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%Tapuscrit : Denis Verg\`es Denis.Verges@wanadoo.fr
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\begin{document}
\rhead{\small Bac blanc ann\'ee 2006}%tapez un titre
\begin{center} {\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat blanc S -- 4 heures~\decofourright\\ Lyc\'ee Pierre Mend\`es-France - Tunis
 2007 }}

\vspace{0,5cm}

L'utilisation de la calculatrice est autorisée \end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 :\hfill 4 points}\\
Cet exercice constitue une restitution organisée de connaissances.

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Partie A : question de cours}\\
On suppose connus les résultats suivants :
\begin{enumerate}
\item  Deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont adjacentes lorsque l'une est croissante, l'autre est décroissante
et la diff\'erence $u_{n} - v_{n}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\item  si $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont deux suites adjacentes telles que $\left(u_{n}\right)$ est croissante et $\left(v_{n}\right)$ est décroissante,
alors pour tout $n$ appartenant à $\N$, on a $u_{n} \leqslant  v_{n}$.
\item  Toute suite croissante et majorée est convergente ;
toute suite décroissante et minorée est convergente.
\end{enumerate}
Démontrer alors la proposition suivante :\\
Deux suites adjacentes sont convergentes et elles ont la même limite.
 
\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Partie B}\\
On considère une suite $\left(u_{n}\right)$, d\'efinie sur $\N$ dont aucun terme n'est égal à $-3$.\\
On d\'efinit alors la suite $\left(v_{n}\right)$ sur $\N$ par $v_{n} =   \dfrac{- 2}{3 + u_{n}}$.\\
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration
pour la réponse indiquée.\\
 Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à
fournir un contre exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point.
\begin{enumerate}
\item Si $\left(u_{n}\right)$ est convergente, alors $\left(v_{n}\right)$ est convergente.
\item  Si $\left(u_{n}\right)$ est minorée par $-1$, alors $\left(v_{n}\right)$ est minorée par $-1$.
\item  Si $\left(u_{n}\right)$ est décroissante, alors $\left(v_{n}\right)$ est croissante.
\item  Si $\left(u_{n}\right)$ est divergente, alors $\left(v_{n}\right)$ est divergente.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 :\hfill 5 points}\\
Pour tout réel $k$ strictement positif, on considère la fonction $f_{k}$ d\'efinie sur $[0~ ;~+\infty[$ par
\[f_{k}(x) = \ln \left(\text{e}^x + k x\right) - x.\]
On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij, unités graphiques : 5 cm en abscisses et 10 cm en ordonnées.
\begin{enumerate}
\item  En étudiant le sens de variation d'une fonction convenablement choisie, démontrer que
pour tout réel positif $x,~
\ln(1 + x)  \leqslant  x$.
\item  Calculer $f'_{k}(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~ ;~+\infty[$ et en déduire le sens de variation de la fonction $f_{k}$.
\item  Montrer que pour tout réel positif $x,$
\[f_{k}(x) = \ln \left(1 + k\dfrac{x}{\text{e}^x}\right).\]
En déduire la limite de $f_{k}$ en $+\infty$.
\item  \begin{enumerate}
\item  Dresser le tableau de variations de $f_{k}$.
\item  Montrer que pour tout réel positif $x,$
\[ f_{k}(x)  \leqslant \dfrac{k}{\text{e}}.\]
\end{enumerate}
\item  Déterminer une équation de la tangente $T_{k}$ à la courbe $\mathcal{C}_{k}$ au point O.
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}_{1}$ ainsi que sa tangente en O.
 \end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 3 :\hfill 6 points}\\
Le plan est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).\\
On considère les points A, B et C d'affixes respectives
\[z_{\text{A}} = -1 + \text{i}\sqrt{3},~ z_{\text{B}} = -1 - \text{i}\sqrt{3}~ \text{et} ~ z_{\text{C}} = 2.\]
\begin{enumerate}
\item  Placer ces points sur un dessin.
\item  \begin{enumerate}
\item  V\'erifier que $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
\item  En déduire la nature du triangle ABC.
\item  Déterminer le centre et le rayon du cercle $\Gamma_{1}$ circonscrit au triangle ABC.
Tracer le cercle $\Gamma_{1}$.
 \end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Établir que l'ensemble $\Gamma_{2}$ des points $M$ d'affixe $z$ qui v\'erifient
\[2\left(z + \overline{z}\right) + z\overline{z} = 0\]
est un cercle de centre $\Omega$
 d'affixe $-2$. Préciser son rayon. Construire $\Gamma_{2}$.
\item  V\'erifier  que les points A et B sont éléments de $\Gamma_{2}$.
\end{enumerate}
\item  On appelle $r_{1}$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
\begin{enumerate}
\item  Quelles sont les images des points A et B par la rotation $r_{1}$ ?
Construire l'image C$_{1}$ du point C par la rotation $r_{1}$ puis calculer son affixe.
\item  Déterminer l'image du cercle $\Gamma_{2}$ par la rotation $r_{1}$.
 \end{enumerate}
\item  Soit $r$ une rotation. Pour tout point $M$ d'affixe $z$, on note $M'$ l'image de $M$ par $r$ et $z'$
l'affixe de $M'$.\\
On posera : $z' = az + b$, avec $a$ et $b$ des nombres complexes v\'erifiant $|a| = 1$ et 
$a \neq 1$.\\
On suppose que $r$ transforme le cercle $\Gamma_{2}$ en le cercle $\Gamma_{1}$.
\begin{enumerate}
\item  Quelle est l'image du point $\Omega$ par $r$ ? En déduire une relation entre $a$ et $b$.
\item  Déterminer en fonction de $a$ l'affixe du point $r$(C), image du point C
par la rotation $r$.\\
En déduire que le point $r$(C) appartient à un cercle  fixe   que l'on d\'efinira.\\
V\'erifier que ce cercle passe par C$_{1}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 4 :\hfill 5 points}\\
Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité mathématiques.\\
On étudie le mouvement aléatoire d'une puce. Cette puce se déplace sur trois cases notées A,
B et C. Soit $n$ un entier naturel. \`A l'instant initial $n = 0$, la puce se trouve en A.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  Si à l'instant $n$ la puce est en A, alors à l'instant $(n+1)$, elle est soit en B avec une probabilité égale à $\dfrac{1}{3}$, soit en C avec une probabilité égale à $\dfrac{2}{3}$.
\item[$\bullet~$] Si à l'instant $n$ la puce est en B, alors à l'instant $(n + 1)$, elle est soit en A, soit en C de façon équiprobable.
\item[$\bullet~$] Si à l'instant $n$ la puce est en C, alors elle y reste.
\end{itemize}

\noindent On désigne par A$_{n}$ (resp. B$_{n}$ et C$_{n}$) l'év\`enement : à l'instant $n$ la puce est en A (resp. B et C).\\
On pose  $a_{n} = P(\text{A}_{n}),~ b_{n} = P(\text{B}_{n})$ et $c_{n} = P(\text{C}_{n})$.\\
On a donc $a_{0} = 1,~ b_{0} = 0$ et $c_{0} = 0$.\\
Pour traiter cet exercice, on pourra s'aider d'arbres pondérés.
\begin{enumerate}
\item  Étude du mouvement pour $1 \leqslant n \leqslant 3$.
\begin{enumerate}
\item  Donner $a_{1},~ b_{1}$ et $c_{1}$. Calculer $a_{1} + b_{1} + c_{1}$.
\item  \`A l'instant $n = 2$, dans quelles cases la puce peut-elle se trouver ?\\
Déterminer $a_{2} , b_{2}$ et $c_{2}$.
\item  À l'instant $n = 3$, dans quelles cases la puce peut-elle se trouver ?\\
En déduire $a_{3}$ . Calculer $b_{3}$ et v\'erifier que $c_{3} = \dfrac{17}{18}$.
\end{enumerate}
\item  Étude du cas général.
\begin{enumerate}
\item  Conjecturer les cases sur lesquelles la puce peut se trouver à l'instant $n$ lorsque
l'entier $n$ est pair ($n = 2k$ avec $k \in \N)$, et les cases sur lesquelles elle peut se
trouver si l'entier $n$ est impair ($n = 2k + 1$ avec $k \in \N$).\\
En déduire (sans autre justification) la valeur de $a_{2k+1}$.
\item  Démontrer que  $\left\{\begin{array}{l c r}
b_{2k+1} &=& \dfrac{1}{3}a_{2k}\\
a_{2k+2} &=& \dfrac{1}{2}b_{2k+1}\\
\end{array}\right.$

\item  Montrer que, pour tout entier naturel $k, a_{2k} = \left(\dfrac{1}{6}\right)^k$.
\end{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Déterminer le plus petit entier naturel $N$ tel que
\[\text{pour tout entier} \quad n \geqslant N,~ a_{n} \leqslant  10^{-6}.\]
\item  Montrer que la suite $\left(a_{n}\right)_{n\in \N}$ est convergente. Préciser sa limite.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 4 :\hfill 5 points}\\
Réservé aux candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité mathématiques.\\
\begin{enumerate}
\item  On considère l'équation diophantienne :
\[8x + 5y = 1 \quad [E]\]
d'inconnue le couple d'entiers relatifs $(x,~ y)$.
\begin{enumerate}
\item  Citer un théorème permettant d'affirmer que l'équation $[E]$ a des solutions.
\item  Donner une solution particulière de $[E]$.
\item  Résoudre alors dans $\Z \times \Z$ l'équation $[E]$.
\end{enumerate}
\item  Soit $N$ un entier naturel tel qu'il existe un couple $(a,~ b)$ de nombres entiers v\'erifiant :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
 N &= &8a + 1\\
N &=& 5b + 2\\
 \end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item  Montrer que le couple $(a,~-b)$ est solution de [E].
\item  Quel est le reste dans la division euclidienne de $\N$ par $40$ ?
\end{enumerate}
\item  On considère l'équation :
\[8X + 5Y = 100\quad  [E']\]
d'inconnue le couple d'entiers relatifs $(X,~ Y)$.
\begin{enumerate}
\item  Résoudre $[E']$.
\item  Au VIII\up{e} siècle, un groupe composé d'hommes et de femmes a dépensé 100 pièces
de monnaie dans une auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les
femmes 5 pièces chacune. Combien pouvait-il y avoir d'hommes et de femmes dans
le groupe ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}