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\chapter{Académie d'Aix-Marseille}

\Partie{Série S (concours par équipe)}


\begin{Enonce}[Le spirographe]
  
  \def\gear#1#2#3#4#5%
  {%#1 rayon du disque
    % #2 nb de dents
    % #3 hauteur des dents
    % #4 pos centre
    % #5 couleur
    \def\R{#1}% rayon du cercle
    \edef\nbDents{#2}%
    \edef\hdent{#3}
    \FPeval{coteP}{2*pi*\R/\nbDents}
    \FPeval{alpha}{360/\nbDents}
    \FPeval{alphaII}{\alpha/2}
    \FPeval{long}{\R+\hdent}
    \begin{scope}[shift={#4}]
    \foreach \angle in {0,\alpha,...,360}
    {%
      \begin{scope}[rotate=\angle]
        \fill[#5,draw=gray] (0:\long) -- (\alphaII:\R) -- (-\alphaII:\R)--cycle ;
        \fill[#5] (0,0) circle (#1) ;
      \end{scope}
    }%
  \end{scope}
}%

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \begin{tikzpicture}[scale=0.15]
    \begin{scope}
      \gear{18}{144}{0.4}{(0,0)}{lightgray}%
      \gear{15}{96}{0.4}{(0,0)}{white}
      \gear{6}{40}{0.4}{(9,0)}{lightgray}
    \end{scope}
    \begin{scope}
      \FPset\Rc{15}% rayon du grand cercle
      \FPset\rc{6}% rayon du petit cercle
      \FPset\ac{3}% position du crayon
      \FPeval\xC{\Rc-\rc} % Distance du cercle mouvant, à partir de O
      \foreach \anglec in {0,1,...,680} {%
        % en théorie c'est simplement, \angle*\R/r, mais on a déjà
        % tourné d'un angle de \angle, donc on l'enlève
        \FPeval\Alphac{\anglec*(1-\Rc/\rc)}
        % on se déplace au point de coordonnée polaire [\xC ;
        % \angle]
        % puis on place un point à partir de ce point de
        % coordonnées polaires [\a ; \Alpha]
        % on place un noeud circulaire de rayon 0.5pt
        \path[colLogo] (\anglec:\xC) -++(\Alphac : \ac)
        node[fill=colLogoTeinte,circle,inner sep =0.5pt] {} ; }%
    \end{scope}

  \end{tikzpicture}
  \caption{Exemple de courbe}
  \label{fig_AM19_01}
\end{figure}

Le principe du spirographe est le suivant :

Un disque roule sans glissement sur le bord intérieur d'un cercle strictement plus grand. 

En faisant passer la mine d'un crayon par un trou du petit disque, on
obtient de magnifiques dessins ! 

Dans la pratique, pour assurer un bon contact entre les deux objets,
ces derniers sont dentés, mais nous négligerons ici cet aspect et
considérerons que le bord du grand cercle et du petit disque sont
lisses.

On notera $r$ le rayon du petit disque, $R$ le rayon du grand cercle. 

On a donc  $r< R$. 

\Partie{Partie 1}

Il arrive qu'après avoir tourné un certain temps, le petit disque
revienne à sa position initiale point par point (on dira par la
suite simplement qu'il est revenu à sa position initiale). 

On notera $k$ le nombre de tours effectués par le petit disque sur
lui-même et  $n$ le nombre de tours du grand cercle qu'il a parcouru
lorsque le retour à la position initiale se produit pour la 
première fois.

\begin{enumerate}
\item On prend $r=3$ et $R=12$. Justifier que $n=1$ et $k=4$.
\item On suppose que $R=10$ et que $r$ est un nombre entier.

  \begin{enumerate}
  \item Le petit disque parcourt une seule fois le tour du grand
    cercle avant de revenir à sa position initiale. Quels peuvent être
    ses rayons ?
  \item Le petit disque parcourt exactement quatre fois le grand
    cercle avant de retrouver sa position initiale pour la première
    fois. Quel est son rayon ?
  \end{enumerate}
  \item On suppose que $r$ et $R$ sont des nombres entiers.
    \begin{enumerate}
    \item  On prend $r=12$ et $R=15$. Déterminer $k$ et $n$.
    \item Démontrer que, quels que soient les entiers $r$ et $R$, le
      petit disque va se retrouver à sa position initiale après 
      avoir parcouru un certain nombre de tours.
    \end{enumerate}
  \item On considère l'algorithme ci-dessus: 
      \begin{algorithm}[!h]
        \SetAlgoLined
        \SetKwInOut{Input}{Entrée}\SetKwInOut{Output}{Sortie} \Input{
          Saisir $r$ et $R$} \BlankLine $i \leftarrow 1$ \;
        \While{$\frac{iR}{r}$ n'est pas un nombre entier} {
          $i \leftarrow i + 1$ \; }
      \end{algorithm}
    \begin{enumerate}
    \item Dans le cas où l'on saisit en entrée $r=210$ et $R=462$,
      exécuter cet algorithme pour compléter le tableau
      \ref{tab_AM19_01} que l'on recopiera sur la copie.
  
      \begin{table}[!h]
        \centering
        \begin{tabular}{|*{6}{>{$}Cl<{$}|}}
          \toprule
          i & 1 &\rule{3ex}{0pt}&\rule{3ex}{0pt}&\rule{3ex}{0pt}&\rule{3ex}{0pt} \\
          $iR$ & 462 &&&& \\
          \frac{iR}{r} & \text{Faux} &&&& \\
          \bottomrule
        \end{tabular}
        \caption{}
        \label{tab_AM19_01}
      \end{table}
    \item Quelles instructions peut-on rajouter à cet algorithme pour
      qu'il affiche en sortie les valeurs de $k$ et $n$
      correspondantes ?
    \item Quelles sont alors les valeurs affichées ?
    \end{enumerate}

  \item Dans cette question, $r$ et $R$ ne sont plus des entiers.
  \begin{enumerate}
  \item Avec $r=2,10$ et $R = 4.62$, le petit disque va-t-il retrouver
    sa position initiale ?

    Si oui, quelles seront alors les valeurs de $K$ et $n$ ?

  \item Donner des valeurs de $r$ et $R$ telles que le petit disque ne
    retrouve jamais sa position initiale.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\Partie{Partie 2}

On a réalisé de magnifiques dessins en faisant passer la mine d'un
crayon dans un trou situé à une distance $a$ du centre du petit
disque. On sait de plus que $r$, $R$ et $a$ sont des entiers.

On s'appuiera sur l'observation de ces figures pour répondre aux
questions suivantes.


\begin{enumerate}
\item Sur la figure \ref{fig_AM19_01}, à gauche, a été réalisée dans un
  grand cercle de $\SI{15}{\centi\m}$ de rayon, centré sur l'origine du repère. Au
  départ, l'origine, le centre du petit disque et le trou sont alignés
  dans cet ordre, à droite sur l'axe des abscisses.

  Déterminer le rayon $r$ du petit disque ainsi que la distance $a$ du
  trou au centre de ce dernier.
  \begin{figure}[!h]
    \centering
    ~\hfill
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.18]
      \draw[lightgray!50] (-14,-14) grid[step=2] (14,14) ;
      \draw[->,>=stealth](-14,0) -- (14,0) ;
      \draw[->,>=stealth](0,-14) -- (0,14) ;
      \foreach \x in {-14,-12,...,-2}
      {
        \node[fill=white,below,inner sep=0.5pt] at (\x,-0.25) {\tiny \x} ;
        \node[fill=white,left,inner sep=0.5pt] at (-0.25,\x) {\tiny \x} ;
      }
      \foreach \x in {2,4,...,14}
      {
        \node[fill=white,below,inner sep=0.5pt] at (\x,-0.25) {\tiny \x} ;
        \node[fill=white,left,inner sep=0.5pt] at (-0.25,\x) {\tiny \x} ;
      }
      \FPset\R{15}% rayon du grand cercle
      \FPset\r{6}% rayon du petit cercle
      \FPset\a{3}% position du crayon
      \FPeval\xC{\R-\r} % Distance du cercle mouvant, à partir de O
      \foreach \angle in {0,0.5,...,720}
      {%
        % en théorie c'est simplement, \angle*\R/r, mais on a déjà
        % tourné d'un angle de \angle, donc on l'enlève
        \FPeval\Alpha{0-\angle*(\R/r-1)}
        % on se déplace au point de coordonnée polaire [\xC ;
        % \angle]
        % puis on place un point à partir de ce point de
        % coordonnées polaires (\a ; \Alpha)
        \path[colLogo] (\angle:\xC)--+(\Alpha : \a)
        % on place un noeud circulaire de rayon 0.5pt 
        node[fill=colLogoTeinte,circle,inner sep = 0.5pt] {} ;
      }%
    \end{tikzpicture}\hfill
    \begin{tikzpicture}[scale=0.18]
      \draw[lightgray!50] (-14,-14) grid[step=2] (14,14) ;
      \draw[->,>=stealth](-14,0) -- (14,0) ;
      \draw[->,>=stealth](0,-14) -- (0,14) ;
      \foreach \x in {-14,-12,...,-2}
      {
        \node[fill=white,below,inner sep=0.5pt] at (\x,-0.25) {\tiny \x} ;
        \node[fill=white,left,inner sep=0.5pt] at (-0.25,\x) {\tiny \x} ;
      }
      \foreach \x in {2,4,...,14}
      {
        \node[fill=white,below,inner sep=0.5pt] at (\x,-0.25) {\tiny \x} ;
        \node[fill=white,left,inner sep=0.5pt] at (-0.25,\x) {\tiny \x} ;
      }
      \FPset\R{14}% rayon du grand cercle
      \FPset\r{6}% rayon du petit cercle
      \FPset\a{2}% position du crayon
      \FPeval\xC{\R-\r} % Distance du cercle mouvant, à partir de O
      \foreach \angle in {0,0.5,...,1440}
      {%
        % en théorie c'est simplement, \angle*\R/r, mais on a déjà
        % tourné d'un angle de \angle, donc on l'enlève
        \FPeval\Alpha{0-\angle*(\R/r-1)}
        % on se déplace au point de coordonnée polaire [\xC ;
        % \nagle]
        % puis on place un point à partir de ce point de
        % coordonnées polaires (\a ; \Alpha)
        \path[colLogo] (\angle:\xC)--+(\Alpha : \a)
        % on place un noeud circulaire de rayon 0.5pt 
        node[fill=colLogoTeinte,circle,inner sep = 0.5pt] {} ;
      }%
    \end{tikzpicture}
    \hfill~
    \caption{Les deux courbes}
    \label{fig_AM19_03}
  \end{figure}
\item À droite sur la figure \ref{fig_AM19_03}, on ne connaît pas les dimensions du petit
  disque et du grand cercle qui ont permis de la réaliser.
  \begin{enumerate}
  \item Déterminer les entiers $k$ et $n$.
  \item Déterminer les entiers $a$, $r$, et $R$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\Partie{Partie 3}

Un petit disque de rayon $r=3$ tourne dans un grand cercle de rayon $R=10$
centré sur l'origine d'un repère orthonormé $\orthoOIJ$. 

La pointe du crayon est située en $C$, à une distance $a=2$ du centre
$O'$ du petit disque.

Initialement  $O$, $I$, $O'$ et $C$ sont alignés dans cet ordre.



Donner les coordonnées du dernier point dessiné lorsque le grand
cercle a été parcouru une seule fois.

(On pourra utiliser les notations suggérées sur la figure ci-contre
qui n'est pas à l'échelle) 

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \begin{tikzpicture}[scale=2]
    \tkzInit[xmin=-10,xmax=10,ymin=-10,ymax=10,xstep=5,ystep=5]
    \tkzClip
    \tkzAxeXY[label=,font=\footnotesize]
    \tkzDefPoint(0,0){O}
    \tkzDefPoint(10,0){A}
    \tkzDefPoint(7,0){o}
    \tkzDrawCircle[color=colLogo](O,A)
    \tkzDefPointBy[rotation=center O angle 42](A)\tkzGetPoint{B}
    \tkzDefPointBy[homothety=center O ratio 0.7](B)\tkzGetPoint{O'}
    \tkzDrawPoint(O')\tkzLabelPoint[above left](O'){$O'$}
    \tkzDefPointBy[homothety=center O ratio 0.75](O')\tkzGetPoint{c}
    \tkzDefPointBy[rotation=center O' angle 60](c)\tkzGetPoint{C}
    \tkzDrawPoint(C)\tkzLabelPoint[below](C){$C$}
    \tkzDrawCircle[color=colLogo](O',B)
    \tkzDrawSegment[color=colLogo](O,B)
    \tkzDrawSegment[color=colLogo](O',C)
    \tkzMarkAngle[color=colLogo,fill=colLogoTeinte,size=0.4cm](A,O,B)
    \tkzLabelAngle[pos=0.5](A,O,B){$\theta_1$}
    \tkzMarkAngle[color=colLogo,fill=colLogoTeinte,size=0.2cm](C,O',B)
    \tkzLabelAngle[pos=0.35](C,O',B){$\theta_2$}
    \tkzDefPoint(1,0){I}
    \tkzDrawPoint(I)\tkzLabelPoint[below](I){$I$}
    \tkzDefPoint(0,1){J}
    \tkzDrawPoint(J)\tkzLabelPoint[left](J){$J$}
  \end{tikzpicture}
  \caption{La figure n'est pas à l'échelle}
  \label{fig_AM19_04}
\end{figure}

\begin{Corrige}
  \Partie{Partie 1}
  \begin{enumerate}
  \item On a $ k \times 2\pi \times 3  = n \times 2\pi \times 12$, soit
    $ k = 4n$. Comme, c'est le premier retour, $n = 1 $ et $k = 4$.
  \item On a $ n \times 2\pi \times 10 = k \times 2\pi r$, soit $10n = kr$.
    \begin{enumerate}
    \item Dans ce cas $n = 1$, et $kr = 10$, soit $k = 1$, $r = 10$, $
      k =2 $ et $r =5$, ainsi que $k=5$ et $n =2$.
      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}[scale=0.25]
          \draw[lightgray!50] (-8,-8) grid[step=2] (8,8) ;
          \draw[->,>=stealth](-8,0) -- (8,0) ;
          \draw[->,>=stealth](0,-8) -- (0,8) ;
          \foreach \x in {-8,-6,...,-2}
          {
            \node[fill=white,below,inner sep = 0.1pt] at (\x,-0.25) {\footnotesize \x} ;
            \node[fill=white,left,inner sep = 0.1pt] at (-0.25,\x) {\footnotesize \x} ;
          }
          \foreach \x in {2,4,...,8}
          {
            \node[fill=white,below,inner sep = 0.1pt] at (\x,-0.25) {\footnotesize \x} ;
            \node[fill=white,left,inner sep = 0.1pt] at (-0.25,\x) {\footnotesize \x} ;
          }
          \FPset\R{10}% rayon du grand cercle
          \FPset\r{5}% rayon du petit cercle
          \FPset\a{2.5}% position du crayon
          \FPeval\xC{\R-\r}% Distance du cercle mouvant, à partir de O
          \FPset\ra{2}% rayon du petit cercle
          \FPset\aa{1}% position du crayon
          \FPeval\xaC{\R-\r}% Distance du cercle mouvant, à partir de O
          \foreach \angle in {0,1,...,360}
          {%
            % en théorie c'est simplement, \angle*\R/r, mais on a déjà
            % tourné d'un angle de \angle, donc on l'enlève
            \FPeval\Alpha{0-\angle*(\R/r-1)}
            % on se déplace au point de coordonnée polaire [\xC ;
            % \nagle]
            % puis on place un point à partir de ce point de
            % coordonnées polaires (\a ; \Alpha)
            \path[colLogo] (\angle:\xC)--+(\Alpha : \a)
            % on place un noeud circulaire de rayon 0.5pt 
            node[fill=colLogoTeinte,circle,inner sep = 0.5pt] {} ;
            % en théorie c'est simplement, \angle*\R/r, mais on a déjà
            % tourné d'un angle de \angle, donc on l'enlève
            \FPeval\Alphaa{0-\angle*(\R/ra-1)}
            % on se déplace au point de coordonnée polaire [\xC ;
            % \nagle]
            % puis on place un point à partir de ce point de
            % coordonnées polaires (\a ; \Alpha)
            \path[colLogo] (\angle:\xaC)--+(\Alphaa : \aa)
            % on place un noeud circulaire de rayon 0.5pt 
            node[fill=colLogo,circle,inner sep = 0.5pt] {} ;
          }%
        \end{tikzpicture}
        \caption{Le cas $R = 10$ et $r=5$ et le cas $R=10$ et $r=2$}
        \label{fig_AM19A_01C}
      \end{figure}
    \item $kr = 40$. Les diviseurs de $40$ sont $1$, $2$, $4$,
    $5$, et $r$ est l'un deux.
    \begin{itemize}
    \item Si $r = 1$, alors $k = 10n$, comme $n$ doit être le plus
      petit possible, $n = 1$, or $n=4$, donc impossible.
    \item Si $r=2$, alors $2k = 10n$, $k = 5$ et $n=1$. Impossible.
    \item Si $r = 4$ alors $2k = 5n$, $k = 5$ et $n=2$. Impossible.
    \item Si $r = 5$ alors $ k = 2n$, $k = 2$ et $n=1$. Impossible.
    \item Si $r = 8$ alors $4k = 5n$, $k = 5$ et $n=4$. C'est donc la
      seule solution.
    \end{itemize}
    \begin{figure}[!h]
      \centering
      \begin{tikzpicture}[scale=0.25]
        \draw[lightgray!50] (-8,-8) grid[step=2] (8,8) ;
        \draw[->,>=stealth](-8,0) -- (8,0) ;
        \draw[->,>=stealth](0,-8) -- (0,8) ;
        \foreach \x in {-8,-6,...,-2}
        {
          \node[fill=white,below,inner sep = 0.1pt] at (\x,-0.25) {\footnotesize \x} ;
          \node[fill=white,left,inner sep = 0.1pt] at (-0.25,\x) {\footnotesize \x} ;
        }
        \foreach \x in {2,4,...,8}
        {
          \node[fill=white,below,inner sep = 0.1pt] at (\x,-0.25) {\footnotesize \x} ;
          \node[fill=white,left,inner sep = 0.1pt] at (-0.25,\x) {\footnotesize \x} ;
        }
        \FPset\R{10}% rayon du grand cercle
        \FPset\r{8}% rayon du petit cercle
        \FPset\a{4}% position du crayon
        \FPeval\xC{\R-\r} % Distance du cercle mouvant, à partir de O
        \foreach \angle in {0,4,...,2880}
        {%
          % en théorie c'est simplement, \angle*\R/r, mais on a déjà
          % tourné d'un angle de \angle, donc on l'enlève
          \FPeval\Alpha{0-\angle*(\R/r-1)}
          % on se déplace au point de coordonnée polaire [\xC ;
          % \nagle]
          % puis on place un point à partir de ce point de
          % coordonnées polaires (\a ; \Alpha)
          \path[colLogo] (\angle:\xC)--+(\Alpha : \a)
          % on place un noeud circulaire de rayon 0.5pt 
          node[fill=colLogoTeinte,circle,inner sep = 0.5pt] {} ;
          % en théorie c'est simplement, \angle*\R/r, mais on a déjà
          % tourné d'un angle de \angle, donc on l'enlève
        }%
      \end{tikzpicture}
      \caption{Le cas $R = 10$ et $r=8$}
      \label{fig_AM19B_01C}
    \end{figure}
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item $r=12$ et $R=15$, donc $12k = 15n$, soit $4k = 5n$. Le plus
    petit $n$ possible est alors $4$ et $k = 5$.
  \item On a toujours $Rn = kr$, en prenant $k = R$ et $n = r$,
    l'égalité est vérifiée. 
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item On obtient le tableau \ref{tab_AM19_01C}.
    \begin{table}[!h]
      \centering
      \begin{tabular}{|*{6}{>{$}Cl<{$}|}}
        \toprule
        i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
        iR & 462 & 924 & 1386 & 1848 & 2310\\
        \frac{iR}{r} & \text{ Vrai } & \text{ Vrai }
                  & \text{ Vrai } & \text{ Vrai }
                          & \text{ Faux } \\
        \bottomrule
      \end{tabular}
      \caption{}
      \label{tab_AM19_01C}
    \end{table}
  \item Il suffit d'ajouter les variables  $k \leftarrow \frac{iR}{r}$ et $n
    \leftarrow i$, et une instruction d'affichage de ces 2 variablles.
  \item $k = 11$ et $n = 5$.
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Oui, le petit disque reviendra à la même position, avec $k =
    11$ et $n = 5$. C'est le cas précédent, avec un changement
    d'unité.
  \item Le petit disque ne reviendra pas à sa position, si on prend
    l'un des disques entiers et l'autre irrationnel. Par exemple $r =
    1$ et $R = \sqrt{2}$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\Partie{Partie 2}

\begin{enumerate}
\item En notant, $O$ le centre du grand cercle, $O'$ celui du petit
  cercle, et $C$ la position de la mine du crayon. Au départ, on a
  $O$, $O'$ et $C$ alignés dans cet ordre. $C$ est donc en
  $(12\,;\,0)$. On a donc $R - r + a = 12$.

  Lorsque $C$ est en $(6\,;\,0)$, on a $R -r - a = 6$.

  On a donc $2R- 2r = 18 $, soit $ 30 - 18 = 2r$, et donc $r = 6$. On
  en déduit que $a = 12 - 15 + 6 = 3$.
\item
  \begin{enumerate}
  \item La figure coupe $3$ fois la partie positive de l'axe des
    abscisses, donc $n =3$, et il y $7$ demi-tours, donc $k = 7$.
  \item On a
    \[
      \begin{cases}
      R - r + a &= 10\\
      R - r - a &=  6
    \end{cases}
    \]    On en déduit que $ 2a = 4$, et donc que $a = 2$.
    Donc, $R -r = 8$.  Les relations entre $k$, $n$, $r$ et $R$ donne
    $ 7r = 3R$. Ce qui donne $7r = 24 + 3r$, soit $4r = 24$ et donc $r
    = 6$, et donc $R = 14$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\Partie{Partie 3}
Au bout d'un tour du grand cercle, on aura $ 2\pi \times 10 = 3
\abs{\theta_2}$. Donc $\abs{\theta_2} = 3 \times 2\pi + \frac{2
  \pi}{3}$. Comme, $\theta_2$ est rétrograde par rapport, à
$\theta_1$, on $\theta_2 =  -\frac{2\pi}{3}$.

On en déduit que les coordonnées de $C$ dans le repère d'origine $O'$
sont : $\left(-2 \times \frac{1}{2}\,;\, -2 \times
  \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, d'où on déduit que les coordonnées de
$C$ sont :
\[
C \left(6\,;\,-\sqrt{3}\right).
\]


\end{Corrige}
\end{Enonce}

\begin{Enonce}[Pierre-Feuille-Ciseaux]
  \makeatletter
  \def\pfc#1{{\sffamily\bfseries #1}}
  \def\pfcF{\pfc{F}}
  \def\pfcP{\pfc{P}}
  \def\pfcC{\pfc{C}}
  \def\pfcf{\pfc{f}}
  \def\pfcp{\pfc{p}}
  \def\pfcc{\pfc{c}}
  \makeatother
  \emph{Pierre-Feuille-Ciseaux est un jeu où deux joueurs font
    simultanément une figure avec leurs mains : une pierre, une
    feuille ou des ciseaux. La pierre gagne contre les ciseaux, les
    ciseaux gagnent contre la feuille, la feuille gagne contre la
    pierre.}

  \begin{figure}
    \centering
      \begin{tikzpicture}[draw=white,line
        width=1pt,scale=0.01]% g36
        % circle30
        \path[draw,fill=colLogo] (-150,-135) circle (64);
        % path32
        \begin{scope}[shift={(0,0)},rotate=180]
          \path[draw] (129.4510,177.4280) .. controls
          (129.4880,177.5530) and (129.5250,177.6780)
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          (171.1250,138.0330) .. (170.6810,136.8090) .. controls
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          (462.1520,105.9900) and (465.7150,102.7100)
          .. (469.4320,99.6160) .. controls (471.8550,97.5980) and
          (474.4860,95.8220) .. (477.4400,94.6250) .. controls
          (479.9940,93.5910) and (482.0420,94.2790)
          .. (483.0680,96.5760) .. controls (483.3660,97.2450) and
          (483.2830,98.0840) .. (483.3810,98.8850) -- cycle;
        \end{scope}
      \end{tikzpicture}
      \caption{Exemple de situation}
      \label{fig_AM19_05}
    \end{figure}
      
    \emph{Dans cet exercice, vous cherchez à programmer un robot qui
      va affronter un autre robot dans une partie de
      pierre-feuille-ciseaux. Le robot adverse utilise des stratégies
      différentes, et vous devrez trouver la meilleure stratégie pour
      jouer contre lui.}

    \emph{On dira qu'une stratégie est meilleure qu'une autre si elle
      donne une meilleure probabilité de gagner, et en cas d'égalité,
      une plus faible probabilité de perdre.}

    \emph{Notations à respecter dans cet exercice : }
    \begin{itemize}
    \item \emph{On notera \pfcP, respectivement \pfcF, respectivement \pfcC{}
        les événements : le robot adverse joue Pierre, Feuille ou
        Ciseaux.}

    \item \emph{On notera \pfcp, respectivement \pfcf, respectivement \pfcc{}
        les événements : votre robot joue pierre, feuille ou ciseaux.}

    \item \emph{Les événements $V$, $D$, $N$ correspondent aux
        résultats d'une manche : Victoire de votre robot, Défaite de
        votre robot, ou match Nul.}

    \item \emph{Si une partie est constituée de plusieurs manches, on
        notera par exemple $V_{n}$ l'événement : \og votre robot gagne
        la $n$-ième manche\fg.}
    \end{itemize}

    \begin{enumerate}[font={\bfseries\color{colLogoFort}}]
    \item \grascolll{Séquence répétée}

      Le robot adverse a été programmé pour jouer systématiquement la
      séquence \pfcP\pfcF\pfcC\pfcP\pfcF\pfcC\pfcP\pfcF\pfcC\ldots{}
      Il a joué \pfcP{} au coup précédent. Vous pouvez programmer les
      trois coups suivants. Quelle séquence programmez-vous ?

    \item \grascolll{Jeu au hasard}

      Le robot adverse a été programmé pour jouer au hasard l'une des
      trois figures, de manière équiprobable.

      \begin{enumerate}
      \item Vous programmez votre robot de la même manière. Calculer
        la probabilité que votre robot gagne la partie.
        
      \item Vous pouvez programmer les probabilités $p_{1}$ et $p_{2}$
        avec lesquelles votre robot doit jouer \pfcp{} ou \pfcf.

        Quel calcul doit effectuer votre robot pour connaître la
        probabilité $p_{3}$ avec laquelle il doit jouer \pfcc{} ?

      \item Montrer que quelles que soient les probabilités $p_{1}$ et
        $p_{2}$ avec lesquelles vous programmez votre robot, la
        probabilité qu'il gagne la partie reste la même.
      \end{enumerate}

    \item \grascolll{Figure préférée}

      Le robot adverse a été programmé pour jouer \pfcP{} avec une
      probabilité de $\nicefrac{1}{2}$, \pfcF{} et \pfcC{} avec une
      probabilité de $\nicefrac{1}{4}$. Vous hésitez entre trois
      stratégies :
      \begin{itemize}
      \item Stratégie 1 : jouer systématiquement \pfcf.
      \item Stratégie 2 : jouer \pfcf{} avec une probabilité de $\nicefrac{1}{2}$, les
        deux autres figures avec une probabilité de $\nicefrac{1}{4}$.
      \item Stratégie 3 : jouer au hasard de manière équiprobable
        l'une des trois figures.
      \end{itemize}
      Quelle est la meilleure de ces trois stratégies ?

    \item \grascoll{Réaction au résultat de la manche précédente}

      Le robot adverse a été programmé pour jouer en fonction du
      résultat de la manche précédente :
      \begin{itemize}
      \item S'il a gagné la manche précédente, il rejoue la même
        figure.
      \item S'il a perdu la manche précédente, il joue au hasard l'une
        des deux figures qu'il n'a pas jouées, de manière
        équiprobable.
      \item S'il a fait match nul lors de la manche précédente, il
        joue au hasard l'une des trois figures de manière
        équiprobable.
      \end{itemize}

      \begin{enumerate}
      \item On suppose que lors de la manche précédente, le robot
        adverse a joué \pfcP.

        Décrire la meilleure stratégie, en expliquant ce que doit
        jouer votre robot, en fonction du résultat ($V$, $D$ ou $N$)
        de la manche précédente.

        \grascoll{\emph{Pour les 5 questions suivantes, on suppose que
            vous avez programmé votre robot pour qu'il applique cette
            stratégie.}}

      \item Au premier coup de la partie, les deux robots ont joué au
        hasard de manière équiprobable l'une des trois
        figures. Calculer alors la probabilité $p(V_{2})$ que votre
        robot gagne la seconde manche.

      \item Exprimer $p(V_{n+1})$, $p(D_{n+1})$ et $p(N_{n+1})$ en
        fonction des probabilités $p(V_{n})$, $p(D_{n})$ et
        $p(N_{n})$.

      \item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'en
        fin d'exécution, les variables $V$, $D$ et $N$ contiennent les
        probabilités que votre robot gagne, perde ou fasse match nul
        au cours de la $10$\ieme manche.

      \begin{algorithm}[!h]
        \SetAlgoLined $V \leftarrow \frac{1}{3}$
        
        $D \leftarrow \frac{1}{3}$
        
        $N \leftarrow \frac{1}{3}$
        
        \For{$i$ allant de $1$ à \makebox[4ex]{\dotfill}} {
          $V' \leftarrow V$
        
          $D' \leftarrow D$
        
          $N' \leftarrow N$
        
          $ V \leftarrow \makebox[5ex]{\dotfill} $
        
          $D \leftarrow \makebox[4ex]{\dotfill} $
        
          $N \leftarrow \makebox[4ex]{\dotfill} $ }
      \end{algorithm}
      
    \item Expliquer l'utilité des 3 premières instructions de la
      boucle \og Pour\fg.

    \item En utilisant cet algorithme, calculer la probabilité de
      gagner la $10$\ieme manche.
    \end{enumerate}
  \item \grascolll{Algorithme de \og Minasi\fg}

    Vous pouvez programmer votre robot avec l'algorithme dit de \og
    Minasi\fg{} :

    \begin{itemize}
    \item Le robot cherche dans l'historique de la partie les
      séquences d'une taille donnée similaires à la séquence en cours.
    \item Il calcule ensuite les fréquences avec lesquelles
      l'adversaire a joué \pfcP, \pfcF{} ou \pfcC{} à l'issue de ces
      séquences.
    \item Il fait l'hypothèse que l'adversaire va jouer \pfcP, \pfcF
      ou \pfcC{} avec des probabilités égales à ces fréquences et décide
      alors de jouer le coup qui correspond à la meilleure stratégie.
    \end{itemize}
    L'historique de la partie en cours est :
    \begin{center}
      \pfcP{} \pfcp{} \pfcC{} \pfcp{} \pfcF{} \pfcc{} \pfcC{} \pfcc{}
      \pfcF{} \pfcc{} \pfcP{} \pfcf{} \pfcF{} \pfcf{} \pfcP{} \pfcc{}
      \pfcC{} \pfcp{} \pfcC{} \pfcf{} \pfcC{} \pfcc{} \pfcF{} \pfcc{}
      \pfcF{} \pfcp{} \pfcP{} \pfcf{} \pfcF{} \pfcc{} \pfcP{} \pfcf{}
      \pfcF{} \pfcc{} \pfcC{} \pfcc{} \pfcF{} \pfcc
    \end{center}

    Ce qui veut dire que votre adversaire a joué \pfcP{} et vous \pfcp,
    puis il a joué \pfcC{} et vous \pfcp, et ainsi de suite jusqu'à la
    dernière manche où votre adversaire a joué \pfcF{} et vous \pfcc.
    \begin{enumerate}[font={\color{colLogo}}]
    \item \grascoll{Séquences de taille $1$}(séquence en cours :
      \pfcc).

      Dénombrer dans l'historique de la partie ce qu'a joué
      l'adversaire après que votre robot a joué \pfcc.

      Que va jouer votre robot si vous le programmez pour qu'il
      analyse les séquences de taille $1$ ?

    \item \grascoll{Séquences de taille 2} (séquence en cours :
      \pfcF, \pfcc).

      Dénombrer dans l'historique de la partie ce qu'a joué
      l'adversaire après que la séquence \pfcF, \pfcc{} s'est produite.

      Que va jouer votre robot si vous le programmez pour qu'il
      analyse les séquences de taille 2 ?
        
    \item \grascoll{La plus grande séquence}

      Votre robot est programmé pour baser sa décision sur la plus
      grande séquence similaire à une séquence en cours qui apparait
      précédemment dans l'historique de la partie.

      Que va jouer votre robot ?
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
    \begin{Corrige}
      \makeatletter
  \def\pfc#1{{\sffamily\bfseries #1}}
  \def\pfcF{\pfc{F}}
  \def\pfcP{\pfc{P}}
  \def\pfcC{\pfc{C}}
  \def\pfcf{\pfc{f}}
  \def\pfcp{\pfc{p}}
  \def\pfcc{\pfc{c}}
  \makeatother
      \begin{enumerate}
      \item Le robot va jouer \pfc{FCP}. On joue donc \pfc{cpf}.
      \item
        \begin{enumerate}
        \item On joue chacun une fois. On obtient le tableau
          \ref{tab_AM19_02C}.
          \begin{table}[!h]
            \centering
            \begin{tabular}{|c|*{3}{>{$}c<{$}|}}
              \cline{2-4}
              \multicolumn{1}{c|}{}& \text{ \pfcp } & \text{\pfcf} & \text{\pfcc} \\
              \hline
              \pfcP & N & V  & D \\
              \hline
              \pfcF & D & N & V\\
              \hline
              \pfcC & V & D & N\\
              \hline
            \end{tabular}
            \caption{ }
            \label{tab_AM19_02C}
          \end{table}
          
          On en déduit que la probabilité de gagner est $\nicefrac{1}{3}$.
        \item Le robot doit effectuer $p_3 = 1 - p_1 - p_2$.
        \item En utilisant un arbre de probabilité de la figure \ref{fig_AM19_07C}.
          \begin{figure}[!h]
            \centering
            \begin{tikzpicture}[grow=east,level 2/.style={sibling distance=1em}]
              \node{\textbullet}
              child {node {\pfcP}
                child {node {\pfcp} child {node {$N$}}}
                child {node {\pfcc} child {node {$D$}}}
                child {node {\pfcf} child {node {$G$}}}}
              child {node {\pfcC}
                child {node {\pfcp} child {node {$G$}}}
                child {node {\pfcc} child {node {$N$}}}
                child {node {\pfcf} child {node {$D$}}}}
              child {node {\pfcF}
                child {node {\pfcp} child {node {$G$}}}
                child {node {\pfcc} child {node {$D$}}}
                child {node {\pfcf}child {node {$N$}}}}
              ; 
            \end{tikzpicture}
            \caption{ }
            \label{fig_AM19_07C}
          \end{figure}
          Les événements sont indépendants, on a donc :
          $ p = \frac{1}{3} p_1 + \frac{1}{3}p_2 +
          \frac{1}{3}(1-p_1-p_2) = \frac{1}{3}$.
        \end{enumerate}
      \item Calculons les probabilités de gain dan les différents cas
        :
        \begin{itemize}
        \item Stratégie 1 : $p(V) = \frac{1}{2}$. Gain seulement dans
          le cas \pfc{P}.
        \item Stratégie 2 : gain lorsque qu'il y a \pfc{Pf}, \pfc{Fc}
          et \pfc{Cp}. Soit 
          \[
            p(V) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} +
            \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\times
            \frac{1}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{16}+\frac{1}{16} =
            \frac{2+1}{8} = \frac{3}{8}.
          \]
        \item Stratégie 3 : $\frac{1}{3}$.
        \end{itemize}
        La meilleure stratégie est donc la première.
      \item
        \begin{enumerate}
        \item Le dernier coup joué par le robot est \pfcP.
          \begin{itemize}
          \item La partie est une défaite $D$, l'adversaire rejoue
            \pfcP, en jouant \pfcf on gagne.
          \item La partie est un gain $V$, l'adversaire joue au hasard \pfcC{} ou
            \pfcF. En jouant \pfcc, on assure le gain ou le nul.
          \item La partie est un nul $N$, l'adversaire joue au hasard,
            il n'y a pas de stratégie autre que le hasard, d'après la
            question 2.
          \end{itemize}
        \item Traçons l'arbre de probabilité.
            \begin{figure}[!h]
            \centering
            \begin{tikzpicture}[grow=east,level 2/.style={sibling distance=1em}]
              \node{\textbullet}
              child {node {$V_1$}
                child {node {$V_2$} child {node {$\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} $}}}
                child {node {$N_2$}}}
              child {node {$D_1$}
                child {node {$V_2$} child {node {$\frac{1}{3}$}}}}
              child {node {$N_1$}
                child {node {$V_2$} child {node {$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}$}}}
                child {node {$D_2$}}
                child {node {$N_2$}}}
              ; 
            \end{tikzpicture}
            \caption{ }
            \label{fig_AM19_08C}
          \end{figure}
          
          On en déduit que $p(V_2) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} +
          \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} =
          \frac{11}{18}$.
        \item L'arbre permet de déterminer les relations de
          récurrence des suites $p(V_n)$, $p(D_n)$ et $p(N_n)$.
          \begin{figure}[!h]
            \centering
            \begin{tikzpicture}[grow=east,level 2/.style={sibling distance=1em}]
              \node{\textbullet}
              child {node {$V_n$}
                child {node {$V_{n+1}$}}
                child {node {$N_{n+1}$}}}
              child {node {$D_n$}
                child {node {$V_{n+1}$}}}
              child {node {$N_n$}
                child {node {$V_{n+1}$}}
                child {node {$D_{n+1}$}}
                child {node {$N_{n+1}$}}}
              ; 
            \end{tikzpicture}
            \caption{ }
            \label{fig_AM19_09C}
          \end{figure}

          Cela permet d'écrire :
          \begin{itemize}
          \item $p(V_{n+1}) = \frac{1}{2} p(V_n) + p(D_n) +
            \frac{1}{3}p(N_n)$.
          \item $p(D_{n+1}) = \frac{1}{3}p(N_n)$.
           \item $p(N_{n+1}) = \frac{1}{2} p(V_n) + \frac{1}{3}p(N_n)$.
          \end{itemize}
          
        \item On en déduit l'algorithme complété.

          \begin{algorithm}[!h]
        \SetAlgoLined $V \leftarrow \frac{1}{3}$
        
        $D \leftarrow \frac{1}{3}$
        
        $N \leftarrow \frac{1}{3}$
        
        \For{$i$ allant de $1$ à $10$}
        {
          $V' \leftarrow V$
          
          $D' \leftarrow D$
          
          $N' \leftarrow N$
          
          $V \leftarrow  = V'/2 + D' + N'/3 $
          
          $D \leftarrow  = N'/3$
        
          $N \leftarrow  V'/2 + N/3$
        }
      \end{algorithm}
        \item Ces trois instructions permettent de sauver les valeurs des
    probabilités.
  \item La probabilité de gagner à la $10$\ieme manche est d'environ
    de $0,5$.
    \begin{center}
      \small
\begin{verbatim}
i | V                   | D                   | N                   |Somme
1 | 0.6111111111111112  | 0.1111111111111111  | 0.2777777777777778  |1.0
2 | 0.5092592592592593  | 0.0925925925925926  | 0.3981481481481482  |1.0
3 | 0.4799382716049383  | 0.13271604938271606 | 0.38734567901234573 |1.0
4 | 0.5018004115226338  | 0.12911522633744857 | 0.3690843621399177  |1.0
5 | 0.5030435528120714  | 0.12302812071330589 | 0.37392832647462276 |1.0
6 | 0.49919267261088246 | 0.12464277549154092 | 0.3761645518975766  |1.0
7 | 0.49962729576284104 | 0.12538818396585885 | 0.3749845202713001  |1.0
8 | 0.5001966719377128  | 0.12499484009043337 | 0.3748084879718539  |1.0
9 | 0.5000293387165744  | 0.12493616265728463 | 0.375034498626141   |1.0
10| 0.4999623315576188  | 0.12501149954204702 | 0.37502616890033424 |1.0
\end{verbatim}
    \end{center}
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Après un \pfcc, il y a eu $3$ \pfcC, $4$ \pfcF{} et $2$
      \pfcP. Il faut donc jouer \pfcc{} qui donne une probabilité de
      gain de $\nicefrac{4}{9}$ et une probabilité de défaite de
      $\nicefrac{2}{9}$. 
    \item Après un \pfcF{} \pfcc, il y a eu $2$ \pfcC, $1$ \pfcF{} et $2$
      \pfcP. On joue donc \pfcp, car la probabilité de victoire est
      $\nicefrac{2}{5}$, ainsi que celle de nul, la probabilité de
      défaite est de $\nicefrac{1}{5}$.
    \item La plus grande série similaire est
      \pfcc\pfcC\pfcc\pfcF\pfcc. Le robot adverse à jouer \pfcP, il
      faudra jouer \pfcf.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{Corrige}
\end{Enonce}


\Partie{Sections autres que S (concours par équipe)}

\begin{Enonce}[Les colliers de Louise]
  
\Partie{Partie 1}


  Pour son anniversaire, Louise a reçu un coffret de perles. Il
  contient $8$ types de perles différents en grande quantité. On
  notera A, B, C, D, E, F, G, H les $8$ types de perles
  différents. Elle réalise des bracelets de $6$ perles.

  Lorsqu'elle referme le bracelet, on ne voit plus le fermoir et elle
  se rend compte que plusieurs enfilements différents peuvent donner
  exactement le même bracelet.  Sur la figure \ref{fig_olympAM_19A},
  un bracelet obtenu avec un enfilement.

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
      \foreach \r/\l in {0/A,.70/B,1.4/C,2.1/D,2.8/E,3.5/F}
      {
        \node[draw=colLogo,circle,line width=1pt,text=colLogo] (\l) at (\r,0) {\l} ;
      }
      \node (start) at (0,-1) {Début} ;
      \node (end) at (3.5,-1) {Fin} ;
      \draw[->,>=stealth,colLogo] (start)--(A) ;
      \draw[->,>=stealth,colLogo] (end)--(F) ;
      
      \begin{scope}[shift={(7,0)}]
        \foreach \r/\l in {150/A,90/B,30/C,-30/D,-90/E,-150/F} {
          \node[draw=colLogo,circle,line width=1pt,text=colLogo] at (\r:0.7) {\l} ; }
      \end{scope}
      
    \end{tikzpicture}
    \caption{Exemple de bracelet}
    \label{fig_olympAM_19A}
  \end{figure}
  
  \begin{enumerate}
  \item Donner un exemple de deux enfilements différents donnant le
    même bracelet.
  \item Combien d'enfilements sont possibles~avec $6$ perles de types
    différents (par exemple A, B, C, D, E et F) ? 
  \item Combien d'enfilements différents permettent de réaliser le
    bracelet de l'image \ref{fig_olympAM_19b} ?
  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \foreach \r/\l in {150/A,90/B,30/C,-30/A,-90/B,-150/C} {
          \node[draw=colLogo,circle,line width=1pt,text=colLogo] at (\r:0.7) {\l} ; }
    \end{tikzpicture}
    \caption{Exemple de bracelet}
    \label{fig_olympAM_19b}
  \end{figure}
  
\item Proposer un bracelet qui peut être réalisé par exactement $3$
  enfilements différents.
\item Elle réalise maintenant des enfilements de $6$ perles en les
  choisissant une à une \emph{au hasard} dans la boîte.
  \begin{enumerate}
  \item Combien d'enfilements différents peut-elle réaliser ?
  \item Quelle est la probabilité que l'enfilement réalisé ne contienne
    pas deux perles de même type ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\Partie{Partie 2}

Pour Noël, Louise a reçu le \og Mega coffret création\fg{}
contenant $300$ types de perles différents, en grande quantité.

  \begin{enumerate}
  \item  Elle réalise des enfilements de $50$ perles en les choisissant
    une à une au hasard.
    \begin{enumerate}
    \item Sachant que $3^{50} \approx \num{7.18e23}$, écrire en
      notation scientifique une valeur approchée du nombre 
      d'enfilements différents qu'elle peut réaliser. 
    \item Justifier que le calcul suivant donne la probabilité qu'un
      enfilement ne contienne pas deux perles de même type :
      \[
        \frac{300}{300} \times \frac{299}{300} \times \cdots \times \frac{251}{300}.
      \]
    \item Louise pense qu'elle a plus de chances de réaliser un collier
    avec des perles toutes différentes que de réaliser un collier
    avec au moins deux perles identiques. Êtes-vous d'accord avec
    Louise ?
  \end{enumerate}
  
\item
  \begin{enumerate}
  \item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour
    qu'il affiche-en sortie la probabilité qu'un enfilement de $50$
    perles ne contienne pas deux perles de même type.
    \begin{tcblisting}{top=0mm,bottom=0mm,left=0mm,right=0mm,colframe=colLogoFort,listing
      only, title={Exercice national, les grands pairs\ldots},
      fonttitle=\bfseries\small,colbacktitle=colLogoFort,
      listing options={language=python,style=afdmpython}}

p = 1
for i in range(1,...) :
    p = ....

 print(...)
  \end{tcblisting}

  \item Exécuter cet algorithme et donner la valeur affichée en
    sortie.
  \item Ce résultat confirme-t-il votre opinion à la question
    1.c. ?
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\Partie{Partie 3}

Louise veut maintenant ranger ses colliers dans des boîtes pour
les offrir. Elle dispose de boîtes carrées, triangulaires, ou
hexagonales. Elle souhaite savoir laquelle choisir pour que ses
colliers s'y imbriquent parfaitement.

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \begin{tikzpicture}
    \begin{scope}[shift={(-3.5,-0.7)}]
      \foreach \x in {0.7,1.4,...,2.8}
      {
        \foreach \y in {0.7,1.4,...,2.8} 
        \draw[colLogo,line width=0.8pt] (\x,\y) circle (0.35) ;
      }
      \draw[colLogo,line width=1.5pt] (0.7,2.8) -- (0.7,0.7) --
      (2.8,0.7) -- (2.8,2.8) -- (1.4,2.8) -- (1.4,1.4) -- (2.1,1.4) --
      (2.1,2.1);
    \end{scope}
    \foreach \x in {0.7,1.4,...,2.8}
    {
      \draw[colLogo,line width=0.8pt] (\x,0) circle (0.35) ;
    }
    \foreach \x in {1.05,1.75,...,2.80}
    {
      \draw[colLogo,line width=0.8pt] (\x,0.606) circle (0.35) ;
    }
    \foreach \x in {1.4,2.1}
    {
      \draw[colLogo,line width=0.8pt] (\x,1.212) circle (0.35) ;
    }
    \draw[colLogo,line width=0.8pt] (1.75,1.828) circle (0.35) ;

    \draw[colLogo,line width=1.5pt](1.75,1.818) -- (0.7,0) --
    (2.8,0) -- (2.1,1.212) -- (1.75,0.606) ;
    \begin{scope}[shift={(3.5,1.212)}]
      \foreach \x in {0.7,1.4,...,3.5}
      {
        \draw[colLogo,line width=0.8pt] (\x,0) circle (0.35) ;
      }
      \foreach \x in {1.05,1.75,...,3.5}
      {
        \draw[colLogo,line width=0.8pt] (\x,0.606) circle (0.35) ;
        \draw[colLogo,line width=0.8pt] (\x,-0.606) circle (0.35) ;
      }
      \foreach \x in {1.4,2.1,...,2.85}
      {
        \draw[colLogo,line width=0.8pt] (\x,1.212) circle (0.35) ;
        \draw[colLogo,line width=0.8pt] (\x,-1.212) circle (0.35) ;
      }
      \draw[colLogo,line width=1.5pt](0.7,0) -- ++(-60:1.4)
      --++(0:1.4) --++(60:1.4) --++(120:1.4) --++(180:1.4)
      --++(240:0.7) --++(-60:1.4) --++(0:0.7) --++(60:0.7)
      --++(120:0.7) --++(180:0.7)--++(-60:0.7)  ;=red] (0,0) circle
      (0.5) ;
    \end{scope}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Collier s'intégrant dans les différentes boîtes}
    \label{fig_olymp19_AMd}
  \end{figure}

  \begin{figure}[!h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[scale=0.75,colLogo]
      \draw[ultra thick] (0.5,0.5)--(0.5,2.5)--(2.5,2.5)--(2.5,1.5)--(1.5,1.5) ;
      \draw (0.5,0.5) circle (0.5) ;
      \draw (0.5,1.5) circle (0.5) ;
      \draw (0.5,2.5) circle (0.5) ;
      \draw (1.5,1.5) circle (0.5) ;
      \draw (1.5,2.5) circle (0.5) ;
      \draw (2.5,1.5) circle (0.5) ;
      \draw (2.5,2.5) circle (0.5) ;
    \end{tikzpicture}
    \caption{Bracelet ne s'imbriquant pas dans une boîte carrée}
    \label{fig_olymp19_1AMdbis}
  \end{figure}
  \begin{enumerate}
  \item Louise a déjà enfilé $50$ perles pour un collier qu’elle veut
    offrir à sa mère. Peut-elle trouver une boîte qui convienne ?
    
    Sinon combien de perles au moins doit-elle rajouter pour pouvoir
    le ranger parfaitement dans l’une des boîtes ?
  \item Proposer une formule littérale donnant le nombre de perles que
    doit comporter un collier pour s’imbriquer parfaitement dans une
    boîte carrée de côté $n$.
  \item À l’aide du tableau \ref{tab_olymp_19AMa} et du schéma
    \ref{fig_olymp_19AMe} proposer une formule donnant le nombre de
    perles que doit comporter un collier pour s’imbriquer parfaitement
    dans une boîte triangulaire de côté $n$.

    \begin{figure}[!h]
      \centering
      \begin{tikzpicture}[scale=0.6]
        \fill[fill=colLogoFort]    (0   ,0) circle (0.5) ;
        \fill[fill=colLogoFort!75] (1.25,0) circle (0.5) ;
        \fill[fill=colLogoFort!75,rotate=60] (1.25,0) circle (0.5) ;
        \fill[fill=colLogoFort!50] (2.50,0) circle (0.5) node (A) {} ;
        \fill[fill=colLogoFort!50,rotate=60] (2.5,0) circle (0.5) node (B) {} ;
        \path let \p1= (A), \p2=(B), \p{C}=($ (\p1) ! 0.5 !(\p2)$)
        in coordinate (C) at (\p{C}) ;
        \fill[fill=colLogoFort!50] (C) circle (0.5) ;
        \fill[fill=colLogoFort!25] (3.75,0) circle (0.5) node (A) {} ;
        \fill[fill=colLogoFort!25,rotate=60] (3.75,0) circle (0.5)
        node (B) {} ;
        \path let \p1= (A), \p2=(B), \p{C}=($ (\p1) ! 0.333 !(\p2)$)
        in coordinate (C) at (\p{C}) ;
        \fill[fill=colLogoFort!25] (C) circle (0.5) ;
        \path let \p1= (A), \p2=(B), \p{D}=($ (\p1) ! 0.667 !(\p2)$)
        in coordinate (D) at (\p{D}) ;
        \fill[fill=colLogoFort!25] (D) circle (0.5) ;
        \begin{scope}[shift={(7.5,3.5)},rotate=180]
          \fill[fill=colLogoFort]    (0   ,0) circle (0.5) ;
        \fill[fill=colLogoFort!75] (1.25,0) circle (0.5) ;
        \fill[fill=colLogoFort!75,rotate=60] (1.25,0) circle (0.5) ;
        \fill[fill=colLogoFort!50] (2.50,0) circle (0.5) node (A) {} ;
        \fill[fill=colLogoFort!50,rotate=60] (2.5,0) circle (0.5) node (B) {} ;
        \path let \p1= (A), \p2=(B), \p{C}=($ (\p1) ! 0.5 !(\p2)$)
        in coordinate (C) at (\p{C}) ;
        \fill[fill=colLogoFort!50] (C) circle (0.5) ;
        \fill[fill=colLogoFort!25] (3.75,0) circle (0.5) node (A) {} ;
        \fill[fill=colLogoFort!25,rotate=60] (3.75,0) circle (0.5)
        node (B) {} ;
        \path let \p1= (A), \p2=(B), \p{C}=($ (\p1) ! 0.333 !(\p2)$)
        in coordinate (C) at (\p{C}) ;
        \fill[fill=colLogoFort!25] (C) circle (0.5) ;
        \path let \p1= (A), \p2=(B), \p{D}=($ (\p1) ! 0.667 !(\p2)$)
        in coordinate (D) at (\p{D}) ;
        \fill[fill=colLogoFort!25] (D) circle (0.5) ;
        \end{scope}
      \end{tikzpicture}
      \caption{ }
      \label{fig_olymp_19AMe}
    \end{figure}

    \begin{table}[!h]
      \centering
      \begin{tabular}{*{2}{>{$}c<{$}}}
        \toprule
        \multicolumn{1}{m{3cm}}{\centering Côté de la boite
        triangulaire}
        &
          \multicolumn{1}{m{3cm}}{\centering \arraybackslash Nombre de
          perles}\\
        \midrule
        1 &  1\\
        2 &  3\\
        3 &  6\\
        4 &  10\\
        5 &  15\\
        {\dots}{\dots} & {\dots}{\dots}\\
        \bottomrule
      \end{tabular}
      \caption{}
      \label{tab_olymp_19AMa}
    \end{table}

    
  \item Combien de perles comporte le plus petit collier de plus de
    $500$ perles pouvant s'imbriquer parfaitement dans une boîte
    triangulaire ?


  \item À l'aide du schéma \ref{fig_olymp_19AMf}, montrer que le
    nombre de perles que doit comporter un collier pour s'imbriquer
    parfaitement dans une boîte hexagonale est égal à :
    \[
      S_n = 1 + 6 \frac{n(n-1)}{2}
    \]
    où $n$ est le nombre de \og couches \fg{}
    à partir du centre.  La couche $1$ étant occupée par la perle
    centrale. Le schéma \ref{fig_olymp_19AMf} comporte donc 5 couches.

    \begin{figure}[!h]
      \centering
      \begin{tikzpicture}
        \fill[black] (0,0) circle (0.25) ;
        \foreach \angle in {0,60,...,300} {
          \draw[thick,rotate=\angle,colLogo] (120:0.35)
          --++ (0:3) ;
          \begin{scope}[rotate=\angle,shift={(60:0.7)}]
            \fill[fill=colLogoFort] (0:0) circle (0.25) ;
            \fill[fill=colLogoFort!75] (0:0.7) circle (0.25) ;
            \fill[fill=colLogoFort!75] (60:0.7) circle (0.25) ;
            \fill[fill=colLogoFort!50] (0:1.4) circle (0.25) node (A)
            {} ;
            \fill[fill=colLogoFort!50] (60:1.4) circle (0.25)
            node (B) {} ;
            \path let \p1= (A), \p2=(B),
            \p{C}=($ (\p1) ! 0.5 !(\p2)$)
            in coordinate (C) at (\p{C}) ;
            \fill[fill=colLogoFort!50] (C) circle (0.25) ;
            \fill[fill=colLogoFort!25] (0:2.1)
            circle (0.25) node (A) {} ;
            \fill[fill=colLogoFort!25] (60:2.1) circle (0.25)
            node (B) {} ;
            \path let \p1= (A), \p2=(B),
            \p{C}=($ (\p1) ! 0.333 !(\p2)$) in coordinate (C) at
            (\p{C}) ; \fill[fill=colLogoFort!25] (C) circle (0.25) ;
            \path let \p1= (A), \p2=(B),
            \p{D}=($ (\p1) ! 0.667 !(\p2)$) in coordinate (D) at
            (\p{D}) ; \fill[fill=colLogoFort!25] (D) circle (0.25) ;
          \end{scope}
        }
      \end{tikzpicture}
      \caption{ }
      \label{fig_olymp_19AMf}
    \end{figure}

  \item  Montrer qu'un collier comportant $\num{1027}$ perles peut s'imbriquer
    parfaitement dans une boîte hexagonale.
  \item Déterminer le collier le plus long contenant moins de $500$
    perles qui pourrait s'imbriquer parfaitement dans l'une des
    boîtes.
  \item Proposer un collier de plus de $3$ perles pouvant s'imbriquer
    parfaitement à la fois dans une boîte hexagonale et dans une
    boîte triangulaire.
  \end{enumerate}
  \begin{Corrige}
    \Partie{Partie 1}
    \begin{enumerate}
    \item La figure \ref{fig_olympAM_19aC} donne deux exemples
      d'enfilements différents donnant le même bracelet.
      \begin{figure}[!h]
        \centering
        \begin{tikzpicture}
          \foreach \r/\l in {0/A,.70/B,1.4/C,2.1/D,2.8/E,3.5/F}
          {
            \node[draw=colLogo,circle,line width=1pt,text=colLogo] (\l) at (\r,0) {\l} ;
          }
          \foreach \r/\l in {0/F,.70/A,1.4/B,2.1/C,2.8/D,3.5/E}
          {
            \node[draw=colLogo,circle,line width=1pt,text=colLogo] (\l) at (\r,1) {\l} ;
          }
        \end{tikzpicture}
        \caption{Exemples d'enfilements donnat le même bracelet }
        \label{fig_olympAM_19aC}
      \end{figure}
    \item Il y a $6$ choix pour la première perle, $5$ pour la 2\up{e}
      perle, \ldots, soit :
      $ 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$
      possibilités.
    \item Le motif se répète une fois, il y a donc $3 \times 2 \times
      1  = 6 $ possibilités.
    \item
      \begin{enumerate}
      \item Pour chaque perle, il y a $6$ possibilités, soit $6^6 =
        \num{46 656}$.
      \item Il y a $720$ possibilités avec des perles de couleurs
        toutes différentes, et $\num{46 656}$ au total, soit
        $\frac{720}{\num{46 656}} = \frac{5}{324}$.
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}

    \Partie{Partie 2}
    \begin{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item Il y a donc
        $300 ^{50} = 3^{50} \times 100^{50} \approx \num{7.18e23}
        \times 10^{100} = \num{7.18e123}$.
      \item Il y a $300^{50}$ enfilements possibles. Pour la première
        perle, il y a $300$ choix, la 2\up{e} $299$, la 3\up{e} $298$,
        \ldots et $251$ choix possibles pour la 50\up{e}. Donc la
        probabilité est :
        \[
          \frac{300 \times 299 \times \ldots \times 251}{300 \times
            300 \times \ldots 300} = \frac{300}{300} \times
          \frac{299}{300} \times \ldots \frac{251}{300}.
        \]
      \item Les événements \og avoir des perles toutes différentes\fg,
        de probabilité $p$, et \og avoir au moins deux perles
        identiques\fg, de probabilité $q$, sont complémentaires.
        Donc $p= 1-q$. RESTE À CONCLURE.
      \end{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item L'algorithme complété donne :
        \begin{tcblisting}{top=0mm,bottom=0mm,left=0mm,right=0mm,colframe=colLogoFort,listing
            only, title={Exercice national, les grands pairs\ldots},
            fonttitle=\bfseries\small,colbacktitle=colLogoFort,
            listing options={language=python,style=afdmpython}}

p = 1
for i in range(1,51) :
    p = p *(300 - i)/300
print(p)
        \end{tcblisting}
      \item La valeur affichée par $p$ est : $0,0132$. La probabilité
        d'avoir des perles toutes différentes est inférieure à la
        probabilité d'avoir au moins deux couleurs différentes.
      \item Cela confirrme donc l'opinion de la question 1.c.
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}
    
    \Partie{Partie 3}


    \begin{enumerate}
    \item
      \begin{itemize}
      \item Pour une boîte carrée, les colliers s'imbriquant
        parfaitement contiennent : $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$,
        $49$, $64$\ldots. Donc, le collier ne s'imbrique pas dans une
        boîte carrée. Il faut $14$ perles de plus.
      \item Pour une boîte triangulaire, les colliers s'imbriquant
        parfaitement contiennent : $1$, $3$, $6$, $10$, $15$, $21$,
        $28$, $36$, $45$, $55$\ldots. Donc, le collier ne s'imbrique pas dans une
        boîte triangulaire, il faut $5$ perles de plus.
      \item Pour une boîte hexagonale, les colliers s'imbriquant
        parfaitement contiennent : $1$, $7$, $19$, $37$,
        $61$\ldots. Donc, le collier ne s'imbrique pas dans une  
        boîte hexagonale. Il faut rajouter $11$ perles de plus.
      \end{itemize}
    \item Dans une boîte carrée de côté, les colliers qui s'imbriquent
      parfaitement comporte $n^2$ perles.
    \item Le schéma comporte $2$ fois les nombres triangulaires, il
      comporte $n(n+1)$ perles. Donc les nombres triangulaires sont
      donnés par la formule :
      \[
        \frac{n(n+1)}{2}
      \]
    \item Soit $n$ le nombre de rang dans la boîte triangulaire. Alors
      $\frac{n(n+1)}{2} \geq 500$, soit $n(n+1) \geq 1000$. Donc, $n$
      doit être proche de la racine de $1000$, soit environ $31$. Or
      $31 \times 32 = 992$ et $32 \times 33 = 1056$. Le collier doit
      donc contenir $528$ perles au minimum.
    \item Le schéma se décompose en $6$ nombres triangulaires de rang
      $n-1$ plus la bille centrale. On a donc :
      \[
        6 \frac{n(n-1)}{2}+1.
      \]
    \item On doit avoir l'égalité : $ 1+6 \frac{n(n-1)}{2} = 1027$,
      soit $n(n-1) =  342$, soit $n = 19$.

      Un collier de $1027$ perles tient dans une boîte hexagonale de
      côté $19$.
    \item Avec une boîte carré de $22$ de côté, on met $484$ perles,
      avec une boîte triangulaire de côté $31$, on met $496$ perles et
      avec une boîte hexagonale de côté $13$, on met $469$
      perles. Donc la boite inférieure à $500$ qui comporte le plus de
      perles est la boîte triangulaire de côté $31$.
    \item Peut-démontrer que cette question n'a pas de réponse ?
    \end{enumerate}
  \end{Corrige}
\end{Enonce}

%%% Local Variables:
%%% TeX-master: "olympiades"
%%% End:
