% !-*-coding:utf-8-*-

\def\decimal#1{\overline{#1}}

\chapter{Académie d'Amiens et académie de Lille}

\Partie{Série S}

\begin{Enonce}[Nombres étranches]
  \Partie{Notations}

  Dans tout le problème, on considère des entiers naturels $n$. Si un
  tel nombre s'écrit avec $p$ chiffres dans le système décimal, on
  note $\decimal{n_1n_2n_3\cdots n_{p-1}n_p}$, écriture dans
  laquelle les $n_i$ sont des chiffres et $n_1 \neq 0$, et qui
  signifie que
  \[
    n=n_1\times 10^{p-1}+n_2\times 10^{p-2}+{\dots}+n_{p-1}\times 10+n_p.
  \]

  Par exemple, si on prend  $n=137$ , alors  $p=3$ et  $\decimal{137}
  = 1\times 10^2+3\times 10+7$.  

\Partie{Rappel}

Étant donné des entiers naturels $a$ et $b$ tels que $b$ soit non nul,
la \emph{division euclidienne de $a$ par $b$} leur associe deux
entiers naturels $q$ et $r$ tels que $a=bq+r$ et $r<b q$ et
$r$ sont le \emph{quotient} et le \emph{reste} de la division
euclidienne de $a$ par $b$.

Par exemple, la division euclidienne de  $123$ par  $5$ fournit le
quotient  $24$ et le reste  $3$.  

\Partie{Définition}

Un entier naturel note $n=\decimal{n_1n_2n_3\cdots n_{p-1}n_p}$ est dit
\emph{étranche} si, pour tout entier $i$ compris entre $2$ et $p$ le
nombre note $\decimal{n_1n_2n_3\cdots n_i}$ est un multiple de
$i$.

Par exemple, $\num{2016}$ est un nombre \emph{étranche} de quatre
chiffres, car  $20$ et multiple de  $2$,  $201$ est multiple de  $3$
et  $\num{2016}$ est multiple de  $4$. En revanche, le nombre
$\num{2019}$, pas plus que tout nombre dont les quatre premiers
chiffres sont  $2$, $0$, $1$, $9$ ne sont étranches. 


\begin{table}
  \centering
  \begin{tabular}{*{3}{>{$}l<{$}}}
    \toprule
    \num{102} & \num{326} & \num{705}\\
    \num{1024} &  \num{2041} &  \num{3268}\\
    \num{10240} &  \num{20410} &  \num{70520}\\
    \num{102404} &  \num{326804} & \num{705204}\\
    \num{1024041} & \num{7052046} & \num{9222467}\\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\caption{}
\label{tab_AL19_01}
\end{table}

\Partie{Partie 1}

Déterminer les nombres étranches parmi ceux figurant dans le tableau
\ref{tab_AL19_01}. 


\Partie{Partie 2 : Recherche de nombres étranches à deux ou trois chiffres}

\begin{enumerate}
\item Justifier qu'il y a exactement $45$ nombres étranches à deux
  chiffres.
\item Soit $n$ un entier naturel non nul à rois chiffres :
  $n=\decimal{n_1n_2n_3}$.
  \begin{enumerate}
  \item Quels sont les restes possibles dans la division
    euclidienne d'un entier par $3$ ?

  \item On suppose que $\decimal{n_1n_2}$ est un nombre étranche à deux
    chiffres, multiple de $3$. Quelles sont les valeurs possibles de
    $n_3$ pour que $\decimal{n_1n_2n_3}$ soit un nombre étranche à trois
    chiffres.

  \item Même question pour un nombre étranche à deux chiffres dont le
    reste de la division euclidienne par $3$ est $1$, puis $2$.

  \item Déduire de ce qui précède qu'il existe exactement $150$ nombres
    étranches à trois chiffres.

  \item Combien y a-t-il de nombres pairs parmi les nombres étranches
    à trois chiffres ?
  \end{enumerate}
\item Voici un algorithme écrit en langage naturel.
  \begin{algorithm}[!h]
    $c \leftarrow 0$ \;
    \For{$i$ variant de $0$ à $1$ faire}
    {
      $m \leftarrow $ quotient de la division euclidienne de $n$ par
      $10^{1-i}$ \;
      {
        \If{ $m$ est multiple de $2+i$}
        {
          $c \leftarrow c+1$ \;
        }
      }
    }
    \If{$c=2$}
    {
      compteur $\leftarrow 1$
    }
    \Else
    {
      compteur $\leftarrow 0$
    }
  \end{algorithm}
  \begin{enumerate}
  \item Écrire la trace de la boucle \og Pour\fg{} de cet
    algorithme en complétant le tableau \ref{tab_AL19_01} si la
    variable $n$ contient la valeur $621$.
    \begin{table}[!h]
      \centering \setlength{\tabcolsep}{5ex}
      \begin{tabular}{*{3}{>{$}c<{$}}}
        \toprule
        i & m & c \\
        \midrule
        0 & & \\
        \midrule
        1 & & \\
        \bottomrule 
      \end{tabular}
      \caption{ }
      \label{tab_AL19_01}
    \end{table}

  \item Si la variable $n$ contient la valeur $621$ , quelle serait la
    valeur affectée à la variable $compteur$ à l'issue de l'exécution
    de l'algorithme ?

  \item Si la variable $n$ contient la valeur $622$ , quelle serait la
    valeur affectée à la variable $compteur$ à l'issue de l'exécution
    de l'algorithme ?

  \item Quel est le rôle de cet algorithme ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\Partie{Partie 3 Dénombrement des nombres étranches à quatre ou cinq chiffres}
\begin{enumerate}
\item Soit $n$ un entier naturel non nul à quatre chiffres. On écrit
    $n=\decimal{n_1n_2n_3n_4}$ .
  \begin{enumerate}
  \item Justifier qu'il existe un entier naturel $k$ tel que
    $n=\decimal{n_3n_4}+4k$.
  \item En déduire que l'entier naturel $n$ est multiple de $4$ si et
    seulement si $\decimal{n_3n_4}$ est multiple de $4$.
  \item Justifier alors qu'il y a exactement $375$ nombres étranches à
    quatre chiffres.
  \end{enumerate}
\item Combien y a-t-il de nombres étranches à cinq chiffres ?
\end{enumerate}
 \begin{Corrige}
   \def\decimal#1{\overline{#1}}
   \Partie{Partie 1}
    \begin{itemize}
    \item $102$ est étranche, car $10$ est divisible par $2$ et $102$
      par $3$ ;
    \item $\num{1024}$ est étranche car il est divisible par $4$, et
      que $102$ est étranche.
    \item $\num{10240}$ est étranche car il est divisible par $5$, et
      que $\num{1024}$ est étranche.
    \item $\num{102404}$ et $\num{10204041}$ ne sont pas étranche, car
      $\num{102404}$ n'est pas divisible par $6$.
    \item $326$ $\num{3268}$ et $\num{326804}$  ne sont pas étranche, car $326$ n'est
      pas divisible par $6$.
    \item $\num{2041}$ et $\num{20410}$ ne sont pas étranche, car $\num{2041}$ n'est
      pas divisible par $4$.
    \item $\num{705}$, $\num{7052}$, $\num{70520}$ et $\num{705204}$
      sont étranches, mais $\num{7052046}$ n'est l'est pas.
    \item $\num{9222467}$ n'est pas étranche, car $922$ n'est pas
      divisible par $3$.
    \end{itemize}

    \Partie{Nombres étranches à 2 ou 3 chiffres}
    \begin{enumerate}
    \item Les étranches de $2$ chiffres sont les pairs. Il y a $9$
      dizaines, et $5$ pairs par dizaines, donc $9 \times 5  = 45$.
    \item
      \begin{enumerate}
      \item Les restes possibles dans la division par $3$ sont $0$,
        $1$ et $2$.
      \item $\decimal{n_1n_2}$ est un multiple de $3$ pair,
        c'est-à-dire un multiple de $6$. Alors $n=\decimal{n_1n_2n_3}$
        peut s'écrire $n = 60k +n_3$. Donc, $n_3$ est l'un des
        chiffres : $0$, $3$, $6$ et $9$.
      \item $\decimal{n_1n_2} = 3k+1$, donc $n = 30k+10 + n_3$, donc
        $10+n_3$ doit être un multiple de $3$, donc $n_3$ peut valoir
        $2$, $5$ et $8$.

        $\decimal{n_1n_2} = 3k+2$, donc $n = 30k+20 + n_3$, donc
        $20+n_3$ doit être un multiple de $3$, donc $n_3$ peut valoir
        $1$, $4$ et $7$.
      \item Il y a $15$ nombres pairs, multiples de $3$, donc on peut
        construire $15 \times 4 = 60$ étranches de $3$ chiffres.

        Il y a $15$ nombres pairs, de reste $1$ par la division par $3$, donc on peut
        construire $15 \times 3 = 45$ étranches de $3$ chiffres.

        Il y a $15$ nombres pairs, de reste $2$ par la division par $3$, donc on peut
        construire $15 \times 3 = 45$ étranches de $3$ chiffres.

        Au total, il y a $60 + 45 + 45 = 150$ nombres étranches de $3$
        chiffres.
      \item Il y a $15$ nombres qui se termine par $0$, $15$ par $2$,
        $15$ par $4$, $15$ qui se termine par $6$ et $15$ par $8$. Au
        total, $75$ nombres étranches pairs de $3$ chiffres.
      \end{enumerate}
    \item On obtient le tableau \ref{tab_AL19_01C}
      \begin{table}[!h]
      \centering \setlength{\tabcolsep}{5ex}
      \begin{tabular}{*{3}{>{$}c<{$}}}
        \toprule
        i & m & c \\
        \midrule
        0 & 62 & 1 \\
        \midrule
        1 & 621 & 2 \\
        \bottomrule 
      \end{tabular}
      \caption{ }
      \label{tab_AL19_01C}
    \end{table}
  \item Si $n = 621$ la variable compteur est égale à $1$. 
  \item Si $n=622$ la variable compteur est égale à $0$. 
  \item Cet algorithme détermine si un nombre de $3$ chiffres est étranche.
  \end{enumerate}
  
\Partie{Dénombrement des nombres étranches à quatre et cinq
  chiffres}

\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item $\decimal{n_1n_2n_3n_4} = 100\decimal{n_1n_2} +
    \decimal{n_3n_4} = 4K + \decimal{n_3n_4} $.
  \item On en déduit immédiatement que $n$ est multiple de $4$ si
    $\decimal{n_3n_4}$.
  \item Il y a $25$ multiple de $4$ dans une centaine et $19$ centaine
    entre $\num{1000}$ et $\num{9999}$.
  \item On reprend les nombres étranches de $3$ chiffres. Il y a $3$
    cas suivant que le reste de la division de $\decimal{n_1n_2}$ par $3$.
    \begin{itemize}
    \item $\decimal{n_1n_2}$ pair, et le reste de la division par $3$
      est $0$. Les étranches se finissent alors par $00$, $04$, $08$,
      $32$, $36$, $60$, $64$, $68$, $92$ et $96$. Il y a $15$
      possibilités pour $\decimal{n_1n_2}$, soit $15 \times 10$.
    \item $\decimal{n_1n_2}$ pair, et le reste de la division par $3$
      est $1$. Les étranches se finissent alors par $20$, $24$, $28$,
      $52$, $56$, $80$, $84$ et $88$. Il y a $15$
      possibilités pour $\decimal{n_1n_2}$, soit $15 \times 8$.
    \item $\decimal{n_1n_2}$ pair, et le reste de la division par $3$
      est $2$. Les étranches se finissent alors par $12$, $16$, $40$,
      $44$, $48$, $72$ et $76$. Il y a $15$ 
      possibilités pour $\decimal{n_1n_2}$, soit $15 \times 7$.
    \end{itemize}
    On a donc $15 (10+8+7)= 15 \times 25 = 375$.
  \end{enumerate}
\item Pour chaque étranche à $4$ chiffres, il y a deux étranches à $5$
  chiffres. Donc, il y $750$ étranches à $5$ chiffres. 

\end{enumerate}
  \end{Corrige}
\end{Enonce}


\begin{Enonce}[Jeux de rochers]

  \def\rocher{%
    \begin{tikzpicture}[scale=0.25]
    % dessin du cailloux original
    %\node[above right] at (0,0) {\includegraphics{cailloux}} ;
    \begin{scope}[line width=2pt,gray]
    % Contour de la pierre
    \draw[clip] (2,0.5)
    --++(1,0) .. controls +(1,0.2) and +(-0.25,-0.1) ..++(1.5,0.45)
    .. controls +(0.9,0.5) and +(-0.2,-1) ..++(1,1.5)
    .. controls +(0,1) and +(0.25,-0.5) ..++(-0.75,1.5)
    --++(-0.25,1)--++(-0.4,1)
    .. controls +(0,0.5) and +(0.5,0) ..++(-1.1,0.75)
    .. controls +(-1,0) and +(0.1,0.5) ..++(-1.5,-1.25)
    .. controls +(-0.75,-1.5) and +(0,0.5) ..++(-0.75,-1.5)
    .. controls +(0,-1) and +(-0.25,1) ..++(0.1,-2.5)
    .. controls +(0.25,-0.5) and +(-0.5,0.25) ..cycle ;
    \draw[blue,thin,step=0.5] (0,0) grid (6,8) ;
    \fill[lightgray] (0,0) rectangle (6,8) ;
  \end{scope}
  % un peu de relief
  \begin{scope}[line width=1pt,gray!50!black!50,
      decoration={random steps,segment length=1pt,amplitude=4pt}]
      \fill[decorate] (2, 0.75) rectangle +(0.25,1.5) ;
      \fill[decorate] (2, 2.5) rectangle +(0.25,2) ;
      \fill[decorate] (2.5, 0.75) rectangle +(0.25,5) ;
      \fill[decorate] (3.25, 0.75) rectangle +(0.25,1.55) ;
      \fill[decorate] (3.25, 4) rectangle +(0.25,1.55) ;
      \fill[decorate] (4, 1) rectangle +(0.25,3) ;
    \end{scope}
  % trous
  \begin{scope}
      [line width=2pt,gray!30!black!70,
      decoration={random steps,segment length=0.4pt,amplitude=0.2pt}]
      \draw[decorate] (1.7,1) --++(-0.1,1) ;
      \draw[decorate] (4.5,1.4) .. controls +(0.25,0.25) and
      +(0,-0.25)  ..++(0.2,1) ;
      \draw[decorate] (3.45,2.25) .. controls +(0,0.5) and
      +(0.5,-0.25)  ..++(-0.4,1.5) ;
      \draw[decorate] (1.25,2.5) --++(0.15,1.5) ;
      \draw[decorate] (1.35,4.5) --++(0.25,0.8) ;
      \draw[decorate] (2,5.3) --++(0.35,0.9) ;
      \draw[decorate] (3.25, 6.25) --++(0.5,-0.6) ;
      \draw[decorate] (4.25, 4.6) --++(0.5,-1.25) ;
      \draw[decorate] (5, 3.1) --++(0.25,-0.5) ;
      \draw[decorate] (5.25, 2.5) ..controls +(0.25,-0.5) and +(0.25,0.5) ..+(-0.25,-1) ;
    \end{scope}
    %
  \end{tikzpicture}
}

Dans un jeu vidéo, le joueur doit empêcher un \og humanoïde \fg{} de franchir une
frontière constituée de rochers espacés régulièrement, comme
l'illustre le dessin de la figure \ref{fig_AL19_02A}.

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \begin{tikzpicture}[cercle/.style={above,font={\Large\sffamily\bfseries},
  color=white,circle,fill=colLogo,inner sep=1.5pt}]
  \node[above] at (0.5,-0.1) {\rocher} ;
  \node[above] at (3.25,-0.1) {\rocher} ;
  \node[above] at (6,-0.1) {\rocher} ;
  \node[above] at (8.75,-0.1) {\rocher} ;
  \node[above] at (11.5,-0.1) {\rocher} ;
  \node[cercle] at (0.5,2) {1} ;
  \node[cercle] at (3.25,2) {2} ; 
  \node[cercle] at (6,2) {3} ;
  \node[cercle] at (8.75,2) {4} ;
  \node[cercle] at (11.5,2) {5} ; 
  
  \node[above] at (1.875,0.5) {$A_1$} ;
  \node[above] at (4.625,0.5) {$A_2$} ;
  \node[above] at (7.3755,0.5) {$A_3$} ;
  \node[above] at (10.125,0.5) {$A_4$} ;

  \begin{scope}[shift={(5,1.25)}]
    \draw[line width = 4pt,->,>=stealth,colLogo] (0,0) -- (0,0.3)-- (0,0.5)
    arc[radius=0.3,start angle = 190, end angle = 0] -- (0.6,0.3) ;
  \end{scope}

  \begin{scope}[shift={(4.3,1.25)},xscale=-1]
    \draw[line width = 4pt,->,>=stealth,colLogo] (0,0) -- (0,0.3)-- (0,0.5)
    arc[radius=0.3,start angle = 190, end angle = 0] -- (0.6,0.3) ;
  \end{scope}

  % Herbe
  \fill[green!70!black] plot[smooth,domain=-0.25:12.25,samples=501]
  (\x,0.1+0.2*rnd) |- (-0.25,-0.25); 

\end{tikzpicture}
  \caption{ Écran du jeu}
  \label{fig_AL19_02A}
\end{figure}

Le joueur dispose d'une grenade paralysante. Le programme place
l'humanoïde derrière un des rochers. Alerté par le jeu, le joueur
déclenche l'envoi de la grenade, qui atterrit entre deux rochers. Si
l'humanoïde est caché derrière un des deux rochers, il est neutralisé
et le joueur gagne. Sinon, l'humanoïde peut franchir la frontière et
le joueur perd. Le dessin \ref{fig_AL19_02A} illustre le cas où la grenade
atterrit en  $A_2$ . Si l'humanoïde est caché derrière le rocher 2 ou
le rocher 3, le joueur gagne la partie, sinon il la perd. 

\Partie{Notations}

Le jeu comporte un nombre entier  $n$ de rochers, $n \geq 3$.

Le programme place l'humanoïde derrière les rochers $1$, $2$, $\dots$,
$n$ avec les probabilités respectives $p_1$ , $p_2$ , $\dots$, $p_n$.
On rappelle que $p_1+p_2+\cdots+p_n=1$.

La grenade paralysante est envoyée dans un des intervalles $A_1$,
$A_2$ , $ \ldots$, $A_{n-1}$ avec les probabilités respectives $q_1$,
$q_2$, $\ldots$, $q_{n-1}$.  On rappelle que
$q_1+q_2+\cdots+q_{n-1}=1$.

Ces probabilités sont définies suivant deux modes : le mode
\emph{novice} étudié dans la \grascoll{situation 1 
}et le mode \emph{expert} étudié dans la \grascoll{situation 2}.

Le but général de l'exercice et l'étude des stratégies que peut
adopter le joueur en fonction du comportement de 
l'humanoïde programmé par le jeu.


\Partie{Situation 1 : Découverte du jeu et observations}

Un joueur inexpérimenté joue avec l'hypothèse que le programme place
aléatoirement l'humanoïde derrière les rochers de façon
équiprobable. Il décide de jouer en mode \emph{novice} : lorsque le
joueur décide de lancer la grenade, celle-ci est envoyée aléatoirement
dans l'un des intervalles $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_{n-1}$ de façon
équiprobable.


\begin{enumerate}[font={\bfseries\color{colLogo}}]
\item \grascoll{Jeu à trois rochers }
  \begin{figure}[!h]
  \centering
  \begin{tikzpicture}[cercle/.style={above,font={\Large\sffamily\bfseries},
  color=white,circle,fill=colLogo,inner sep=1.5pt}]
  \node[above] at (0.5,-0.1) {\rocher} ;
  \node[above] at (3.25,-0.1) {\rocher} ;
  \node[above] at (6,-0.1) {\rocher} ;
  \node[cercle] at (0.5,2) {1} ;
  \node[cercle] at (3.25,2) {2} ; 
  \node[cercle] at (6,2) {3} ;
  
  \node[above] at (1.875,0.5) {$A_1$} ;
  \node[above] at (4.625,0.5) {$A_2$} ;
  % Herbe
  \fill[green!70!black] plot[smooth,domain=-0.25:6.75,samples=501]
  (\x,0.1+0.2*rnd) |- (-0.25,-0.25); 

\end{tikzpicture}
  \caption{Jeu à $3$ rochers}
  \label{fig_AL19_02B}
\end{figure}

  \begin{enumerate}
  \item Déterminer les probabilités $p_1$, $p_2$, $p_3$.
  \item Déterminer les probabilités $q_1$, $q_2$.
  \item Quelle est la probabilité que le joueur gagne la partie
    lorsque la grenade atterrit en $A_1$ ?
  \item En déduire la probabilité que le joueur gagne la partie.
  \end{enumerate}
  
\item \grascoll{Jeu à quatre rochers}
  \begin{figure}[!h]
  \centering
  \begin{tikzpicture}[cercle/.style={above,font={\Large\sffamily\bfseries},
  color=white,circle,fill=colLogo,inner sep=1.5pt}]
  \node[above] at (0.5,-0.1) {\rocher} ;
  \node[above] at (3.25,-0.1) {\rocher} ;
  \node[above] at (6,-0.1) {\rocher} ;
  \node[above] at (8.75,-0.1) {\rocher} ;
  \node[cercle] at (0.5,2) {1} ;
  \node[cercle] at (3.25,2) {2} ; 
  \node[cercle] at (6,2) {3} ;
  \node[cercle] at (8.75,2) {4} ;

  
  \node[above] at (1.875,0.5) {$A_1$} ;
  \node[above] at (4.625,0.5) {$A_2$} ;
  \node[above] at (7.3755,0.5) {$A_3$} ;
  % Herbe
  \fill[green!70!black] plot[smooth,domain=-0.25:9.75,samples=501]
  (\x,0.1+0.2*rnd) |- (-0.25,-0.25); 

\end{tikzpicture}
  \caption{Jeu à $4$ rochers}
  \label{fig_AL19_02C}
\end{figure}

  \begin{enumerate}
\item Compléter les cases vides du tableau donné en
annexe par $G$ ou $P$ selon que la partie est gagnée ou perdue par le
joueur.
\item Entourer $G$ ou $P$ (même signification) dans l'arbre donné en
  annexe.
\item Existe-t-il un intervalle pour lequel la probabilité de gagner
  (point de vue du joueur) est la plus forte ?
\end{enumerate}

\item \grascoll{Jeu à $n$ rochers $n \geq 4$}

Existe-t-il un intervalle pour lequel la probabilité de gagner (point
de vue du joueur) est la plus forte ?

\item \grascoll{Jeu à 5 rochers}

Sur $\num{2 800}$ parties avec $5$ rochers, un joueur a relevé les
résultats du tableau \ref{tab_AL19_02B}

\begin{table}[!h]
  \centering
  \begin{tabular}{l*{4}{>{$}c<{$}}}
    \toprule
    Intervalle &  A_1 &  A_2  &  A_3 &  A_4 \\
    Nombre de lancers &  698 &  704 & 695 &  703\\
    Nombre de lancers victorieux &  301 &  200 & 197 &  299\\
    \bottomrule
  \end{tabular}
      \caption{}
      \label{tab_AL19_02B}
\end{table}

\begin{enumerate}
\item Pourrait-on penser que le nombre total de victoires
  s'accorde bien avec la répartition équiprobable de l'humanoïde
  derrière les rochers ?

\item Un site de \og cheat code\footnote{\emph{Ce type de site 
      fournit aux joueurs des astuces pour gagner plus facilement aux
      jeux}} \fg{} affirme que le programme de 
  jeu place l'humanoïde derrière les rochers $1$ et $n$ avec pour chacun
  une probabilité égale à $2p$ et derrière les rochers $2$ à $n-1$
  avec pour chacun une probabilité $p$.
  \begin{itemize}
  \item déterminer dans le cas $n=5$, si on suit cette hypothèse,
    le nombre $p$.
  \item  les résultats observés semblent-ils en accord avec
    l'affirmation du site ?
  \end{itemize}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\Partie{Situation 2 Choix de  $q_1$, $q_2$, $\ldots$, $q_{n-1}$ en
  mode expert}

On admet l'affirmation du \og cheat code \fg{} et on suppose que, pour
$n\geq 3$, le programme place l'humanoïde derrière les rochers $1$
et $n$ avec une probabilité $\frac{2}{n+2}$ et derrière les rochers $2$ à
$n-1$ avec une probabilité $\frac{1}{n+2}.$

En mode \emph{expert}, le joueur décide des probabilités
$q_1$, $q_2$, $\ldots$, $q_{n-1}$ avec lesquelles la grenade sera lancée vers
les intervalles $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_{n-1}$ respectivement. Se pose
alors la question : comment choisir $q_1$, $q_2$, $\ldots$, $q_{n-1}$ pour que
la probabilité de gagner soit la même quel que soit l'intervalle dans
lequel la grenade atterrit ?

\begin{enumerate}
\item Justifier que $\frac{3}{n+2}q_1=\frac {2}{n+2}q_2$ .

\item Justifier que $2q_1+\left(n-3\right)q_2=1.$

\item En déduire les probabilités $q_1$ et $q_2$ .

\item Comment répondre à la question posée ?

\end{enumerate}

  \begin{table}[!p]
    \centering
    \setlength{\tabcolsep}{3ex}
    \begin{tabular}{|*{5}{>{$}c<{$}|}}
      \cline{3-5}
      \multicolumn{2}{c|}{} 
      & A_1 & A_2 & A_3 \\
      \hline
      \multirow{4}{1em}{\rotatebox{90}{Rocher}}& 1 & & &  \\
      \cline{2-5}
      & 2 & & &  \\
      \cline{2-5}
      & 3 & & &  \\
      \cline{2-5}
      & 4 & & &  \\
      \hline
    \end{tabular}
    \caption{Tableau à compléter}
    \label{tab_AL19_02A}
  \end{table}

  \begin{figure}[!p]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      [
      grow=east,
      level 1/.style={sibling distance=8em},
      level 2/.style={sibling distance=2em},
      ]
    \node {\textbullet}
    child{node{4}
      child {node{$A_3$} child {node {$G$ ou $P$}}}
      child {node{$A_2$} child {node {$G$ ou $P$}}}
      child {node{$A_1$} child {node {$G$ ou $P$}}}
    }
    child{node{3}
      child {node{$A_3$} child {node {$G$ ou $P$}}}
      child {node{$A_2$} child {node {$G$ ou $P$}}}
      child {node{$A_1$} child {node {$G$ ou $P$}}}
    }
    child{node{2}
      child {node{$A_3$} child {node {$G$ ou $P$}}}
      child {node{$A_2$} child {node {$G$ ou $P$}}}
      child {node{$A_1$} child {node {$G$ ou $P$}}}
    }
    child{node{1}
      child {node{$A_3$} child {node {$G$ ou $P$}}}
      child {node{$A_2$} child {node {$G$ ou $P$}}}
      child {node{$A_1$} child {node {$G$ ou $P$}}}
    }  ;
  \end{tikzpicture}
    \caption{Arbre à compléter}
    \label{fig_AL19_02D}
  \end{figure}
\begin{Corrige}
\Partie{Siutation 1}
\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Le programme joue de manière aléatoire de façon
    équiprobable. On en déduit que $p_1 = p_2 =p_3 = \frac{1}{3}$.
  \item En mode novice, le joueur lance sa grenade de façon
    équiprobable : donc $q_1 = q_2 = \frac{1}{2}$.
  \item On a $p_1 +p_2 = \frac{2}{3}$ de toucher l'androïde.
  \item On gagne si la grenade arrive dans l'intervalle $A_i$ et que
    l'androïde se situe derrière le rocher $i$ où $i+1$. Soit : On en
    déduit que la probabilité de gain est :
    \[
      p_1q_1 + p_2q_1 + p_2q_2 + p_3q_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.
    \]
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Voir \ref{tab_AL19_02AC}.
    \begin{table}[!h]
      \centering \setlength{\tabcolsep}{3ex}
      \begin{tabular}{|*{5}{>{$}c<{$}|}}
        \cline{3-5}
        \multicolumn{2}{c|}{} 
        & A_1 & A_2 & A_3 \\
        \hline
        \multirow{4}{1em}{\rotatebox{90}{Rocher}}& 1 & G & P  & P  \\
        \cline{2-5}
        & 2 & G  & G & P  \\
        \cline{2-5}
        & 3 & P  & G  &  G \\
        \cline{2-5}
        & 4 & P  & P  & G  \\
        \hline
      \end{tabular}
      \caption{Tableau à compléter}
      \label{tab_AL19_02AC}
    \end{table}
  \item voir \ref{fig_AL19_02DC}
    \begin{figure}[!p]
      \centering
      \begin{tikzpicture}
        [ grow=east,
        level 1/.style={sibling distance=8em},
        level 2/.style={sibling distance=2em},]
        \node {\textbullet}
        child{node{4}
          child {node{$A_3$} child {node {$G$}}}
          child {node{$A_2$} child {node {$P$}}}
          child {node{$A_1$} child {node {$P$}}}
        }
        child{node{3}
          child {node{$A_3$} child {node {$G$}}}
          child {node{$A_2$} child {node {$G$}}}
          child {node{$A_1$} child {node {$P$}}}
        }
        child{node{2}
          child {node{$A_3$} child {node {$P$}}}
          child {node{$A_2$} child {node {$G$}}}
          child {node{$A_1$} child {node {$G$}}}
        }
        child{node{1}
          child {node{$A_3$} child {node {$P$}}}
          child {node{$A_2$} child {node {$P$}}}
          child {node{$A_1$} child {node {$G$}}} } ;
      \end{tikzpicture}
      \caption{Arbre à compléter}
      \label{fig_AL19_02DC}
    \end{figure}
  \item Pour tous les intervallles, il y a autant situation de gains
    que de pertes.
  \end{enumerate}
\item La probabilité de gagner pour tout intervalle est de
  $\frac{2}{n}$.
\item
  \begin{enumerate}
  \item On devrait être aux environs de $\frac{1}{2}$, or les
    fréquencess de gain $f(A_1) \approx 0,43$,  $f(A_2) \approx
    0,28$, $f(A_3) \approx 0,28$ et $f(A_4) \approx 0,42$.
  \item $p$ doit vérifier $2p+p+p+p+2p = 1$, soit $7p =1$, donc $p =
    \frac{1}{7}$
  \item Les probabilités de gain sont $ p(A_1) = p(A_4) =\frac{2}{7}+
    \frac{1}{7} = \frac{3}{7} \approx 0,428$, $p(A_2) = p(A_3) = \frac{2}{7}
    \approx 0,285$. Les valeurs théoriques sont bien plus proche de
    résultats expérimentaux.     
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\Partie{Situation 2}
\begin{enumerate}
\item La probabilité de gagner lorsque le tir arrive en $A_1$ est la
  probabilité que l'humanoïde soit derrière le rocher $1$ ou $2$,
  multiplier par la probabilité que la grenade arrive en $A_1$. Soit
  $\frac{2}{n+2}q_1 + \frac{1}{n+2}q_1 = \frac{3}{n+2}q_1$. De même
  pour $A_2$. soit $\frac{2}{n+2}q_2$. On veut que ces probabilités
  soient égales, on a donc :
  \[
    \frac{3}{n+2}q_1 =\frac{2}{n+2}q_2.
  \]
\item On aurait de la même manière, $\frac{2}{n+2}q_2 = \frac{2}{n+2}
  q_3$, donc $q_3 = q_2$.  Et de proche en proche $ q_i =  q_2$, pour
  $ 2 \leq i \leq n-2$. Et $\frac{2}{n+2}q_{n-2} =
  \frac{3}{n+2}q_{n-1}$, d'où $q_1 = q_{n-1}$. On en déduit, comme la
  somme des $q_i$ vaut $1$, que :
  \[
    2q_1 + (n-3)q_2 = 1.
  \]
\item On a donc :
  \[
      \begin{cases}
        3q_1 &= 2q_2 \\
        2q_1 + (n-3)q_2 & = 1 
      \end{cases}
      \text{ soit }
      \begin{cases}
        q_2 &= \frac{3}{2}q_1\\
        2q_1 + \frac{3n-9}{2} q_1 &= 1
      \end{cases}
      \text{ soit }
      \begin{cases}
        q_1 &= \frac{2}{3n-5}\\
        q_2 &= \frac{3}{3n-5}\\
      \end{cases}
  \]
\item On choisit $q_1$ et $q_2$ avec les probabilités précédentes.
\end{enumerate}
\end{Corrige}
\end{Enonce}

\Partie{Séries autre que S}

\begin{Enonce}[Des nombres renversants !]

  Sophie s'amuse souvent avec les nombres entiers naturels ; elle joue ainsi à les
  \og renverser \fg{}.

\begin{olympAlert}{Nombre renversé}
  Le \grascoll{renversé} d'un entier naturel est l'entier naturel
  formé avec les mêmes chiffres mais écrit dans le sens contraire. 

  $123$ est le renversé de $321$. (Remarque : si un nombre est égal à
  son renversé, on dit qu'il est \emph{palindrome}.)
\end{olympAlert}

\begin{enumerate}
\item Sophie a constaté que $32$ et $56$ ont la même somme que leurs
  renversés, $23$ et $65$. Elle remarque que $32$ et $56$ ont la
  caractéristique suivante : la somme des chiffres des dizaines, $3$ et
  $5$, est égale à la somme des chiffres des unités $2$ et $6$.
  \begin{enumerate}
  \item Donner un autre couple de nombres à deux chiffres ayant cette
    caractéristique sur les dizaines et les unités. Leur somme
    est-elle égale à celle de leurs renversés ?
  \item Sophie conjecture la proposition suivante, appelée $P_1$ : \og
    La somme de deux nombres entiers à deux chiffres $n_1$ et $n_2$,
    non multiples de $10$, est égale à la somme de leurs
    renversés, \emph{si, et seulement si}, la somme des chiffres de
    leurs dizaines est égale à la somme des chiffres de leurs
    unités. \fg{}

    Elle veut prouver que sa conjecture est vraie.

    Pour cela, elle décompose dans la base $10$ chacun des
    nombres$n_1$ et $n_2$ :
    \[
      n_1 = 10d_1 + u_1 \text{ et } n_2 = 10d_2 + u_2 
    \]
    où $d_1$ et $d_2$ sont 
    les chiffres des dizaines respectifs de $n_1$ et $n_2$,
    $u_1$ et $u_2$ sont les chiffres des unités respectifs de $n_1$ et
    $n_2$.

    Prouver que la somme des nombres $n_1$ et $n_2$ est égale à la somme des renversés de
    $n_1$ et $n_2$ si, et seulement si, $d_1 + d_2 = u_1 + u_2$.
  \end{enumerate}
\item Sophie s'intéresse aussi aux nombres renversés à trois
  chiffres. Après plusieurs essais sur la somme de deux nombres à
  trois chiffres et celle de leurs renversés, elle conjecture la
  proposition suivante, appelée $P_{2}$ :

  \og La somme de deux nombres entiers à trois chiffres
  $n_1$ et $n_2$ (non multiples de 10) est égale à la somme de leurs
  renversés, \emph{si, et seulement si}, la somme des chiffres de leurs centaines est
  égale à a somme des chiffres de leurs unités. \fg{}

  \begin{enumerate}
  \item Donner un couple de deux nombres entiers à trois chiffres qui
    vérifie cette propriété.
  \item Par une démarche analogue à celle proposé au b) ci-dessus,
    démontrer la proposition $P_{2}$. 

    \emph{Indication : On pourra noter c le chiffre des centaines
      d'un nombre à trois chiffres, d le chiffre des dizaines, u le
      chiffre des unités\ldots}
  \end{enumerate}
\item Sophie veut généraliser les propriétés $P_{1}$ et
  $P_{2}$ aux nombres entiers à quatre chiffres. Elle
  énonce la proposition suivante :

  \og La somme de deux nombres entiers à quatre chiffres $n_1$ et
  $n_2$ (non multiples de $10$) est égale à la somme de leurs renversés
  si la somme des chiffres des milliers est égale à la somme des
  chiffres de leurs unités. \fg{}
  \begin{enumerate}
  \item La somme des nombres \num{3141} et \num{2034}
    est-elle égale à la somme de leurs renversés ? La proposition de
    Sophie est-elle vraie ? Que constate-t-on sur la somme de ces deux
    nombres et celles de leurs renversés ?
  \item Compléter les cases par des entiers naturels
    \grascoll{distincts} dans les nombres à quatre chiffres ci-après
    pour que leur somme soit égale à celle de leurs renversés :
    $3\square \square 4$ et $2\square \square 1$.
  \item Que doit ajouter Sophie comme hypothèse dans
    l'écriture de sa proposition pour qu'elle soit vraie pour ~des
    nombres à quatre chiffres, avec un chiffre des centaines distinct
    de celui des dizaines ?
  \end{enumerate}


\item Qu'en est-il pour les nombres entiers à 5 chiffres (non
  multiples de 10)? Enoncer une conjecture la plus précise possible.

\item Sophie envoie par mail l'énigme suivante à son ami anglais Alan  :

  \foreignlanguage{english}{\og I'm an odd number between $54$ and
    $90$. If I'm added to my inverted number, then this sum is an even
    number between $54$ and $90$. Who am I ?\fg\footnote{Traduction:
      \og Je suis un nombre impair situé entre $54$ et $90$. Si on
      m'ajoute à mon renversé, on obtient un nombre pair situé entre
      $54$ et $90$. Qui suis-je ? \fg{}}}

  Quel est le nombre que doit trouver Alan ?
\end{enumerate}
\begin{Corrige}
  \begin{enumerate}
  \item \item
    \begin{enumerate}
      Par exemple, $43$ et $67$. $43 + 67 = 34 + 76 = 110$.
    \item On a $ n_1 = 10d_1+u_1$ et $n_2 = 10d_2 + u_2$, le renversé
      de $n_1$ est $N_1 = 10u_1 + d_1$ et celui de
      $N_2 = 10u_2 + d_2$.
      \begin{itemize}
      \item Si $n_1 + n_2 = N_1 + N_2$ alors
        $10(d_1 +d_2) +u_1+u_2 = 10(u_1+u_2) + d_1 +d_2$, soit
        $9(d_1+d_2) = 9(u_1+u_2)$, soit $d_1+d_2 = u_1+u_2$.
      \item Si $d_1+d_2 = u_1+u_2$, alors
        $n_1 + n_2 = 10(d_1+d_2)+u_1+u_2 = 10 (u_1 + u_2) + d_1+d_2 =
        N_1+N_2$.
      \end{itemize}
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Par exemple, $123$ et $715$. La somme vaut $838$ et la somme
      des renversés $321$ et $517$ donne aussi $838$.
    \item $n_1 = 100c_1 + 10d_1 + u_1$, $n_2 = 100c_2 + 10d_2 + u_2$ ;
      les renversés sont $N_1 = 100u_1 + 10d_1 + c_1$ et $N_2 = 100
      u_2 + 10 d_2 + c_2$
      \begin{itemize}
      \item Si $n_1 + n_2 = N_1 + N_2$, alors $100(c_1+c_2) +
        10(d_1+d_2) + (u_1+u_2) = 100(u_1+u_2) + 10(d_1+d_2) +
        (c_1+c_2)$.  D'où $99(c_1+c_2) = 99(u_1+u_2)$, donc $c_1+c_2=
        u_1+u_2$.
      \item Réciproquement, on a $c_1+c_2 = u_1+u_2$. Alors, $n_1+n_2
        = 100(c_1+c_2)+10(d_1+d_2)+(u_1+u_2) =
        100(u_1+u_2)+10(d_1+d_2)+ (c_1+c_2) = N_1+N_2$.
      \end{itemize}
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item $\num{3141}+\num{2034} = \num{5175}$ et $\num{1413} +
      \num{4302} = \num{5715}$. La propriété de Sophie est donc
      fausse. On constate que ce sont des renversé l'un de l'autre.
    \item $\num{3124}$ et $\num{2871}$. La somme vaut $\num{5995}$ et
      la somme des renversés est : $\num{4213}+\num{1782} = \num{5995}$.
    \item La propriété qui assure que la propriété est vraie pour des
      nombres de quatre chiffres est :
      \og La somme de deux nombres entiers à quatre chiffres $n_1$ et
      $n_2$ (non multiples de $10$) est égale à la somme de leurs renversés
      si la somme des chiffres des milliers est égale à la somme des
      chiffres de leurs unités et la somme des centaines est égale à
      la somme des dizaines. \fg{}
    \end{enumerate}
  \item Pour les nombres à 5 chiffres, la proposition est :
    \og La somme de deux nombres entiers à cinq chiffres $n_1$ et
  $n_2$ (non multiples de $10$) est égale à la somme de leurs renversés
  si la somme des chiffres des dizaine de milliers est égale à la somme des
  chiffres de leurs unités, et la somme des milliers est égale à la
  somme des dizaines. \fg{}
\item Soit $d$ et $u$ les chiffres des dizaines et des unités du
  nombre $n$. On en déduit les contraintes suivantes :
  \begin{itemize}
  \item $n$ est impair, donc $ u $ est $1$, $3$, $5$, $7$, ou $9$.
  \item $d$ est donc $5$, $6$, $7$, $8$.
  \item $n + N =  11(d+u)$, $N$ étant le renversé de $n$. Don, $n + N$
    vaut $55$, $66$, $77$ ou $88$. Mais la somme est pair donc, $d+u $
    vaut $6$ ou $8$.  
  \end{itemize}
  
  Si $d+u =  6$, alors $d = 5$ et $u = 1$, mais $51 < 54$, donc ce cas
  n'est pas possible.

  Si $d+u = 8$, alors :
  \begin{itemize}
  \item $d = 5$ et $u=3$, mais $53 < 54$, donc impossible.
  \item $d = 6$ et $u=2$, mais $62$ est pair, donc impossible.
  \item $d = 7$ et $u=1$, $n = 71$ et $N=17$, et la somme vaut bien $88$.
  \end{itemize}
  Le nombre cherché est donc $71$.
\end{enumerate}
\end{Corrige}
\end{Enonce}

\begin{Enonce}[Le coup franc de la victoire]

  Avant la finale de la coupe du monde, Antoine Griezmann s'était
  entraîné à tirer des coups francs directs.

  Il cherchait à déterminer, en fonction de la distance du but à
  laquelle il se trouvait, un moyen d'envoyer le ballon se loger dans
  la lucarne (l'un des deux coins hauts du but) du gardien adverse.

  On suppose que la trajectoire d'un coup franc direct est décrite par
  une parabole du plan. On néglige toute force extérieure pouvant
  modifier la trajectoire du ballon (frottements de la pelouse sur le
  ballon, vent, etc.).  \grascoll{On prendra pour origine du repère
    l'endroit où est placé le ballon pour le coup franc}.


On rappelle les dimensions suivantes (voir figure de gauche) pour un terrain de football :
\begin{itemize}
\item le but mesure \grascoll{2,44 mètres de haut} pour \grascoll{7,32
    mètres de long} ;
\item la surface de réparation mesure \grascoll{16,50 mètres de large} ;
\item pour tirer un coup franc, le gardien adverse peut placer son mur
  de joueurs à $9,15$ mètres de l'endroit où  l'arbitre a donné la
  faute, et où est placé le ballon. Afin de simplifier les calculs,
  \grascoll{nous considérons que le mur est placé à 9,50 mètres du ballon}.
\end{itemize}

\begin{figure}[!p]
  \centering

\vspace*{2cm}

\begin{tikzpicture}[scale=0.1,line width=1.0pt,draw=white,y=1.25cm]

  \def\sideL{105}% min = 90 max = 120
  \def\goalL{67.5}% min = 45 max = 90
  \def\dx{8.5}% bord du terrain
  \FPeval\sideC{\sideL/2}% coordonnée des milieux
  \FPeval\goalC{\goalL/2}
  \def\rayonC{9.15}
  \def\hbut{2.44}
  \def\lbut{7.32}
  \def\rayonCo{3}% Agrandit pour la lisibilité
  \def\SurfaceP{16.5}
  \FPeval\SurfaceL{2*\SurfaceP+\lbut}
  \def\surfacep{5.5}
  \FPeval\surfacel{\lbut+2*\surfacep}
  \def\distPenalty{11}
  \def\rayonP{0.5}
  % le terrain
  \fill[green!50!black] (-\dx,0,-\dx)--(\goalL+\dx,0,-\dx)
  --(\goalL+\dx,0,\sideL+\dx)--(-\dx,0,\sideL+\dx) --cycle ;
  % les lignes externes
  \draw (0,0,0) --(\goalL,0,0) --(\goalL,0,\sideL)--(0,0,\sideL)--cycle ; 
  % ligne médiane
  \draw (0,0,\sideC) -- (\goalL,0,\sideC) ;
  % cercle médian : pas de cercle en pseudo 3d, donc on l'approche
  % avec des courbes de Béziers.
  \draw (\goalC-\rayonC,0,\sideC) .. controls +(0,0,\rayonC/2) and +(-\rayonC/2,0,0) ..
  ++(\rayonC,0,\rayonC) .. controls +(\rayonC/2,0,0) and +(0,0,\rayonC/2)..
  ++(\rayonC,0,-\rayonC) .. controls +(0,0,-\rayonC/2) and +(\rayonC/2,0,0)..
  ++(-\rayonC,0,-\rayonC) .. controls +(-\rayonC/2,0,0) and +(0,0,-\rayonC/2)..
  cycle ;
  % Les coins de corner
  \draw (\rayonCo,0,0) .. controls +(0,0,\rayonCo/2) and +(\rayonCo/2,0,0) .. (0,0,\rayonCo) ;
  \draw (\goalL-\rayonCo,0,0) .. controls +(0,0,\rayonCo/2) and
  +(-\rayonCo/2,0,0) .. (\goalL,0,\rayonCo) ; 
  \draw (\goalL-\rayonCo,0,\sideL) .. controls +(0,0,-\rayonCo/2) and
  +(-\rayonCo/2,0,0) .. (\goalL,0,\sideL-\rayonCo) ; 
  \draw (0,0,\sideL-\rayonCo) .. controls +(\rayonCo/2,0,0) and
  +(0,0,-\rayonCo/2) .. (\rayonCo,0,\sideL) ;
  
  % surface de réparation
  \draw (\goalC-\rayonC,0,\distPenalty) ..controls +(0,0,\rayonC/2) and
  +(-\rayonC/2,0,0) .. ++(\rayonC,0,\rayonC)
  .. controls +(\rayonC/2,0,0) and  +(0,0,\rayonC/2) .. ++(\rayonC,0,-\rayonC);
  \filldraw[fill=green!50!black](\goalC-\SurfaceL/2,0,0) --++(0,0,\SurfaceP)
  --++(\SurfaceL,0,0) --++(0,0,-\SurfaceP)--cycle ;

  \draw(\goalC-\rayonC,0,\sideL-\distPenalty) ..controls +(0,0,-\rayonC/2) and
  +(-\rayonC/2,0,0) ..++(\rayonC,0,-\rayonC)
  .. controls +(\rayonC/2,0,0) and  +(0,0,-\rayonC/2) .. ++(\rayonC,0,\rayonC);

  \filldraw[fill=green!50!black](\goalC+\SurfaceL/2,0,\sideL) --++(0,0,-\SurfaceP)
  --++(-\SurfaceL,0,0) --++(0,0,\SurfaceP)--cycle ;

  % points de penalty
  \fill[white] (\goalC-\rayonP,0,\distPenalty)
  .. controls +(0,0,\rayonP/2) and +(-\rayonP/2,0,0)
  ..++(\rayonP,0,\rayonP) .. controls +(\rayonP/2,0,0) and +(0,0,\rayonP/2)..
  ++(\rayonP,0,-\rayonP) .. controls +(0,0,-\rayonP/2) and +(\rayonP/2,0,0)..
  ++(-\rayonP,0,-\rayonP) .. controls +(-\rayonP/2,0,0) and +(0,0,-\rayonP/2)..
  cycle ;
  \fill[white] (\goalC-\rayonP,0,\sideL-\distPenalty)
  .. controls +(0,0,\rayonP/2) and +(-\rayonP/2,0,0)
  ..++(\rayonP,0,\rayonP) .. controls +(\rayonP/2,0,0) and +(0,0,\rayonP/2)..
  ++(\rayonP,0,-\rayonP) .. controls +(0,0,-\rayonP/2) and +(\rayonP/2,0,0)..
  ++(-\rayonP,0,-\rayonP) .. controls +(-\rayonP/2,0,0) and +(0,0,-\rayonP/2)..
  cycle ;
  % surface interne
  \draw(\goalC-\surfacel/2,0,0) --++(0,0,\surfacep)
  --++(\surfacel,0,0) --++(0,0,-\surfacep)--cycle ;

  \draw(\goalC+\surfacel/2,0,\sideL) --++(0,0,-\surfacep)
  --++(-\surfacel,0,0) --++(0,0,\surfacep)--cycle ;

  % buts 
  \draw (\goalC-\lbut/2,0,0) --++(0,\hbut,0) --++(\lbut,0,0)
  --++(0,-\hbut,0) ;
  \draw[shift={(0,0,\sideL)}] (\goalC-\lbut/2,0,0) --++(0,\hbut,0)
  --++(\lbut,0,0) --++(0,-\hbut,0) ; 

  % Antoine G.
  \fill[white] (\goalC-\lbut/2-\rayonP,0,\sideL-26)
  .. controls +(0,0,\rayonP/2) and +(-\rayonP/2,0,0)
  ..node[above,font=\tiny\sffamily] {Coup franc}++(\rayonP,0,\rayonP) .. controls
  +(\rayonP/2,0,0) and +(0,0,\rayonP/2).. 
  ++(\rayonP,0,-\rayonP) .. controls +(0,0,-\rayonP/2) and +(\rayonP/2,0,0)..
  ++(-\rayonP,0,-\rayonP) .. controls +(-\rayonP/2,0,0) and +(0,0,-\rayonP/2)..
  cycle ;
  
  % Distances diverses
  \begin{scope}[<->,>=stealth,shift={+(0,0,5)},
    line width=0.4pt,font=\tiny\sffamily]
    \draw(\goalC-\lbut/2,0,\sideL) -- node[below,midway]
    {$\SI{7.32}{\m}$}(\goalC+\lbut/2,0,\sideL) ;
    \draw(\goalC-\lbut/2,0,\sideL) -- node[below,midway]
    {$\SI{16.5}{\m}$}(\goalC-\SurfaceL/2,0,\sideL) ; 
    \draw(\goalC+\lbut/2,0,\sideL) -- node[below,midway]
    {$\SI{5.5}{\m}$}(\goalC+\surfacel/2,0,\sideL) ;
    \draw  (0,0,\sideL) -- node[below,midway] {$\SI{9.15}{\m}$}
    (\rayonC,0,\sideL)  ; 
  \end{scope}
  \begin{scope}[<->,>=stealth,
    line width=0.4pt,font=\tiny\sffamily,color=white]
    \draw[shift={+(-2,0,0)}](\goalC+\SurfaceL/2,0,\sideL) -- node[left,midway]
    {$\SI{5.5}{\m}$}(\goalC+\SurfaceL/2,0,\sideL-\SurfaceP) ;
    \draw(\goalC,0,0) -- node[left,near end]
    {$\SI{11}{\m}$}(\goalC,0,\distPenalty) ;
    \draw(\goalC,0,\sideL-\distPenalty) -- node[right,near start]
    {$\SI{9.15}{\m}$} ++(\rayonC*0.5,0,-\rayonC*0.866) ;
    \draw(\goalC,0,\sideC) -- node[left,midway]
    {$\SI{9.15}{\m}$} ++(\rayonC*0.5,0,-\rayonC*0.866) ;
    \draw[shift={(1,0,0)}](\goalL,0,\sideL) -- node[right,midway]
    {$\SI{1}{\m}$} ++(0,0,-\rayonCo) ;
  \end{scope}
  % 9.15 m à partir des corners
  \draw (0,0,0) --++(\rayonC,0,0) --++(0,0,-1.5) ;
  \draw (0,0,0) --++(0,0,\rayonC) --++(-1.5,0,0) ;
  \draw (\goalL,0,0) --++(0,0,\rayonC) --++(+1.5,0,0) ;
  \draw (\goalL,0,0) --++(-\rayonC,0,0) --++(0,0,-1.5) ;
  \draw (0,0,\sideL) --++(\rayonC,0,0) --++(0,0,1.5) ;
  \draw (0,0,\sideL) --++(0,0,-\rayonC) --++(-1.5,0,0) ;
  \draw (\goalL,0,\sideL) --++(0,0,-\rayonC) --++(1.5,0,0) ;
  \draw (\goalL,0,\sideL) --++(-\rayonC,0,0) --++(0,0,+1.5) ;

  % \draw[->,red,line width=2pt] (0,0,0) -- (10,0,0) ;
  % \draw[->,orange,line width=2pt] (0,0,0) -- (0,10,0) ;
  % \draw[->,blue,line width=2pt] (0,0,0) -- (0,0,10) ;
\end{tikzpicture}

\def\jambe#1#2
{%
  \fill[white,draw=black] (0,4) rectangle +(1,2) ;
  \fill[#2] (0,2) rectangle +(1,2) ;
  \fill[#1] (0,0) rectangle +(1,2) ;
  \fill[black] (0.5,0) circle (0.5) ;
}%
\def\bras#1#2
{
  \fill[#1,draw=#1] (-0.25,0.25) rectangle +(0.45,3.75) ;
  \fill[#2] (0,0) circle (0.25) ; 
}
\def\footix#1#2#3
{
  \begin{scope}[inner sep=0pt,outer sep=0pt,rounded corners=1pt]
    \begin{scope}[shift={(0.5,11.1)}]
      \fill[#3] (0,0) circle (1) ;
    \end{scope}
    \begin{scope}[shift={(-1.65,6)}]
      \bras{#2}{#3}
    \end{scope}
    \begin{scope}[shift={(2.65,6)}]
      \bras{#2}{#3}
    \end{scope}
    \begin{scope}[shift={(0,6)},rounded corners = 2pt]
      \fill[#2,draw=#2] (-1.25,0) rectangle +(3.5,4) ;
    \end{scope}
    \begin{scope}[shift={(-0.65,0)}]
      \jambe{#2}{#3}
    \end{scope}
    \begin{scope}[shift={(+0.65,0)}]
      \jambe{#2}{#3}
    \end{scope}
  \end{scope}
}

\vspace*{2cm}
\begin{tikzpicture}[scale=0.25]
  
  \fill[green!50!black,shift={(0,0,-8.5)}](0,0,0) -- (0,0,8.5) --(30,0,8.5) --(30,0,0)
  --cycle ;
  \fill[green!60!black](0,0,0) -- (0,0,6.5)
  --(30,0,6.5) --(30,0,0) --cycle ; 
  \fill[green!50!black,shift={(0,0,6.5)}](0,0,0) -- (0,0,6.5)
  --(30,0,6.5) --(30,0,0) --cycle ;  
  \fill[green!60!black,shift={(0,0,13)}](0,0,0) -- (0,0,6.5)
  --(30,0,6.5) --(30,0,0) --cycle ;  
  \fill[green!50!black,shift={(0,0,19.5)}](0,0,0) -- (0,0,6.5)
  --(30,0,6.5) --(30,0,0) --cycle ;
  \fill[green!60!black,shift={(0,0,26)}](0,0,0) -- (0,0,6.5)
  --(30,0,6.5) --(30,0,0) --cycle ;  
  \draw[white,line width=2pt] (0,0,0) --(30,0,0) ;
  \def\rayonC{9.15}
  \def\distPenalty{11}
  \draw[white,line width=2pt] (15-\rayonC,0,15) ..controls +(0,0,\rayonC/2) and
  +(-\rayonC/2,0,0) .. ++(\rayonC,0,\rayonC)
  .. controls +(\rayonC/2,0,0) and  +(0,0,\rayonC/2)
  .. ++(\rayonC,0,-\rayonC);
  \draw[draw=white,line width=2pt] (15-7.32/2-5.5,0,0) --++(0,0,5.5)
  --++(2*5.5+7.32,0,0) --++(0,0,-5.5)--cycle ;
  \draw[white,line width=2pt] (0,0,19.5) -- (35,0,19.5) ;
  \fill[green!60!black,shift={(0,0,13)}](0,0,0) -- (0,0,6.5)
  --(30,0,6.5) --(30,0,0) --cycle ;
  \draw[white,line width=2pt] (0,0,19.5) -- (35,0,19.5) ;
  \draw[white,line width=2pt] (15-7.32/2,0,0) --++(0,2.44,0)
  --++(7.32,0,0) --+(0,-2.44,0) ;
  
  \begin{scope}[shift={(14,0,1)}]
    \begin{scope}[scale=0.2]
      \footix{yellow}{red}{SandyBrown}
    \end{scope}
  \end{scope}

  \begin{scope}[shift={(20,0,30)}]
    \begin{scope}[scale=0.2]
      \footix{red}{blue}{SandyBrown}
    \end{scope}
  \end{scope}

  \begin{scope}[shift={(21,0,15)}]
    \begin{scope}[scale=0.2]
      \footix{white}{white}{SandyBrown}
    \end{scope}
  \end{scope}

  \begin{scope}[shift={(20,0,15)}]
    \begin{scope}[scale=0.2]
      \footix{white}{white}{SandyBrown}
    \end{scope}
  \end{scope}

  \begin{scope}[shift={(19,0,15)}]
    \begin{scope}[scale=0.2]
      \footix{white}{white}{SandyBrown}
    \end{scope}
  \end{scope}

  \begin{scope}[shift={(18,0,15)}]
      \begin{scope}[scale=0.2]
        \footix{white}{white}{SandyBrown}
      \end{scope}
  \end{scope}

  \begin{scope}[shift={(17,0,15)}]
    \begin{scope}[scale=0.2]
      \footix{white}{white}{SandyBrown}
    \end{scope}
  \end{scope}
  \begin{scope}[shift={(15+7.32/2,0,26)}]
    \fill[gray!30!white] (1.2,0.33) circle (0.32);
    \begin{scope}
      \clip (1.2,0.33) circle (0.32);
      \fill[black] (1.06,0.30) -- (1.01,0.17) -- (1.14,0.08) --
      (1.26,0.14) -- (1.20,0.28) -- cycle (1.37,0.14) -- (1.46,0.27)
      -- (1.59,0.27) -- (1.41,0.04) -- cycle (1.28,0.38) --
      (1.22,0.52) -- (1.33,0.61) -- (1.45,0.51) -- (1.43,0.37) --
      cycle (0.87,0.44) -- (1.02,0.40) -- (1.10,0.53)  --
      (1.07,0.62) -- (0.94,0.57) -- cycle; 
    \end{scope}
\end{scope}

\draw[dashed] (15+7.32/2,0,0)--(15+7.32/2,0,26) ;
\end{tikzpicture}
\vfill
~
\caption{}
\label{fig_AL19_04A}
\end{figure}

\begin{enumerate}
\item L'arbitre accorde un coup franc à l'équipe d'Antoine Griezmann,
  situé à $2$6 mètres de la ligne de but du gardien (voir figures
  \ref{fig_AL19_04A}). Afin de mettre le ballon hors de portée du gardien,
  Antoine Griezmann décide d'envoyer le ballon en face de lui, à une
  hauteur de $2$ mètres. Il devra cependant faire passer son ballon
  au-dessus du mur de joueurs, d'une taille de $1,85$ mètre. Nous
  supposerons dans un premier temps que le mur reste immobile au
  sol. Déterminer \grascoll{une} fonction $f$ permettant de réaliser un tel coup
  franc.

\item À l'aide de votre fonction précédemment trouvée, déterminer à
  quelle distance de l'endroit où a été posé le ballon la fonction
  atteindra son maximum. Quel est la valeur de ce maximum ? 

\item On suppose maintenant, en plus des hypothèses de la question
  1., que \grascoll{le mur saute verticalement d'une hauteur de
    \SI{35}{\centi\m}} afin de gêner Antoine Griezmann, et que la trajectoire du
  ballon qu'il envoie atteint son maximum en $x=17$ mètres. Dans ces
  conditions, est-il possible de déterminer une fonction $g$ permettant
  à Antoine Griezmann de marquer un but ? Si oui, la
  déterminer.
\item On souhaite écrire un algorithme permettant de savoir si la
  fonction choisie permet de marquer un but ou non. Compléter les
  deuxièmes lignes de chaque condition dans l'algorithme
  afin qu'il permette de répondre au problème.
  \begin{algorithm}[!h]
    \KwData{Saisir $a$, $b$ et $c$}
    \eIf{$x = = 9.5$}
    {
      \eIf{$ax^2+bx+c \makebox[1cm]{\dotfill}$}
      {
      renvoyer VRAI
    }
    {
      renvoyer FAUX
    }
  }{}
  \eIf{$x = = 26$}
    {
      \eIf{\makebox[5cm]{\dotfill}}
      {
      renvoyer BUT
    }
    {
      renvoyer PAS BUT
    }
  }
  {}
  \end{algorithm}
\end{enumerate}
\begin{Corrige}
  \begin{enumerate}
  \item Une fonction parabole est de la forme $f(x) = ax^2 +bx + c$.
    \begin{itemize}
    \item L'origine du repère se situe à l'endroit du coup-franc, donc
      $f(0) = 0$ ce qui entraîne $c = 0$.
    \item On a $f(26) = 2$, donc $26^2a + 26b = 2$, soit $26a+b =
      \frac{2}{26}$. On tire alors $ b = \frac{2}{26} -26a$.
    \item Enfin, on doit avoir $f(9,5) \geq 1,85$, en prenant $f(9)
      =2$, on doit respecter cette contrainte.

      $9^2a + 9b = 2$, soit $ 9a + b = \frac{2}{9}$. $9a +
      \frac{2}{26} - 26a  = \frac{2}{9}$. On tire que $ a =
      -\frac{1}{117}$ et $ b = \frac{35}{117}$.
    \end{itemize}

    Une des fonctions possibles est : $-\frac{1}{117}x^2 +
    \frac{35}{177}x$. Il y en a d'autres.

    Le graphique \ref{fig_AL_19_04AC} permet une vérification a posteriori du respect des
    contraintes.

    \begin{figure}[!p]
      \centering
        \begin{tikzpicture}[rotate around={90:(13.5,1.5)},xscale=0.5,yscale=2]
          \draw[lightgray] (0,0) grid[ystep=0.25] (27,3) ;
          \draw[->,>=stealth] (0,0) -- (27,0) ; \draw[->,>=stealth]
          (0,0) -- (0,3) ; 
          \foreach \x in {0,2,...,26} 
          { 
            \node[below,rotate=90] at (\x,0) {\x} ; 
          } 
          \foreach \y in {0,0.5,...,3} 
          {
            \node [left,rotate=90] at (0,\y) {\y} ; 
          } 
          \draw[colLogo,line width=2pt] plot[domain=0:27]
          (\x,-\x*\x/117 + 35*\x/117) ;

          %\draw[colLogoTeinte,line width=2pt] plot[domain=0:27]
          %(\x,-\x*\x/104 + 17*\x/52) ;
          
          \draw[line width=3pt] (9.5,0) --(9.5,1.85) ;
          \draw[line width=3pt] (26,0) --(26,2.44) ;
        \end{tikzpicture}
      \caption{ }
      \label{fig_AL_19_04AC}
    \end{figure}
  \item Le maximum est atteint en $-\frac{b}{2a}$, soit en
    $\frac{35}{2} = 17,5 $. Le maximum vaut : $f(17,5) = \frac{35^2
    }{4 \times 117} \approx \SI{2.61}{ \m}$.
  \item On a toujours $ b = \frac{2}{26} -26a$ et $-\frac{b}{2a} =
    17$. On en déduit que $a = -\frac{1}{104} $ et $ b =
    \frac{17}{52}$.

    On a bien $ g(9,5) \approx 3 > 2,20$.
  \item On obtient l'algorithme :
    \begin{algorithm}[!h]
    \KwData{Saisir $a$, $b$ et $c$}
    \eIf{$x = = 9.5$}
    {
      \eIf{$ax^2+bx+c > 2$}
      {
      renvoyer VRAI
    }
    {
      renvoyer FAUX
    }
  }{}
  \eIf{$x = = 26$}
    {
      \eIf{$ 2 \leq 26^2a + 26b +c < 2,44 2$}
      {
      renvoyer BUT
    }
    {
      renvoyer PAS BUT
    }
  }
  {}
  \end{algorithm}

  \end{enumerate}
\end{Corrige}
\end{Enonce}

\Partie{Série professionnelle}

\begin{center}
    \grascoll{Un ordinateur doit être mis à la disposition des
      candidats comme lors des épreuves de CCF de
      mathématiques. L'épreuve se déroule par équipe.}
  \end{center}


\begin{Enonce}[Qui est-ce ?]

  \begin{olympAlert}{}
    \og Première dame \fg{} des mathématiques, cette femme fut la
    première à remporter la médaille Fields, plus haute récompense
    dans le domaine des mathématiques, en 2014.
  \end{olympAlert}
\def\boite#1#2%
{%
  \begin{tikzpicture}[inner sep=1.5pt,color=colLogo]
    \draw[colLogo,line width=1.5pt] (0,0) rectangle (5ex,3em) ;
    \node at (2.5ex,1.75em) {\Large\sffamily\bfseries#2} ;
    \node[above left,inner sep=0pt,outer sep=0pt] at (4.75ex,0.25em)
    {\footnotesize\sffamily\bfseries#1} ; 
  \end{tikzpicture}\hspace*{-1.5pt}%
}
\begin{center}
  % Prénom
  \boite{1}{}%
  \boite{2}{}%
  \boite{3}{}%
  \boite{4}{}%
  \boite{2}{}%
  \boite{1}{}%
  \hspace*{1.5ex}
  % Nom
  \boite{1}{}%
  \boite{5}{}%
  \boite{3}{}%
  \boite{6}{}%
  \boite{2}{}%
  \boite{7}{}%
  \boite{8}{}%
  \boite{2}{}%
  \boite{9}{}%
  \boite{5}{}%
\end{center}

Pour trouver le nom et le prénom de la personne recherchée, il faut
effectuer les calculs indiqués ci-dessous puis identifier la lettre
correspondant au résultat de ce calcul selon le principe : 1
correspond à A, 2 à B, \ldots


\begin{center}
  \grascoll{A vous de jouer !}
\end{center}

On considère  $f$,  $g$ et  $h$ les fonctions définies par :
 \[
   f\left(x\right)=2x+3 \qquad  g\left(x\right)=2x^2-3x+26  \qquad h\left(x\right)=\frac 3{2x+3} 
 \]


Chaque nombre à trouver est défini par les calculs suivants : 
\begin{enumerate}
\item c'est un antécédent de 325 par la fonction $g$
\item c'est $h(0)$
\item L'image du nombre cherché par la fonction $g$ est 620
\item c'est $g(1)$
\item c'est $f(3)$
\item c'est l'image de $0$ par la fonction $g$
\item c'est l'image de $4$ par la fonction $f$
\item l'image du nombre cherché par la fonction $h$ est $\frac 3{19}$
\item c'est l'antécédent de $31$ par la fonction $f$
\end{enumerate}
\begin{Corrige}
  \def\boite#1#2%
  {%
    \begin{tikzpicture}[inner sep=1.5pt,color=colLogo]
      \draw[colLogo,line width=1.5pt] (0,0) rectangle (5ex,3em) ;
      \node at (2.5ex,1.75em) {\Large\sffamily\bfseries#2} ;
      \node[above left,inner sep=0pt,outer sep=0pt] at (4.75ex,0.25em)
      {\footnotesize\sffamily\bfseries#1} ; 
    \end{tikzpicture}\hspace*{-1.5pt}%
  }
  \begin{center}
  % Prénom
  \boite{1}{M}%
  \boite{2}{A}%
  \boite{3}{R}%
  \boite{4}{I}%
  \boite{2}{A}%
  \boite{1}{M}%
  \hspace*{1.5ex}
  % Nom
  \boite{1}{M}%
  \boite{5}{I}%
  \boite{3}{R}%
  \boite{6}{Z}%
  \boite{2}{A}%
  \boite{7}{K}%
  \boite{8}{H}%
  \boite{2}{A}%
  \boite{9}{N}%
  \boite{5}{I}%
\end{center}
\end{Corrige}
\end{Enonce}


\begin{Enonce}[Sudo-suites]%
  
  \begin{figure}[!h]\centering
    
    \def\cs#1{\fill[colLogoTeinte,draw=colLogo,shift={(#1)}](0,0)
      rectangle (1,1) ;}
    \def\grilleG {
      \begin{tikzpicture}[scale=0.5]
        \cs{0,8}\cs{1,8}\cs{3,8}\cs{5,8}
        \cs{1,7}\cs{4,7}\cs{6,7}\cs{8,7}
        \cs{1,6}\cs{3,6}\cs{5,6}\cs{8,6} \cs{0,5}\cs{2,5}
        \cs{0,4}\cs{1,4}\cs{3,4}\cs{4,4}\cs{5,4}\cs{7,4}\cs{8,4}
        \cs{6,3}\cs{8,3} \cs{0,2}\cs{3,2}\cs{5,2}\cs{7,2}
        \cs{0,1}\cs{2,1}\cs{4,1}\cs{7,1}
        \cs{3,0}\cs{5,0}\cs{7,0}\cs{8,0}
      
        \draw[colLogo,line width=0.8pt] (0,0) grid (9,9) ; \foreach \x
        in {0,3,6,9} { \draw[colLogo,line width=2pt] (\x,0) -- (\x,9)
          ; \draw[colLogo,line width=2pt] (0,\x) -- (9,\x) ; }
      \end{tikzpicture}
    } \def\CS#1#2%
    {%
      \node[color=colLogoTeinte,shift={(#1)},font=\Large\bfseries\sffamily,inner
      sep=0pt,outer sep=0pt] at (0.5,0.5) {#2} ; }%
  
    \def\grilleL {
      \begin{tikzpicture}[scale=0.5,every node/.style={scale=0.5}]
        \CS{0,8}{$a$}\CS{1,8}{$b$}\CS{3,8}{$c$}\CS{5,8}{$d$}
        \CS{1,7}{$d$}\CS{4,7}{$e$}\CS{6,7}{$c$}\CS{8,7}{$a$}
        \CS{1,6}{$e$}\CS{3,6}{$a$}\CS{5,6}{$f$}\CS{8,6}{$d$}
        \CS{0,5}{$c$}\CS{2,5}{$e$}
        \CS{0,4}{$d$}\CS{1,4}{$h$}\CS{3,4}{$e$}\CS{4,4}{$b$}\CS{5,4}{$c$}\CS{7,4}{$g$}\CS{8,4}{$f$}
        \CS{6,3}{$e$}\CS{8,3}{$h$}
        \CS{0,2}{$g$}\CS{3,2}{$b$}\CS{5,2}{$h$}\CS{7,2}{$a$}
        \CS{0,1}{$b$}\CS{2,1}{$a$}\CS{4,1}{$i$}\CS{7,1}{$h$}
        \CS{3,0}{$f$}\CS{5,0}{$g$}\CS{7,0}{$d$}\CS{8,0}{$i$}
      
        \draw[colLogo,line width=0.8pt] (0,0) grid (9,9) ; \foreach \x
        in {0,3,6,9} { \draw[colLogo,line width=2pt] (\x,0) -- (\x,9)
          ; \draw[colLogo,line width=2pt] (0,\x) -- (9,\x) ; }
      \end{tikzpicture}
    }
    \grilleG \grilleL
    
    \caption{ }
    \label{fig_AL_19F_A}
  \end{figure}

  \begin{olympAlert}{règles du sudoku}
    
    Un sudoku classique contient \grascolll{neuf lignes} et
    \grascolll{neuf colonnes}, donc $81$ cases au total.

    Le but du jeu est de remplir ces cases avec des chiffres allant de
    1 à 9 en veillant toujours à ce qu'un même chiffre ne figure
    qu'une seule fois par colonne, une seule fois par ligne, et une
    seule fois par carré de neuf cases.
  \end{olympAlert}
  
Chaque case grise peut être complétée à l'aide de la grille et des
définitions suivantes :  

\grascoll{A vous de jouer : compléter cette grille de sudoku !}

 \grascoll{$\left(u_n\right)$ désigne dans chaque cas ci-dessous une
   suite arithmétique de premier terme  $u_0$ et de raison  $r$ :}

\begin{itemize}
\item  $u_2=2$ et $u_6=10$ déterminer $a$ tel que   $a=r$ 
\item  $u_1=-9$ et  $r=2$ déterminer $b$ tel que b $=u_9$  
\item  $r=-5$ et  $u_5=-16$ déterminer $c$ tel que $c =u_1$ 
\item  $u_4=7$ et  $u_{11}=35$ déterminer $d$ tel que $d=\frac{r}{4}$ 
\item  $u_{2016}=4$ et $u_{2018}=20$ déterminer $e$ tel que $e=r$ 
\end{itemize}

\grascoll{$\left(v_n\right)$ désigne dans chaque cas ci-dessous une
  suite géométrique de premier  $v_0$ et de raison positive $q$ :}

\begin{itemize}
\item  $v_1=0,1875$ et  $q=2$ déterminer $f$ tel que $f =v_6$ 
\item  $v_{12}=1,8$ et  $v_{14}=45$ déterminer $g$ tel que $g =q$ 
\item  $q=4$ et  $v_8=\num{4915}2$ déterminer $h$ tel que $h =v_1$ 
\item  $v_{2015}=27$ et $v_{2018}=729$ déterminer $i$ tel que $i=r^2$ 
\end{itemize}



  
  \begin{Corrige}
    \begin{figure}[!h]\centering
      
      \def\cs#1#2%
      {%
        \fill[colLogoTeinte,draw=colLogo,shift={(#1)}](0,0)
        rectangle (1,1) ;
        \node[color=white,shift={(#1)},font=\Large\bfseries\sffamily,inner
        sep=0pt,outer sep=0pt] at (0.5,0.5) {#2} ;
      }%
      
      \def\CS#1#2%
      {%
        \node[color=colLogoTeinte,shift={(#1)},font=\Large\bfseries\sffamily,inner
        sep=0pt,outer sep=0pt] at (0.5,0.5) {#2} ;
      }%
  
    \def\grilleC{
      \begin{tikzpicture}[scale=1,every node/.style={scale=1}]
        % ligne 9
        \cs{0,8}{2}\cs{1,8}{7}\CS{2,8}{6}\cs{3,8}{4}
        \CS{4,8}{3}\cs{5,8}{1}\CS{6,8}{9}\CS{7,8}{8}\CS{8,8}{5}
        % ligne 8
        \CS{0,7}{3}\cs{1,7}{1}\CS{2,7}{5}\CS{3,7}{9}
        \cs{4,7}{8}\CS{5,7}{7}\cs{6,7}{4}\CS{7,7}{6}\cs{8,7}{2}
        % ligne 7
        \CS{0,6}{9}\cs{1,6}{8}\CS{2,6}{4}\cs{3,6}{2}
        \CS{4,6}{5}\cs{5,6}{6}\CS{6,6}{3}\CS{7,6}{7}\cs{8,6}{1}
        % ligne 6
        \cs{0,5}{4}\CS{1,5}{5}\cs{2,5}{8}\CS{3,5}{3}
        \CS{4,5}{6}\CS{5,5}{2}\CS{6,5}{1}\CS{7,5}{9}\CS{8,5}{7}
        % ligne 5
        \cs{0,4}{1}\cs{1,4}{3}\CS{2,4}{9}\cs{3,4}{8}
        \cs{4,4}{7}\cs{5,4}{4}\CS{6,4}{2}\cs{7,4}{5}\cs{8,4}{6}
        % ligne 4
        \CS{0,3}{6}\CS{1,3}{2}\CS{2,3}{7}\CS{3,3}{5}
        \CS{4,3}{1}\CS{5,3}{9}\cs{6,3}{8}\CS{7,3}{4}\cs{8,3}{3}
        % ligne 3
        \cs{0,2}{5}\CS{1,2}{9}\CS{2,2}{1}\cs{3,2}{7}
        \CS{4,2}{4}\cs{5,2}{3}\CS{6,2}{6}\cs{7,2}{2}\CS{8,2}{8}
        % ligne 2
        \cs{0,1}{7}\CS{1,1}{6}\cs{2,1}{2}\CS{3,1}{1}
        \cs{4,1}{9}\CS{5,1}{8}\CS{6,1}{5}\cs{7,1}{3}\CS{8,1}{4}
        % ligne 1
        \CS{0,0}{8}\CS{1,0}{4}\CS{2,0}{3}\cs{3,0}{6}
        \CS{4,0}{2}\cs{5,0}{5}\CS{6,0}{7}\cs{7,0}{1}\cs{8,0}{9}
      
        \draw[colLogo,line width=0.8pt] (0,0) grid (9,9) ; \foreach \x
        in {0,3,6,9} { \draw[colLogo,line width=2pt] (\x,0) -- (\x,9)
          ; \draw[colLogo,line width=2pt] (0,\x) -- (9,\x) ; }
      \end{tikzpicture}
    }
    
    
    \grilleC
    
    \caption{ }
    \label{fig_AL_19F_ACC}
  \end{figure}
  \end{Corrige}
\end{Enonce}

\begin{Enonce}[La prise de pouvoir]

  Les hommes assistent impuissants à la prise de pouvoir par des
  animaux. Un scientifique chercheur avait déjà imaginé en 1999 ce
  scénario. Il a alors mis au point un puissant vaccin qui permet
  d'éviter le pire et l'a ensuite placé en lieu sûr dans un coffre
  sécurisé par un code. Voici l'énigme qu'il a laissée à sa mort.


  \begin{olympAlert}{}
    Personne ne veut me croire mais je suis certain de mes recherches,
    un jour les animaux prendront le pouvoir !

    Je ne suis plus de ce monde, mais j'ai \oe uvré durant toute mon
    existence à l'élaboration d'un vaccin qui sauvera le monde. Je
    remets le destin de l'humanité entre les mains de celui ou celle
    qui saura déchiffrer~les deux expériences ci-dessous et trouver le
    code d'accès au vaccin :

    \begin{enumerate}
    \item Pour comprendre pourquoi dans mon laboratoire je trouve des
      araignées rouges à pois noirs, j'ai réalisé des expériences par
      mélange génétique en partant d'une araignée rouge du type
      \emph{Tetranuchusurticae} et d'une araignée noire du type
      \emph{Latrodectusmactans}. Dès le lendemain j'ai obtenu $4$
      araignées rouges/noires, $25$ noires/grises et $2$
      rouges/grises. Puis, les quantités de chaque type d'araignées
      doublent chaque jour pour atteindre au bout de $10$ jours $2048$
      araignées rouges/noires. À ce rythme en combien de jours la
      quantité d'araignées rouges/noires~atteindrait 3 mille milliards
      de milliards ?
    \item Ma seconde expérience porte sur des lions. Chaque jour, je
      leur ai donné des cachets. Il m'aura fallu $442$ cachets à
      raison de 26 par jour pour que l'expérience soit réussie !
      Combien de jours a duré mon expérience ?
    \end{enumerate}

    Le code qui sécurise le coffre est un nombre palindrome\footnotemark{} à $4$
    chiffres composé à partir des solutions des $2$ expériences.
\end{olympAlert}
\footnotetext{Un nombre palindrome est un nombre qui présente une symétrie, il se lit de la
même manière de gauche à droite que de droite à gauche.}

\begin{enumerate}
\item Proposer une réponse à la question exposée dans la
  première expérience réalisée par le scientifique. Vous présenterez
  les différentes étapes de votre raisonnement.

\item Proposer une réponse à la question exposée dans de la seconde
  expérience réalisée par le scientifique. Vous présenterez les
  différentes étapes de votre raisonnement.

\item Présenter le(s) nombre(s) qui pourraient correspondre au code
  recherché.

  \grascoll{Ouvrir le fichier \og Digicode \fg{} qui est à votre
      disposition sur l'ordinateur. }

\item Tester chaque nombre palindrome. Quel est le nom du vaccin qui
  va pouvoir sauver la planète ?
\end{enumerate}
\begin{Corrige}
  \begin{enumerate}
  \item Une recherche systématique avec un tableur ou un programme,
    permet de dire qu'il faut $71$ jours pour dépasser les trois mille
    milliards de milliards, soit $\num{3e21}$.

    \begin{tcblisting}{listing options={language=python},listing
        only,listing style=afdmpython}
RN = 4
NG = 25
RG = 2
cpt= 1
print("   Jour  | Rouge/noir | Noir/Gris | Rouge/Gris")
print("Jour {0:2} | {1: 23} | {2: 23} | {3: 23}".format(cpt,RN,NG,RG))    
while RN < 3e21:
    RN = 2*RN
    NG = 2*NG
    RG = 2*RG
    cpt = cpt+1
    print("Jour {0:2} | {1: 23} | {2: 24} | {3: 23}".format(cpt,RN,NG,RG))    
  \end{tcblisting}

  Ce qui donne le résultats suivants :

  \begin{center}
    \tiny
\begin{verbatim}
Jour  | Rouge/noire | Noire/Grise | Rouge/Grise
Jour  1 |                       4 |                       25 |                       2
Jour  2 |                       8 |                       50 |                       4
Jour  3 |                      16 |                      100 |                       8
...                           ...                        ...                       ...
Jour 66 |   147573952589676412928 |    922337203685477580800 |    73786976294838206464
Jour 67 |   295147905179352825856 |   1844674407370955161600 |   147573952589676412928
Jour 68 |   590295810358705651712 |   3689348814741910323200 |   295147905179352825856
Jour 69 |  1180591620717411303424 |   7378697629483820646400 |   590295810358705651712
Jour 70 |  2361183241434822606848 |  14757395258967641292800 |  1180591620717411303424
Jour 71 |  4722366482869645213696 |  29514790517935282585600 |  2361183241434822606848
\end{verbatim}
  \end{center}
\item Il y a donc $442 / 26 = 17$ jours.
\item La solution est donc $1771$ ou $7117$.
\item Le nom qui apparaît est parovirose.
\end{enumerate}
\end{Corrige}
\end{Enonce}

\begin{Enonce}[]
  Ada est dans un lycée de $25$ classes dont les effectifs varient de $25$
  à $30$ élèves par classe. Tous les élèves sont classés par ordre
  alphabétique de leur nom et à chaque nom correspond un numéro : le
  premier a le numéro 1, \ldots, le centième a le numéro 100 et ainsi de suite\ldots

  Ada a remarqué que son numéro est formé de trois chiffres
  consécutifs et que si on avait fait la liste à l'envers, elle aurait
  eu comme numéro le nombre formé avec les mêmes chiffres que le
  premier mais écrits dans l'ordre inverse (par exemple : 789 et 987).

  Combien y-a-t-il d'élèves dans ce lycée ?
  \begin{Corrige}
    
    Le nombre d'élèves $N$ est compris entre $25 \times 25 = 625$ et $25
    \times 30 = 750$.

    La somme du rang dans l'ordre croissant et du rang dans l'ordre
    décroissant vaut $N+1$.

    On cherche donc les nombres de la forme $abc$ ($a$, $b$, $c$ des
    chiffres entiers consécutifs) tels que $abc+cba$ soit compris
    entre $626$ et $751$.

    $123 + 321 = 444$ ; $234 + 432 = 666$ ; $345 + 543 = 888$. Il y a
    donc $666$ élèves dans le lycée de Ada.
  \end{Corrige}
\end{Enonce}
%%% Local Variables:
%%% TeX-master: "olympiades"
%%% End:
