfamily \textbf{mystere}} définie ci-dessous qui prend une liste L de nombres en paramètre. 

On rappelle que \texttt{len}(L) renvoie la longueur, c'est-à-dire
le nombre d'éléments de la liste L.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\ttfamily}l|}\hline
 def \textbf{mystere}(L) :\\
\qquad M = L[0]\\
\qquad \# \emph{On initialise M avec le premier élément de la liste }L\\
\qquad for i in range(len(L)) : \\
\qquad \quad if L[i] > M :\\
\qquad \qquad M = L[i]\\
\qquad return M \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\textbf{Affirmation :} L'exécution de {\ttfamily \textbf{mystere}( [2, 3, 7,0 ,6, 3, 2, 0, 5])} renvoie 7.
\end{enumerate}
\end{document}