\begin{CORRIGE}{1}
    \begin{enumerate}
    \item Le nombre $\num{384957}$ est un nombre premier pair, mais
      n'est pas impair, car $8 > 4$.
    \item Ce sont les nombres qui sont constitués que du même
      chiffre. En effet, deux chiffres consécutifs $a$ et $b$ doivent
      vérifier $a \leq b$ et $a \geq b$, donc $a=b$.
    \item Les nombres de deux chiffres qui sont des grands pairs sont
      : $11$, $12$, $13$, $14$, $15$, $16$, $17$, $18$, $19$, $22$,
      $23$, $24$, $25$, $26$, $27$, $28$, $29$, $33$, $34$, $35$,
      $36$, $37$, $38$, $39$, $44$, $45$, $46$, $47$, $48$, $49$,
      $55$, $56$, $57$, $58$, $59$, $66$, $67$, $68$, $69$, $77$,
      $78$, $79$, $88$, $89$, $99$. Il y en a $45$.

      Les nombres de deux chiffres qui sont des grands pairs sont :
      $10$, $11$, $20$, $21$, $22$, $30$, $31$, $32$, $33$, $40$,
      $41$, $42$, $43$, $44$, $50$, $51$, $52$, $53$, $54$, $55$,
      $60$, $61$, $62$, $63$, $64$, $65$, $66$, $70$, $71$, $72$,
      $73$, $74$, $75$, $76$, $77$, $80$, $81$, $82$, $83$, $84$,
      $85$, $86$, $87$, $88$, $90$, $91$, $92$, $93$, $94$, $95$,
      $96$, $97$, $98$, $99$. Il y en a $54$.

      Il y a donc plus d'entiers grands impairs que d'entiers grands
      pairs.
    \item
      \begin{enumerate}
      \item $3021 = 2000 + 1021$, c'est donc bien la somme de deux
        entiers grands impairs.
      \item $3021 = 1509 + 1512$, c'est donc bien la somme de deux
        entiers grands pairs.
      \end{enumerate}
    \item $N = a_1a_{2}\cdots a_n = a_10a_30 \cdots b + a_20a_40\cdot c$
      avec $b = 0$ si $n$ est pair, $a_n$ sinon et $c = a_n$ si $n$
      est pair et $0$ sinon. $N$ est bien la somme de deux grands
      impairs. On peut écrire tous les nombres de $1$ chiffre, sous la
      forme de $1 + n-1$, sauf, $ n = 1$.
    \item Soit $n > 1$ un grand impair inférieur à $100$. Si $n$ est un
      nombre de $1$ chiffre, alors c'est la somme de $2$ grand
      pairs. Si $n \geq 10$, alors $n = 10a+b$ avec $a \geq b$.
      $n = (10(a-1)+a) + (10+b-a)$. Le premier nombre est bien un
      grand pair, et le deuxième n'a qu'un chiffre donc est aussi
      grand pair.
    \item Il faut chercher plus grand que $100$. Mais $100 = 99 +1$,
      $101 = 99+2$, \ldots $108 = 99 +9$, donc ces nombres sont la
      somme de $2$ grands pairs.

      Pour $109$. Supposons que $109 =  10a+b + 10c+d$, avec $1 \leq a
      \leq b \leq 9$ et $ 1 \leq c \leq d \leq 9 $.

      $b+c = 9$ grâce à  un tableau à double entrée. Il n'y a donc pas
      de retenue.

      $10(a+b) = 100$, donc $a+b = 10$. Soit, $1 \leq a \leq 9-d \leq
      8$ et $ 1 \leq 10 - a \leq d \leq 8$. Ces deux inégalités
      s'excluent l'une et l'autre.

      Donc, $109$ est la valeur chérchée.
    \item On obtient le proogramme suivant.
      \begin{tcblisting}{top=0mm,bottom=0mm,left=0mm,right=0mm,colframe=colLogoFort,listing
      only, title={Exercice national, les grands pairs\ldots},
      fonttitle=\bfseries\small,colbacktitle=colLogoFort,
      listing options={language=python,style=afdmpython}}
nb = 6
N = 324957
T = []
for c in str(N):
    T.append(int(c))

r = 1
i = 1
while (r == 1) and (i <= nb) :
    if i == nb or i == nb -1 :
        r = 1
    else :
        if T[i-1] <= T[i] and T[i+1] <= T[i]:
            r = 1
        else :
            r = 0
    i = i + 2

print(r)

    \end{tcblisting}

    \end{enumerate}
  
\end{CORRIGE}
\begin{CORRIGE}{2}
    \begin{enumerate}
    \item On obtient la figure \ref{fig_olymp_19BdC}.
      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}
          \path [clip] (-1,-1) rectangle (4.5,7.5) ;
          \draw[lightgray] (0,0) grid (4,7) ;
          \foreach \x in {1,2,...,4}
          {
            \node[below] at (\x,0) {$\x$} ;
          } \foreach \y in {1,2,...,6}
          {
            \node[left] at (0,\y) {$\y$} ;
          }
          \draw[->,>=stealth] (0,0) -- (4,0) ;
          \draw[->,>=stealth] (0,0) -- (0,7) ;
          \node[below left] at (0,0) {$0$} ;
          \node[above left] at (0,0) {$M_0$} ;
          \draw[colLogo,line width=1pt,name path=d] (0,0) -- (4,6) ;
          \foreach \n/\l in {1/2,2/4,3/6}
          {
            \path[name path=\n] (\n,0)  -- (\n,6) ;
            \fill [name intersections={of=d and \n,by=x}]
            (x) circle (1pt) node[right] {$M_\l$};
          }
          \foreach \n/\l in {1/1,2/3,4/5,6/7}
          {
            \path[name path=\n] (0,\n) -- (4,\n) ;
            \fill [name intersections={of=d and \n,by=x}] (x)
            circle (1pt) node[left] {$M_\l$};
          }
         \end{tikzpicture}
         \caption{Motif $CHVHCHVH$}
         \label{fig_olymp_19BdC}
       \end{figure}
       Le mot obtenu est $CHVHCHVH$.
     \item Les mots associés commencent tous par $C$ car la droite
       passe par le point de coordonnées $ \coord(0,0)$.
     \item Le mot passe par les points de coordonnées $\coord(0,0)$ et
       $(3,1)$. C'est donc la droite d'équation $y = \frac{1}{3}x$,
       voir la figure \ref{fig_olymp_19BeC}.
       \begin{figure}[!h]
         \centering
         \begin{tikzpicture}
           \path [clip] (-1,-1) rectangle (4.5,2.5) ;
           \draw[lightgray] (0,0) grid (4,2) ;
           \foreach \x in {1,2,...,4}
           {
             \node[below] at (\x,0) {$\x$} ;
           }
           \foreach \y in {1,2}
           {
             \node[left] at (0,\y) {$\y$} ;
           }
           \draw[->,>=stealth] (0,0) -- (4,0) ;
           \draw[->,>=stealth] (0,0) -- (0,2) ;
           \node[below left] at (0,0) {$0$} ;
           \draw[colLogo,line width=1pt,name path=d] (0,0) -- (6,3) ;
         \end{tikzpicture}
         \caption{Droite d'équation $y = \frac{1}{3}x$.}
         \label{fig_olymp_19BeC}
       \end{figure}
     \item
       \begin{enumerate}
       \item Si on rencontre le motif $VV$, alors la droite d'équation
         $y = ax$ coupe deux verticales consécutives $x =n$ et
         $x = n+1$, entre deux horizontales consécutives d'équation
         $y = p$ et $y = p+1$. La pente est donc forcément inférieure
         $ p+1 -p = 1$.
       \item Situation symétrique par rapport à la droite d'équation
         $y =x$. Donc la pente est supérie à $1$.
       \item Le mot qui commence par $CVVC$ détermine la droite
         d'équation $y \frac{1}{3}x$. Donc, il ne peut pas y avoir de
         droite qui commence par $CVVCH$.
       \end{enumerate}
     \item Commme le mot est de période $6$, le point $M_6$ a des
       coordonnées entières.
       \begin{itemize}
       \item Le point est en $\coord(6,0)$, impossible le motif est
         alors de période $1$ ;
       \item le point est en $\coord(6,1)$, ce la correspond au motif
         $CVVVVV$.
       \item le point est en $\coord(6,2)$, impossible, motif
         périodique de période $3$.
       \item  le point est en $\coord(5,2)$, le motif est alors
         $CVVHVV$.
       \item  le point est en $\coord(4,3)$, le motif est alors
         $CVHCHV$.
       \item  le point est en $\coord(3,4)$, le motif est alors
         $CHVHVH$.
       \item  le point est en $\coord(2,5)$, le motif est alors
         $CHHVHHV$.
       \item  le point est en $\coord(1,6)$, le motif est alors
         $CHHHHHH$.
       \end{itemize}

       \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}
          \draw[lightgray] (0,0) grid (7,7) ;
          \foreach \x in {1,2,...,7}
          {
            \node[below] at (\x,0) {$\x$} ;
          } \foreach \y in {1,2,...,7}
          {
            \node[left] at (0,\y) {$\y$} ;
          }
          \draw[->,>=stealth] (0,0) -- (7,0) ;
          \draw[->,>=stealth] (0,0) -- (0,7) ;
          \node[below left] at (0,0) {$0$} ;
          \node[above left] at (0,0) {$M_0$} ;
          \path [clip] (0,0) rectangle (7,7) ;
          \draw[colLogo,line width=1pt,name path=d] (0,0) -- (7,1.66667) ;
          \foreach \n/\l in {1/1,2/2,3/3,4/4,5/5,6/6}
          {
            \path[name path=\n] (\n,0)  -- (\n,6) ;
            \fill [name intersections={of=d and \n,by=x}]
            (x) circle (1pt) node[right] {$M_\l$};
          }
          \draw[colLogo,line width=1pt,name path=d] (0,0) -- (7,2.8) ;
          \foreach \n/\l in {1/3,2/6}
          {
            \path[name path=\n] (0,\n)  -- (6,\n) ;
            \fill [name intersections={of=d and \n,by=x}]
            (x) circle (1pt) node[right] {$M_\l$};
          }
          \foreach \n/\l in {1/1,2/2,3/4,4/5}
          {
            \path[name path=\n] (\n,0)  -- (\n,7) ;
            \fill [name intersections={of=d and \n,by=x}]
            (x) circle (1pt) node[right] {$M_\l$};
          }
          \draw[colLogo,line width=1pt,name path=d] (0,0) -- (7,5.25) ;
          \foreach \n/\l in {1/2,2/4}
          {
            \path[name path=\n] (0,\n)  -- (6,\n) ;
            \fill [name intersections={of=d and \n,by=x}]
            (x) circle (1pt) node[right] {$M_\l$};
          }
          \foreach \n/\l in {1/1,2/3,3/5,4/6}
          {
            \path[name path=\n] (\n,0)  -- (\n,7) ;
            \fill [name intersections={of=d and \n,by=x}]
            (x) circle (1pt) node[right] {$M_\l$};
          }
          \draw[colLogo,line width=1pt,name path=d] (0,0) -- (7,9.3333) ;
          \foreach \n/\l in {1/1,2/3,3/5}
          {
            \path[name path=\n] (0,\n)  -- (6,\n) ;
            \fill [name intersections={of=d and \n,by=x}]
            (x) circle (1pt) node[right] {$M_\l$};
          }
          \foreach \n/\l in {1/2,2/4,3/6}
          {
            \path[name path=\n] (\n,0)  -- (\n,7) ;
            \fill [name intersections={of=d and \n,by=x}]
            (x) circle (1pt) node[right] {$M_\l$};
          }

          \draw[colLogo,line width=1pt,name path=d] (0,0) -- (7,17.5) ;
          \foreach \n/\l in {1/1,2/2,3/4,4/5}
          {
            \path[name path=\n] (0,\n)  -- (6,\n) ;
            \fill [name intersections={of=d and \n,by=x}]
            (x) circle (1pt) node[right] {$M_\l$};
          }
          \foreach \n/\l in {1/3,2/6}
          {
            \path[name path=\n] (\n,0)  -- (\n,7) ;
            \fill [name intersections={of=d and \n,by=x}]
            (x) circle (1pt) node[right] {$M_\l$};
          }
          \draw[colLogo,line width=1pt,name path=d] (0,0) -- (1.66667,7) ;
          \foreach \n/\l in {1/1,2/2,3/3,4/4,5/5,6/6}
          {
            \path[name path=\n] (0,\n)  -- (6,\n) ;
            \fill [name intersections={of=d and \n,by=x}]
            (x) circle (1pt) node[right] {$M_\l$};
          }
         \end{tikzpicture}
         \caption{Motif $CHVHCHVH$}
         \label{fig_olymp_19BfC}
       \end{figure}
     \item Pour que le mot associé soit périodique, il faut qu'il
       passe par un point de coordonnées entières. Soit $
       \coord(a,b)$. La droite a donc pour équation $ y =
       \frac{b}{a}x$.

       Réciproquement, une droite a pour équation $y = \frac{b}{a}x$
       avec $a$ et $b$ des entiers, alors la droite passe au point de
       coordonnées $\coord(a,b)$ et donc le motif est périodique.
     \item La droite d'équation $y = \frac{1}{p}x$ donne un motif
       périodique de période $p$.
     \item Les points sur la droite $y = \sqrt{2}x$ sont soit des
       $V$ soit des $C$. Mais comme $\sqrt{2}$ n'est pas rationnel,
       la droite ne passe jamais par un point à coordonnées
       entières. C'est donc forcément des $V$.

       Les points associés à $H$ sont les points $\coord(x,y)$ pour
       lesquels il existe un entier $m$ tel que $y = m$, $x =
       \frac{m}{\sqrt{2}}$ et $\frac{m}{\sqrt{2}} < n$. Leur nombre
       est égal au plus grand entier inférieur à $n \sqrt{2}$. Cela
       donne $n \sqrt{2}-1 \leq F_W(n) \leq n \sqrt{2}$. Donc la
       limite de $\frac{F_W(n)}{n}$ existe et vaut $\sqrt{2}$.
     \end{enumerate}
  
\end{CORRIGE}
\begin{CORRIGE}{3}
\def\intervalA{\interval[scaled]{-1}{-\frac{1}{2}}}
\def\intervalB{\interval[open right]{0}{+\infty}}
   \def\courbe{\begin{scope}[draw=colLogo,line width=1pt]
        \draw (0,0.0)--(0.02,0.0594)--(0.04,0.0865)--(0.06,0.1089)--
        (0.08,0.1292)--(0.1,0.1483)--(0.1200,0.1666)--(0.14,0.1845)--
        (0.16,0.2020)--(0.18,0.2194)--(0.1999,0.2366)--(0.2199,0.2538)--
        (0.2399,0.2709)--(0.2599,0.2880)--(0.2799,0.3052)--(0.3,0.3224)--
        (0.32,0.3397)--(0.34,0.3571)--(0.3600,0.3746)--(0.3800,0.3922)--
        (0.4000,0.4098)--(0.4200,0.4276)--(0.4400,0.4455)--(0.4600,0.4635)--
        (0.4800,0.4817)--(0.5000,0.5)--(0.5200,0.5183)--(0.5400,0.5369)--
        (0.5600,0.5555)--(0.5800,0.5743)--(0.6000,0.5932)--(0.6200,0.6123)--
        (0.6400,0.6315)--(0.6600,0.6508)--(0.6800,0.6703)--(0.7000,0.6899)--
        (0.7200,0.7096)--(0.7400,0.7295)--(0.7600,0.7495)--(0.7800,0.7696)--
        (0.8000,0.7899)--(0.8200,0.8103)--(0.8400,0.8308)--(0.8600,0.8515)--
        (0.8800,0.8723)--(0.9000,0.8933)--(0.9200,0.9143)--(0.9400,0.9355)--
        (0.9600,0.9569)--(0.9800,0.9783)--(1.0000,1.0000)--(1.0200,1.0217)--
        (1.0400,1.0435)--(1.0600,1.0655)--(1.0800,1.0877)--(1.1000,1.1099)--
        (1.1200,1.1323)--(1.1400,1.1548)--(1.1600,1.1774)--(1.1800,1.2002)--
        (1.2000,1.2231)--(1.2200,1.2461)--(1.2400,1.2692)--(1.2600,1.2925)--
        (1.2800,1.3158)--(1.3000,1.3394)--(1.3200,1.3630)--(1.3400,1.3867)--
        (1.3600,1.4106)--(1.3800,1.4346)--(1.4000,1.4587)--(1.4200,1.4830)--
        (1.4400,1.5073)--(1.4600,1.5318)--(1.4800,1.5564)--(1.5000,1.5811)--
        (1.5200,1.6059)--(1.5400,1.6309)--(1.5600,1.6559)--(1.5800,1.6811)--
        (1.6000,1.7064)--(1.6200,1.7318)--(1.6400,1.7573)--(1.6600,1.7830)--
        (1.6800,1.8087)--(1.7000,1.8346)--(1.7200,1.8606)--(1.7400,1.8867)--
        (1.7600,1.9129)--(1.7800,1.9392)--(1.8000,1.9657)--(1.8200,1.9922)--
        (1.8400,2.0189)--(1.8600,2.0456)--(1.8800,2.0725)--(1.9000,2.0995)--
        (1.9200,2.1266)--(1.9400,2.1538)--(1.9600,2.1811)--(1.9800,2.2085);

        \draw[yscale=-1] (0,0.0)--(0.02,0.0594)--(0.04,0.0865)--(0.06,0.1089)--
         (0.08,0.1292)--(0.1,0.1483)--(0.1200,0.1666)--(0.14,0.1845)--
         (0.16,0.2020)--(0.18,0.2194)--(0.1999,0.2366)--(0.2199,0.2538)--
         (0.2399,0.2709)--(0.2599,0.2880)--(0.2799,0.3052)--(0.3,0.3224)--
         (0.32,0.3397)--(0.34,0.3571)--(0.3600,0.3746)--(0.3800,0.3922)--
         (0.4000,0.4098)--(0.4200,0.4276)--(0.4400,0.4455)--(0.4600,0.4635)--
         (0.4800,0.4817)--(0.5000,0.5)--(0.5200,0.5183)--(0.5400,0.5369)--
         (0.5600,0.5555)--(0.5800,0.5743)--(0.6000,0.5932)--(0.6200,0.6123)--
         (0.6400,0.6315)--(0.6600,0.6508)--(0.6800,0.6703)--(0.7000,0.6899)--
         (0.7200,0.7096)--(0.7400,0.7295)--(0.7600,0.7495)--(0.7800,0.7696)--
         (0.8000,0.7899)--(0.8200,0.8103)--(0.8400,0.8308)--(0.8600,0.8515)--
         (0.8800,0.8723)--(0.9000,0.8933)--(0.9200,0.9143)--(0.9400,0.9355)--
         (0.9600,0.9569)--(0.9800,0.9783)--(1.0000,1.0000)--(1.0200,1.0217)--
         (1.0400,1.0435)--(1.0600,1.0655)--(1.0800,1.0877)--(1.1000,1.1099)--
         (1.1200,1.1323)--(1.1400,1.1548)--(1.1600,1.1774)--(1.1800,1.2002)--
         (1.2000,1.2231)--(1.2200,1.2461)--(1.2400,1.2692)--(1.2600,1.2925)--
         (1.2800,1.3158)--(1.3000,1.3394)--(1.3200,1.3630)--(1.3400,1.3867)--
         (1.3600,1.4106)--(1.3800,1.4346)--(1.4000,1.4587)--(1.4200,1.4830)--
         (1.4400,1.5073)--(1.4600,1.5318)--(1.4800,1.5564)--(1.5000,1.5811)--
         (1.5200,1.6059)--(1.5400,1.6309)--(1.5600,1.6559)--(1.5800,1.6811)--
         (1.6000,1.7064)--(1.6200,1.7318)--(1.6400,1.7573)--(1.6600,1.7830)--
         (1.6800,1.8087)--(1.7000,1.8346)--(1.7200,1.8606)--(1.7400,1.8867)--
         (1.7600,1.9129)--(1.7800,1.9392)--(1.8000,1.9657)--(1.8200,1.9922)--
         (1.8400,2.0189)--(1.8600,2.0456)--(1.8800,2.0725)--(1.9000,2.0995)--
         (1.9200,2.1266)--(1.9400,2.1538)--(1.9600,2.1811)--(1.9800,2.2085);

         \draw(-1,0.0)--(-0.995,0.0286)--(-0.99,0.0402)--(-0.985,0.0488)--
         (-0.98,0.0560)--(-0.975,0.0621)--(-0.97,0.0675)--(-0.965,0.0723)--
         (-0.96,0.0767)--(-0.955,0.0807)--(-0.95,0.0844)--(-0.945,0.0878)--
         (-0.94,0.0909)--(-0.9349,0.0938)--(-0.9299,0.0965)--(-0.9249,0.0991)--
         (-0.9199,0.1015)--(-0.9149,0.1037)--(-0.9099,0.1057)--(-0.9049,0.1077)--
         (-0.8999,0.1095)--(-0.8949,0.1112)--(-0.8899,0.1128)--(-0.8849,0.1142)--
         (-0.8799,0.1156)--(-0.8749,0.1169)--(-0.8699,0.1181)--(-0.8649,0.1191)--
         (-0.8599,0.1201)--(-0.8549,0.1211)--(-0.8499,0.1219)--(-0.8449,0.1227)--
         (-0.8399,0.1234)--(-0.8349,0.1240)--(-0.8299,0.1245)--(-0.8249,0.1250)--
         (-0.8199,0.1254)--(-0.8149,0.1258)--(-0.8099,0.1261)--(-0.8049,0.1263)--
         (-0.7999,0.1264)--(-0.7949,0.1265)--(-0.7899,0.1266)--(-0.7849,0.1266)--
         (-0.7799,0.1265)--(-0.7749,0.1264)--(-0.7699,0.1262)--(-0.7649,0.1260)--
         (-0.7599,0.1257)--(-0.7549,0.1253)--(-0.7499,0.1249)--(-0.7449,0.1245)--
         (-0.7399,0.1240)--(-0.7349,0.1235)--(-0.7299,0.1229)--(-0.7249,0.1222)--
         (-0.7199,0.1215)--(-0.7149,0.1208)--(-0.7099,0.1200)--(-0.7049,0.1192)--
         (-0.6999,0.1183)--(-0.6949,0.1173)--(-0.6899,0.1163)--(-0.6849,0.1153)--
         (-0.6799,0.1142)--(-0.6749,0.1131)--(-0.6699,0.1119)--(-0.6649,0.1106)--
         (-0.6599,0.1093)--(-0.6549,0.1080)--(-0.6499,0.1066)--(-0.6449,0.1052)--
         (-0.6399,0.1036)--(-0.6349,0.1021)--(-0.6299,0.1005)--(-0.6249,0.0988)--
         (-0.6199,0.0970)--(-0.6149,0.0952)--(-0.6099,0.0933)--(-0.6049,0.0914)--
         (-0.5999,0.0894)--(-0.5949,0.0873)--(-0.5899,0.0851)--(-0.5849,0.0829)--
         (-0.5799,0.0805)--(-0.5749,0.0781)--(-0.5699,0.0756)--(-0.5649,0.0729)--
         (-0.5599,0.0701)--(-0.5549,0.0672)--(-0.5499,0.0642)--(-0.5449,0.0609)--
         (-0.5399,0.0575)--(-0.5349,0.0538)--(-0.5299,0.0499)--(-0.5249,0.0455)--
         (-0.5199,0.0407)--(-0.5149,0.0353)--(-0.5099,0.0288)--(-0.5049,0.0204)--
         (-0.5,0);
         \draw[yscale=-1](-1,0.0)--(-0.995,0.0286)--(-0.99,0.0402)--(-0.985,0.0488)--
         (-0.98,0.0560)--(-0.975,0.0621)--(-0.97,0.0675)--(-0.965,0.0723)--
         (-0.96,0.0767)--(-0.955,0.0807)--(-0.95,0.0844)--(-0.945,0.0878)--
         (-0.94,0.0909)--(-0.9349,0.0938)--(-0.9299,0.0965)--(-0.9249,0.0991)--
         (-0.9199,0.1015)--(-0.9149,0.1037)--(-0.9099,0.1057)--(-0.9049,0.1077)--
         (-0.8999,0.1095)--(-0.8949,0.1112)--(-0.8899,0.1128)--(-0.8849,0.1142)--
         (-0.8799,0.1156)--(-0.8749,0.1169)--(-0.8699,0.1181)--(-0.8649,0.1191)--
         (-0.8599,0.1201)--(-0.8549,0.1211)--(-0.8499,0.1219)--(-0.8449,0.1227)--
         (-0.8399,0.1234)--(-0.8349,0.1240)--(-0.8299,0.1245)--(-0.8249,0.1250)--
         (-0.8199,0.1254)--(-0.8149,0.1258)--(-0.8099,0.1261)--(-0.8049,0.1263)--
         (-0.7999,0.1264)--(-0.7949,0.1265)--(-0.7899,0.1266)--(-0.7849,0.1266)--
         (-0.7799,0.1265)--(-0.7749,0.1264)--(-0.7699,0.1262)--(-0.7649,0.1260)--
         (-0.7599,0.1257)--(-0.7549,0.1253)--(-0.7499,0.1249)--(-0.7449,0.1245)--
         (-0.7399,0.1240)--(-0.7349,0.1235)--(-0.7299,0.1229)--(-0.7249,0.1222)--
         (-0.7199,0.1215)--(-0.7149,0.1208)--(-0.7099,0.1200)--(-0.7049,0.1192)--
         (-0.6999,0.1183)--(-0.6949,0.1173)--(-0.6899,0.1163)--(-0.6849,0.1153)--
         (-0.6799,0.1142)--(-0.6749,0.1131)--(-0.6699,0.1119)--(-0.6649,0.1106)--
         (-0.6599,0.1093)--(-0.6549,0.1080)--(-0.6499,0.1066)--(-0.6449,0.1052)--
         (-0.6399,0.1036)--(-0.6349,0.1021)--(-0.6299,0.1005)--(-0.6249,0.0988)--
         (-0.6199,0.0970)--(-0.6149,0.0952)--(-0.6099,0.0933)--(-0.6049,0.0914)--
         (-0.5999,0.0894)--(-0.5949,0.0873)--(-0.5899,0.0851)--(-0.5849,0.0829)--
         (-0.5799,0.0805)--(-0.5749,0.0781)--(-0.5699,0.0756)--(-0.5649,0.0729)--
         (-0.5599,0.0701)--(-0.5549,0.0672)--(-0.5499,0.0642)--(-0.5449,0.0609)--
         (-0.5399,0.0575)--(-0.5349,0.0538)--(-0.5299,0.0499)--(-0.5249,0.0455)--
         (-0.5199,0.0407)--(-0.5149,0.0353)--(-0.5099,0.0288)--(-0.5049,0.0204)--
         (-0.5,0);
\end{scope}
}

  \Partie{Somme de carrés}
\begin{enumerate}
\item L'aire du rectangle est $(5+4+3+2+1) \times (2 \times 5
  +1)$. Mais c'est aussi la somme des différents rectangles du puzzle.
  \begin{align*}
    (5+4+3+2+1) \times (2 \times 5 + 1) &= 2 \times 5^2+2 \times 4^2+2
                                          \times 3^2+2 \times 2^2+2
                                          \times 1^2 + 5
                                          \times 5 + 4 \times 4 + 3
                                          \times 3 + 2 \times 2  1 \\
                                        &= 3 \times 5^2+3 \times 4^2+2
                                          \times 3^2+3 \times 2^2+3
                                          \times 1^2
  \end{align*}
  Soit :
  \[
    S(5) = \frac{1}{3} (5+4+3+2+1) \times (2 \times 5 +1) =
    \frac{1}{3} \times 15 \times 11 = 55
  \]
\item
  \begin{enumerate}
  \item $N$ ou $n+1$ est un multiple de $2$. L'un des trois nombres
    $n$, $n+1$, ou $2n+1$ est un multiple de $3$. Si ni $n$, ni $n+1$
    ne sont des multiples de $3$, alors $n+2$ est un multiple de $3$,
    soit $n+2 = 3k$, donc $n = 3k -2$, et donc $2(3k-2) +1 = 6k - 3$,
    donc, $2k-1$ est multiple de $3$.
  \item On a :
    \begin{align*}
      S(n) + (n+1)^2 &= \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1) + (n+1)^2\\
                     & = \frac{1}{6}(n+1) (2n^2 + n + 6n + 6) \\
    \end{align*}
    Or $(n+2)(2n+3) = 2n^2 + 7n +6$, on en déduit que
    \[
      S(n+1) = \frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3)
    \]
  \end{enumerate}
\item $S(24) = \frac{1}{6} \times 24 \times 25 \times 49 = 4 \times 25
  \times 49 =  \num{4900} = 70^2$.
\end{enumerate}

\Partie{Additionner sur une courbe}
\begin{enumerate}[resume]
\item
  \begin{enumerate}
  \item $S(1) = 1$, donc $ \coord(1,1)$ appartient à
    $(E)$. $\coord(24,70)$ appartient à $(E)$ d'après la question
    précédente. $0$ et $-1$ appartiennent à $(E)$. Pour $x = 2$, on
    $S(2) = 5$, donc $\left(2\,;\,\sqrt{5}\right)$ et
    $\left(2\,;\,-\sqrt{5}\right)$ appartien à $(E)$.
  \item $\coord(-2,1)$ n'appartient pas à $(E)$, car $S(-2) = -1$, et
    il n'y a pas de nombre $y$ donc le carré vaut $-1$.

    De même $S \left(-\frac{1}{4}\right)$ est négatif.
  \item L'étude du signe de $S(x)$ donne :

    \begin{center}
      \begin{tikzpicture}
        \tkzTabInit[espcl=1.5]{$x$ /1, $x$ /1, $x+1$ /1, $2x+1$ /1,
          $S(x)$ /2}
        {$-\infty$,$-1$,$-\frac{1}{2}$,$0$,$+\infty$} % Valeurs de x, séparés par des virgules
        \tkzTabLine{,-,t,-,t,-,z,+,} % signe, commence par une virgule et finis par une virgule,
        \tkzTabLine{,-,z,+,t,+,t,+,} \tkzTabLine{,-,t,-,z,+,t,+,}
        \tkzTabLine{,-,z,+,z,-,z,+,}
      \end{tikzpicture}
    \end{center}
    On en déduit que pour $x \in \intervalA \cup \intervalB$, les
    points $ \left(x\,;\,\sqrt{S(x)}\right)$ et
    $ \left(x\,;\,-\sqrt{S(x)}\right)$ sont éléments de $(E)$.

    Il y a deux points pour chaque valeur de $x$ éventuellement
    double.
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Quand $x$ est grand, $x+1 \approx x$ et $2x+1 \approx 2x$,
    donc $ \frac{3y^2}{x^3} \approx \frac{6x^3}{6x^3} = 1$.
  \item La courbe est formée de deux parties symétriques sur
    l'intervalle $\intervalA$. La partie supérieurs, est croissante
    puis décroissante, on en déduit que la courbe $(E)$ présente une
    partie fermée.
  \end{enumerate}
\item Somme de deux points
  \begin{enumerate}
  \item Voir la figure \ref{fig_olymp_19BcC}.
  \item Voir la figure \ref{fig_olymp_19BcC}.
  \item Voir la figure \ref{fig_olymp_19BcC}.
  \end{enumerate}
  \begin{figure}[!p]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[yscale=4,xscale=2]
      \draw [clip] (-1.5,-1.25) rectangle (1.5,1.25) ;
      \draw [lightgray] (-3,-2) grid[xstep=0.5,ystep=0.25] (3,2) ;
      \foreach \x in {-2,-1,...,2}
      {
        \node[below] at (\x,0) {\x} ;
      }
      \foreach \y in {-1.5,-1,...,1.5}
      {
        \node[left] at (0,\y) {\y} ;
      }
      \draw[black,->,>=stealth,line width=0.8pt] (-3,0) -- (3,0) ;
      \draw[black,->,>=stealth,line width=0.8pt] (0,-2) -- (0,2) ;
      \node[label=above right:$A$,circle,name=A,fill=colLogo,inner sep=1.5pt] at (1,-1) {} ;
      \node[label=left:$B$,circle,name=B,fill=colLogo,inner sep=1.5pt] at (-0.9,0.1095) {} ;
      % Les données sont calculées à l'éxtérieur de LaTeX
      \draw[colLogoFort,line width=1pt,name path=d] (-3,1.3358) --
      (3,-2.1679) ;
      \node[label=below:$D$,circle,name=D,fill=colLogo,inner sep=1.5pt]
      at (-0.5769,-0.0791) {} ;
      \node[label=above:$A \oplus B$,circle,name=D1,fill=colLogo,inner
      sep=1.5pt] at (-0.5769,0.0791) {} ;
      \courbe
    \end{tikzpicture}\hfill
    \begin{tikzpicture}[yscale=4,xscale=2]
      \draw [clip] (-1.5,-1.25) rectangle (1.5,1.25) ;
      \draw [lightgray] (-3,-2) grid[xstep=0.5,ystep=0.25] (3,2) ;
      \foreach \x in {-2,-1,...,2}
      {
        \node[below] at (\x,0) {\x} ;
      }
      \foreach \y in {-1.5,-1,...,1.5}
      {
        \node[left] at (0,\y) {\y} ;
      }
      \draw[black,->,>=stealth,line width=0.8pt] (-3,0) -- (3,0) ;
      \draw[black,->,>=stealth,line width=0.8pt] (0,-2) -- (0,2) ;
      \node[label=above left:$A$,circle,fill=colLogo,inner sep=1.5pt]
      at (-0.9,0.1095) {} ;
      \draw[colLogoFort,line width=1pt] (-1.5,-0.1004)--(1.5,0.9493)
      ;
      \node[label=above :$D$,circle,fill=colLogo,inner sep=1.5pt]
      at (0.6673,0.6580) {} ;
      \node[label=below :$A\oplus A$,circle,fill=colLogo,inner sep=1.5pt]
      at (0.6673,-0.6580) {} ;

      % Les données sont calculées à l'éxtérieur de LaTeX
      \courbe
    \end{tikzpicture}

   \vspace*{1ex}
    \begin{tikzpicture}[yscale=4,xscale=2]
      \draw [clip] (-1.5,-1.25) rectangle (1.5,1.25) ;
      \draw [lightgray] (-3,-2) grid[xstep=0.5,ystep=0.25] (3,2) ;
      \foreach \x in {-2,-1,...,2}
      {
        \node[below] at (\x,0) {\x} ;
      }
      \foreach \y in {-1.5,-1,...,1.5}
      {
        \node[left] at (0,\y) {\y} ;
      }
      \draw[black,->,>=stealth,line width=0.8pt] (-3,0) -- (3,0) ;
      \draw[black,->,>=stealth,line width=0.8pt] (0,-2) -- (0,2) ;
      \node[label=above left:$A$,circle,fill=colLogo,inner sep=1.5pt]
      at (-0.9,0.1095) {} ;
      \draw[colLogoFort,line width=1pt] (-1.5,-0.1004)--(1.5,0.9493)
      ;
      \node[label=above :$D$,circle,fill=colLogo,inner sep=1.5pt]
      at (0.6673,0.6580) {} ;
      \node[label=below :$A\oplus A$,circle,fill=colLogo,inner sep=1.5pt]
      at (0.6673,-0.6580) {} ;
      \draw[colLogoFort,line width=1pt] (-1.5,0.4034)--(1.5,-1.0658) ;
      \node[label=below :$3A$,circle,fill=colLogo,inner sep=1.5pt]
      at (-0.5479,-0.0629) {} ;

      % Les données sont calculées à l'éxtérieur de LaTeX
      \courbe
    \end{tikzpicture}
    %     version asymptote
    % \begin{asy}
% import graph ;
% import math ;
% import geometry ;
% usepackage("calrsfs") ;
% import interpolate ;
% settings.outformat="pdf" ;
% import graph ;
% import math ;
% import geometry ;
% usepackage("calrsfs") ;
% import interpolate ;
% import animate ;


% picture A ;
% unitsize(A,2cm,4cm) ;

% real xmin =-1.5 , xmax =1.5  ;
% real ymin =-1.25 , ymax =1.25  ;
% real xStep =1, xsubStep = xStep/2 ;
% real yStep =0.5, ysubStep = yStep/2 ;

% pen colLogo=rgb( 51/256, 183/256, 100/256) ;

% // Si il y a un graphe de fonction, le mettre avant cette ligne
% // Tracer de la courbe representant la fonction f, avec
% // une couleur mixant, 75% de bleu pur et 25% de noir.
% real f(real x){return sqrt(x*(x+1)*(2*x+1)/6);}
% real g(real x){return -f(x);}
% // draw doit être appelé avant limits avec Crop.
% real e = 0 ;
% // pourquoi il ne prend pas le f dans le graph ?
% path Cf1 = graph(f,0,xmax,n=250) ;
% path Cf2 = graph(g,0,xmax,n=250) ;
% path Cf3 = graph(f,-1,-0.5,n=250) ;
% path Cf4 = graph(g,-1,-0.5,n=250) ;
% draw(A,Cf1^^Cf2^^Cf3^^Cf4,linewidth(1bp)+colLogo) ;

% limits(A,(xmin,ymin),(xmax,ymax),Crop) ;

% point pA=(1,g(1)) ;
% point pB=(-0.9,f(-0.9)) ;

% label(A,"$ A $",pA,NE) ;
% label(A,"$ B $",pB,NW) ;
% dot(A,pA--pB,3bp+colLogo) ;
% line d = line(pA,pB) ;
% draw(A,d,1bp+colLogo) ;

% point[] pM = intersectionpoints(d,Cf4) ;

% point pAB = reflect(line((0,0),(1,0)))*pM[0] ;
% write(pM[0].x,pM[0].y) ;
% label(A,"$ D $",pM[0],S) ;
% dot(A,pAB,3bp+colLogo) ;
% label(A,"$ A \oplus B $",pAB,NE) ;
% dot(A,pAB,3bp+colLogo) ;

% pen styloOli = 0.5bp+grey ;

% xaxis(A,BottomTop,p=0.5bp+grey,//
%       ticks=Ticks("%",
% 		  extend=true,//
% 		  Step=xStep,//
% 		  step=xsubStep,//
% 		  pTick=styloOli,
% 		  ptick=styloOli,
% 		  Size=2mm,
% 		  size=0mm)) ;
% yaxis(A,LeftRight,p=0.5bp+grey,//
%       ticks=Ticks("%",
% 		  extend=true,
% 		  Step=yStep,
% 		  step=ysubStep,
% 		  pTick=styloOli,
% 		  ptick=styloOli,Size=2mm,
% 		  size=0mm));

% xequals(A,L="",//
% 	0,//
% 	ymin,//
% 	ymax,//
% 	1bp+black,//
% 	Arrow(TeXHead,1bp),//
% 	ticks=Ticks(NoZero,Step=yStep,step=ysubStep)
% 	) ;
% yequals(A,L="",//
% 	0,//
% 	xmin,//
% 	xmax,//
% 	1bp+black,//
% 	Arrow(TeXHead,1bp),//
% 	ticks=Ticks(NoZero,Step=xStep,step=xsubStep,Size=2mm,size=0mm)
% 	);

% // label(A,"$x$",(xmax,0),E,black) ;
% // label(A,"$y$",(0,ymax),N,black) ;

% picture B ;
% unitsize(B,2cm,4cm) ;
% draw(B,Cf1^^Cf2^^Cf3^^Cf4,linewidth(1bp)+colLogo) ;

% limits(B,(xmin,ymin),(xmax,ymax),Crop) ;


% point pA=(-0.9,f(-0.9)) ;

% label(B,"$ B $",pB,NW) ;
% dot(B,pB,3bp+colLogo) ;
% pen styloOli = 0.5bp+grey ;

% xaxis(B,BottomTop,p=0.5bp+grey,//
%       ticks=Ticks("%",
% 		  extend=true,//
% 		  Step=xStep,//
% 		  step=xsubStep,//
% 		  pTick=styloOli,
% 		  ptick=styloOli,
% 		  Size=2mm,
% 		  size=0mm)) ;
% yaxis(B,LeftRight,p=0.5bp+grey,//
%       ticks=Ticks("%",
% 		  extend=true,
% 		  Step=yStep,
% 		  step=ysubStep,
% 		  pTick=styloOli,
% 		  ptick=styloOli,Size=2mm,
% 		  size=0mm));

% xequals(B,L="",//
% 	0,//
% 	ymin,//
% 	ymax,//
% 	1bp+black,//
% 	Arrow(TeXHead,1bp),//
% 	ticks=Ticks(NoZero,Step=yStep,step=ysubStep)
% 	) ;
% yequals(B,L="",//
% 	0,//
% 	xmin,//
% 	xmax,//
% 	1bp+black,//
% 	Arrow(TeXHead,1bp),//
% 	ticks=Ticks(NoZero,Step=xStep,step=xsubStep,Size=2mm,size=0mm)
% 	);

% // label(B,"$x$",(xmax,0),E,black) ;
% // label(B,"$y$",(0,ymax),N,black) ;

% picture B ;
% unitsize(B,2cm,4cm) ;
% draw(B,Cf1^^Cf2^^Cf3^^Cf4,linewidth(1bp)+colLogo) ;

% // Tangente au point d'abscisse a
% // on calcule dy en fonction de a et de dx
% // la tangente est
% real a = -0.9;
% real dx = 1e-9 ;
% real dy = (f(a+dx)-f(a-dx))/(2*dx) ;
% real h =  3;// longueur de la tangente
% // On trace la droite
% line tangente = line((a-h,f(a)-h*dy),(a+h,f(a)+h*dy)) ;
% draw(B,tangente,linewidth(1bp)+colLogo) ;

% point[] pN = intersectionpoints(tangente,Cf1) ;
% dot(B,pN[0],3bp+colLogo) ;
% label(B,"$ D $",pN[0],NW) ;
% point pAB = reflect(line((0,0),(1,0)))*pN[0] ;
% label(B,"$ A \oplus A $",pAB,E) ;
% dot(B,pAB,3bp+colLogo) ;
% limits(B,(xmin,ymin),(xmax,ymax),Crop) ;


% point pA=(-0.9,f(-0.9)) ;

% label(B,"$ A $",pA,NW) ;
% dot(B,pA,3bp+colLogo) ;
% pen styloOli = 0.5bp+grey ;

% xaxis(B,BottomTop,p=0.5bp+grey,//
%       ticks=Ticks("%",
% 		  extend=true,//
% 		  Step=xStep,//
% 		  step=xsubStep,//
% 		  pTick=styloOli,
% 		  ptick=styloOli,
% 		  Size=2mm,
% 		  size=0mm)) ;
% yaxis(B,LeftRight,p=0.5bp+grey,//
%       ticks=Ticks("%",
% 		  extend=true,
% 		  Step=yStep,
% 		  step=ysubStep,
% 		  pTick=styloOli,
% 		  ptick=styloOli,Size=2mm,
% 		  size=0mm));

% xequals(B,L="",//
% 	0,//
% 	ymin,//
% 	ymax,//
% 	1bp+black,//
% 	Arrow(TeXHead,1bp),//
% 	ticks=Ticks(NoZero,Step=yStep,step=ysubStep)
% 	) ;
% yequals(B,L="",//
% 	0,//
% 	xmin,//
% 	xmax,//
% 	1bp+black,//
% 	Arrow(TeXHead,1bp),//
% 	ticks=Ticks(NoZero,Step=xStep,step=xsubStep,Size=2mm,size=0mm)
% 	);

% // label(B,"$x$",(xmax,0),E,black) ;
% // label(B,"$y$",(0,ymax),N,black) ;
% picture C ;
% unitsize(C,2cm,4cm) ;
% draw(C,Cf1^^Cf2^^Cf3^^Cf4,linewidth(1bp)+colLogo) ;

% draw(C,tangente,linewidth(1bp)+colLogo) ;

% label(C,"$ A $",pA,NW) ;
% dot(C,pA,3bp+colLogo) ;
% point[] pN = intersectionpoints(tangente,Cf1) ;
% dot(C,pN[0],3bp+colLogo) ;
% label(C,"$D$",pN[0],NW) ;
% point pE = reflect(line((0,0),(1,0)))*pN[0] ;
% dot(C,pE,3bp+colLogo) ;
% label(C,"$ A \oplus A $",pE,E) ;

% line d2 = line(pA,pE) ;
% draw(C,d2,1bp+colLogo) ;

% point pP[] = intersectionpoints(d2,Cf4) ;
% dot(C,pP[0],3bp+colLogo) ;
% label(C,"$ 3A $",pP[0],S) ;


% limits(C,(xmin,ymin),(xmax,ymax),Crop) ;



% pen styloOli = 0.5bp+grey ;

% xaxis(C,BottomTop,p=0.5bp+grey,//
%       ticks=Ticks("%",
% 		  extend=true,//
% 		  Step=xStep,//
% 		  step=xsubStep,//
% 		  pTick=styloOli,
% 		  ptick=styloOli,
% 		  Size=2mm,
% 		  size=0mm)) ;
% yaxis(C,LeftRight,p=0.5bp+grey,//
%       ticks=Ticks("%",
% 		  extend=true,
% 		  Step=yStep,
% 		  step=ysubStep,
% 		  pTick=styloOli,
% 		  ptick=styloOli,Size=2mm,
% 		  size=0mm));

% xequals(C,L="",//
% 	0,//
% 	ymin,//
% 	ymax,//
% 	1bp+black,//
% 	Arrow(TeXHead,1bp),//
% 	ticks=Ticks(NoZero,Step=yStep,step=ysubStep)
% 	) ;
% yequals(C,L="",//
% 	0,//
% 	xmin,//
% 	xmax,//
% 	1bp+black,//
% 	Arrow(TeXHead,1bp),//
% 	ticks=Ticks(NoZero,Step=xStep,step=xsubStep,Size=2mm,size=0mm)
% 	);

% // label(C,"$x$",(xmax,0),E,black) ;
% // label(C,"$y$",(0,ymax),N,black) ;



% add(A.fit(),(0,0),NW) ;
% add(B.fit(),(0,0),NE) ;
% add(C.fit(),(0,0),S) ;


% \end{asy}
    \caption{Construction de $A \oplus B$, $A \oplus A$ et $3A$.}
    \label{fig_olymp_19BcC}
  \end{figure}
\item Alice donne à Bruno les coordonnées $\coord(0.02083333,
  0.06076389)$, qui sont les coordonnées de $2M$. Bruno donne à Alice
  les coordonnées $\coord(0.02908309, -0.07265188)$, qui sont les coordonnées
  de $5M$. La clef est donc constituée des quatre premières décimales de
  l’abscisse de $10M$ : $5927$
\end{enumerate}
\end{CORRIGE}
