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%% Tapuscrit : Denis Vergès
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D~\decofourright\\ \vspace{1cm} L'intégrale de juin 2013  à novembre 2015}}

\vspace{1cm}

%Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large 
%\textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}

\vspace{1cm}
 
{\Large \hyperlink{Poly2013}{Polynesie 7 juin 2013} \dotfill 2  \medskip

\hyperlink{Anti2013}{Antilles-Guyane 19 juin 2013} \dotfill 6  \medskip

\hyperlink{Metro2013}{Métropole 20 juin 2013} \dotfill 9  \medskip

\hyperlink{Metrosep2013}{Métropole 12 septembre 2013} \dotfill 13  \medskip

\hyperlink{Calnov2013}{Nouvelle-Calédonie 18 novembre 2013} \dotfill 17  \medskip

\hyperlink{Calmars2014}{Nouvelle-Calédonie 7 mars  2014} \dotfill 21  \medskip

\hyperlink{Poly2014}{Polynésie 16 juin 2014} \dotfill 25 \medskip

\hyperlink{Anti2014}{Antilles-Guyane 19 juin 2014} \dotfill 30  \medskip

\hyperlink{Metro2014}{Métropole  19 juin 2014} \dotfill 34  \medskip

\hyperlink{Metrosep2014}{Métropole 11 septembre 2014} \dotfill 38  \medskip

\hyperlink{Polysep2014}{Polynésie 11 septembre 2014} \dotfill 42  \medskip

\hyperlink{Calnov2014}{Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014} \dotfill 46  \medskip

\hyperlink{Metro2015}{Métropole--La Réunion 18 juin 2015} \dotfill 50  \medskip

\hyperlink{Anti2015}{Antilles-Guyane 18 juin 2015} \dotfill 56  \medskip

\hyperlink{Poly2015}{Polynésie 11 juin 2015} \dotfill 61  \medskip

\hyperlink{Calnov2015}{Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015} \dotfill 66  \medskip

\hyperlink{Eni}{Concours ENI--GEIPI--POLYTECH 2015} \dotfill 69  \medskip

}

\vspace{1cm}\hyperlink{Index}{À la fin index des notions abordées}

À la fin de chaque exercice cliquez sur * pour aller à l'index
\newpage 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{Polynesie 7 juin 2013} 
\hypertarget{Poly2013}{}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Polynesie 7 juin 2013~\decofourright\\STI2D--STL--SPCL}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip
 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
  \index{QCM}
  \index{nombres complexes}
   \index{équation différentielle d'ordre 2}
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ 
Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Il sera attribué un point si la réponse est exacte.\\ 
Aucun point ne sera enlevé en cas de réponse incorrecte ou d'absence de réponse.}
 
\bigskip

On considère le nombre complexe $z = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}$ où i est le nombre complexe de module 1 et  
d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le carré de $z$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $- 4 \text{i}$& 
\textbf{b.~~} $- 4$& 
\textbf{c.~~} $-2\text{i}$& 
\textbf{d.~~} $4$\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\item L'inverse de $z$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}$& 
\textbf{b.~~} $- 2\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}$& 
\textbf{c.~~} $2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$& 
\textbf{d.~~} $\dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item L'équation différentielle $y''+ 4 y = 0$ admet pour solution la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$, par : 

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} 
\textbf{a.~~} $f(x) = 2 \sin \left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$&
\textbf{b.~~} $f(x) = 5\sin \left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)$\\
\textbf{c.~~} $f(x) = 4 \sin \left( x + \dfrac{\pi}{4}\right)$& 
\textbf{d.~~} $f(x) = \sin \left(4x + \dfrac{\pi}{2}\right)$\\
\end{tabularx}
\medskip
\renewcommand\arraystretch{1}
 
\item On observe la durée de fonctionnement, exprimée en années, d'un appareil électroménager jusqu'à ce que survienne la première panne.
 
Cette durée de fonctionnement est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2$.
 
La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de 8~ans est au centième près :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $0, 18$&\textbf{b.~~} $0,20$&\textbf{c.~~} $0,71$&\textbf{d.~~} $0,80$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\end{enumerate} 
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}
\index{suites}
\index{algorithmique}
\medskip
 
On considère la suite numérique $\left(u_{n}\right)$ définie par : 

\[u_{0} = 8\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n,\:\: u_{n+1} = 0,4 u_{n} + 3.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
 
On utilise un tableur pour calculer les premiers termes de cette suite.
 
Une copie d'écran sur laquelle les termes $u_{1}$ et $u_{2}$ ont été effacés est donnée en annexe 1. 
\item Quelle formule a-t-on pu saisir dans la cellule B3 de la feuille de calcul afin d'obtenir les premiers termes de cette suite par recopie vers le bas ? 
\item En utilisant cette copie d'écran, que peut-on conjecturer sur la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{Les variables sont l'entier naturel N et le réel U.}\\ Initialisation :& Affecter à N la valeur $0$\\ 
&Affecter à U la valeur 8\\ 
Traitement :& 	TANT QUE $\text{U} - 5 > 0,01$\\
& Affecter à N la valeur N + 1\\
& Affecter à U la valeur $0,4\text{U} + 3$\\
& Fin TANT QUE\\ 
 Sortie :& Afficher N\\ \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 
Par rapport à la suite $\left(u_{n}\right)$, quelle est la signification de l'entier N affiché ? 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $v_{n} = u_{n} - 5$. On admet que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de premier terme $v_{0} = 3$ et de raison $0,4$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$. 
		\item Le résultat précédent permet-il de valider la conjecture faite à la question 3 ?
		 
Pourquoi ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  4 points}
 \index{équation différentielle d'ordre 1}
\medskip 
La grand-mère de Théo sort un gratin du four, le plat étant alors à 100~\degres C. Elle conseille à son petit-fils de ne pas le toucher afin de ne pas se brûler, et de laisser le plat se refroidir dans la cuisine dont la température ambiante est supposée constante à 20~\degres C.
 
Théo lui rétorque que quand il sera à 37~\degres C il pourra le toucher sans risque ; et sa grand-mère lui répond qu'il lui faudra attendre 30 minutes pour cela.
 
La température du plat est donnée par une fonction $g$ du temps $t$, exprimé en minutes, qui est solution de l'équation différentielle : 

\[(E)\quad  y' + 0,04y = 0,8.\]
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $(E)$ et donner sa solution particulière $g$ définie par la condition initiale $g(0) = 100$. 
\item En utilisant l'expression de $g(t)$ trouvée : 
	\begin{enumerate}
		\item La grand-mère de Théo a-t-elle bien évalué le temps nécessaire pour atteindre 37\degres C ? 
		\item Quelle est la valeur exacte du temps nécessaire pour obtenir cette température ?
		 
En donner une valeur arrondie à la seconde près.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  7 points}
\index{loi normale}
\index{loi binomiale}
\index{intervalle de fluctuation}

\medskip 

\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.\\ Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à \boldmath $10^{- 3}$ \unboldmath près.}

\medskip
 
Une entreprise produit en grande quantité des pièces détachées destinées à l'industrie.
 
L'objectif de cet exercice est d'étudier l'exploitation de divers outils mathématiques pour analyser la qualité de cette production.

\bigskip
 
\textbf{A. Loi normale}

\medskip
 
Une pièce est conforme lorsque sa longueur, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [74,4~;~75,6].
 
On note $L$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur. On suppose que la variable aléatoire $L$ suit la loi normale d'espérance $75$ et d'écart type $0,25$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(74,4 \leqslant L \leqslant 75,6)$. 
\item Quelle valeur doit-on donner à $h$ pour avoir $P(75 - h \leqslant L \leqslant 75 + h) = 0,95$ ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Loi binomiale}

\medskip
 
Les pièces produites par l'entreprise sont livrées par lots de $20$.
 
On note D l'évènement: \og une pièce prélevée au hasard dans la production n'est pas conforme \fg. 

On suppose que $P(D) = 0,02$.
 
On prélève au hasard $20$ pièces dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. 

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de 20 pièces, associe le nombre de pièces non conformes qu'il contient.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $20$ et $0,02$. 
\item Calculer la probabilité $P(X = 0)$. 
\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins une pièce non conforme dans ce lot de $20$~pièces.
\item Calculer l'espérance mathématiques, $E(X)$, de cette variable aléatoire et interpréter le résultat. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C. Intervalle de fluctuation}

\medskip
 
\emph{Le cahier des charges établit que la proportion de $2$\,\% de pièces non conformes dans la production est acceptable.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des pièces non conformes dans un échantillon de taille $80$.

\medskip
 
\emph{On veut savoir si la machine de production est correctement réglée. Pour cela on prélève au hasard dans la production un échantillon de taille $80$ dans lequel $3$ pièces se révèlent être non conformes.}

\medskip
 
\item Quelle est la fréquence des pièces non conformes dans l'échantillon prélevé ? 
\item La machine de production doit-elle être révisée ? Justifier votre réponse. 
\end{enumerate} 
\hyperlink{Index}{*}
\newpage
\begin{center}
{\large \textbf{Annexe 1}}

\vspace{3cm}

\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A 		&B\\ \hline
1	&$n$	&$u(n)$\\ \hline 
2	&0		&8\\ \hline 
3	&1		&\\ \hline 
4	&2		& \\ \hline
5	&3		&5,192\\ \hline 
6	&4		&\np{5,07681}\\ \hline 
7	&5 		&\np{5,03072}\\ \hline 
8	&6 		&\np{5,012288}\\ \hline 
9	&7 		&\np{5,0049152}\\ \hline 
10	&8 		&\np{5,00196608}\\ \hline 
11	&9 		&\np{5,00078643}\\ \hline 
12	&10 	&\np{5,00031457}\\ \hline 
13	&11 	&\np{5,00012583} \\ \hline
14	&12 	&\np{5,00005033}\\ \hline 
15	&13 	&\np{5,00002013}\\ \hline 
16	&14 	&\np{5,00000305}\\ \hline 
17	&15		&\np{5,00000322}\\ \hline 
18	&16 	&\np{5,00000129}\\ \hline 
19	&17 	&\np{5,00000052}\\ \hline 
20	&18 	&\np{5,00000021}\\ \hline 
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{Antilles-Guyane 19 juin 2013} 
\hypertarget{Anti2013}{}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL~\decofourright\\
Antilles-Guyane 19 juin 2013\\}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip
\index{suites}
\index{algorithmique}
\begin{enumerate}
\item 

L'algorithme ci-dessous permet de calculer les termes successifs d'une suite que l'on appellera $\left(u_{n}\right)$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
\emph{Entrée} :		& Saisir la valeur de l'entier naturel $n$\\ 
\emph{Traitement} :	& Affecter 2 à la variable $u$\\
&\hspace{0.75cm} Pour $i$ variant de 1 à $n$\\
&\hspace{1.5cm} Affecter $1,5u$ à $u$\\
&\hspace{0.75cm} Fin de Pour\\
\emph{Sortie} :&Afficher $u$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
Quelles valeurs affiche cet algorithme lorsque l'on saisit $n = 1$, puis $n = 2$ et enfin $n = 3$ ? 
\item On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n,$

$u_{n+1} = 1,5 u_{n}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? Préciser ses éléments caractéristiques. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, donner l'expression du terme $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la suite $\left(S_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : 

\[S_{n} = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_{k} = u_{0} + u_{1} + u_{2} + \ldots + u_{n}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer les valeurs des termes $S_{0}, S_{1}$ et $S_{2}$. 
		\item Quelles modifications doit-on faire à l'algorithme précédent pour qu'il affiche la valeur du terme $S_{n}$ pour un $n$ donné ? 

Écrire ce nouvel algorithme sur sa copie. 
		\item Calculer le terme $S_{n}$ en fonction de l'entier naturel $n$. 
		\item En déduire la limite de la suite $\left(S_{n}\right)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 \index{loi normale}
\index{loi binomiale}
\index{intervalle de fluctuation}
\medskip
 
Une entreprise spécialisée produit des boules de forme sphérique pour la compétition. Le responsable de la qualité cherche à analyser la production.
 
Il mesure pour cela la masse des boules d'un échantillon (E) de $50$~pièces de la production concernée, et obtient les résultats suivants pour la série statistique des masses :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.75cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Masse en g 
&\np{1195} &\np{1196} &\np{1197} &\np{1198} &\np{1199} &\np{1200} &\np{1201}& \np{1202} &\np{1203} &\np{1204}\\ \hline 
Nombre de boules &1 &3 &4 &6 &8 &11 &6 &5 &3 &3\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip 
 
Une boule est dite \og de bonne qualité \fg{} si sa masse en grammes $m$ vérifie : 

\[\np{1197} \leqslant m \leqslant \np{1203}.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer, pour l'échantillon (E), le pourcentage de boules de bonne qualité. 
		\item Déterminer la moyenne et l'écart type de la série des masses de cet échantillon. (On donnera des valeurs approchées au gramme près.)
	\end{enumerate} 

Dans la suite de l'exercice, on admet que la probabilité qu'une boule soit de bonne qualité est : $p = 0,86$.
 
Les résultats des différentes probabilités seront donnés au millième près.
\item L'entreprise livre des lots de boules à un client. On assimile le choix de chaque pièce d'un lot à un tirage avec remise.
  
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à un lot donné de $50$~boules, associe le nombre de boules de bonne qualité. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres $n$ et $p$. 
		\item Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins $48$~boules de bonne qualité dans le lot.
	\end{enumerate} 
\item On décide d'approcher la loi binomiale suivie par la variable aléatoire $X$ par une loi normale d'espérance $m$ et d'écart type $\sigma$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $m = 43$ et $\sigma \approx 2,45$. 
		\item Déterminer, à l'aide de cette loi normale, une approximation de la probabilité qu'il y ait au moins $48$~boules de bonne qualité dans le lot.
	\end{enumerate} 
\item Le client reçoit un lot de $50$~boules. 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des boules de bonne qualité pour un lot de $50$~pièces. 
		\item Dans son lot, le client a $42$~boules qui sont de bonne qualité.
		 
Il affirme au fabricant que la proportion de boules de bonne qualité est trop faible au regard de la production habituelle de l'entreprise.
 
Peut-on donner raison au client au seuil de confiance de 95\,\% ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
   \index{nombres complexes}
      \index{nombres complexes et géométrie}
     \index{produit scalaire}
\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.
 
On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes, et i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation (E) d'inconnue $z$ : 

\[(2 - \text{i})z = 2 - 6\text{i}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\C$ l'équation (E). On notera $z_{1}$ la solution de (E) que l'on écrira sous forme algébrique. 
		\item Déterminer la forme exponentielle de $z_{1}$. 
		\item Soit $z_{2}$ le nombre complexe défini par : $z_{2} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{2}} \times  z_{1}$. 

Déterminer les formes exponentielle et algébrique de $z_{2}$. 
	\end{enumerate}
\item Soit A, B et C les points du plan d'affixes respectives : $z_{\text{A}} = 2 - 2\text{i},\: z_{\text{B}} = - 2 - 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} = - 4\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B et C dans le plan complexe. 
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{CA}} \cdot \vect{\text{CB}}$.
		\item Déterminer la nature du triangle ABC.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip 

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 
 
\[f(x) = \dfrac{1}{x} - \ln x.\] 
  \index{logarithme népérien}
  \index{intégrale}
    \index{primitive}
    \index{limite, asymptote}
On appelle $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij. 

\begin{enumerate}
\item Sur le graphique ci-dessous, on donne $\mathcal{C}_{f}$ et les courbes $C$ et 
$\Gamma$. L'une de ces deux courbes représente graphiquement la dérivée $f'$ de $f$, et l'autre une des primitives $F$ de $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer laquelle des deux courbes $C$ et $\Gamma$ représente graphiquement $f'$. Justifier. 
		\item Par lecture graphique, donner $F(1)$. 
	\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-4)(9,3.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.9,-4)(9,3.5)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.39}{6.5}{1 x div x ln sub}\uput[r](0.4,3){$\mathcal{C}_{f}$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0.646}{8}{x 1 add x dup mul div neg}\uput[r](0.7,-3.9){$\Gamma$}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linestyle=dotted]{0.04}{6.6}{x ln   1  x  sub mul x add}\uput[r](0.05,-2){$C$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Dans cette question, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec les courbes représentatives données sur le dessin. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $0$. 
Interpréter graphiquement cette limite. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$. 
		\item Calculer $f'(x)$ et montrer que l'on peut écrire : $f'(x) = \dfrac{- x - 1}{x^2}$. 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ puis donner le tableau de variations de $f$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $H$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[H(x) = x - (x - 1) \ln x.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $H$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$. 
		\item En déduire l'expression de la fonction $F$ de la question 1. 
		\item Calculer $\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{Métropole 20 juin 2013} 
\hypertarget{Metro2013}{}
\begin{center}

{\Large \textbf{Baccalauréat STI 2D/STL--SPCL\\
Métropole 20 juin 2013\\}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 \index{loi normale}
\index{intervalle de fluctuation}

\medskip

Une fabrique de desserts dispose d'une chaîne automatisée pour remplir des pots de crème glacée.
 
La masse en grammes de crème glacée contenue dans chacun des pots peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $100$ et d'écart type $0,43$.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Afin de contrôler le remplissage des pots, le responsable qualité souhaite disposer de certaines probabilités.
 
Le tableau ci-dessous présente le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques évènements pour une loi normale d'espérance $100$ et d'écart type $0,43$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{8}{c|}}\cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8} 
$a$& $p(X \leqslant  a)$&~~&$a$& $p(X \leqslant  a)$&~~&$a$& 
$p(X \leqslant  a)$\\ \cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8}
98 &\np{0,00000165}&~~&99,5 &\np{0,12245722}&~~&101 &\np{0,98997955}\\ \cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8}   
98,5 &\np{0,00024299}&~~&100 &\np{0,50000000}&~~&101,5 &\np{0,99975701}\\ \cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8}   
99 &\np{0,01002045}&~~&100,5 &\np{0,87754278}&~~&102 &\np{0,99999835}\\ \cline{1-2} \cline{4-5}\cline{7-8}   
\end{tabular}
\end{center}

\emph{Les résultats seront donnés à $10^{- 2}$ près.\\ 
Pour les calculs de probabilités, on utilisera éventuellement le tableau précédent ou la calculatrice.}
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement $\og X > 99 \fg$. 
		\item Déterminer la probabilité de l'évènement $\og 99 \leqslant X \leqslant 101 \fg$. 
		\item Le pot est jugé conforme lorsque la masse de crème glacée est comprise entre $99$ grammes et $101$ grammes. 
Déterminer la probabilité pour qu'un pot prélevé aléatoirement soit non conforme.
	\end{enumerate} 
Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de pots conformes dans la production est 98\,\%. 
	\begin{enumerate}
		\item L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des pots conformes sur un échantillon de taille $n$ est 

\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\]

Déterminer les bornes de l'intervalle $I$ pour un échantillon de taille $120$. 
		\item On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de $120$~pots de manière aléatoire. Au cours d'un de ces contrôles, un technicien compte $113$~pots conformes.
		 
En utilisant l'intervalle de fluctuation précédent, prendra-t-on la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip
 
On éteint le chauffage dans une pièce d'habitation à 22~h. La température y est alors de 20~\degres C. 

\emph{Le but de ce problème est d'étudier l'évolution de la température de cette pièce, puis de calculer l'énergie dissipée à l'extérieur, au cours de la nuit, de 22~h à 7~h le lendemain matin.}
 
On suppose, pour la suite du problème, que la température extérieure est constante et égale à 11~\degres C.
 
On désigne par $t$ le temps écoulé depuis 22~h, exprimé en heures, et par $f(t)$ la température de la pièce exprimée en \degres C. La température de la pièce est donc modélisée par une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~9]

\bigskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Prévoir le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~9]. 
On admet désormais que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~9] par 

\[f(t) = 9 \text{e}^{-0,12t} + 11.\]
 \index{fonction exponentielle}
 \index{intégrale}
\item Donner une justification mathématique du sens de variation trouvé à la question précédente. 
\item Calculer $f(9)$. En donner la valeur arrondie au dixième puis interpréter ce résultat. 
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, l'heure à partir de laquelle la température est inférieure à 15~\degres C. 
\item Retrouver le résultat précédent en résolvant une inéquation. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip

Le flux d'énergie dissipée vers l'extérieur, exprimé en kilowatts (kW), est donné par la fonction $g$ telle que, pour tout nombre réel $t$ de l'intervalle [0~;~9], 

\[g(t) = 0,7\text{e}^{-0,12t}.\] 
 
L'énergie $\mathcal{E}$ ainsi dissipée entre 22~h et 7~h, exprimée en kilowattheures (kWh), s'obtient en calculant l'intégrale 

\[\mathcal{E}  = \int_{0}^9 g(t)\:\text{d}t.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de l'énergie dissipée. 
\item En déduire une valeur arrondie de $\mathcal{E}$ à $0,1$~kWh près. 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\medskip
\index{QCM}
\index{équation différentielle d'ordre 1}
\index{équation différentielle d'ordre 2}
\index{nombres complexes}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip
 
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.}

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Une écriture sous forme exponentielle du nombre complexe $z = \sqrt{6} - \text{i}\sqrt{2}$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $z = 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$ 
&\textbf{b.~~} $z = 2\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{c.~~} $z = 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$&\textbf{d.~~} $z = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$\\
\end{tabularx}
\medskip 

\item Si $z_{1} = 3\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}$, alors le quotient $\dfrac{z_{1}}{z_{2}}$ vaut :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $3\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{7\pi}{12}}$&\textbf{b.~~} $3 \text{e}^{- 2\text{i}\pi}$&\textbf{c.~~} $3\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{13\pi}{12}}$&\textbf{d.~~} $ 
3\text{e}^{\text{i}\frac{13\pi}{12}}$\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On considère l'équation différentielle $y'' + 9y = 0$, où $y$ désigne une fonction deux fois dérivable sur l'ensemble des réels. Une solution $f$ de cette équation est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ : 
	\begin{enumerate}
		\item $f(x) = 4 \text{e}^{9x}$ 
		\item $f(x) = - 0,2 \text{e}^{- 9x}$ 
		\item $f(x) = 7 \cos (9x) - 0,2 \sin (9x)$ 
		\item $f(x) = 0,7\sin (3x)$
	\end{enumerate} 
\item On considère l'équation différentielle $y' + 7y = 0$, où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels. La solution $f$ de cette équation telle que $f(0) = 9$ est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} $f(x) = 9\text{e}^{7x}$&\textbf{b.~~} $f(x) = 9\text{e}^{- 7x}$&\textbf{c.~~} $f(x)= - 9\text{e}^{7x}$&\textbf{d.~~} \small $f(x) = - 9\text{e}^{- 7x}$\\
\end{tabularx}
\medskip
 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 \index{suites}
\index{algorithmique}
\medskip

Document 1

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline 
\emph{La plupart des lignes électriques font circuler du courant alternatif. Certaines font circuler du courant continu à très haute tension qui occasionne moins de pertes que le courant alternatif, notamment lorsque les lignes sont immergées, mais aussi lorsque les distances sont très importantes.}\\ 
\emph{En 2012, la plus longue liaison électrique à courant continu en service dans le monde relie la centrale hydro-électrique de Xiangjiaba à la ville de Shanghai. Elle mesure environ $\np{1900}$~km ; sa puissance électrique initiale est de $\np{6400}$~MW ; le courant est transporté sous une tension de $800$~kV.}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
Lorsque du courant électrique circule dans un câble, une partie de la puissance électrique est perdue. On estime les pertes de puissance électrique d'un courant continu à très haute tension à 0,3\,\% pour une distance de $100$~kilomètres.

\bigskip
 
\textbf{Partie A :}

\medskip
 
On note $p_{0} = \np{6400}$. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on note $p_{n}$ la puissance électrique restant dans la ligne Xiangjiaba-Shanghai au bout d'une distance de $n$ centaines de kilomètres. Ainsi $p_{1}$ est la puissance électrique restant dans la ligne au bout de $100$~km.

\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $p_{1} = 0,997p_{0}$. 
\item Quelle est la puissance électrique au MW près par défaut restant dans la ligne Xiangjiaba--Shanghai au bout de $200$~km ? 
\item Déterminer la nature de la suite $\left(p_{n}\right)$ puis exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
\textbf{Variables}\\ 
\hspace{1.5cm}$n$ : un nombre entier naturel \\
\hspace{1.5cm}$q$ : un nombre réel \\ 
\hspace{1.5cm}$p$ : un nombre réel \\ 
\textbf{Entrée} \\ 
\hspace{1.5cm}Saisir $n$ \\ 
\textbf{Initialisation} \\ 
\hspace{1.5cm}Affecter à $p$ la valeur \np{6400} \\ 
\hspace{1.5cm}Affecter à $q$ la valeur $0,997$ \\ 
\textbf{Traitement} \\ 
\hspace{1.5cm}Répéter $n$ fois \\ 
\hspace{2.5cm}Affecter à $p$ la valeur $p \times q$ \\ 
\textbf{Sortie}\\ 
\hspace{1.5cm}Afficher $p$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On entre dans l'algorithme la valeur $n = 3$.
 
Faire fonctionner cet algorithme pour compléter les cases non grisées du tableau suivant, que l'on recopiera (on donnera des valeurs arrondies à l'unité près par défaut).
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
&$n$ &$q$ &$p$\\ \hline 
Entrées et initialisation&3 &0,997 &\np{6400}\\ \hline 
1\up{er} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\\ \hline  
2\up{e} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\\ \hline 
3\up{e} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

\item Interpréter la valeur de $p$ obtenue au troisième passage dans la boucle de l'algorithme. 
\item Quel est le pourcentage de perte de puissance électrique en ligne au bout de $300$~km ?
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la puissance électrique à l'arrivée de la ligne Xiangjiaba--Shanghai ? 
\item D'autres lignes électriques à très haute tension, en courant continu, sont en cours d'étude.
 
On souhaite limiter la perte de puissance électrique à 7\,\% sur ces lignes. 
	\begin{enumerate}
		\item La ligne Xiangjiaba--Shanghai répond-t-elle à cette contrainte ? 
		\item Déterminer, à cent kilomètres près, la longueur maximale d'une ligne à très haute tension en courant continu pour laquelle la perte de puissance reste inférieure à 7 \,\%.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{Métropole 12 septembre 2013} 
\hypertarget{Metrosep2013}{}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL~\decofourright\\
Métropole 12 septembre 2013\\}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip
\index{QCM}
  \index{nombres complexes}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip
 
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La forme exponentielle du nombre complexe $z = - 5 + 5\text{i}$ est:  
	\begin{enumerate}
		\item $z = 5\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ 
		\item $z = 5\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ 
		\item $z = 5\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}$  
		\item $z = 5\sqrt{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}$ 
	\end{enumerate} 
\item Si $z_{1} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{2} = \sqrt{2}\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$, alors le produit $z_{1} \times z_{2}$ est un nombre complexe : 
	\begin{enumerate}
		\item de module 4 et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{7}$ 
		\item de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$ 
		\item de module 4 et dont un argument est $\dfrac{5\pi}{12}$ 
		\item de module $2\sqrt{2}$ et dont un argument est $\dfrac{13\pi}{12}$
	\end{enumerate}		
\item Le nombre complexe $\dfrac{\sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}}$ est égal à :
	\begin{enumerate}
		\item 1 
		\item i		 
		\item $-1$
		\item  $- \text{i}$
	\end{enumerate}		 
\item Le nombre complexe $z$ de module $2\sqrt{3}$ et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{3}$  a pour forme algébrique :
	\begin{enumerate}
		\item $\sqrt{3} - 3\text{i}$ 
		\item $3 - \text{i}\sqrt{3}$ 
		\item $- \sqrt{3} + 3\text{i}$ 
		\item $- 3 + \text{i}\sqrt{3}$ 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 \index{loi normale}
\index{intervalle de fluctuation}

\medskip 

Une entreprise fabrique en grande série des barres de pâte d'amande. La masse annoncée sur leur emballage est de $125$~grammes. La machine qui fabrique les barres de pâte d'amande est préréglée afin que ces dernières respectent la masse de $125$~grammes avec une certaine tolérance. Une barre de pâte d'amande est dite conforme lorsque sa masse est comprise dans un intervalle de tolérance de [124~;~127,5].

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à une barre de pâte d'amande prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. Le service qualité estime que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $125,5$ et d'écart type $0,75$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard ait une masse supérieure à 125,5 grammes. 
		\item Calculer la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit conforme. 
		\item En déduire la probabilité qu'une barre de pâte d'amande prélevée au hasard soit non conforme.
		
		\medskip
		 
\emph{On utilisera éventuellement le tableau suivant présentant le calcul, effectué à l'aide d'un tableur, des probabilités de quelques événements pour une loi normale d'espérance $125,5$ et d'écart type $0,75$.}


{\scriptsize \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{0.5cm}|X|p{0.01mm}|p{0.5cm}|X|p{0.05cm}|p{0.5cm}|X|p{0.01mm}|p{0.5cm}|X|}\cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11} 
$a$& \tiny $p(X \leqslant a)$&~&$a$&{\tiny $p(X\leqslant a)$}&~&$a$&\tiny $p(X \leqslant a)$&~&$a$&\tiny $p(X \leqslant a)$\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11} 
122,00&\np{0,0000015}&&123,50 &\np{0,0038304}&&125,00& \np{0,2524925}&&126,50 &\np{0,9087888}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11} 
122,25&\np{0,0000073}&&123,75 &\np{0,0098153}&&125,25 &\np{0,3694413}&&126,75 &\np{0,9522096}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}    
122,50&\np{0,0000317}&&124,00 &\np{0,0227501}&&125,50 &\np{0,5000000}&&127,00 &\np{0,9772499}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}     
122,75&\np{0,0001229}&&124,25 &\np{0,0477904}&&125,75 &\np{0,6305587}&&127,25 &\np{0,9901847}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}    
123,00&\np{0,0004291}&&124,50 &\np{0,0912112}&&126,00 &\np{0,7475075}&&127,50 &\np{0,9961696}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}    
123,25&\np{0,0013499}&& 124,75 &\np{0,1586553}&&126,25 &\np{0,8413447}&&127,75&\np{0,9986501}\\ \cline{1-2}\cline{1-2}\cline{4-5}\cline{7-8}\cline{10-11}
\end{tabularx}}

	\end{enumerate} 
\item Lors d'un contrôle, le responsable qualité prélève de façon aléatoire un échantillon de $300$ barres de pâte d'amande dans la production et constate que $280$ barres de pâte d'amande sont conformes.
 
On admet que, lorsque la machine est correctement réglée, la proportion de barres de pâte d'amande conformes dans l'ensemble de la production est de 97\,\%.
 
On souhaite savoir si le réglage de la machine peut être jugé satisfaisant. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence des barres de pâte d'amande de masse conforme obtenue sur un échantillon de taille 300 (les bornes de l'intervalle seront arrondis à $10^{-3}$ près). 
		\item Le résultat obtenu lors du contrôle qualité remet-il en question le réglage de la machine? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\medskip
 
Depuis 2000, l'Union Européenne cherche à diminuer les émissions de polluants (hydrocarbures et oxydes d'azote) sur les moteurs diesel des véhicules roulants. En 2000, la norme tolérée était fixée à $635$~milligrammes par kilomètre en conduite normalisée. L'objectif de l'Union Européenne est d'atteindre une émission de polluants inférieure à $100$~milligrammes par kilomètre.
 
La norme est réactualisée chaque année à la baisse et depuis 2000, sa baisse est de 11,7\,\% par an.
\index{suites}
\index{algorithmique}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la norme tolérée était d'environ 561 milligrammes par kilomètre en 2001. 
		\item Un véhicule émettait $500$~milligrammes par kilomètre en 2002.
		 
Indiquer, en justifiant, s'il respectait ou non la norme tolérée cette année-là.
	\end{enumerate} 
\item Dans le cadre d'une recherche, Louise veut déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif. 

Louise a amorcé l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
\textbf{Variables}\\ 
\qquad $n$ : un nombre entier naturel \\
\qquad $p$ : un nombre réel\\
\textbf{Initialisation}\\ 
\qquad Affecter à $n$ la valeur $0$\\
\qquad Affecter à $p$ la valeur $635$\\ 
\textbf{Traitement}\\ 
\qquad Tant que \ldots\ldots\\ 
\qquad \qquad Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
\qquad \qquad Affecter à $p$ la valeur $0,883 \times p$\\
\qquad  Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie}\\ 
\qquad Afficher \ldots\ldots\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer l'instruction « Affecter à $p$ la valeur $0,883 \times p$ ». 
		\item Deux lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter afin de permettre à Louise de déterminer l'année recherchée.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ la norme tolérée, exprimée en milligrammes  l'année $(2000 + n)$. On a ainsi $u_{0} = 635$. 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison. 
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer à partir de quelle année l'Union Européenne atteindra son objectif. 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip

Un architecte veut établir les plans d'un hangar pour ballon dirigeable. 

La forme de la façade avant de ce hangar et les points O, A, B, S, H et K sont donnés sur le schéma ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=0.1cm} 
\begin{pspicture}(-60,-4)(60,75)
\multido{\n=-50+10}{12}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](\n,0)(\n,75)}
\multido{\n=0+10}{8}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange](-55,\n)(55,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-60,-4)(60,75)
\uput[ur](0,60){S}\uput[dl](30,37.66){K}\uput[ur](30,0){H}\uput[d](-55,0){B}
\uput[d](55,0){A}\uput[d](65,0){$x$}\uput[r](0,75){$y$}
\uput[dl](0,0){O}
\psframe(30,0)(27,3)\psframe(0,0)(-3,3)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{55.45}{80 2.71828 0.025 x mul exp 20 mul sub}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-55.45}{0}{80 2.71828 0.025 x  mul neg exp 20 mul sub}
\psline(30,0)(30,37.66)
\end{pspicture}
\end{center}

Cette façade avant est symétrique par rapport au segment vertical [OS] et OH = 30~m. 
 
L'arc $\widearc{\text{SA}}$ de la façade avant correspond à une partie de la représentation graphique d'une fonction définie sur l'intervalle [0~;~60], dans un repère orthonormal direct d'origine O du plan, l'unité étant le mètre. 

Le cahier des charges impose les quatre conditions suivantes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] OS $= 60$ ; 
\item[$\bullet~~$] HK $ > 35$ ; 
\item[$\bullet~~$] la fonction évoquée ci-dessus doit être strictement décroissante sur l'intervalle [0~;~60] ; 
\item[$\bullet~~$] OA $ \leqslant  60$. 
\end{itemize}

\bigskip
 
\textbf{Partie A - Étude d'une fonction numérique}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~60] par 

\[f(x) = 80 - 20\text{e}^{0,025x}\]
\index{fonction exponentielle}
\index{intégrale}
    \index{primitive}
 vérifie les trois premières conditions du cahier des charges. 
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur décimale approchée à $10^{- 1}$ près par excès du réel $a$ qui vérifie $f(a) = 0$. 

Vérifier que la quatrième condition du cahier des charges est remplie. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Calcul d'intégrale et application}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $F$ est définie sur l'intervalle [0~;~60] par 
		
\[F(x) = 80x - 800\text{e}^{0,025x}.\]
 
Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~60]. 
		\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale 
 
\[J = \displaystyle\int_{0}^{55,5}	f(x)\:\text{d}x\]
 
		\item Donner la valeur approchée, arrondie à $10^{- 2}$ près de $J$.
	\end{enumerate} 
\item On souhaite peindre la surface extérieure de la façade avant. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à $10^{-2}$ près l'aire de cette surface exprimée en m$^2$. 
		\item La peinture utilisée pour peindre la surface extérieure de la façade avant est vendue en bidons de $68$ litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de $0,2$ mètre carré par litre, combien de bidons sont nécessaires pour peindre la surface extérieure de la façade avant? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{Nouvelle-Calédonie 18 novembre 2013} 
\hypertarget{Calnov2013}{}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL~\decofourright\\
Nouvelle-Calédonie 18 novembre 2013\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 \index{suites}
\index{algorithmique}
 \index{tableur}
\medskip

La suite $\left(u_{n}\right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par 

\[u_{n+1} = 0,4u_{n} + 3\quad \text{et}\quad u_{0} = - 1.\]
 
\textbf{PARTIE A :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide d'un tableur, on a calculé les 11 premières valeurs de $u_{n}$.

On obtient les résultats suivants :
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}m{0.8cm}|>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}c|*{9}{@{}>{\centering \arraybackslash \scriptsize}X@{}|}}\hline
&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L\\ \hline
1&Valeur de $n$&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline
2&Valeur de $u_{n}$&
\scriptsize$- 1$&\scriptsize2,6&\scriptsize 4,04& 4,616&4,8464&4,9386&4,9754&4,9902&4,9961&4,9984&4,9994 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Parmi les quatre formules ci-dessous, laquelle a-t-on entrée dans la cellule C2 pour obtenir par copie vers la droite les valeurs affichées dans les cellules D2 à L2 (on indiquera la réponse sur la copie sans justification) ?

\medskip
\begin{tabularx}{1.1\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~} $= 0,4^n +3$&\textbf{b.~} $= \text{B}2*0,4+3$ 	&\textbf{c.~} $=\text{B}2*0,4+3$ &\textbf{d.~} $= 0,4~\hat{}~\text{C}1+3$
\end{tabularx}

\item Quelle conjecture peut-on faire sur la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ ? 
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\emph}l X|}\hline 
\emph{Variables} :		& 	$p$ et $n$ sont des entiers naturels, $u$ est un nombre réel\\ 
\emph{Entrée} :		& 	saisir la valeur de $p$\\ 
\emph{Initialisation} :& 	$n$ prend la valeur $0$, $u$ prend la valeur $- 1$\\ 
\emph{Traitement} :	& 	tant que $|u - 5| > 10^{-p}$\\ 
&	\hspace{0,25cm}\begin{tabular}{|l}
$n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
$u$ prend la valeur $0,4u + 3$
\end{tabular}\\
& fin tant que\\
\emph{Sortie} :& 	afficher la valeur de $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
À l'aide du tableau de la question 1, donner la valeur affichée par cet algorithme lorsque $p = 2$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B :}

\medskip
 
On étudie maintenant la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 

$v_{n} = 6 \times  (0,4)^n$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ et ses éléments caractéristiques. 
\item Déterminer la limite de $\left(v_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$. 
\item On admet que pour tout entier naturel $n :\: u_{n} = 5 - v_{n}$. Déterminer la limite de $\left(u_{n}\right)$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en fonction de $n$ la somme $v_{0} + v_{1} + \ldots	+ v_{n}$. 
		\item En déduire en fonction de $n$ la somme $u_{0} + u_{1} + \ldots	+ u_{n}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}
 
\medskip
\index{QCM}
  \index{nombres complexes}
 \index{équation différentielle d'ordre 1}
  \index{équation différentielle d'ordre 2}
 \index{fonction puissance}
 \index{fonction logarithme népérien}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule réponse est correcte.\\ 
$\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.\\ 
Toute bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une réponse erronée ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Le candidat notera le numéro de la question et la lettre correspondante à la réponse choisie sur sa copie.} 

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c|}{~}&Réponse a& Réponse b& Réponse c\\ \hline 
1&Soit $z = - \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Alors son module est :&$\sqrt{2}$&$- \sqrt{2}$&2\\ \hline  
2&Soit $z = - \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. Alors un argument est : &$\dfrac{\pi}{4}$&$- \dfrac{\pi}{4}$&$- \dfrac{3\pi}{4}$\\ \hline
3&$f$ est définie par : \mbox{$f (t) = 3\cos \left(5 t - \dfrac{\pi}{2}\right)$} 

$f$ est solution de :& $y' + 3y = 0$ &$y''+ 25y = 0$&
$y'' - 5y = 0$\\ \hline 
4&Les solutions de l'équation $y' - 2y = 0$ 

sont les fonctions du type :&$x \longmapsto k\text{e}^{2x}$ avec $k \in  \R$ & $x \longmapsto k\text{e}^{- 2x}$ avec $k \in \R$ & $x \longmapsto k\text{e}^{2x} + k$ avec $k \in  \R$\\ \hline 
5&La solution de l'équation $\ln (x + 1) = 3$ est :&$\left\{1 - \text{e}^3\right\}$&$\left\{1 + \text{e}^3\right\}$&$\left\{\text{e}^3 - 1\right\}$\\ \hline 
6&L'ensemble des solutions de l'inéquation $2^x - 3 \leqslant 5$ est : 
&$]- \infty~;~\ln 8]$&$]- \infty~;~3]$&$]- \ln 3~;~\ln 5]$\\ \hline 
 \index{fonction exponentielle}
\end{tabularx}
\end{center}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}
 \index{équation de tangente}
\medskip

\textbf{PARTIE A :}

\medskip
 
$f$ est une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

$f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. 

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3.5)(13.2,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8,gridcolor=orange](-2,-4)(14,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-3.5)(13.2,6)
\psplot[plotpoints=5000]{-1.5}{2.5}{1 2 x mul sub}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.25}{13.2}{x ln 2 mul 4 x div add 5 sub}
\uput[r](0.3,5){$\mathcal{C}$}\uput[l](2,-3){$\mathcal{T}$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
 
$\mathcal{C}$ est la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormal.

$\mathcal{T}$ est la tangente à $\mathcal{C}$ au point de coordonnées $(1~;~-1)$. 

$\mathcal{T}$ passe par le point de coordonnées (0~;~1).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, déterminer $f(1)$. 
		\item Déterminer $f'(1)$. 
		\item Donner une équation de $\mathcal{T}$. 
	\end{enumerate}
\item On sait que $f(x)$ est de la forme $f(x) = 2\ln x+ \dfrac{a}{x} + b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels. \index{fonction : détermination de paramètres} \index{intégrale}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$. 
		\item Déterminer alors les valeurs de $a$ et $b$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B :}

\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = 2\ln x + \dfrac{4}{x} - 5.\]
   \index{logarithme népérien} \index{limite, asymptote}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.  
		\item On admet que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$. Que peut-on en déduire graphiquement ? 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout nombre réel $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$, vérifier que \[f'(x) = \dfrac{2x - 4}{x^2}.\] 
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $]0~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Établir le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~ +\infty[$. 
\item En précisant votre démarche, donner le nombre de solution(s) de l'équation $f(x) = 0$, pour $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner le signe de $f(x)$ pour $x$ appartenant à [1~;~3]. 
		\item On admet que la fonction $F$ définie pour $x$ appartenant à $]0~;~ +\infty[$ par 
		
		\[F(x) = (2x + 4) \ln x - 7x\]
		
est une primitive de $f$. 

Déterminer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 3$ en unités d'aires.
 
On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\mathcal{A}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 \index{loi normale}
\index{loi binomiale}
\index{intervalle de fluctuation}

\medskip
 
Une entreprise fabrique en grande quantité des médailles circulaires en argent. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre et l'épaisseur (exprimés en millimètres) sont conformes afin de les ranger dans un étui spécifique.
 
Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-3}$ près.

\bigskip
 
\textbf{PARTIE A :}

\medskip
 
On suppose dans cette partie que la probabilité pour qu'une pièce prélevée au hasard soit conforme est égale à $0,9$.
 
Soit $X$ la variable aléatoire, qui à tout échantillon de 10 pièces associe le nombre de pièces conformes.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 
\item Calculer l'espérance mathématique $E(X)$ et l'écart type $\sigma(X)$ de la variable aléatoire $X$. 
\item Calculer la probabilité que dans un échantillon de 10 pièces, au moins $8$ pièces soient conformes. 
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B :}

\medskip
 
Les pièces sont fabriquées par une machine automatique. Soit $M$ la variable aléatoire qui à chaque pièce prélevée au hasard associe son diamètre.
 
On suppose que $M$ suit la loi normale d'espérance $80$ et d'écart type $0,6$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $P(79 \leqslant M \leqslant 81)$. 
\item Quelle est la probabilité que le diamètre d'une pièce prélevée au hasard soit supérieur à $80$ ?
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{PARTIE C :}

\medskip

On s'intéresse dans cette partie à l'épaisseur des médailles.
 
On fait l'hypothèse que le réglage de la machine est tel que 5\,\% des médailles fabriquées ont une épaisseur non conforme.

\medskip
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à $95$\,\% de la fréquence des médailles non conformes obtenues dans un échantillon de $300$~médailles. 
\item On prélève un échantillon de $300$~médailles. 

On constate que dans cet échantillon, $24$ médailles ont une épaisseur non conforme. 

Doit-on réviser le réglage de la machine ? 
\end{enumerate} 
\hyperlink{Index}{*}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{Nouvelle-Calédonie 7 mars  2014} 
\hypertarget{Calmars2014}{}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL~\decofourright\\
Nouvelle-Calédonie 7 mars  2014\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
   \index{nombres complexes}
\medskip

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les nombres complexes $z_{1}, z_{2}$ et $z_{3}$ définis par: 

\[z_{1} = 1 + \text{i}\sqrt{3}, \quad z_{2} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{4}}\quad \text{et} \quad z_{3} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'écriture exponentielle de $z_{1}$. 
\item Déterminer l'écriture algébrique de $z_{2}$. 
\item Démontrer que $z_{1} \times  z_{2} = 2z_{3}$. 
\item En déduire l'écriture algébrique de $z_{3}$. 
\item En déduire que $\cos \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$   et $\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.
\end{enumerate}
 \hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 \index{loi normale}
\index{loi binomiale}
\index{intervalle de fluctuation}

\medskip
 
Un groupe agricole vend des sachets de graines donnant des plantes résistantes aux maladies. Le directeur de ce groupe affirme que 92\,\% des sachets sont efficaces et donnent des plantes résistantes. 
Dans cet exercice, les valeurs approchées seront arrondies à $10^{-2}$ près.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On prélève au hasard un échantillon de $100$ sachets. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence de sachets efficaces sur un échantillon de taille $100$. 
		\item Dans le prélèvement de $100$ sachets, $88$ donnent des plantes résistantes. Peut-on rejeter l'hypothèse du directeur ?
	\end{enumerate} 
\item On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $100$ sachets, associe le nombre de sachets donnant des plantes résistantes. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,92$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'espérance et l'écart type de $X$ (arrondi à $0,01$ près). 
		\item La variable aléatoire $X$ peut être approchée par la variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $92$ et d'écart type $2,7$. 
		
En utilisant la variable aléatoire $Y$, calculer la probabilité que le nombre de sachets donnant des plantes résistantes soit compris entre $89$ et $94$, c'est-à-dire calculer $P(89 \leqslant Y \leqslant 94)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\medskip
\index{suites}
\index{algorithmique}
L'iode 131 est un produit radioactif utilisé en médecine. II peut cependant être dangereux lorsqu'on le reçoit en grande quantité.
 
On considère un échantillon d'une population de noyaux d'iode 131 comportant $10^6$~noyaux au début de l'observation. On considère que le nombre de noyaux diminue chaque jour de 8,3\,\%.
 
On note $u_{n}$ le nombre de noyaux de cet échantillon au bout de $n$ jours. On a donc $u_{0} = 10^6$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$. 
\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. En déduire la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$. 
\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
\item Déterminer à partir de combien de jours la population de noyaux aura diminué au moins de moitié.
 
Cette durée s'appelle la demi-vie de l'iode 131. 
\item On considère l'algorithme suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|c|l X|}\hline 
1	&\textbf{Variables :}& $n$ et $u$ sont des nombres\\ 
2	&\textbf{Initialisation :}& 	Affecter la valeur $0$ à $n$\\ 
3	&					& Affecter la valeur $10^6$ à $u$\\
	&					&\\ 
4	&\textbf{Traitement :}& Tant que $u > \dfrac{10^6}{2}$ \\

5	&					&\hspace{0,5cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\  
6	&					&\hspace{0,5cm}$u$ prend la valeur $u \times  0,917$\\ 
7	&					&Fin tant que\\ 
8	&\textbf{Sortie :}	&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
	\begin{enumerate}
		\item À quoi correspond la valeur $n$ en sortie de cet algorithme ? 
		\item Si on programme cet algorithme, quel résultat affiche-t-il ? 
		\item Pour le Césium 137, le nombre de noyaux diminue chaque année de 2,3\,\%.
		 
Quelles modifications faut-il apporter à l'algorithme précédent pour trouver la demi-vie du césium 137 sachant que la population au départ est de $10^8$~noyaux?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}
 
\medskip
Dans tout l'exercice, on désigne par $\R$ l'ensemble des nombres réels.

\medskip
 
On donne ci-dessous une petite partie de la courbe représentative 
$\mathcal{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, dans un repère orthonormé du plan.
 
On note $f'$  la fonction dérivée de $f$.
 
La courbe $\mathcal{C}$ passe par le point A (0~;~5) et par le point B d' abscisse $2$. 

La tangente $\mathcal{T}_{\text{A}}$ à la courbe au point A passe par le point C(1~;~1) et la tangente $\mathcal{T}_{\text{B}}$ au point B est horizontale.

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-0.7)(5.2,6.8)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1.5,-0.6)(5.2,6.8)
\psline(-1.5,2.188)(5.2,2.188)
\psplot{-1}{1.25}{5 4 x mul sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{5.2}{2 2 x mul sub x dup mul sub 2.71828 x exp div 3 add}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,1)(2,2.188)(0,5)
\uput[ur](0,5){A} \uput[u](2,2.188){B} \uput[ur](1,1){C}
\uput[r](1.2,0.3){$\mathcal{T}_{\text{A}}$}
\uput[d](3,2.188){$\mathcal{T}_{\text{B}}$}
\uput[u](4,2.55){$\mathcal{C}$}
\uput[dl](0,0){O} 
\end{pspicture*}
\end{center} 


\medskip
 
\textbf{PARTIE A :}

\medskip
 \index{QCM}
 \index{intégrale}
\emph{Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte. \\Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. \\Une mauvaise réponse ou l'absence de réponses n'enlève ni ne rapporte aucun point. On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La valeur de $f(0)$ est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}$- 4$ &\textbf{b.~~}4 &\textbf{c.~~}1,2 &\textbf{d.~~}autre réponse
\end{tabularx}
\medskip

\item La valeur de $f'(0)$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}$- 4$ &\textbf{b.~~}4 &\textbf{c.~~}1,2 &\textbf{d.~~}autre réponse
\end{tabularx}
\medskip

\item La valeur de $f'(2)$ est: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
\textbf{a.~~}0 &\textbf{b.~~}2,1 &\textbf{c.~~}3 &\textbf{d.~~}autre réponse
\end{tabularx}
\medskip

\item Un encadrement de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ par des entiers naturels est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{}X}}
\textbf{a.~~}$3 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 4$ &\textbf{b.~~}$5 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 7$ &\textbf{c.~~}$2 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 5$ &\textbf{d.~~} $0 \leqslant \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x \leqslant 2$
\end{tabularx}
\medskip 
 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
La fonction $f$ représentée dans la PARTIE A est définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \left(- x^2 - 2x + 2\right)\text{e}^{- x} + 3.\]
 \index{fonction exponentielle} \index{primitive} \index{intégrale}
\begin{enumerate}
\item On admet que la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est $3$.
 Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. 
\item On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et on admet que pour tout nombre réel $x$ appartenant à $\R$,\: $f'(x) = \left(x^2 - 4\right)\text{e}^{- x}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$. 
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $F$ définie sur $\R$ par 

\[F(x) = \left(x^2 + 4x + 2\right)\text{e}^{- x} + 3x.\] 

Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. 
\item On considère le domaine $\mathcal{D}$ du plan limité par la courbe $\mathcal{C}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$. 
		\item Donner une valeur approchée de $\mathcal{A}$ au centième. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
\hyperlink{Index}{*}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{Polynesie 16 juin 2014} 
\hypertarget{Poly2014}{}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Polynesie 16 juin 2014~\decofourright\\STI2D--STL spécialitéSPCL}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip
\index{QCM}
 \index{équation différentielle d'ordre 1}
  \index{équation différentielle d'ordre 2}
    \index{nombres complexes}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\ 
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip
 
\textbf{Indiquer sur la copie la réponse choisie}

\medskip
 
Dans les questions 1. et 2., on considère le complexe $z = - 2\text{e}^{-2\text{i}\frac{\pi}{3}}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Le complexe $z^3$ est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $8$&\textbf{b.~~} $ - 8$&\textbf{c.~~} $8\text{i}$&\textbf{d.~~} $- 8\text{i}$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item Un argument de $z$ est 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $- \dfrac{2\pi}{3}$&\textbf{b.~~} $\dfrac{2\pi}{3}$&\textbf{c.~~} $- \dfrac{\pi}{3}$ &\textbf{d.~~} $\dfrac{\pi}{3}$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item On considère l'équation différentielle $y' - 3y = 2$, où $y$ désigne une fonction dérivable sur l'ensemble des réels.
 
Une solution $f$ de cette équation est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \small $f(x) = 2\text{e}^{-3x}$ &\textbf{b.~~}\small  $f(x) = \text{e}^{3x} + \dfrac{2}{3}$&\textbf{c.~~}\small  $f(x) = \text{e}^{\frac{2}{3}x}$ 
&\textbf{d.~~}\small  $f(x) = \text{e}^{3x} -  \dfrac{2}{3}$
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La solution $f$ de l'équation différentielle $y'' + 4\pi^2 y = 0$ qui vérifie $f(0) = - 1$ et $f'(0) = 0$ admet comme représentation graphique : 
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~}&\textbf{b.~~}\\
\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(-2,-1.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-1.5)(2,1.5)\uput[dl](0,0){0}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.pt]{-2}{0.4}{2.71828 x exp neg}
\end{pspicture}&
\psset{unit=1cm,algebraic=true}\begin{pspicture}(-2,-1.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-1.5)(2,1.5)\uput[dl](0,0){0}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.pt]{-2}{2}{- cos(x*3.14159)}
\end{pspicture}\\
\textbf{c.~~}&\textbf{d.~~}\\
\psset{unit=1cm,algebraic=true}\begin{pspicture}(-2,-1.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-1.5)(2,1.5)\uput[dl](0,0){0}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.pt]{-2}{2}{-cos(x*6.28318)}
\end{pspicture}&\psset{unit=1cm,algebraic=true}\begin{pspicture}(-2,-1.5)(2,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-1.5)(2,1.5)\uput[dl](0,0){0}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.pt]{-2}{2}{sin(6.28318*x)}
\end{pspicture} 
\end{tabularx} 

\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}
\index{suites}
\index{algorithmique}
\medskip

\og \emph{En 2009, les Français ont en moyenne produit $374$~kg de déchets ménagers par habitant.} \fg

Source Ademe

\medskip
 
Le maire d'une commune de \np{53700} habitants constata avec déception que ses administrés avaient produit \np{23000}~tonnes de déchets en 2009, Il décida alors de mettre en place une nouvelle campagne de sensibilisation au recyclage des papiers, plastiques, verres et métaux.
 
Cela permit à la ville d'atteindre $400$~kg de déchets ménagers en moyenne par habitant en 2011 et d'espérer réduire ensuite cette production de 1,5\,\% par an pendant 5 ans.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Justifier la déception du maire en 2009. 
\item On note $d_{0} = 400$. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on note $d_{n}$ la quantité (en kg) de déchets ménagers produite par habitant de cette ville durant l'année $2011 + n$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $d_{1} = 0, 985d_{0}$. 
		\item Déterminer la nature de la suite $\left(d_{n}\right)$. Exprimer $d_{n}$ en fonction de $n$ puis calculer la limite de la suite $\left(d_{n}\right)$. 
		\item Quelle devrait être, à ce rythme là, la production en kilogrammes de déchets ménagers par habitant dans cette ville en 2014 ?
	\end{enumerate} 
\item On considère l'algorithme suivant : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{Les variables sont l'entier naturel $N$ et le réel $d$.}\\
Initialisation :& Affecter à $N$ la valeur 0\\
 				& Affecter à $d$ la valeur 400\\ 
Traitement :	& Tant que $d > 374$\\ 
				& \hspace{0,5cm}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
				& \hspace{0,5cm} Affecter à $d$ la valeur $0,985d$\\
				& Fin Tant que\\
Sortie :		& Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Donner la valeur affichée pour $N$ et interpréter ce résultat. 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}
\index{loi normale}
\index{loi binomiale}
\index{intervalle de fluctuation}

\medskip
 
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante. Les résultats seront arrondis à \boldmath $10^{-3}$\unboldmath près}

 Une entreprise produit en grande quantité des emballages alimentaires de forme cubique en polypropylène.
 
\medskip
  
Elle utilise pour cela la technique du thermoformage, qui consiste à chauffer une plaque de plastique puis à la former à l'aide d'un moule. Lors du refroidissement, la pièce rétrécit légèrement mais conserve la forme du moule.
 
L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité d'une production de boîtes cubiques.

\medskip
 
\textbf{A. Loi normale}

\medskip
 
Une boîte est jugée conforme lorsque la mesure de son arête, exprimée en millimètres, appartient à l'intervalle [16,7~;~17,3].
 
La mesure de l'arête d'une boîte est modélisée par une variable aléatoire $C$ qui suit la loi normale d'espérance $17$ et d'écart type $0,14$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(16, 7 \leqslant C \leqslant 17,3)$. 
\item Déterminer la probabilité qu'une boîte prélevée au hasard dans la production soit non conforme.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B. Loi binomiale}

\medskip
 
L'entreprise conditionne ces boîtes par lots de $200$. On prélève au hasard une boîte dans la production. 

On note $p$ la probabilité de l'évènement : \og la boîte prélevée au hasard dans la production est non conforme \fg.

\medskip
 
On prélève au hasard $200$ boîtes dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de $200$~boîtes, associe le nombre de boîtes non conformes qu'il contient. On admet que $X$ suit une loi binomiale de paramètres $200$ et $p$, et, qu'en moyenne chaque lot de $200$~boîtes en contient 6 non conformes. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $p = 0,03$. 
\item Calculer la probabilité qu'il y ait au moins deux boîtes non conformes dans ce lot de $200$~boîtes.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C. Intervalle de fluctuation}

\medskip
 
On rappelle que, pour une proportion $p$ connue dans une production, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% d'une fréquence calculée sur un échantillon de taille $n$ est : 

\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}} \]

Dans le cadre d'un fonctionnement correct du thermoformage, on admet que la proportion $p$ de boîtes non conformes dans la production est 3\,\%.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les bornes de l'intervalle $I$ pour un échantillon de taille $200$. 
\item On contrôle le bon fonctionnement du thermoformage en prélevant au hasard dans la production des échantillons de $200$~boîtes. Au cours de l'un de ces contrôles, un technicien a compté $10$ boîtes non conformes.
 
Doit-il prendre la décision d'effectuer des réglages sur la thermoformeuse ? Justifier la réponse. 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  7 points}
\index{limite, asymptote}
\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par :
 
\[f(x) = 6 \ln x + ax + b\] 
  \index{logarithme népérien} \index{fonction : détermination de paramètres} \index{primitive} \index{intégrale}
où $a$ et $b$ sont des constantes réelles, 

On appelle $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij.
 
Le point A(1~;~1) appartient à $\mathcal{C}_{f}$.
 
$\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente horizontale en son point d'abscisse 2.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
Sur le graphique ci-dessous, on a tracé $\mathcal{C}_{f}$ (trait plein) ainsi que les courbes $\Gamma$ et $\Omega$.
 
L'une de ces deux courbes est la représentation graphique de la fonction dérivée $f'$ de $f$ et l'autre représente une primitive $F$ de $f$. 

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-9)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-9)(6,4)
\psplot[plotpoints=6000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0.1215}{6}{x ln 6 mul 3 x mul sub 4 add}
\psplot[plotpoints=6000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0.85}{6}{6 x div 3 sub}
\psplot[plotpoints=80,linewidth=1.5pt,linestyle=dotted]{0.01}{6}{x ln x mul 6 mul x dup mul 1.5 mul sub 2 x mul sub 4.5 sub}
\uput[l](1,3){$\Gamma$}
\uput[ur](3,1.6){$\mathcal{C}_{f}$}
\uput[dr](2,-6.2){$\Omega$}\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Indiquer laquelle des deux courbes est la représentation graphique de $F$. 
\item Par lecture graphique, déterminer $f(1)$ et $f'(2)$. 
\item Donner l'expression de $f'(x)$ en fonction de $x$ et de $a$. 
\item À l'aide des résultats précédents, montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$, 

\[f(x) = 6\ln x - 3x + 4.\]

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
Dans cette partie, on pourra vérifier la cohérence des résultats obtenus avec la courbe $\mathcal{C}_{f}$ fournie dans la partie A.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers $0$. Interpréter graphiquement cette limite. 
\item Montrer que pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$,\: $f'(x) = \dfrac{3}{x}(2 - x).$ 
\item Étudier le signe de $f'(x)$ puis donner les variations de la fonction $f$. 
\item En déduire que la fonction $f$ admet un extremum dont on calculera la valeur exacte. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE C}

\medskip
 
Soit $H$ la fonction définie sur $]0~;~ + \infty[$ par: 
 
\[H(x) = 6x\ln x  - \dfrac{3}{2}x^2 - 2x.\]

 
\begin{enumerate}
\item Montrer que $H$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~ + \infty[$. 
\item Calculer la valeur exacte de $I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f(x)\:\text{d}x$. 
\item Donner une interprétation graphique du nombre $I$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du graphique, donner la valeur de $F(1)$. 
		\item En déduire une expression de $F(x)$ pour tout $x$ dans l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{Antilles-Guyane 19 juin 2014} 
\hypertarget{Anti2014}{}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL~\decofourright\\
Antilles-Guyane 19 juin 2014\\}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 \index{suites}
\index{algorithmique}
\medskip
 \index{QCM}
  \index{équation différentielle d'ordre 2}
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.

Aucune justification n'est demandée. 
 
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.
 
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $x$ un réel quelconque, $\text{e}^{- 4x}$ est égal à : 
\index{fonction exponentielle}  \index{intégrale}
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\text{e}^{x} \times \text{e}^{- 4}$&\textbf{b.~~} $- \text{e}^{4x}$&\textbf{c.~~} $x \times \text{e}^{- 4}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{1}{\text{e}^{4x}}$\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item L'intégrale 	$\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3}\text{e}^{2x}\:\text{d}x$ est égale à : 
\index{fonction exponentielle}
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 5&\textbf{b.~~} 10&\textbf{c.~~} 2,5&\textbf{d.~~} 1\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item $\left(u_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 5$ et de raison $0,98$.

$\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $v_{0} = 2,8$ et de raison $1,02$. 

Le plus petit entier $n$ vérifiant $u_{n} \leqslant v_{n}$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 14 &\textbf{b.~~} 15 &\textbf{c.~~} 16&\textbf{d.~~}17\\
\end{tabularx}
\medskip 
  
\item $\left(u_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 1$ et de raison $\dfrac{5}{3}$.
 
On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables}		& 	$n, u$\\ 
\textbf{Initialisation}	& $u$ prend la valeur 1\\ 
						&$n$ prend la valeur $0$\\ 
\textbf{Traitement}		& Tant que $u < \np{1000}$\\
						&\hspace{0.3cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ 
						&\hspace{0.3cm}$u$ prend la valeur $u \times \dfrac{5}{3}$\\
						&Fin tant que\\ 
\textbf{Sortie}			& Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Cet algorithme affiche en sortie : 

	\begin{enumerate}
		\item  la valeur de $u_{\np{1001}}$
 		\item  la plus grande valeur de $n$ vérifiant $u_{n} < \np{1000}$ 
		\item  la plus petite valeur de $n$ vérifiant $u_{n} \geqslant \np{1000}$ 
		\item  la plus petite valeur de $u_{n}$ vérifiant $u_{n} \geqslant \np{1000}$
\end{enumerate} 
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 2 \cos \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)$.
 
La fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  $y'' + y = 0$& 
\textbf{b.~~}  $16y'' - 9y = 0$ &
\textbf{c.~~}  $9y'' + 16y = 0$& 
\textbf{d.~~}  $9y'' - 16y = 0$\\
\end{tabularx} 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\index{loi exponentielle}
\medskip
 
Dans cet exercice, on s'intéresse à deux types A et B de téléviseurs à écran plat. 

Les réponses aux questions 1. a., 1. b. et 1. c. seront arrondies au centième.


\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La durée de fonctionnement, exprimée en heures, d'un téléviseur du type A, avant que survienne la première panne, est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2 \times 10^{-5}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la première panne survienne avant la \np{32000}\up{e} heure de fonctionnement. 
		\item On s'intéresse à un téléviseur de type A fonctionnant chaque jour pendant 4 heures. Calculer la probabilité que la première panne d'écran ne survienne pas avant 10 ans.
		 
\emph{On prendra $1$ année = $365$ jours}. 
		\item Calculer la probabilité que la première panne survienne après \np{10000}~heures et avant \np{40000}~heures de fonctionnement. 
		\item Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ et en donner une interprétation.
	\end{enumerate} 
\item La durée de fonctionnement avant la première panne d'un téléviseur de type B est modélisée par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda'$. 

Une étude statistique a permis d'évaluer $P(Y \leqslant \np{32000}) = 0,8$. 

Calculer la valeur arrondie à $10^{-5}$ de $\lambda'$.
\end{enumerate}
 \hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\medskip
  \index{nombres complexes} \index{nombres complexes et géométrie}
\emph{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} d'unités 5~cm. 

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

Soit $z$ le nombre complexe de module 2 et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$,\: 
$\overline{z}$ est le nombre complexe conjugué de $z$. 


\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner les écritures algébriques de $z$, de $\overline{z}$ et de $\dfrac{1}{2}\overline{z}$. 
\item  On considère le nombre complexe $p = \dfrac{2 + \overline{z}}{2 - \overline{z}}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $p = - \text{i}\sqrt{3}$. 
		\item Les points M, N et P sont les points d'affixes respectives 1, $\dfrac{1}{2}\overline{z}$ et $p$. Placer ces trois points dans le repère. Justifier l'alignement de ces trois points.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip

Soit $u$ le nombre complexe défini par $u = \dfrac{1}{2}z$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire $u$ sous la forme exponentielle. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture exponentielle puis l'écriture algébrique de $u^3$. 
		\item Vérifier les relations suivantes : $u^4 = - u$ et $u^5 = - u^2$. 
		\item Vérifier que $1 + u + u^2 + u^3 + u^4 + u^5 + u^6 = 1$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\hyperlink{Index}{*}
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 \index{limite, asymptote}
\medskip

On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[f(x) = (2 - \ln x) \ln x.\]
   \index{logarithme népérien} \index{primitive} \index{intégrale}
Sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal est donnée sur la feuille \textbf{ANNEXE}. 


\medskip

\begin{enumerate}
\item Lire sur le graphique la limite de la fonction $f$ en 0. Retrouver ce résultat à l'aide de l'expression de $f(x)$. 
\item Montrer que la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ est définie par $f'(x) = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x}$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ est dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ puis donner les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item On appelle A et B les points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses (Voir le graphique). Calculer les abscisses des points A et B. 
		\item Calculer le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A. Tracer la droite $\mathcal{T}$ sur le graphique donné en annexe.
	\end{enumerate} 
\item Montrer que la fonction $F$ définie par 

\[F(x) = - x(\ln x)^2 + 4x \ln x - 4x\]

 est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\item On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan limité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}^2$. 
	\begin{enumerate}
		\item Hachurer sur le graphique donné en annexe le domaine $\mathcal{D}$. 
		\item Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE à remettre avec la copie}

\vspace{3cm}

\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-1,-8.5)(12.5,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.9,-8.5)(12.5,5.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](0,-9)(12.5,5.5)
\uput[ul](1,0){A}\uput[u](7.4,0){B}\uput[d](10,-0.7){$\mathcal{C}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{12.5}{2 x ln sub x ln mul}
\end{pspicture*} 
\end{center}
\hyperlink{Index}{*}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{Métropole 19 juin 2014} 
\hypertarget{Metro2014}{}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL~\decofourright\\
Métropole 19 juin 2014\\}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 \index{loi normale}
\index{intervalle de fluctuation}

\medskip
 
Une chocolaterie industrielle fabrique des tablettes de chocolat de 200 grammes. Une machine qui fabrique les tablettes est préréglée afin de respecter cette masse de 200 grammes.

Lors de la fabrication, toutes les tablettes de chocolat sont pesées et celles dont la masse est inférieure à 195 grammes sont rejetées. L'entreprise ne les commercialisera pas sous cette forme.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à une tablette de chocolat prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance 200 et d'écart type 2,86.

\emph{Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité de l'évènement \og $195 \leqslant X \leqslant 205$ \fg .
\item Déterminer la probabilité qu'une tablette de chocolat prise au hasard dans la production ne soit pas rejetée après pesée.
\end{enumerate}
\item Une étude statistique a établi que, si la machine est bien réglée, la proportion de tablettes de chocolat rejetées est de 4 \%.

Afin de vérifier le réglage de la machine, le responsable qualité prélève de manière aléatoire un échantillon de 150 tablettes et observe que 10 tablettes sont rejetées.

Cette observation remet-elle en cause le réglage de la machine ? (On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.)

\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip
\index{QCM}
  \index{nombres complexes}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip

On considère les deux nombres complexes $z=2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$ et $z'=2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$.
\begin{enumerate}
\item La forme algébrique de $z$ est égale à :
\begin{enumerate}
\item $z=-1+\mathrm{i}\sqrt{3}$
\item $z=1+\mathrm{i}\sqrt{3}$
\item $z=2+\mathrm{i}\sqrt{3}$
\item $z=\sqrt{3}-\mathrm{i}$
\end{enumerate}
\item Le nombre complexe $z'$ est le nombre complexe :
\begin{enumerate}
\item opposé de $z$
\item inverse de $z$
\item conjugué de $z$
\item opposé du conjugué de $z$
\end{enumerate}
\item Le nombre complexe $z \times z'$ :
\begin{enumerate}
\item est un nombre réel
\item est un nombre imaginaire pur
\item a pour module 2
\item est un nombre complexe dont un argument est $\dfrac{4\pi}{3}$
\end{enumerate}
\item Un argument du nombre complexe $z''$ tel que $z \times z'' = \mathrm{i}$ est :
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{\pi}{3}$
\item $\dfrac{5\pi}{6}$
\item $\dfrac{\pi}{6}$
\item $-\dfrac{\pi}{6}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*} 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
  \index{équation différentielle d'ordre 1}
\medskip

Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius (°C) et le temps $t$ est exprimé en heures.

Une entreprise congèle des ailerons de poulet dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets. À l'instant $t = 0$, les ailerons, à une température de 5 °C, sont placés dans le tunnel. Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les ailerons aient une température inférieure ou égale à $-24$~°C.

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie a}}}

\medskip

La température des ailerons dans le tunnel de congélation est modélisée en fonction du temps $t$ par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$ par $f (t) = 35\mathrm{e}^{-1,6t}-30$.
\index{fonction exponentielle}
\begin{enumerate}
\item Déterminer la température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes, soit 0,5 h.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
\item Si les ailerons de poulet sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température des ailerons sera-t-elle conforme au cahier des charges ?
\item Résoudre par le calcul l'équation $f(t)=-24$ et interpréter le résultat trouvé.
\end{enumerate}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{partie b}}}

\medskip

Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation.

La température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisée, en fonction du temps, par une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0,+\infty[$, qui est solution de l'équation différentielle $y'+1,5y=-52,5$

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $y'+1,5y=-52,5$.
\item \begin{enumerate}
\item Justifier que $g(0) = 5$.
\item Vérifier que la fonction $g$ est définie par $g(t) = 40\mathrm{e}^{-1,5t}-35$.
\end{enumerate}
\item Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip
\index{suites}
\index{algorithmique}
\emph{Au cours de son évolution, une tornade se déplace dans un corridor de quelques centaines de mètres de large sur quelques kilomètres de long.}

\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{document 1 :}}}

\medskip

\emph{L'échelle de Fujita est une échelle servant à classer les tornades par ordre de gravité, en fonction des dégâts qu'elles occasionnent. Une partie de cette échelle est présentée dans le tableau ci-dessous.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering}m{3cm}|X|}\hline
\textbf{Catégorie} & \textbf{Vitesse des vents en $\text{km}.\text{h}^{-1}$} & \multicolumn{1}{c|}{\textbf{Dégâts occasionnés}} \\ \hline \hline
F0 & 60 à 120 & \textbf{Dégâts légers :} dégâts sur cheminées, arbres, fenêtres,\ldots \\ \hline
F1 & 120 à 180 & \textbf{Dégâts modérés :} automobiles renversées, arbres déracinés,\ldots \\ \hline
F2 & 180 à 250 & \textbf{Dégâts importants :} toits arrachés, hangars et dépendances démolis, \ldots \\ \hline
F3 & 250 à 330 & \textbf{Dégâts considérables :} murs extérieurs et toits projetés, maisons et bâtiments de métal effondrés, forêts abattues, \ldots \\ \hline
F4 & 330 à 420 & \textbf{Dégâts dévastateurs :} murs effondrés, objets en acier ou en béton projetés comme des missiles, \ldots \\ \hline
F5 & 420 à 510 & \textbf{Dégâts incroyables :} maisons rasées ou projetées sur de grandes distances, murs extérieurs et toits arrachés sur de gros bâtiments, \ldots \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\textsf {\textbf{\textsc{document 2 :}}}

\medskip

\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
\emph{À partir des mesures relevées lors d'observations de phénomènes semblables, des météorologues ont admis la règle suivante : \og la vitesse des vents dans les tornades diminue régulièrement de 10 \% toutes les 5 minutes \fg .}

\emph{On appelle \og durée de vie \fg{} d'une tornade le temps nécessaire, depuis sa formation, pour que la vitesse des vents devienne inférieure à 120 $\text{km}.\text{h}^{-1}$.}
\end{minipage}}

\medskip

Lors de la formation d'une tornade, on a mesuré la vitesse des vents par un radar météorologique et on a trouvé une vitesse initiale de  $420 \text{km}.\text{h}^{-1}$.

\emph{L'objectif de ce problème est d'estimer la durée de vie de cette tornade.}

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $ 10 \text{km}.\text{h}^{-1}$.}

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Cinq minutes après la mesure initiale, la vitesse des vents est de  $378 \text{km}.\text{h}^{-1}$.

Vérifier que ce résultat correspond à la règle admise.

À quelle catégorie appartient la tornade à ce moment là ?
\item Vérifier que, quinze minutes après la mesure initiale, cette tornade occasionne des dégâts classés comme \og dégâts considérables\fg .
\end{enumerate}
\item Pour déterminer la durée de vie de cette tornade, un étudiant propose de modéliser le phénomène par une suite géométrique de raison $q$. Il commence à élaborer l'algorithme ci-dessous.
\begin{center}
{\setlength{\fboxsep}{.5cm}
\fbox{\begin{minipage}{.5\linewidth}
\textbf{Variables}

\hspace{1em}$n$ : un nombre entier naturel

\hspace{1em}$v$ : un nombre réel

\hspace{1em}$q$ : un nombre réel

\textbf{Initialisation}

\hspace{1em}Affecter à $n$ la valeur 0

\hspace{1em}Affecter à $v$ la valeur 420

\hspace{1em}Affecter à $q$ la valeur 0,9

\textbf{Traitement}

\hspace{1em}Tant que \dotfill 

\hspace{2em}\dotfill

\hspace{2em}\dotfill

\hspace{1em}Fin Tant que

\textbf{Sortie}

\hspace{1em}Afficher $5 \times n$
\end{minipage}}}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Justifier la valeur 0,9 dans la phrase \og Affecter à $q$ la valeur 0,9 \fg .
\item Donner le premier terme et la raison de la suite géométrique proposée par l'étudiant.
\item Dans l'algorithme ci-dessus, des pointillés indiquent des parties manquantes.

Recopier la partie relative au traitement et la compléter pour que l'étudiant puisse déterminer la durée de vie de cette tornade.
\item Expliquer l'instruction \og Afficher $5 \times n$ \fg{} proposée par l'étudiant.
\end{enumerate}
\item On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite géométrique proposée par l'étudiant.

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer la durée de vie de cette tornade au sens défini dans le document 2.
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{Métropole 11 septembre 2014} 
\hypertarget{Metrosep2014}{}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL~\decofourright\\
Métropole 11 septembre 2014\\}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip
\index{QCM} 
  \index{nombres complexes} \index{équation de tangente} \index{intégrale}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\medskip
 
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La forme exponentielle du nombre complexe $z_{1} = \sqrt{6} + \text{i}\sqrt{6}$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $z_{1} = 2\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ 
		\item $z_{1} = 2\sqrt{6}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$
		\item $z_{1} = 6\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ 
		\item $z_{1} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{4}}$ 
	\end{enumerate} 
\item On considère les nombres complexes $z_{1} = \sqrt{6} + \text{i}\sqrt{6}$ et $z_{2} = - \sqrt{6} + \text{i}\sqrt{6}$.
 
Le nombre complexe $z_{2}$ est égal à : 
	\begin{enumerate}
		\item $\overline{z_{1}}$ 
		\item $- z_{1}$ 
		\item $- \overline{z_{1}}$  
		\item $\text{i} + z_{1}$
	\end{enumerate}		 
\item La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$. 

Sa courbe représentative est donnée ci-dessous : 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(4.5,2.2)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=cyan]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.9,-0.5)(4.5,2.2)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.4}{4.5}{1 x div}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

Le domaine du plan défini comme l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ qui  vérifient $1 \leqslant x \leqslant 2$ et $\dfrac{1}{x} \leqslant y \leqslant 1$ a pour aire (exprimée en unité d'aire) :
	\begin{enumerate}
		\item $\ln 2$
		\item $\dfrac{1}{2}$		 
		\item $1 - \ln 2$ 
		\item $1 - \text{e}^2$
	\end{enumerate} 
\item La tangente au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ à la courbe représentative de la fonction $f$, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$, a pour équation :
	\begin{enumerate}
		\item $y = - 4x + 4$ 
		\item $y = \phantom{-}4x + 4$ 
		\item $y = - 4x - 4$ 
		\item $y = \phantom{-}4x - 4$
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*} 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip
 
Une équipe aérospatiale se propose d'envoyer un satellite de $10$~tonnes en orbite autour de la Terre par l'intermédiaire d'une fusée à un seul étage. Cette fusée a une masse à vide, c'est-à-dire sans carburant ni satellite, de $40$~tonnes.
 
L'éjection des gaz permet à la fusée de décoller et de s'élever dans les airs jusqu'à la consommation totale du propergol, carburant contenu dans ses réservoirs. La vitesse d'éjection des gaz est $V_{\text{e}} = \np{3200}$~m.s$^{-1}$.
 
La vitesse finale de la fusée vitesse atteinte lorsque les réservoirs sont vides, varie en fonction de la masse de propergol contenue au départ dans les réservoirs. Elle doit être de $\np{8000}$~m.s$^{-1}$ pour permettre la mise en orbite souhaitée.
 
Le but de l'exercice est de déterminer la masse de propergol à mettre dans les réservoirs pour permettre cette mise en orbite du satellite.
 
On note $x$ la masse, en tonnes, de propergol contenu au décollage dans les réservoirs de la fusée. La masse $x$ est comprise entre 100 et 900 tonnes. La masse totale de la fusée est alors $(x + 50)$~tonnes.
 
Il est établi que la vitesse finale de la fusée, $f(x)$, exprimée en m· s$^{-1}$, est donnée par
 
\[f(x) = V_{\text{e}} \times [\ln(x + 50) - \ln 50]\]
  \index{logarithme népérien}
où $x$ est un réel de l'intervalle [100~;~900].

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [100~;~900], $f(x) = \np{3200} \times \ln (0,02x + 1)$.
 
On pourra choisir l'une ou l'autre des expressions de $f(x)$ pour répondre à chacune des questions suivantes. 
\item  	
	\begin{enumerate}
		\item Si les réservoirs contiennent au décollage 100~tonnes de propergol, quelle sera la vitesse finale de la fusée ? 
		\item Avec 400~tonnes de propergol au décollage la mise en orbite sera-t-elle possible ?
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. 
		\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer la masse de propergol à mettre dans les réservoirs pour permettre la mise en orbite souhaitée. 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}
\index{suites}
\index{algorithmique}
 \index{tableur} 
\medskip
 
Chloé, âgée de 15 ans au 1\up{er} janvier 2014, réside dans une agglomération française.
 
Pour anticiper le financement de son permis de conduire, elle décide de placer sur un produit d'épargne ses $600$~euros d'économies à partir du 1\up{er} janvier 2014.

\medskip
 
\textbf{Information 1 :} conditions de souscription du livret jeune

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|} \hline
$\bullet~~$&Montant maximum de placement: \np{1600} euros\\ 
$\bullet~~$&Taux d'intérêt annuel de 2,75\,\%\\ 
$\bullet~~$&Avoir entre 12 et 25 ans\\ 
$\bullet~~$&Résider en France\\ 
$\bullet~~$&Montant minimum à l'ouverture : 10~euros\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage 
\textbf{Information 2 :} coût moyen du permis de conduire

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{12cm}|} \hline 
La loi impose un minimum de $20$~heures de conduite avant de se présenter au permis.\\ 
Une enquête de la CLCV (Consommation, Logement et Cadre de Vie) publiée en août 2013  et menée auprès de $447$~auto-écoles souligne que ce forfait de $20$~heures est facturé du simple au double selon les régions.\\ Par ailleurs, même si le minimum imposé par la loi est de vingt heures de conduite, il en faut plutôt trente en moyenne.\\ 
Ainsi, en comptant les frais de dossier, il est préférable de prévoir un budget de \np{1500}~euros.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi Chloé remplit les conditions permettant de souscrire au livret jeune. 
\item Aura-t-elle une somme suffisante disponible au 1\up{er} janvier 2017 pour passer son permis si elle choisit de souscrire au livret jeune ?
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Chloé aura besoin de \np{1500}~euros pour financer son permis. Ses parents lui conseillent de verser chaque mois sur le livret la somme supplémentaire de 25~euros, à partir du 1\up{er} février 2014. Ils lui expliquent que le taux annuel du livret jeune correspond à un taux mensuel de 0,226\,\%.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Ses parents lui présentent un extrait d'une page de tableur qui simule l'évolution d'épargne : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A& B\\ \hline 
1 &01/01/2014 &600,00~\euro\\ \hline 
2 &01/02/2014 &626,36~\euro\\ \hline 
3 &01/03/2014 &652,77~\euro\\ \hline 
4 &01/04/2014 &679,25~\euro\\ \hline 
5 &01/05/2014 &705,78~\euro\\ \hline 
6 &01/06/2014 &732,38~\euro\\ \hline 
7 &... &...\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, dans la feuille de calcul ci-dessus, la formule à saisir dans la cellule B2 est : \fbox{$= \np{1,00226} \times \text{B}1 + 25$}. 
		\item Déterminer la somme qui serait disponible sur le livret au 1\up{er} juillet 2014.
	\end{enumerate} 
\item Chloé veut déterminer au bout de combien de mois elle aurait l'argent nécessaire pour financer son permis en suivant le conseil de ses parents. 

Elle décide de noter $u_{n}$ la somme, en euros, disponible le $n$-ième mois après l'ouverture du livret. Ainsi, $u_{0}$ vaut 600~euros. 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
		\item Chloé décide d'écrire l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline		 
\textbf{Variables}\\ 
\hspace{0,3cm}$n$ : un nombre entier naturel\\
\hspace{0,3cm}$u$ : un nombre réel\\ 
\textbf{Initialisation}\\ 
\hspace{0,3cm}Affecter à $n$ la valeur $0$\\ 
\hspace{0,3cm}Affecter à $u$ la valeur $600$\\ 
\textbf{Traitement}\\ 
\hspace{0,3cm} Tant que \ldots\ldots\\ 
		\hspace{0,6cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\ 
		\hspace{0,6cm}Affecter à $u$ la valeur \ldots\ldots\\ 
\hspace{0,3cm}Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\ 
\hspace{0,3cm}Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
Trois lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter pour que Chloé puisse déterminer le nombre de mois cherché.
		\item Au bout de combien de mois Chloé aura-t-elle l'argent nécessaire pour financer son permis si elle suit les conseils de ses parents ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*} 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}
 \index{loi normale}

\medskip

Une entreprise de transport dispose d'un nombre important de camions. On admet que la distance quotidienne parcourue par chaque camion, exprimée en kilomètres, peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $500$ et d'écart type $40$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la distance moyenne parcourue en un jour par un camion. 
\item Déterminer la probabilité qu'un camion parcoure au moins 500~km en un jour. 
\item Déterminer la probabilité qu'un camion parcoure entre $380$~km et $460$~km en un jour. 
\item Déterminer la probabilité qu'un camion parcoure plus de $460$~km en un jour.
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'environ 95\,\% de ses camions parcourent entre $460$ et 540~km par jour. A-t-il raison ? 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{Polynesie 11 septembre 2014} 
\hypertarget{Polysep2014}{}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Polynesie 11 septembre 2014~\decofourright\\STI2D--STL spécialité SPCL}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip
  \index{nombres complexes}
  \index{nombres complexes et géométrie}
On considère les nombres complexes $Z_{1}$ et $Z_{2}$ : 

\[Z_{1} = \dfrac{3\sqrt{2}}{1 + \text{i}}\quad \text{et}\quad Z_{2} = \dfrac{4\text{i}}{1 + \text{i}\sqrt{3}}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Écrire les nombres $Z_{1}$ et $Z_{2}$ sous forme algébrique et trigonométrique. 
\item Placer les points A$_{1}$ et A$_{2}$ d'affixes respectives $Z_{1}$ et $Z_{2}$ dans le repère donné en annexe. 
\item Calculer sous forme algébrique le produit $Z_{1} \times Z_{2}$ et donner sa forme trigonométrique. 
\item En déduire les valeurs exactes de $\cos \dfrac{\pi}{12}$ et $\sin \dfrac{\pi}{12}$.
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}
\index{suites}
\index{algorithmique}
\index{fonction puissance}
\medskip 
Une entreprise informatique a réalisé en 2013 un bénéfice de \np{22000}~\euro. La direction de cette entreprise se fixe pour objectif une hausse annuelle de son bénéfice de 4,5\,\%. 

Pour tout entier naturel $n$, on note $b_{n}$ le bénéfice prévu pour l'année $2013 + n$, on a donc $b_{0} = \np{22000}$.

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les bénéfices $b_{1}$ et $b_{2}$ espérés pour 2014 et 2015. 
\item Montrer que $\left(b_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques. 
\item Exprimer alors $b_{n}$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline 
$N$ prend la valeur 0\\ 
$B$ prend la valeur \np{22000}\\ 
Tant que $B \leqslant \np{40000}$\\ 
\hspace{0,5cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
\hspace{0,5cm}$B$ prend la valeur $1,045 * B$\\
Fin Tant que\\ 
$A$ prend la valeur $N + 2013$\\
Afficher $A$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Expliquer à quoi correspondent les variables N et B. 
\item Exécuter cet algorithme et donner le dernier résultat affiché. 
\item Expliquer à quoi correspond cette valeur. 
\item La direction souhaite savoir à partir de quelle année le bénéfice de l'entreprise sera supérieur à \np{40000}~\euro. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation suivante: 

\[\np{22000} \times 1,045^x > \np{40000}.\]
 
		\item Quel lien existe-t-il entre le résultat de la question 2. de la partie B et l'ensemble des solutions de l'inéquation précédente ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points}
 \index{équation différentielle d'ordre 1}
\medskip
 
Lorsque l'on consomme de l'alcool, le taux d'alcool dans le sang varie en fonction du temps écoulé depuis l'absorption. Ce taux est appelé \og alcoolémie \fg{} et est mesuré en grammes par litre (g/L).

Après l'absorption de trois verres d'alcool, l'alcoolémie d'une personne donnée, en fonction du temps (exprimé en heures), est modélisée par la fonction définie sur $\R_{+}$ par :

\[ f(t) = 2,5t\text{e}^{- t}.\]
 \index{fonction exponentielle} \index{limite, asymptote}
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de l'alcoolémie de la personne considérée au bout de 2 heures. 
\item Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,\: $f'(t) = 2,5(1 - t)\text{e}^{- t}$. 
\item Vérifier que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle :
 
\[(E) :\qquad  y' + y = 2,5\text{e}^{- t}.\]
 
\item En remarquant que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ on a $f(t) = \dfrac{2,5t}{\text{e}^{t}}$, déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}f(t)$ et donner une interprétation géométrique de cette limite. 
\item Déterminer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. 
\item Quelle est l'alcoolémie la plus élevée pour la personne considérée ? 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Sur une feuille de papier millimétré, tracer la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. On prendra 2~cm pour unité sur l'axe des abscisses et 10 cm pour unité sur l'axe des ordonnées. 
\item En France, la législation autorise pour un conducteur une alcoolémie maximale de 0,5~g/L.
 
Sachant que la personne a absorbé trois verres d'alcool à 12~h, à partir de quelle heure pourra-t-elle reprendre la route pour effectuer sans s'arrêter un trajet d'une durée d'une heure ?
 
On utilisera la représentation graphique de la fonction $f$. 
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  4 points}
\index{loi normale}
\index{intervalle de fluctuation}
\index{loi exponentielle}
\medskip

\textbf{Partie A} Loi exponentielle et radioactivité

\medskip
 
On modélise la durée de vie $T$ (exprimée en jours) d'un élément radioactif par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On rappelle que pour tout $t > 0,\: P(T \leqslant t) = \displaystyle\int_{0}^t  \lambda\text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x$. 

Le Thorium 227 a une demi-vie de 18 jours, ce qui signifie que :
 
\[P(T \geqslant 18) = P(T \leqslant 18) = 0,5.\]
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout 
$t > 0,\: P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{-\lambda t}$. 
\item Calculer la valeur du paramètre $\lambda$ pour le Thorium 227. 

On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$. 
\item On suppose que $\lambda = 0,04$.
 
Donner alors la durée de vie moyenne d'un atome de Thorium 227.
\end{enumerate} 

\bigskip
 
\textbf{Partie B} Loi normale et usinage

\medskip
 
Une entreprise fabrique en grande quantité des pièces tubulaires destinées à l'industrie aérospatiale. Le diamètre (exprimé en centimètres) d'une de ces pièces est modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $3,65$ et d'écart type $0,004$.
 
\emph{Les résultats seront donnés à $10^{-3}$ près}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Une pièce est décrétée conforme lorsque son diamètre en centimètres est compris entre $3,645$ et $3,655$.
 
Calculer la probabilité qu'une pièce tubulaire de la production soit décrétée conforme. 
\item Dans le cadre d'un fonctionnement correct de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de pièces conformes est 79\,\%. On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence de pièces conformes sur un échantillon de taille $n$ est 

\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\] 

On contrôle régulièrement la chaîne de production en prélevant des échantillons de $100$~pièces. 

Lors d'un contrôle, on trouve 25 pièces défectueuses. Le responsable qualité doit-il prendre la décision d'effectuer des réglages sur la chaîne de production ?
 
Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE à rendre avec la copie}
\vspace{2cm}
 
\textbf{Exercice 1}

\bigskip

\psset{unit=0.66cm}
\begin{pspicture*}(-10,-9)(8.5,8.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-9.9,-9)(8.5,8.5)
\psline(10;210)(10;30)
\psline(10;240)(10;60)
\psline(10;225)(10;45)
\psline(10;-30)(10;150)
\psline(10;-45)(10;135)
\psline(10;-60)(10;1200)
\pscircle(0,0){2} 
\pscircle(0,0){3}
\pscircle(0,0){4}
\pscircle(0,0){5}
\pscircle(0,0){6}
\end{pspicture*}
\end{center} 
\hyperlink{Index}{*}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014} 
\hypertarget{Calnov2014}{}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL~\decofourright\\
Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2014\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
\index{suites}
\index{algorithmique} 
\medskip

Au 1\up{er} janvier 2014, un particulier installe 20 m$^2$ de panneaux photovoltaïques à son
domicile. Pour estimer la rentabilité de cette installation, il utilise la documentation
suivante :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
En France 1 m$^2$ de panneaux photovoltaïques correctement orientés produit environ
95~kWh/an.\\
La première année, une installation produit effectivement cette quantité et on estime
que la perte de rendement est de 3\,\% par an.\\
La rentabilité financière est assurée à partir du moment où la quantité totale d'énergie
produite depuis le début de l'installation dépasse \np{20000} \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Pour tout entier $n \geqslant 0$, on note $u_n$ la quantité d'énergie produite par l'installation durant l'année $2014 + n$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la quantité d'énergie produite en 2014 et la quantité d'énergie
produite en 2015.
		\item Vérifier que $u_{n+1} = 0,97 \times  u_n$ pour tout entier naturel $n$.
	\end{enumerate}
\item Quelle estimation, à la dizaine de kWh près, peut-on donner de la quantité
d'énergie produite en 2044 ?
\item Que devient la quantité d'énergie produite annuellement au bout d'un grand
nombre d'années ?
\item En quelle année l'installation aura perdu plus de la moitié de son rendement ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{l X}
1&VARIABLES\\
2& $u$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
3& $S$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
4& $n$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
5& DÉBUT ALGORITHME\\
6& $n$ PREND\_LA\_VALEUR 0\\
7& $u$ PREND LA VALEUR \np{1900}\\
8& $S$ PREND LA VALEUR \np{1900}\\
9& TANT\_QUE ($S< \np{20000}$) FAIRE\\
10& DÉBUT\_TANT\_QUE\\
11& $n$ PREND LA VALEUR $n+1$\\
12& $u$ PREND\_LA\_VALEUR $u \times 0,97$\\
13& $S$ PREND\_LA\_VALEUR $S+u$\\
14& FIN\_TANT\_QUE\\
15& AFFICHER $n$\\
16& FIN\_ALGORITHME\\
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À quoi sert la ligne 8 ?
		\item La valeur affichée en exécutant cet algorithme est 12.
Que signifie ce résultat ?
	\end{enumerate}
\item On estime que la durée de vie de l'installation sera d'environ 25~ans.
	
Calculer $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{24}$ et interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 \index{loi normale}
\index{loi binomiale}
\index{intervalle de confiance}

\medskip

Un grand constructeur automobile propose une nouvelle gamme de véhicules
électriques équipés de batteries au nickel-cadmium.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On s'intéresse à l'autonomie en kilomètres de cette nouvelle gamme de véhicules.

Soit $X$ la variable aléatoire qui à un véhicule tiré au hasard associe son autonomie
en km.

On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 104$ et d'écart type $\sigma = 6$.

On arrondira les résultats à $10^{-2}$ près.

On considère qu'un véhicule est conforme lorsque son autonomie est comprise
entre 92 et 116.

Déterminer la probabilité que le véhicule soit déclaré conforme.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Les véhicules sont parqués par lots de 75 avant de recevoir leur certificat de
conformité.

Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 75 véhicules choisis au hasard
dans la production associe le nombre de véhicules non-conformes dans cet
échantillon.

La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler tout échantillon de 
75 véhicules à un échantillon aléatoire prélevé avec remise.

On suppose que la probabilité qu'un véhicule soit non-conforme est $0,05$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $Y$ suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette
loi.
\item Calculer la probabilité de l'évènement \og dans l'échantillon prélevé au hasard,
tous les véhicules sont conformes \fg. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le constructeur automobile veut juger de l'impact d'une campagne publicitaire
menée dans les médias pour la vente de cette nouvelle gamme de véhicules.

Dans un échantillon, considéré comme prélevé au hasard et avec remise, de
\np{1000}~véhicules produits, on constate la vente de $148$~véhicules avant la campagne
publicitaire.

Sur une même période, après la campagne publicitaire, pour un échantillon de
même taille et prélevé dans les mêmes conditions, on constate la vente de
$177$~véhicules.

Que peut-on en conclure sur la campagne publicitaire ?

Vous pourrez déterminer les intervalles de confiance avec un niveau de confiance
de 95\,\% correspondant à chacune de ces situations.
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\medskip
\index{QCM}
  \index{nombres complexes}
  \index{primitive} \index{limite, asymptote}
Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est
attendue. Une bonne réponse apporte 1 point. Une mauvaise réponse, plusieurs
réponses ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de points.

Dans les questions 1. et 2. on considère la fonction $f$ définie sur $]7~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = 3x^2 + x + \dfrac{1}{(x - 7)^2}\]


\begin{enumerate}
\item Une primitive $F$ de $f$ est donnée par :
	\begin{enumerate}
		\item $F(x) = 6x + 1 + \dfrac{2}{(x - 7)^3}$
		\item $F(x) = x^3 +  \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{1}{(x - 7)}$
		\item $F(x) = 9x^3 +  2x^2 + \dfrac{1}{(x - 7)}$
		\item $F(x) = x^3+  \dfrac{x^2}{2} + \ln (x-7)$
	\end{enumerate}
\item Laquelle des limites suivantes est correcte ?
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$
		\item $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$
		\item $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 7\\x > 7}} f(x) = + \infty$
		\item $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 7\\x > 7}} f(x) = 154$
	\end{enumerate}
\item  Soit $z = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ alors l'écriture exponentielle du conjugué de $z$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $\overline{z} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$
		\item $\overline{z} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$
		\item $\overline{z} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
		\item $\overline{z} = \text{e}^{- \text{i}\frac{2\pi}{3}}$
	\end{enumerate}
\item  Un argument de $z = \sqrt{7}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} \times \text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{7}}$ est :
	\begin{enumerate}
		\item $\dfrac{\pi}{14}$
		\item $\dfrac{13\pi}{14}$
		\item $- \dfrac{2\pi}{9}$
		\item $\sqrt{7}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
  \index{équation différentielle d'ordre 1}
\medskip

Un réservoir contient \np{1000} litres d'eau potable.

À la suite d'un incident de l'eau de mer pénètre dans ce réservoir à raison de
10 litres par minute.

On s'intéresse à la salinité de cette eau, c'est-à-dire au taux de sel (en grammes
par litre), qui doit rester inférieure à 3,9 g.L$^{-1}$.

On modélise la situation en notant $s$ la salinité exprimée en grammes par litre et $t$
le temps écoulé en minutes depuis le début de l'incident.

On suppose que l'évolution de $s$ est représentée par l'équation différentielle

\[(\text{E}) : \quad  y' + 0,01y = 0,39.\]

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation (E).

On admet pour la suite qu'en considérant les conditions initiales, la fonction $s$ est
définie par 

\[s(t) = 39 - 38,88\text{e}^{-0,01t}.\]
\index{fonction exponentielle}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la salinité de l'eau dans le réservoir avant l'incident c'est-à-dire à
$t = 0$ ?
		\item Justifier que la fonction $s$ est strictement croissante.
		\item Déterminer la salinité de l'eau du réservoir 60~minutes après le début de
l'incident. Arrondir à $10^{-2}$ près.
		\item Que devient la salinité de l'eau du réservoir si on n'intervient jamais ?
	\end{enumerate}
\item La salinité doit rester inférieure à 3,9 g.L$^{-1}$.
	
De combien de temps le service de surveillance dispose-t-il pour arrêter
l'arrivée de l'eau salée afin de limiter l'impact de l'incident ?
	
Justifier la réponse.
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{Métropole--La Réunion 18 juin 2015} 
\hypertarget{Metro2015}{}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL~\decofourright\\
Métropole--La Réunion 18 juin 2015\\}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
  \index{équation différentielle d'ordre 2}
    \index{nombres complexes}
    \index{limite, asymptote}
\medskip
\index{QCM}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes,
une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une
bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de
réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\medskip

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère le nombre complexe $z = 3\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}$. La forme algébrique du nombre complexe $z$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $- \dfrac{3\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$&
\textbf{b.~~} $\dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}$&
\textbf{c.~~} $\dfrac{3\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{2}\text{i}$&
\textbf{d.~~} $- \dfrac{3\sqrt{3}}{2} - \dfrac{3}{2}\text{i}$
\end{tabularx}
\medskip

\item $z_1 = 1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $z_2 = \sqrt{3} - \text{i}$. La forme exponentielle du nombre complexe $z_1 \times z_2$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$& 
\textbf{b.~~} $- 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$&
\textbf{c.~~} $2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$&
\textbf{d.~~} $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$
\end{tabularx}
\medskip

\item Les solutions de l'équation différentielle $y" + \dfrac{1}{3} y = 0$ sont de la forme :


\textbf{a.~~} $t \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{3}}t^2$

\textbf{b.~~} $t \mapsto A \cos \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}t \right) + B \sin \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}t\right)$

\textbf{c.~~} $t \mapsto A\text{e}^{-\sqrt{3}t}$

\textbf{d.~~} $t \mapsto - \dfrac{1}{3}$

\item La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]-1~;~+\infty[$ par $f(x) = 2 + \dfrac{1}{x + 1}$. La limite de cette fonction $f$ en $+ \infty$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $- \infty$&
\textbf{b.~~} $+ \infty$&
\textbf{c.~~} $0$&
\textbf{d.~~} $2$
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
  \index{équation différentielle d'ordre 1} \index{limite, asymptote}
\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.}

\medskip

Une fibre optique est un fil très fin, en verre ou en plastique, qui a la propriété d'être un
conducteur de la lumière et sert dans la transmission d'un signal véhiculant des données.

La puissance du signal, exprimée en milliwatts (mW), s'atténue au cours de la propagation.

On note $P_E$ et $P_S$ les puissances respectives du signal à l'entrée et à la sortie d'une fibre.

Pour une fibre de longueur $L$ exprimée en kilomètres (km), la relation liant $P_E$, $P_S$ et $L$ est donnée par : 

\[P_S = P_E \times  \text{e}^{- aL}\]
\index{fonction exponentielle}
 où $a$ est le coefficient d'atténuation linéaire dépendant de la fibre.
 
Une entreprise utilise deux types de fibre optique de coefficients d'atténuation différents.
 
Dans tout l'exercice :

\begin{itemize}
\item la puissance du signal à l'entrée de la fibre est $7$ mW ;
\item à la sortie, un signal est détectable si sa puissance est d'au moins $0,08$ mW;
\item pour rester détectable, un signal doit être amplifié dès que sa puissance devient strictement inférieure à $0,08$~mW.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le premier type de fibre de longueur $100$~km utilisé par l'entreprise a un coefficient d'atténuation linéaire $a = 0,046$. 

Pour ce type de fibre, sera-t-il nécessaire de placer au moins un amplificateur sur la ligne pour que le signal soit détectable en sortie ?

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La puissance du signal le long du second type de fibre est modélisée par une fonction $g$ de la
variable $x$, où $x$ étant la distance en kilomètres parcourue par le signal depuis l'entrée de la fibre. On admet que cette fonction $g$ est définie et dérivable sur l'intervalle 
$[0~;~+\infty[$ et qu'elle est solution sur cet intervalle de l'équation différentielle

\[y' + 0,035y = 0.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $y' + 0,035y = 0$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que $g(0) = 7$, vérifier que la fonction $g$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = 7\text{e}^{-0,035x}$.
		\item En déduire le coefficient d'atténuation de cette fibre.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $g$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Le signal sera-t-il encore détecté au bout de $100$~km de propagation ?
		\item Déterminer la longueur maximale de la fibre permettant une détection du signal
à la sortie sans amplification.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 \index{suites}
\index{algorithmique}
\medskip

Le parc de véhicules particuliers (VP) et de véhicules utilitaires légers (VUL) circulant en
France est essentiellement constitué de véhicules thermiques (principalement essence, gasoil
et GPL).

Pour lutter contre la pollution, il intègre de plus en plus de véhicules à \og faible émission de
CO$_2$ \fg{} c'est-à-dire des véhicules hybrides (véhicules thermiques assistés d'un moteur électrique) et des véhicules électriques.

\medskip

\textbf{Document 1}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{5}{|m{11.6cm}|}{Au regard du parc et des ventes de véhicules en 2010, l'ADEME (Agence de l'Environnement et de la Maîtrise de l'Energie) a mobilisé ses services techniques et économiques en 2012, afin d'élaborer des visions énergétiques. Afin de répondre aux enjeux environnementaux,
l'ADEME prévoit d'atteindre pour le parc 2030 un taux moyen d'émission de CO$_2$ par véhicule
de 100 g/km.}\\
\multicolumn{5}{|>{\centering \arraybackslash}c|}{\textbf{Ventes et prévisions}}\\ \hline
\small \textbf{Véhicules (VP-VUL)} &\small \textbf{Ventes 2010}&\small  \textbf{Parc 2010}&\small \textbf{Prévisions ventes 2030}& \textbf{Prévisions parc 2030}\\ \hline 
Véhicules thermiques 	&100\,\% &100\,\% &64\,\% &89\,\%\\ \hline 
Véhicules hybrides 		&0\,\% &0\,\% &24\,\% &7\,\%\\ \hline 
Véhicules électriques 	&0\,\% &0\,\% &12\,\% &4\,\%\\ \hline 
\textbf{Total des voitures VP et VUL}& 2,2 millions& 35 millions& 2 millions& 35 millions\\ \hline 
Emission moyenne de CO$_2$ par véhicule& 127 g/km &165 g/km &49 g/km &100 g/km\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Document 2}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.75cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{4}{|c|}{\textbf{Ventes nationales de véhicules entre 2011 et 2013}}\\ \hline
\textbf{Véhicules (VP- VUL)}& \textbf{Ventes 2011}& \textbf{Ventes 2012}& \textbf{Ventes 2013}\\ \hline
Véhicules hybrides &\np{13600} &\np{27730} &\np{41340}\\ \hline
Véhicules électriques&\np{4313} &\np{9314} &\np{13954}\\ \hline
\textbf{Total des ventes y compris véhicules thermiques}&
\np{2204065}& \np{1898872} &\np{1790000}\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Selon les prévisions de l'ADEME, quel serait en 2030 le nombre de véhicules hybrides
vendus?
\item Selon les prévisions de l'ADEME, quel serait en 2030 le pourcentage de véhicules à
faible émission de CO$_2$ dans le parc automobile?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le tableau suivant est incomplet. Déterminer le pourcentage d'augmentation des ventes
de véhicules hybrides de 2012 à 2013.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Véhicules VP et VUL&\multicolumn{2}{|c|}{ Augmentation des ventes de véhicules}\\ \hline
&de 2011 à 2012 &de 2012 à 2013\\ \hline
Véhicules hybrides& 103,9\,\% &\ldots\\ \hline
Véhicules électriques &116\,\% &49,8\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Après un fort démarrage des ventes de véhicules hybrides, les professionnels de l'automobile envisagent une augmentation de leurs ventes de 16\,\% par an de 2013 à 2030.

Le nombre de véhicules hybrides vendus en 2013 est de \np{41340}.

On décide de modéliser les ventes annuelles de véhicules hybrides par une suite géométrique
de raison $1,16$.

On note $u_n$ le nombre de véhicules hybrides vendus durant l'année $2013 + n$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner $u_0$.
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		\item L'augmentation de 16\,\% par an des ventes de véhicules hybrides permettrait-elle
d'atteindre la prévision de l'ADEME pour l'année 2030 ?
	\end{enumerate}
\item Les professionnels de l'automobile s'intéressent aussi aux ventes de véhicules électriques
de 2013 à 2030.
	
Le nombre de véhicules électriques vendus en 2013 est de \np{13954}.
	\begin{enumerate}
		\item On réalise sur tableur une feuille de calcul qui détermine le nombre de véhicules
électriques vendus de 2013 à 2030 en supposant une augmentation annuelle de 16\,\% à partir de 2013.
		
\begin{center}
		
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A &B\\ \hline
1	&Année &Prévisions des ventes de voitures électriques\\ \hline
2	& 2013&  \np{13954}\\ \hline
3	& 2014&  \np{16186,64}\\ \hline
4	& 2015&  \np{18776,5024}\\ \hline
5	& 2016&  \np{21780,74278}\\ \hline
6	& 2017&  \np{25265,66163}\\ \hline
7	& 2018&  \np{29308,16749}\\ \hline
8	& 2019&  \np{33997,47429}\\ \hline
9	& 2020&  \np{39437,07017}\\ \hline
10	& 2021&  \np{45747,0014}\\ \hline
11	& 2022&  \np{53066,52163}\\ \hline
12	& 2023&  \np{61557,16509}\\ \hline
13	& 2024&  \np{71406,3115}\\ \hline
14	& 2025&  \np{82831,32134}\\ \hline
15	& 2026&  \np{96084,33276}\\ \hline
16	& 2027&  \np{111457,826}\\ \hline
17	& 2028&  \np{129291,0782}\\ \hline
18	& 2029&  \np{149977,6507}\\ \hline
19	& 2030&  \np{173974,0748}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
Donner la formule saisie dans la cellule B3 de la feuille de calcul ci-dessus pour
compléter le tableau par \og recopie vers le bas \fg.
\index{tableur}
		\item Ce taux d'augmentation annuel permettrait-il d'atteindre les prévisions de l'ADEME
des ventes de véhicules électriques en 2030 ?
	\end{enumerate}
\item Les professionnels de l'automobile cherchent un pourcentage d'augmentation annuelle
des ventes de véhicules électriques qui permettrait d'atteindre les prévisions de l'ADEME
en 2030.
	
On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}	
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline	
\textbf{Variables}\\
\hspace{0.4cm}$u$ : un nombre réel\\
\hspace{0.4cm}$q$ : un nombre réel\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace{0.4cm}Affecter à $u$ la valeur \np{173974}\\
\hspace{0.4cm}Affecter à $q$ la valeur $1,16$\\
\textbf{Traitement}\\
\hspace{0.4cm}Tant que $u \leqslant  \np{240000}$\\
\hspace{0.8cm}$q$ prend la valeur $q + 0,01$\\
\hspace{0.8cm}$u$ prend la valeur $\np{13954} \times  q^{17}$\\
\hspace{0.4cm}Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
\hspace{0.4cm}Afficher $(q - 1) \times 100$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Que représente la valeur \np{173974} prise par la variable $u$ dans l'initialisation de l' algorithme ?
		\item Faire fonctionner cet algorithme. Pour cela reproduire et compléter le tableau ci-dessous. Des lignes supplémentaires pourront être ajoutées.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c||*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Étapes de l'algorithme&\multicolumn{2}{|c|}{ Variables}\\ \hline
&$q$& $u$\\ \hline
Initialisation& 1,16& \np{173974}\\ \hline
Étape 1 &\ldots & \ldots\\ \hline
Étape 2 &\ldots&\ldots\\ \hline
\ldots& \ldots&\ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Quelle est la valeur affichée par l'algorithme ? Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 \index{loi normale}
\index{intervalle de fluctuation}

\medskip

\emph{Dans l'ensemble de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.}

\medskip

L'usine OCEFRAIS embouteille des jus de fruits. L'étiquette de la bouteille indique 1,5~litre
de jus de fruits. Le volume de la bouteille est de 1, 55~litre.

À l'embouteillage, le volume de jus de fruits versé dans une bouteille est une variable aléatoire
$X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 1,5$ et d'écart-type $\sigma = 0,015$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item L'une des trois figures donne la courbe représentative $C_f$ de la densité $f$ de cette loi normale. Indiquer sur la copie le numéro de la figure correspondante en expliquant
votre choix.
		
\begin{center}

\psset{xunit=5cm,yunit=0.1cm,arrowsize=3pt 3,algebraic=true,comma=true}

\def\xmin {-0}   \def\xmax {2.3}
\def\ymin {-08} \def\ymax {31}

\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%                                     zone de tracé
\psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)%  axes
% pas de labels, pas de graduation sur les axes

\multido{\n=0.2+0.2}{11}
{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,\ymax)
\uput[d](\n,0){\small \np{\n}}}

\multido{\n=10+10}{3}
{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(\xmax,\n)
\uput[l](0,\n){\small \n}}

\def\m{0.5}% moyenne 
\def\s{0.015}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}%   fonction densité
\psplot[plotpoints=5000]{\xmin}{\xmax}{\f}%          tracé de la fonction densité
\rput(1.15,-8){Figure 1}
\end{pspicture}


\vspace{0.5cm}

\psset{xunit=5cm, yunit=0.1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true,comma=true}

\def\xmin {-0}   \def\xmax {2.3}
\def\ymin {-8} \def\ymax {31}

\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%                                     zone de tracé
\psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)%  axes
% pas de labels, pas de graduation sur les axes

\multido{\n=0.2+0.2}{11}
{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,\ymax)
\uput[d](\n,0){\small \np{\n}}}

\multido{\n=10+10}{3}
{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(\xmax,\n)
\uput[l](0,\n){\small \n}}

\def\m{1}% moyenne 
\def\s{0.015}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}%   fonction densité
\psplot[plotpoints=5000]{\xmin}{\xmax}{\f}%          tracé de la fonction densité
\rput(1.15,-8){Figure 2}
\end{pspicture}

\vspace{0.5cm}

\psset{xunit=5cm, yunit=0.1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true,comma=true}

\def\xmin {-0}   \def\xmax {2.3}
\def\ymin {-8} \def\ymax {31}

\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%zone de tracé
\psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)%  axes
% pas de labels, pas de graduation sur les axes

\multido{\n=0.2+0.2}{11}
{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,\ymax)
\uput[d](\n,0){\small \np{\n}}}

\multido{\n=10+10}{3}
{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(\xmax,\n)
\uput[l](0,\n){\small \n}}



\def\m{1.5}% moyenne 
\def\s{0.015}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}%  fonction densité
\psplot[plotpoints=10000]{\xmin}{\xmax}{\f}%         tracé de la fonction densité
\rput(1.15,-8){Figure 3}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item Déterminer $P(1,485 \leqslant X \leqslant 1,515)$.
	\end{enumerate}
\item On choisit au hasard une bouteille de jus de fruits.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que cette bouteille contienne exactement 1,48 litre de
jus de fruits ?
		\item Calculer la probabilité que cette bouteille contienne entre 1,46 litre et 1,54 litre de jus de fruits.
		\item Quelle est la probabilité que cette bouteille déborde sur la chaîne d'embouteillage?
On rappelle que toutes les bouteilles utilisées ont un volume de $1,55$ litre.
	\end{enumerate}
\item Une bouteille est dite conforme si elle contient entre $1,46$~litre et $1,54$~litre de jus de fruits.
Selon l'usine OCEFRAIS, la probabilité qu'une bouteille soit non conforme est \np{0,0077}.
Un supermarché achète un lot de \np{10000}~bouteilles.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% de la fréquence observée
de bouteilles non conformes dans un tel lot.
		\item Dans le lot de 10 000 bouteilles, on a compté 90 bouteilles non conformes. Le
gérant du supermarché trouve le nombre de bouteilles non conformes anormalement
élevé.
		
L'usine OCEFRAIS a-t-elle des raisons de s'inquiéter?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{Antilles-Guyane 18 juin 2015} 
\hypertarget{Anti2015}{}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D/STL spécialité SPCL~\decofourright\\
Antilles-Guyane 18 juin 2015\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}
 \index{QCM}
   \index{nombres complexes} \index{loi exponentielle}
\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions
suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni
n'enlèvent de point.\\
Pour répondre, vous recopierez \textbf{sur votre copie} le numéro de la question et la seule réponse choisie.}

\medskip

Dans cet exercice, i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le temps d'attente en minute à un péage est une variable aléatoire qui suit la loi
exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2 \left(\text{exprimé en min}^{-1}\right)$.

En moyenne une personne attend à ce péage :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 2 min&\textbf{b.~~} 5 min&\textbf{c.~~} 10 min&\textbf{d.~~} 20 min
\end{tabularx}
\medskip

\item  La forme exponentielle du nombre complexe $z = - 3 + \text{i}3\sqrt{3}$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $3\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$&\textbf{b.~~} $6\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
&\textbf{c.~~} $6\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$&\textbf{d.~~} $- 6\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  On considère le complexe $z = \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}$.

Le nombre complexe $z^2$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $z^2 = 2$&\textbf{b.~~} $z^2 = 4$&\textbf{c.~~} $z^2 =- 4$&\textbf{d.~~} $z^2 = - 4\text{i}$
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip

\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

Dans cet exercice, ln désigne la fonction logarithme népérien.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = ax + b\ln (x) + 1\]
  \index{logarithme népérien} \index{fonction : détermination de paramètres} \index{primitive} \index{intégrale} \index{limite, asymptote}
où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

$C_f$ est la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé.

Les points A et E sont deux points de la courbe $C_f$.

Le point A a pour coordonnées (1~;~2) et le point E a pour abscisse 4.

La tangente à $C_f$ au point E est horizontale.

\begin{center}
\psset{unit=0.92cm}
\begin{pspicture*}(-0.8,-1)(12.5,10.8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray](0,-1)(12.5,10.9)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.9)(12.5,10.9)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(12.5,11)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{12.5}{x x ln  4 mul sub 1 add}
\uput[ur](1,2){A} \uput[ul](1,0){B} \uput[dl](2,0){C} 
\uput[ur](2,0.23){D} \uput[d](4,-1){E} \uput[d](11,2.4){$C_f$} 
\uput[d](12.3,0){$x$} \uput[l](0,10.7){$y$}\uput[dl](4,-0.545){E}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{x x ln  4 mul sub 1 add}
\psline(2,0)(1,0)}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(2.5,-0.545)(5.5,-0.545)
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(1)$ et $f'(4)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
\item Calculer $f'(x)$ puis exprimer $f'(4)$ en fonction de $a$ et $b$.
\item Déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
 \end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par:

\[f(x) = x - 4\ln (x) + 1\]
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0}  f(x)$ en justifiant la réponse. Donner une interprétation graphique du résultat.
\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}  f(x)$ en justifiant la réponse (on pourra factoriser l'expression de $f(x)$ par $x$).
\item  Calculer la dérivée $f'$ de $f$. En déduire le tableau des variations de $f$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C}
 
\medskip

Une entreprise fabrique des pièces de carrosserie de voiture.

\medskip

\parbox{0.7\linewidth}{La forme d'une pièce est donnée sur la figure ci-contre et
correspond à la zone hachurée sur le graphique de la page
précédente.

On souhaite déterminer la mesure de l'aire de la pièce en unité
d'aire.

Le point D est le point de la courbe $C_f$ d'abscisse 2.

Les points B et C ont pour coordonnées respectives (1~;~0) et (2~;~0).}\hfill
\parbox{0.28\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0.5,0)(3,2.5)
\uput[ur](1,2){A} \uput[ul](1,0){B} \uput[dl](2,0){C} 
\uput[ur](2,0.23){D} 
\pscustom[fillstyle=vlines]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2}{x x ln  4 mul sub 1 add}
\psline(2,0)(1,0)}
\end{pspicture*}}


Soit la fonction $G$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[G(x) = x\ln (x) - x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée $G'$ de $G$.
\item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ donnée dans la partie B sur $]0~;~+ \infty[$.
\item Déterminer la valeur exacte de l'aire de la pièce en unité d'aire ; puis en donner
une valeur arrondie à $10^{-2}$.
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 \index{loi normale}
\index{loi binomiale}
\index{intervalle de fluctuation}
\medskip

Étude de la production de plats préparés sous vide.

\medskip

\textbf{Les questions 1, 2 et 3 de cet exercice peuvent être traitées de manière
indépendante. Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à } \boldmath $10^{-3}$\unboldmath{}.

L'entreprise BUENPLATO produit en grande quantité des plats préparés sous vide.

L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité de cette production en exploitant
divers outils mathématiques.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur les emballages, il est précisé que la masse des plats préparés est de 

$400$~grammes. Un plat est conforme lorsque sa masse, exprimée en gramme, est
supérieure à $394$~grammes.

On note $M$ la variable aléatoire qui, à chaque plat prélevé au hasard dans la
production, associe sa masse en gramme. On suppose que la variable aléatoire
$M$ suit la loi normale d'espérance $400$ et d'écart type $5$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité qu'un plat prélevé au hasard ait une masse
comprise entre $394$ et $404$ grammes.
		\item  Déterminer la probabilité qu'un plat soit conforme.
 	\end{enumerate}
\item Les plats préparés sont livrés à un supermarché par lot de $300$.
	
On arrondit la probabilité de l'évènement \og un plat préparé prélevé au hasard
dans la production n'est pas conforme \fg{} à $0,12$.
	
On prélève au hasard $300$~plats dans la production. La production est assez
importante pour que lion puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire
avec remise.
	
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à un lot de $300$~plats, associe le nombre
de plats préparés non conformes qu'il contient.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera
les paramètres.
		\item Calculer l'espérance mathématique E$(X)$ et en donner une interprétation.
		\item Calculer la probabilité que dans un échantillon de $300$~plats prélevés au
hasard, au moins $280$ plats soient conformes.
 	\end{enumerate}
\item Le fabricant annonce sur les étiquettes de ses produits une proportion de
produits non conformes de 12\,\%. On prélève au hasard dans la production un
échantillon de taille \np{1200} dans lequel $150$~plats se révèlent être non conformes.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la fréquence de plats non conformes dans l'échantillon prélevé ?
		\item Déterminer l'intervalle de fluctuation avec un niveau de confiance de 95\,\%
de la fréquence de plats non conformes dans un échantillon de taille \np{1200}.
		
\emph{Rappel : Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle
de fluctuation asymptotique à $95$\,\% d'une fréquence obtenue sur un
échantillon de taille $n$ est :}
	
\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]\]
		\item  L'échantillon est-il représentatif de la production du fabricant ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 -- Étude du déficit d'une multinationale} \hfill 4 points}
 \index{suites}
\index{algorithmique}
\medskip

Le déficit d'une multinationale a été de 15 millions d'euros en 2014.

Devant l'ampleur de ce déficit, l'équipe de direction décide de prendre des mesures
afin de ramener ce déficit annuel à moins de $5$~millions d'euros.

Jusqu'à ce que cet objectif soit atteint, cette équipe s'engage à ce que le déficit
baisse de 8,6\,\% tous les ans.

On définit la suite $\left(u_n\right)$ de la manière suivante : on note $u_n$ le déficit \textbf{en million d'euros} de cette multinationale lors de l'année $2014 + n$. Ainsi $u_0 = 15$.

Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $u_1 = 0,914 u_0$.
		\item Si l'équipe de direction tient ses engagements, quel sera le déficit de la
multinationale en 2016 ?
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique, puis exprimer $u_n$ en fonction
de $n$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'inéquation suivante d'inconnue l'entier naturel $n$ :

\[0,914^n \leqslant  \dfrac{1}{3}\]
		
		\item  Quand l'engagement de l'équipe de direction, à savoir ramener le déficit de
la multinationale au-dessous des 5 millions d'euros, sera-t-il atteint ?
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme ci-dessous qui permet de retrouver le résultat de la
question précédente.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables}	&\\
					&$N$ un entier naturel\\
					&$Q$ et $U$ deux nombres réels.\\
\textbf{Début}		&\\
					&$N$ prend la valeur 0\\
					&$Q$ prend la valeur 0,914\\
					&$U$ prend la valeur 15\\
					&\textbf{Tant que ... faire}\\
					&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
						$N$ prend la valeur \ldots\\
						$U$ prend la valeur \ldots
						\end{tabular}\\
					&\textbf{Fin Tant que}\\
					&Afficher \ldots\\
\textbf{Fin}		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
						
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter les lignes en pointillé afin que l'algorithme renvoie
l'année à partir de laquelle le déficit de cette multinationale sera ramené
en dessous de $5$~millions d'euros.
		\item On suppose l'algorithme complété.
		
Proposer une modification de l'algorithme afin que celui-ci affiche le
montant du déficit de cette multinationale chaque année jusqu'à ce que
celui-ci soit ramené au-dessous de $5$~millions d'euros.
 	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la somme des déficits sur onze ans à partir de l'année 2014
comprise, c'est-à-dire : $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{10}$·
		\item Construire un algorithme qui donne cette somme en sortie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 4 points}
  \index{équation différentielle d'ordre 1} \index{limite, asymptote}
\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{On étudie la charge d'un condensateur et l'on
dispose pour cela du circuit électrique ci-contre
composé de :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]une source de tension continue $E$ de 10 V.
\item[$\bullet~~$]une résistance $R$ de $10^5$\: $\Omega$.
\item[$\bullet~~$]un condensateur de capacité $C$ de $10^{-6}$ F.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}}\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.75)(5,3.5)
\pnode(0.5,0.5){A}\pnode(4.5,0.5){B}
\pnode(0.5,2.5){C}\pnode(4,2.5){D}\pnode(2.25,0.5){E}
\resistor(A)(E){$R$}\capacitor(E)(B){$C$}\battery(C)(D){}
\psline{->}(0.5,2.5)(0.5,1.5)\psline{->}(2.5,3.1)(2,3.1)\uput[u](2.25,3){$E$}
\psline{->}(3.5,-0.25)(3,-0.25)\uput[d](3.25,-0.25){$u$}
\psline(0.5,2)(0.5,0.5)\psline(4.5,0.5)(4.5,2.5)(4,2.5)
\end{pspicture}}
 
On note $u$ la tension exprimée en volt aux bornes du condensateur. Cette tension $u$
est une fonction du temps $t$ exprimé en seconde.
 
La fonction $u$ est définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ ; elle vérifie l'équation différentielle
suivante :
 
\[RCu' + u = E\]
 
où $u'$ est la fonction dérivée de $u$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que l'équation différentielle est équivalente à :

\[u' + 10u = 100\]

\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme générale $u(t)$ des solutions de cette équation
différentielle.
		\item  On considère qu'à l'instant $t = 0$, le condensateur est déchargé. Parmi
les solutions, déterminer l'unique fonction $u$ tel que $u(0) = 0$.
		\item  Déterminer en justifiant la réponse, la limite en $+ \infty$ de la fonction $u$
ainsi obtenue. En donner une interprétation.
	\end{enumerate}
\item  ~
		
\parbox{0.48\linewidth}{On donne ci-contre la représentation graphique de la fonction $u$ qui vient d'être obtenue à la question 2. b. avec les unités suivantes : 1 unité pour 1 seconde sur l'axe des abscisses et 1 unité pour 1 volt sur l'axe des ordonnées.

On appelle $T$ le temps de charge en seconde pour que $u(T)$ soit égal à $95$\,\% de $E$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement le temps de charge $T$.
		\item Retrouver, par le calcul, le résultat précédent.
 	\end{enumerate}}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{xunit=3cm,yunit=0.3cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-1)(1.7,13)
\multido{\n=0.0+0.1}{18}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,11)}
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(1.7,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.2,-0.9)(1.7,12)
\uput[d](1.6,0){\scriptsize $x$}\uput[l](0,11.7){\scriptsize $y$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.7}{1 2.71828 10 x mul neg exp sub 10 mul}
\rput(0.85,12.5){\scriptsize Charge du condensateur en}
\rput(0.85,11.5){\scriptsize fonction du temps}
\end{pspicture}
}		

\item  Sans modifier les valeurs respectives de $E$ et de $C$, déterminer la valeur de $R$
afin que le temps de charge $T$ soit multiplié par $2$.
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{Polynesie 11 juin 2015} 
\hypertarget{Poly2015}{}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  Polynesie 11 juin 2015~\decofourright\\STI2D--STL spécialité SPCL}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip
\index{QCM}
  \index{nombres complexes}
  \index{nombres complexes et géométrie}
  \index{limite, asymptote}
 \index{équation différentielle d'ordre 1}
\emph{Cet exercice est un Q. C. M.  Pour chacune des questions posées, une seule des
quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre
correspondant à la réponse choisie. \\
Aucune justification n'est demandée. \\
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence
de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.\\
Dans cet exercice, on note $\R$ l'ensemble des nombres réels.\\
Pour répondre, vous recopierez \textbf{sur votre copie} le numéro de la question et la seule
réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,~A,~B).

L'ensemble $E$ des images des nombres complexes $z$ vérifiant la relation $|z| = 1$ est
représenté en gras par :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\textbf{a.} 						&\textbf{b.}\\
\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture*}(-2.5,-1.5)(3.5,3.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](-2.5,-1.5)(3.5,3.2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(3.5,3.2)
\psline[linewidth=1.5pt](1,-1.5)(1,3.5) \uput[r](1,1.5){$E$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1,0){A}\uput[ul](0,1){B}
\end{pspicture*}					&\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.5)(4.5,3.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](-1.5,-1.5)(4.5,3.2)
\psaxes{->}(0,0)(-1.5,-1.5)(4.5,3.2)
\psline[linewidth=1.5pt](-1.5,1)(4.5,1)
 \uput[u](1.5,1){$E$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1,0){A}\uput[ul](0,1){B} 
\end{pspicture*}\\ \hline
\textbf{c.} &\textbf{d.}\\ \hline
\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture*}(-2.5,-1.5)(3.5,3.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](-2.5,-1.5)(3.5,3.2)
\psaxes{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(3.5,3.2)
\pscircle[linewidth=1.5pt](0,0){1} \uput[ur](0.7,0.7){$E$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1,0){A}\uput[ul](0,1){B} 
\end{pspicture*}						&\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1.5)(3.5,3.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](-2.5,-1.5)(3.5,3.2)
\psaxes{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(3.5,3.2)
\pscircle[linewidth=1.5pt](1,0){1} \uput[ur](1.7,0.7){$E$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dr](1,0){A}\uput[ul](0,1){B} 
\end{pspicture*}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Considérons les deux nombres complexes 

\[z_1 = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\quad  \text{et} \quad  z_2 = - \sqrt{3} + \text{i}\]

où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

Le produit $z_1 \times z_2$ est égal à :

\medskip
\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\textbf{a.~~}$2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{11\pi}{12}}$&\textbf{b.~~}$\left(1 + \sqrt{3}\right)(- 1 + \text{i})$\\ \hline
\textbf{c.~~}$2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{13\pi}{12}}$&\textbf{d.~~}$1 - \sqrt{3} + 2\text{i}$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item~

 \parbox{0.45\linewidth}{Voici la représentation graphique d'une
fonction $f$.

Cette courbe admet les quatre asymptotes suivantes :
\begin{itemize}
\item deux asymptotes horizontales d'équations respectives
$y = -1$ et $y = 0$ ;
\item deux asymptotes verticales d'équations respectives
$x = 0$ et $x = 2$.
\end{itemize}}\hfill
\parbox{0.5\linewidth}{
\psset{unit=0.4cm}\begin{pspicture*}(-6,-6)(8,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-6,-5.95)(8,7)
%\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{-0.1}{3 x 2 mul sub 2 x sub x mul div}
%\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{0.9}{3 x 2 mul sub 2 x sub x mul div}
%\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.1}{8}{3 x 2 mul sub 2 x sub x mul div}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{-0.1}{1 x  div }
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{1.99}{1 2 x  sub  x mul div}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.1}{8}{1 2 x  sub  div 1 sub}
\psline[linestyle=dashed](2,-6)(2,7)
\psline[linestyle=dashed](-6,-1)(8,-1)
\uput[dl](0,0){\scriptsize O}\uput[d](7.8,0){\scriptsize $x$}\uput[l](0,6.8){\scriptsize $y$}
\end{pspicture*}
}

\medskip

Choisissez la bonne égalité :

\medskip
\renewcommand\arraystretch{2.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\textbf{a.~~}$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$&\textbf{b.~~}$\displaystyle\lim_{x \to + 0^{-}} f(x) = - \infty$\\ \hline
\textbf{c.~~}$\displaystyle\lim_{x \to + 2^{+}} f(x) = + \infty$&\textbf{d.~~}$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - 1$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\item  On considère l'équation différentielle $y' + 2y = 5$, où $y$ désigne une fonction de la
variable réelle $x$ dérivable sur $\R$ et de dérivée notée $y'$. Une solution de cette
équation est :

\medskip
\renewcommand\arraystretch{2.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\textbf{a.~~}$x \longmapsto \dfrac{5 - \text{e}^{- 2x}}{2}$&\textbf{b.~~}$x \longmapsto \text{e}^{- 2x} - 5$\\ \hline
\textbf{c.~~}$x \longmapsto \dfrac{\text{e}^{2x} - 5}{2}$&\textbf{d.~~}$x \longmapsto \text{e}^{2x} + 2,5$\\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  6 points}
\index{suites}
\index{algorithmique}
\medskip

L'efficacité énergétique (valorisation des déchets, efficacité des éclairages, domotique
dans les habitations, \ldots) devient une priorité pour les industriels, les collectivités locales et les usagers.

À l'échelle européenne, le marché des services énergétiques devrait croître de 5\,\%
par an. En 2014, le fournisseur d'énergie ENERGIA a réalisé un chiffre d'affaires de
920 millions d'euros dans les services énergétiques.

\begin{center}\textbf{Les résultats seront arrondis au million d'euros près}\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le chiffre d'affaires que devrait réaliser le fournisseur ENERGIA dans les
services énergétiques pour l'année 2015.

On suppose que dans les prochaines années, la tendance va se poursuivre.

Notons $C_n$ le chiffre d'affaires, en million d'euros, réalisé par le fournisseur
ENERGIA dans les services énergétiques pour l'année $2014 + n$.

\medskip

\item Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$.

En déduire la nature de la suite $\left(C_n\right)$ et donner ses éléments caractéristiques.
\item Exprimer $C_n$ en fonction de $n$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur du chiffre d'affaires en 2019.
		\item Quel est le pourcentage d'augmentation du chiffre d'affaires de 2014 à 2019 ?
		
		On donnera le résultat sous la forme $p\,\%$, où $p$ est arrondi à $10^{-1}$.
	\end{enumerate}
\item  On veut déterminer à partir de quelle année le chiffre d'affaires du fournisseur
ENERGIA réalisé dans les services énergétiques va doubler.
	\begin{enumerate}
		\item On considère l'algorithme ci-dessous.
Recopier et compléter les lignes 8 et 13 afin que cet algorithme réponde à la question posée.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|rX|}\hline
1&\textbf{Variables}\\
2&\hspace{0.6cm} N: un nombre entier naturel\\
3&\hspace{0.6cm}  C : un nombre réel\\
4&\textbf{Initialisation}\\
5&\hspace{0.6cm}  Affecter à $N$ la valeur $0$\\
6&\hspace{0.6cm}  Affecter à $C$ la valeur $920$\\
7&\textbf{Traitement}\\
8&\hspace{0.6cm}  Tant que \ldots \\
9&\hspace{1cm}  Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
10&\hspace{1cm} Affecter à $C$ la valeur $C * 1,05$\\
11&\hspace{0.6cm} Fin Tant que\\
12&\textbf{Sortie}\\
13&\hspace{0.6cm} Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

		\item En faisant tourner cet algorithme complété, déterminer l'année à partir de
laquelle le chiffre d'affaires du fournisseur ENERGIA réalisé dans les services
énergétiques dépassera les \np{1840}~millions d'euros.
		\item Proposer une méthode plus directe pour répondre à la question précédente par
le calcul.
	\end{enumerate}
\item  Après avoir effectué une analyse du marché, on prévoit plutôt une hausse annuelle
de 10\,\% du marché des services énergétiques à l'échelle européenne. Déterminer
l'année à partir de laquelle le chiffre d'affaires va doubler.
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  6 points}

\medskip

Un pont à une seule arche d'une longueur de 16~m enjambe une route à double
circulation.

La figure ci-dessous donne une vue de l'une des deux façades de ce pont (1 unité
représente 1 mètre).

La partie supérieure du pont est à une hauteur de 5~m au-dessus de la route.

\textbf{La partie de l'axe des abscisses comprise entre -8 et 8 représente la chaussée
sur laquelle sont délimitées les zones de circulation des piétons, des cyclistes
et des véhicules motorisés.}

\begin{center}
\psset{unit=0.72cm}
\begin{pspicture}(-8.5,-2)(8.5,5.5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-8}{8}{5 2.71828 0.2 x mul exp 2.71828 x 0.2 neg mul exp add 0.5 mul sub}
\uput[u](1,0){A}\uput[r](0,1){B}
\psline{<->}(-8,-1.2)(-5.5,-1.2)\psline{<->}(-5.5,-1.2)(-3.8,-1.2)
\psline{<->}(-3.8,-1.2)(0,-1.2)
\psline{<->}(0,-1.2)(4,-1.2)
\psline{<->}(4,-1.2)(5.5,-1.2)
\psline{<->}(5.5,-1.2)(8,-1.2)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psline(-8,5)(8,5)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{8}{-8}{5 2.71828 0.2 x mul exp 2.71828 x 0.2 neg mul exp add 0.5 mul sub}}
\uput[dl](5.5,3.3){$(\mathcal{C})$}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](-6.75,-1.2){\scriptsize Zone piétons} \uput[d](-4.75,-1.2){\scriptsize Piste cyclable} \uput[d](-2,-1.2){\scriptsize Véhicules motorisés} 
\uput[d](2,-1.2){\scriptsize Véhicules motorisés} \uput[d](4.75,-1.2){\scriptsize Piste cyclable} \uput[d](6.75,-1.2){\scriptsize Zone piétons}
\uput[d](8.3,0){$x$} \uput[l](0,5.3){$y$}
\psline[linestyle=dashed](-8,0)(-8,2.5)
\psline[linestyle=dashed](-5.5,0)(-5.5,3.36)
\psline[linestyle=dashed](-4,0)(-4,3.7)
\psline[linestyle=dashed](4,0)(4,3.7)
\psline[linestyle=dashed](5.5,0)(5.5,3.36)
\psline[linestyle=dashed](8,0)(8,2.5)
\psline(-8,2.5)(-8,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-8.5,-1.5)(8.5,5.5) 
\end{pspicture}
\end{center}
  

\textbf{A-- Étude de la fonction représentée par la courbe}\boldmath $(\mathcal{C})$\unboldmath

\medskip

Soit la fonction $f$ définie, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$, par
\index{fonction exponentielle} \index{fonction : détermination de paramètres}  \index{intégrale}
\[f(x) = k - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right)\quad  \text{où $k$ désigne un entier naturel fixé.}\]

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative, donnée ci-dessus dans le repère orthonormé
(O,~A,~B).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement $f(0)$.
En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-8~;~8]$ :

\[f(x) = 5 - 0,5\left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x}\right).\]

\item En tenant compte du fait que l'on doit laisser une hauteur de sécurité de 50~cm,
quelle doit être la hauteur maximale exprimée en mètre d'un véhicule motorisé pour
qu'il puisse passer sous le pont ? On arrondira le résultat à $10^{-1}$.
\item Montrer que la fonction $f'$ dérivée de la fonction $f$ est définie, pour tout réel $x$ de
l'intervalle $[-8~;~8]$, par $f'(x) = 0,1\text{e}^{-0,2x}\left(1 - \text{e}^{0,4x}\right)$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $[-8~;~8]$. En déduire le tableau de variation de $f$
sur $[-8~;~8]$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B-- Calculs d'aires}

\medskip

La façade du pont est la partie grisée représentée sur la figure précédente.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I = \displaystyle\int_{-8}^8 \left(\text{e}^{0,2x} + \text{e}^{-0,2x})\:\text{d}x$.
\item Vérifier que l'aire de la façade exprimée en m$^2$ vaut $5\left(\text{e}^{1,6} - \text{e}^{- 1,6}\right)$.
\item On veut peindre les deux façades du pont. En déduire l'aire $S$ exprimée en m$^2$ de la
surface totale à peindre ; en donner une valeur en m$^2$ approchée à $10^{-2}$ près.
\item La peinture utilisée pour peindre les façades du pont est vendue par bidon de 5~litres.

Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 3 m$^2$ par litre,
combien de bidons sont nécessaires pour recouvrir les deux faces de cette
construction ?
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  4 points}
\index{loi normale}
\index{loi binomiale}
\index{intervalle de fluctuation}

\medskip

Une entreprise achète du sucre et le revend après conditionnement à des grossistes
pour le marché de la grande distribution.

\emph{Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Une machine de l'usine conditionne des paquets de sucre en poudre de 1~kg.

La masse $M$ en gramme d'un paquet est une variable aléatoire qui suit la loi
normale de moyenne $m = \np{1000}$ et d'écart-type $\sigma = 7$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(995 \leqslant X \leqslant \np{1005})$.
		\item Un paquet est refusé si sa masse est inférieure à $990$ grammes.
		
Quelle est la probabilité pour qu'un paquet conditionné par cette machine soit
refusé ?		
	\end{enumerate}

\medskip

Dans la suite de l'exercice, on arrondit à $0,08$ la probabilité $p$ pour qu'un paquet
conditionné dans l'usine soit refusé, ainsi $p = 0,08$.
		
On s'intéresse au stock journalier de paquets conditionnés dans l'usine.
		
\medskip
		
\item  On prélève au hasard 100~paquets parmi le stock. Le stock est suffisamment
important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec
remise.
		
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de paquets à rejeter dans cet
échantillon.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? On donnera ses paramètres.
		\item Quelle est la probabilité qu'exactement 3 paquets parmi ces $100$~paquets soient
refusés ?
		\item Calculer la probabilité que, parmi ces $100$~paquets, 5 ou plus soient refusés.
	\end{enumerate}
\item  On contrôle la masse d'un échantillon de $100$~paquets de sucre dans le stock global
de l'entreprise. Après contrôle, $10$~paquets sont refusés.
		
\textbf{Rappel :} \emph{Lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de
fluctuation asymptotique à $95\,\%$ d'une fréquence obtenue sur un échantillon de
taille $n$ est :}
		
\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}}\right]\]
		
L'échantillon est-il représentatif de la production de l'usine ? Justifier.
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015} 
\hypertarget{Calnov2015}{}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI 2D/STL~\decofourright\\
Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 \index{suites}
\index{algorithmique}
\medskip

Jusqu'à présent Pierre n'a encore jamais réussi à économiser un seul euro. Pour le
responsabiliser dans la gestion de son argent de poche, ses parents décident de lui
verser 30 euros tous les premiers du mois.

Pierre décide que pour s'offrir le téléphone de ses rêves qui coûte 150 euros, il ne
dépensera chaque mois que 20\,\% de son capital accumulé.

Le premier versement lui a été fait au 1\up{er} janvier 2015.
\begin{enumerate}
\item  De quelle somme Pierre disposera-t-il encore au soir du 31 janvier 2015 ?
\item Soit $\left(u_n\right)$ le capital dont dispose Pierre juste après le $n$-ième versement. Ainsi $u_1$ vaut
30 et $u_5$ correspond au capital acquis par Pierre le 1\up{er} mai 2015.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $u_2 = 54$.
 \item Justifier que $u_{n+1} = 0,8 u_n + 30$.
\item Recopier et compléter l'algorithme A suivant pour qu'il affiche le capital acquis
le 1\up{er} avril 2015.

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Initialisation}\\
\phantom{initial}Affecter à i la valeur 1\\
\phantom{initial}Affecter à u la valeur 30\\
\textbf{Traitement}\\
\phantom{ini}Tant que \dots\dots\\
\phantom{initial}Affecter à u la valeur\dots\dots\\
\phantom{initial}Affecter à i la valeur i + 1\\
\phantom{ini}Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
\phantom{initial}Afficher u\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\item Recopier et compléter le tableau suivant donnant des termes de la suite $\left(u_n\right)$ et
conjecturer la limite de cette suite.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{11}{c|}}\hline
$n$		&21 &22	&23 &24 &25	&26	&27 &28	& 29 	&30\\\hline
$u_n$	&	&	&	&	&	&	&	&	&		&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Soit l'algorithme B suivant:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Initialisation}\\
\phantom{initial} Affecter à i la valeur 1\\
\phantom{initial} Affecter à u la valeur 30\\
\phantom{initial} Saisir la valeur de p\\
\textbf{Traitement}\\
\phantom{ini} Tant que $\Big| \text{u} - 150 \Big|$ >p \\
\phantom{initial} Affecter à u la valeur 0,8 u + 30\\
\phantom{initial} Affecter à i la valeur i + 1\\
\phantom{ini} Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
\phantom{initial} Afficher i\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\medskip
Comment utiliser cet algorithme B pour savoir à quel moment Pierre disposera d'au
moins $149,90$ euros?

\item Pierre se rend compte qu'avec cette gestion de son argent de poche il ne pourra
jamais s'offrir le téléphone de ses rêves. Exposez un plan de gestion de l'argent de
poche qui permette à Pierre d'effectuer son achat dans l'année sans demander plus
d'argent à ses parents.
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip
\index{QCM}
 \index{équation différentielle d'ordre 1}
   \index{nombres complexes}
   \index{loi exponentielle}
   \index{logique}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est
exacte.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses
ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip

\textbf{\large Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante
choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La négation de la phrase suivante \og toute solution de l'équation (E) est
strictement supérieure à 3 \fg{} :
\begin{enumerate}
\item toute solution de (E) est inférieure ou égale à 3
\item aucune solution de (E) n'est strictement supérieure à 3
\item au moins une solution de (E) est inférieure ou égale à 3
\item une seule solution de (E) est inférieure ou égale à 3
\end{enumerate}
\item Soient $Z_1$ et $Z_2$ les nombres complexes définis par: $Z_1 = 2\e^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $Z_2 = 3\e^{-\text{i}\frac{\pi}{2}} $.
Une forme exponentielle du quotient $\dfrac{Z_l}{Z_2}$ est :
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{2}{3}\e^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}$
\item $-\e^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$
\item $-\dfrac{2}{3}\e^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$
\item $\dfrac{2}{3}\e^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$
\end{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle $y' + 5y = 3$, où $y$ désigne une fonction
dérivable sur l'ensemble des réels. La solution $f$ de cette équation
telle que $f(0) = 0$ est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :
\begin{enumerate}
\item $f(x) = + 0,6\e^{5x}  + 0,6$
\item $f(x) = - 0,6\e^{-5x} + 0,6$
\item $f(x) = 0$
\item $f(x) = - 3\e^{-5x} + 3$
\end{enumerate}
\item On considère la production d'une usine de composants électroniques.
On admet que la durée de fonctionnement sans panne (en années) de ces
composants peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi
exponentielle de paramètre $\lambda = 0,1$.

La probabilité qu'un composant pris au hasard, soit tombé en panne au bout 6 ans
est, au centième près:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 1,6  & \textbf{b.~~}0,55 & \textbf{c.~~} 0,45&\textbf{d.~~}0,05
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
\index{loi normale}
\index{loi binomiale}

\medskip

Les questions peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.

Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.
\begin{enumerate}
\item Dans une usine, une machine remplit automatiquement avec de l'huile de moteur
des bidons pouvant contenir au maximum 102 litres.
Pour pouvoir être commercialisé, un bidon doit contenir au moins 98 litres d'huile.

La quantité d'huile, exprimée en litres, fournie par la machine peut être modélisée
par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu=100$ et
d'écart-type $\sigma = 0,8$.
\begin{enumerate}
\item  Déterminer la probabilité de l'évènement \og $X > 102$ \fg{} et interpréter ce résultat.
\item Déterminer le pourcentage de bidons qui ne pourront pas être commercialisés
en expliquant votre démarche.
\end{enumerate}

\item On estime que 99,4\,\% des bidons sont remplis correctement.

Soit$ Y$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 30 bidons prélevés au hasard dans
la production de l'usine, associe le nombre de bidons non correctement remplis. Le
stock est suffisamment important pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage
avec remise.

Après avoir précisé la loi suivie par $Y$, calculer la probabilité qu'il y ait au plus un
bidon non correctement rempli dans un lot de 30 bidons.
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip

Une entreprise fabriquant des planches de surf conçoit un nouveau modèle d'aileron.
Cet aileron est composé de deux parties :
\begin{itemize}
\item la partie supérieure ou \og boîtier \fg{} permettant de fixer l'aileron à la planche,
\item la partie inférieure destinée à être immergée dans l'eau.
\end{itemize}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,labelsep=0.15pt}
\begin{pspicture}(-1,0.7)(4.5,3.5)
%\psgrid
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.45}{3}{ x -1 exp 4 mul 3 sub x ln 4 mul add}
\pscustom[fillstyle=hlines,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0.45}{3}{x -1 exp 4 mul 3 sub x ln 4 mul add}
\psline [linewidth=0.4pt](0.45,2.69486)(3,2.69486)}
\psline[linewidth=0.3pt](1.25,2.69486)(1.25,3.19486)
\psline[linewidth=0.3pt](1.4,2.69486)(1.4,3.19486)
\psline[linewidth=0.3pt](1.1,3.19486)(1.25,3.19486)
\psline[linewidth=0.3pt](1.4,3.19486)(1.55,3.19486)
\psline[linewidth=0.3pt](1.1,3.19486)(1.1,3.3)
\psline[linewidth=0.3pt](1.55,3.19486)(1.55,3.3)
\psline[linewidth=0.3pt](1.1,3.3)(1.55,3.3)
\end{pspicture}
\end{center}

Pour estimer la quantité de matière nécessaire à la fabrication de la partie inférieure de l'aileron, l'entreprise souhaite connaître le mieux possible l'aire A du domaine hachuré.

Pour modéliser le profil latéral de la partie inférieure on se place dans un repère
orthonormé avec une échelle de 1 carreau pour \np[cm] {10} et on se propose d'utiliser, pour
des abscisses comprises entre 0,45 et 3, la courbe $C_f$ représentative de la
fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[ $ par : $f(x) = \dfrac{a}{x} + b + 4\ln(x)$ où $a$ et $b$ sont des 
constantes réelles qui restent à déterminer.
  \index{logarithme népérien} \index{fonction : détermination de paramètres} \index{primitive} \index{intégrale}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,labelsep=0.15pt}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(4.5,4)
\def\pshlabel#1{\scriptsize $#1$}
\def\psvlabel#1{\scriptsize $#1$}
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(4.4,3.5)
\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed](\n,0)(\n,3.2)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed](0,\n)(4.1,\n)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.45}{3}{ x -1 exp 4 mul 3 sub x ln 4 mul add}
\pscustom[fillstyle=hlines,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0.45}{3}{x -1 exp 4 mul 3 sub x ln 4 mul add}
\psline [linewidth=0.4pt](0.45,2.69486)(3,2.69486)}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0.45,0)(0.45,2.69486)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](3,0)(3,2.69486)
\uput[d](0.45,-0.1){0,45}
\uput[d](3,-0.1){3}
\uput[r](2.2,1.8){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Évaluer l'aire A en nombre entier de carreaux en expliquant votre démarche.
\item Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et de $f'(1)$.
\item Vérifier que le choix de $a = 4$ et $b = - 3$ répond au problème posé.
\item Soit la fonction $F$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $F(x) = (4x + 4) \ln(x) - 7x$.

Montrer que $F$ est une primitive de $f$.
\item Déterminer au cm$^2$ près une valeur approchée de l'aire A.
\end{enumerate}
\hyperlink{Index}{*}
\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\label{Concours ENI--GEIPI--POLYTECH 2015} 
\hypertarget{Eni}{}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Concours ENI--GEIPI--POLYTECH ~ \decofourright}}\\
 {\Large Série STI2D et STL \textbf{Mercredi 13 mai 2015}}

 \end{center}

Il faut choisir et réaliser seulement \textbf{trois des quatre exercices} proposés

\bigskip
 
\textbf{EXERCICE 1}
 
\medskip

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \Ouv, on considère les points A
et B d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = 2\sqrt{3} - 2\text{i}\quad  \text{et}\quad  z_{\text{B}} = \text{i} z_{\text{A}}.\]

\begin{enumerate}
\item Donner la forme algébrique de $z_{\text{B}}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les modules respectifs $\left|z_{\text{A}}\right|$ et $\left|z_{\text{B}}\right|$ de $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. Détailler le calcul.
		\item Donner les longueurs OA et OB.
	\end{enumerate}
\item  Tracer le triangle OAB sur la figure.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un argument arg$\left(z_{\text{A}}\right)$ de $z_{\text{A}}$. Détailler le calcul.
		\item Déterminer un argument arg$\left(z_{\text{B}}\right)$ de $z_{\text{B}}$. Justifier le résultat.
		\item En déduire une mesure des angles $\left(\vect{u},~ \vect{\text{OA}}\right)$ et $\left(\vect{u},~ \vect{\text{OB}}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  Donner la nature précise du triangle OAB. Justifier la réponse.
\item  On considère le milieu K du segment [AB].
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{K}}$  de K. Justifier le calcul.
		\item Placer le point K sur la figure de la question 3.
 	\end{enumerate}
\item  On note C le point tel que OACB soit un parallélogramme.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer le parallélogramme OACB sur la figure de la question 3.
		\item Déterminer l'affixe $z_{\text{C}}$ de C. Justifier la réponse.
		\item Donner la nature précise du parallélogramme OACB. Justifier la réponse.
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE II}
 
\medskip

On considère la fonction $f$ définie par :

\[\text{pour tout réel }\:x,\quad f(x) = \dfrac{1}{\text{e}^{2x} + 1}.\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé \Oij.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item On en déduit que $\mathcal{C}_f$ admet deux asymptotes, notées $\Delta_1$ et $\Delta_2$.
		
Donner leurs équations respectives.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ désigne la dérivée de $f$.

Justifier que, pour tout réel $x,$
		$f'(x) = - \dfrac{2\text{e}^{2x}}{\left(\text{e}^{2x} + 1\right)^2}$.

		\item Dresser le tableau des variations de $f$.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs de $f(0)$ et de $f'(0)$.
		\item Déterminer une équation de la tangente $T_0$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
	\end{enumerate}
\item Tracer les droites $\Delta_1$, $\Delta_2$, $T_0$ puis la courbe $\mathcal{C}_f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère les intégrales $I$ et $J$ définies par

\[I = \displaystyle\int_{-1}^1 \dfrac{1}{\text{e}^{2x} + 1}\:\text{d}x \quad \text{et}\quad 
J = \displaystyle\int_{-1}^1 \dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x} + 1}\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item On considère les fonctions $h$ et $H$ définies par :

\[\text{pour tout réel }\:x,\: h(x) = \dfrac{\text{e}^{2x}}{\text{e}^{2x} + 1}\quad \text{et} \quad  H(x) = \dfrac{1}{2}\ln \left(\text{e}^{2x} + 1\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'égalité : $\dfrac{\text{e}^{2} + 1}{\text{e}^{-2} + 1} = \text{e}^{2}$.
		\item Justifier que $H$ est une primitive de $h$.
		\item Déduire des questions précédentes que $J = 1$. Détailler le calcul.
	\end{enumerate}
\item Calculer la somme $I + J$. Détailler le calcul.
\item En déduire la valeur de $I$.
\item Hachurer, sur la figure de la question A 4., le domaine dont l'aire, en unités
d'aire, vaut $I$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE III}
 
\medskip

La victoire de l'équipe féminine espagnole, le 2 août 2013, aux championnats du monde de
water-polo a été fortement médiatisée en France. Il s'ensuivit une forte augmentation du nombre
de filles licenciées dans tous les clubs français de water-polo à partir de septembre 2013.

Au 1\up{er} septembre 2013, les clubs français de water-polo comptaient \np{4500} filles licenciées.

L'évolution du nombre de filles licenciées est modélisée par une suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ de la façon suivante :

\medskip

$u_0$ représente le nombre de filles licenciées, exprimé en milliers, au 1\up{er} septembre 2013. Ainsi $u_0 = 4,5$.

Pour tout $n \geqslant 1$,\: $u_n$ représente le nombre de filles licenciées, exprimé en milliers, $n$ mois plus tard.

Ainsi $u_1$ désigne le nombre de filles licenciées au 1\up{er} octobre 2013, $u_2$ désigne le nombre de filles licenciées au 1\up{er} novembre 2013, etc.

\medskip

On constate que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ vérifie : 

\[\text{pour tout entier }\:n,\quad  u_{n+1} = 2 + 0,8 u_n.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le nombre de filles licenciées à chacune des dates suivantes : au 1\up{er} octobre 2013, au 1\up{er} novembre 2013 et au 1\up{er} décembre 2013.
		\item $p_1$ désigne le pourcentage d'augmentation du nombre de filles licenciées entre le 1\up{er} septembre et le 1\up{er} octobre 2013.
		
$p_2$ désigne le pourcentage d'augmentation du nombre de filles licenciées entre le 1\up{er} octobre et le 1\up{er} novembre 2013.

$p_3$ désigne le pourcentage d'augmentation du nombre de filles licenciées entre le 1\up{er}
novembre et le 1\up{er} décembre 2013.

Donner les valeurs approchées à $10^{-2}$ près de $p_1,\: p_2$ et $p_3$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ définie par: pour tout entier $n, \:v_n = 10 - u_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $v_0$.
		\item Justifier que la suite $\left(v_n\right)_{n\in \N}$ est une suite géométrique de raison $q = 0,8$.
		
Détailler le calcul.
		\item Exprimer, pour tout entier $n,\: v_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item Justifier alors que, pour tout entier $n,\: u_n = 10 - 5,5 \times  0,8^n$.
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n$. Justifier la réponse.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la plus petite valeur $n_0$ de l'entier $n$ tel que : $5,5 \times  0,8^n \leqslant  1$.
		
Justifier soigneusement la réponse.
		\item À quelle date le nombre de filles licenciées dans les clubs français de water-polo
aura-t-il doublé par rapport à celui du 1\up{er} septembre 2013 ?
		
Justifier soigneusement votre raisonnement.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{EXERCICE IV}
 
\medskip

\textbf{Dans tout l'exercice, pour chaque probabilité ou chaque pourcentage demandé, on
donnera une valeur approchée à \boldmath $10^{-3}$\unboldmath{} près.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude sur tous les nageurs français de haut niveau a montré que leur taille, mesurée en
centimètres, pouvait être représentée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de
moyenne $m = 190$ et d'écart-type $\sigma = 7$.

On choisit au hasard un nageur français de haut niveau.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité $P_1$ que ce nageur mesure plus de 195~cm.
\item Donner la probabilité $P_2$ que ce nageur mesure moins de 180~cm.
\item Donner la probabilité $P_3$ que ce nageur mesure entre 180~cm et 195~cm.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
Le tableau ci-dessous donne la taille, en centimètres, et le poids, en kilogrammes, d'un échantillon de $14$~nageurs français de haut niveau. La taille et le poids de chaque nageur sont arrondis à une unité près.
 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering\arraybackslash\footnotesize}X|}}\hline
Nom				& Agnel	& Bernard	& Bousquet	& Coelho&Giot		&Horth	&Joly\\ \hline
Poids (en kg)	& 90	& 90		& 86		& 74	& 85		& 80	& 70\\ \hline
Taille (en cm)	& 200	& 196		& 188		& 182	& 198		& 185	& 188\\\hline\hline
Nom				&Lacourt& Lefert	&Leveaux	&Manaudou&Ress		&Sauvage&Steimetz\\ \hline
Poids (en kg)	& 85	& 68		& 92		& 99	& 78		& 82	& 83\\ \hline
Taille (en cm)	& 200	& 185		&202		& 199	& 183		& 184	& 191\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner le poids moyen $m_p$ et la taille moyenne $m_r$ des nageurs de cet échantillon.
\item Donner le pourcentage $Q_1$ de nageurs de cet échantillon qui mesurent entre $186$~cm
et 190~cm.
\item Donner le pourcentage $Q_2$ de nageurs de cet échantillon qui pèsent plus de $91$~kg.
\item Donner le pourcentage $Q_3$ de nageurs de cet échantillon qui pèsent moins de $91$~kg
et mesurent plus de $186$~cm.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère maintenant la population totale des nageurs français ayant une licence de natation.
On suppose que la probabilité qu'un nageur, choisi au hasard dans cette population, pèse plus
de $91$~kg est égale à $0,3$.

Un entraineur doit constituer, pour une compétition amicale, une équipe de $10$~nageurs. Pour
cela, il choisit au hasard $10$~nageurs dans la population décrite ci-dessus. On suppose que cette
population est suffisamment importante pour que les choix des nageurs puissent être supposés
indépendants les uns des autres.

On note $Y$ la variable aléatoire représentant, parmi les 10~nageurs choisis, le nombre de nageurs
pesant plus de $91$~kg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $Y$ suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi.
\item Donner la probabilité $R_1$ que l'équipe ne contienne aucun nageur pesant plus de
91~kg.
\item Donner la probabilité $R_2$ que l'équipe contienne au moins un nageur pesant plus
de 91~kg.
\end{enumerate}
\hypertarget{Index}{}
\printindex
\end{document}