%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{makeidx} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{fancybox} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx,array} \usepackage{colortbl} \usepackage{multirow} \usepackage{textcomp} \usepackage{enumitem} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-eucl,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \setlength{\headheight}{13.59999pt} \addtolength{\topmargin}{-1.59999pt} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \def\e{\text{e}} \def\i{\text{i}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \makeindex \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips,colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Baccalauréat S - 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Baccalauréat S : l'intégrale 2015}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\huge\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S 2015~\decofourright\\ [14pt] L'intégrale d'avril 2015 à mars 2016}} \vspace{1cm} Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large \textcolor{blue}{bleus}} \end{center} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X} \hyperlink{Pondichery}{Pondichéry 17 avril 2015} \dotfill \pageref{Pondichery}\\ \hyperlink{Liban}{Liban 27 mai 2015} \dotfill \pageref{Liban}\\ \hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord 2 juin 2015} \dotfill \pageref{AmeriqueNord}\\ \hyperlink{Centresetrangers}{Centres étrangers 10 juin 2015} \dotfill \pageref{Centresetrangers}\\ \hyperlink{Polynesie}{Polynésie 12 juin 2015} \dotfill \pageref{Polynesie}\\ \hyperlink{Asie}{Asie 16 juin 2015} \dotfill \pageref{Asie}\\ \hyperlink{Antilles}{Antilles-Guyane 22 juin 2015} \dotfill \pageref{Antilles}\\ \hyperlink{Metropole}{Métropole 22 juin 2015} \dotfill \pageref{Metropole}\\ \hyperlink{Metropolesep}{Métropole 9 septembre 2015} \dotfill\pageref{Metropolesep} \\ \hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie 9 septembre 2015} \dotfill \pageref{Polynesiesep} \\ \hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane 10 septembre 2015}\dotfill\pageref{Antillessep}\\ \hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015}\dotfill\pageref{Caledonienov}\\ \hyperlink{AmeriSud}{Amérique du Sud 24 novembre 2015} \dotfill\pageref{AmeriSud} \\ \hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle-Calédonie 5 mars 2016} \dotfill \pageref{Caledoniemars}\end{tabularx} \vspace{1cm}\hyperlink{Index}{À la fin index des notions abordées} À la fin de chaque exercice cliquez sur * pour aller à l'index \newpage ~ \newpage %%%%%%%%%%% Pondichéry 17 avril 2015 \hypertarget{Pondichery}{} \label{Pondichery} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{17 avril 2015}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Pondichéry 17 avril 2015~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}.\]\index{fonction avec exponentielle} Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal \Oij, la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et la droite $\Delta$ d'équation $y = 3$. \begin{center} \psset{unit=1.3cm,arrowsize=2pt 3} \def\pshlabel#1{\small#1} \def\psvlabel#1{\small#1} \begin{pspicture}(-2.75,-1)(5,4) \psframe(-2.75,-1)(5,4) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2.75,-0.99)(4.99,3.99) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \psline[linewidth=1.25pt](-2.75,3)(5,3) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.75}{4}{3 2.71828 x 2 neg mul exp 1 add div} \uput[u](-1,0.5){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](-2,3){$\Delta$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$. \item Justifier que la droite $\Delta$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.\index{asymptote} \item Démontrer que l'équation $f(x) = 2,999$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$. Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = 3 - f(x)$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que la fonction $h$ est positive sur $\R$. \item On désigne par $H$ la fonction définie sur $\R$ par $H(x) = - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2x}\right)$. Démontrer que $H$ est une primitive de $h$ sur $\R$.\index{primitive} \item Soit $a$ un réel strictement positif. \begin{enumerate} \item Donner une interprétation graphique de l'intégrale $\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x$.\index{aire et intégrale} \item Démontrer que $\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x = \dfrac{3}{2} \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)$. \item On note $\mathcal{D}$ l'ensemble des points $M(x~;~y)$ du plan défini par $\left\{\begin{array}{l c l} x&\geqslant & 0\\ f(x) &\leqslant y&\leqslant 3 \end{array}\right.$ Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine $\mathcal{D}$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation \[u_{n+1} = au_n + b\quad (a \:\:\text{et}\:\: b\:\: \text{réels non nuls tels que }\:a \ne 1).\]\index{suite} On pose, pour tout entier naturel $n,\quad v_n = u_n - \dfrac{b}{1 - a}$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $a$.\index{suite géométrique} \item En déduire que si $a$ appartient à l'intervalle $]-1~;~1[$, alors la suite $\left(u_n\right)$ a pour limite $\dfrac{b}{1 - a}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80~cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30~cm au cours des douze mois suivants. Dès qu'il rentre chez lui, Max taille sa plante. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ? \item Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ la hauteur de la plante, avant sa taille, en mars de l'année $(2015 + n)$. \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout entier naturel $n,\quad h_{n+1} = 0,75h_n + 30$. \item Conjecturer à l'aide de la calculatrice le sens de variations de la suite $\left(h_n\right)$. Démontrer cette conjecture (on pourra utiliser un raisonnement par récurrence). \item La suite $\left(h_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier la réponse.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment} \medskip \textbf{Partie A \quad Étude de la durée de vie d'un appareil électroménager} \medskip Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d'un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~ \sigma^2\right)$ de moyenne $\mu = 84$ et d'écart-type $\sigma$. De plus, on a $P(X \leqslant 64) = 0,16$. \index{loi normale} La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $X$ est donnée ci-dessous \begin{center} \psset{xunit=0.07cm, yunit=200cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true} \def\xmin {5} \def\xmax {165} \def\ymin {-0.0047} \def\ymax {0.02} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \def\m{84}% moyenne \def\s{20}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \def\inf{\xmin} \def\sup{64} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20] { \psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0) \closepath % indispensable ! } \psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{\xmin}{\xmax}{\f} \uput{12pt}[d](\sup,0.0013){\footnotesize \blue \sup} %\uput[d](\inf,0){\footnotesize \blue \inf} \multido{\n=10+10}{15} { \uput[d](\n,0){\footnotesize \n} \psline(\n,0.0005)(\n,-0.0005) } \psline(\m,0.0007)(\m,-0.0007) \rput(55,0.003){\bf 16\,\%} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En exploitant le graphique, déterminer $P(64 \leqslant X \leqslant 104)$. \item Quelle valeur approchée entière de $\sigma$ peut-on proposer ? \end{enumerate} \item On note $Z$ la variable aléatoire définie par $Z = \dfrac{X - 84}{\sigma}$. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité suivie par $Z$ ? \item Justifier que $P(X \leqslant 64) = P \left(Z \leqslant \dfrac{- 20}{\sigma}\right)$. \item En déduire la valeur de $\sigma$, arrondie à $10^{-3}$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on considère que $\sigma = 20,1$. Les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-3}$. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5~ans. \item Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Étude de l'extension de garantie d'El'Ectro} \medskip Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années. L'entreprise El'Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans supplémentaires. Des études statistiques menées \textbf{sur les clients qui prennent l'extension de garantie} montrent que 11,5\,\% d'entre eux font jouer l'extension de garantie. \medskip \begin{enumerate} \item On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l'extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients). \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée. Arrondir à $10^{-3}$. \item Quelle est la probabilité qu'au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie ? Arrondir à $10^{-3}$. \end{enumerate} \item L'offre d'extension de garantie est la suivante : pour 65~euros supplémentaires, El'Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399~euros, \textbf{si une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la cinquième année}. Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la panne est réparable. On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l'extension de garantie, et on note $Y$ la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client par l'entreprise El'Ectro, grâce à l'extension de garantie. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que $Y$ prend les valeurs $65$ et $- 334$ puis donner la loi de probabilité de $Y$. \item Cette offre d'extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l'entreprise ? Justifier.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit un cube ABCDEFGH d'arête 1.\index{géométrie dans l'espace} Dans le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}},~\vect{\text{AE}}\right)$, on considère les points M, N et P de coordonnées respectives M$\left(1~;~1~;~\dfrac{3}{4}\right)$,\: N$\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$,\: P$\left(1~;~0~;~- \dfrac{5}{4}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Placer M, N et P sur la figure donnée en annexe. \item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{MN}}$ et $\vect{\text{MP}}$. En déduire que les points M, N et P ne sont pas alignés. \item On considère l'algorithme 1 donné en annexe.\index{algorithme} \begin{enumerate} \item Exécuter \emph{à la main} cet algorithme avec les coordonnées des points M, N et P données ci-dessus. \item À quoi correspond le résultat affiché par l'algorithme ? Qu'en déduire pour le triangle MNP ? \end{enumerate} \item On considère l'algorithme 2 donné en annexe. Le compléter pour qu'il teste et affiche si un triangle MNP est rectangle et isocèle en M.\index{algorithme} \item On considère le vecteur $\vect{n}(5~;~- 8~;~4)$ normal au plan (MNP). \begin{enumerate} \item Déterminer une équation cartésienne du plan (MNP).\index{equation de plan@équation de plan} \item On considère la droite $\Delta$ passant par F et de vecteur directeur $\vect{n}$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite} \end{enumerate} \item Soit K le point d'intersection du plan (MNP) et de la droite $\Delta$. \begin{enumerate} \item Démontrer que les coordonnées du point K sont $\left(\dfrac{4}{7}~;~\dfrac{24}{35}~;~\dfrac{23}{35}\right)$. \item On donne FK $= \sqrt{\dfrac{27}{35}}$. Calculer le volume du tétraèdre MNPF{}.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidat ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Les nombres de la forme $2^n - 1$ où $n$ est un entier naturel non nul sont appelés \textbf{nombres de Mersenne}.\index{arithmétique} \medskip \begin{enumerate} \item On désigne par $a,\: b$ et $c$ trois entiers naturels non nuls tels que PGCD$(b~;~c) = 1$. Prouver, à l'aide du théorème de Gauss, que :\index{théorème de Gauss} \begin{center}si $b$ divise $a$ et $c$ divise $a$ alors le produit $bc$ divise $a$.\end{center} \item On considère le nombre de Mersenne $2^{33} - 1$. Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous. \begin{center} \renewcommand\arraystretch{1.25} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline $\left(2^{33} - 1 \right)\div 3$&\\ &2863311530\\ $\left(2^{33} - 1 \right)\div 4$&\\ &2147483648\\ $\left(2^{33} - 1 \right)\div 12$&\\ &715827882,6\\\hline \end{tabularx} \renewcommand\arraystretch{1} \end{center} Il affirme que 3 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 4 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 12 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$. \begin{enumerate} \item En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question \textbf{1.} ? \item Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$. \item En remarquant que $2 \equiv - 1\quad [3]$, montrer que, en réalité, 3 ne divise pas $2^{33} - 1$. \item Calculer la somme $S = 1+2^3 + \left(2^3\right)^2 + \left(2^3\right)^3 + \cdots + \left(2^3\right)^{10}$. \item En déduire que 7 divise $2^{33} - 1$. \end{enumerate} \item On considère le nombre de Mersenne $2^7 - 1$. Est-il premier ? Justifier. \item On donne l'algorithme suivant où MOD$(N,~k)$ représente le reste de la division euclidienne de $N$ par $k$.\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline Variables :& $n$ entier naturel supérieur ou égal à 3\\ &$k$ entier naturel supérieur ou égal à 2\\ Initialisation :& Demander à l'utilisateur la valeur de $n$.\\ &Affecter à $k$ la valeur 2.\\ Traitement :& Tant que MOD$\left(2^n - 1,~k\right) \ne 0$ et $k \leqslant \sqrt{2^n -1}$\\ &\hspace{1cm} Affecter à $k$ la valeur $k + 1$\\ &Fin de Tant que.\\ Sortie :&\textbf{Afficher} $k$.\\ &Si $k > \sqrt{2^n -1}$\\ &\hspace{1cm}\textbf{Afficher} \og CAS 1 \fg\\ &Sinon\\ &\hspace{1cm}\textbf{Afficher} \og CAS 2 \fg\\ &Fin de Si\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Qu'affiche cet algorithme si on saisit $n = 33$ ? Et si on saisit $n = 7$ ? \item Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente alors le nombre $k$ affiché pour le nombre de Mersenne étudié ? \item Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE à remettre avec la copie} \vspace{1cm} \textbf{EXERCICE 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \vspace{0,5cm} \psset{xunit=1cm,yunit=0.9cm} \begin{pspicture}(7.6,8) \pspolygon(0.5,6)(0.5,0.8)(4.5,0.3)(4.5,5.5)%EABF \psline(4.5,0.3)(6.7,1.7)(6.7,6.9)(4.5,5.5)%BCGF \psline(6.7,6.9)(2.7,7.4)(0.5,6)%GHE \psline[linestyle=dashed](0.5,0.8)(2.7,2.2)(2.7,7.4)%ADH \psline[linestyle=dashed](2.7,2.2)(6.7,1.7)%DC \uput[dl](0.5,0.8){A} \uput[d](4.5,0.3){B} \uput[r](6.7,1.7){C} \uput[ul](2.7,2.2){D} \uput[ul](0.5,6){E}\uput[u](4.5,5.5){F}\uput[ur](6.7,6.9){G}\uput[u](2.7,7.4){H} \end{pspicture} \vspace{4cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.2cm}|X|} \multicolumn{1}{c}{Algorithme 1}&\multicolumn{1}{m{0.2cm}}{}&\multicolumn{1}{c}{Algorithme 2 (à compléter)}\\ \cline{1-1}\cline{3-3} Saisir $x_{\text{M}}, y_{\text{M}}, z_{\text{M}}, x_{\text{N}}, y_{\text{N}}, z_{\text{N}}, x_{\text{P}}, y_{\text{P}}, z_{\text{P}}$&&Saisir $x_{\text{M}}, y_{\text{M}}, z_{\text{M}}, x_{\text{N}}, y_{\text{N}}, z_{\text{N}}, x_{\text{P}}, y_{\text{P}}, z_{\text{P}}$\\ $d$ prend la valeur $x_{\text{N}} - x_{\text{M}}$&&$d$ prend la valeur $x_{\text{N}} - x_{\text{M}}$\\ $e$ prend la valeur $y_{\text{N}} - y_{\text{M}}$&&$e$ prend la valeur $y_{\text{N}} - y_{\text{M}}$\\ $f$ prend la valeur $z_{\text{N}} - z_{\text{M}}$&&$f$ prend la valeur $z_{\text{N}} - z_{\text{M}}$\\ $g$ prend la valeur $x_{\text{P}} - x_{\text{M}}$&&$g$ prend la valeur $x_{\text{P}} - x_{\text{M}}$\\ $h$ prend la valeur $y_{\text{P}} - y_{\text{M}}$&&$h$ prend la valeur $y_{\text{P}} - y_{\text{M}}$\\ $i$ prend la valeur $z_{\text{P}} - z_{\text{M}}$&&$i$ prend la valeur $z_{\text{P}} - z_{\text{M}}$\\ $k$ prend la valeur $d \times g + e \times h + f \times i$&&$k$ prend la valeur $d \times g + e \times h + f \times i$\\ Afficher $k$&&\\ \cline{1-1} \multicolumn{1}{c}{}&&\\ \multicolumn{1}{c}{}&&\\ \multicolumn{1}{c}{}&&\\ \cline{3-3} \end{tabularx} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Pondichéry 17 avril 2015 \newpage %%%%%%%%%%% Liban 27 mai 2015 \hypertarget{Liban}{} \label{Liban} \lfoot{\small{Liban}} \rfoot{\small{27 mai 2015}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Liban 27 mai 2015~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip ABCDEFGH est un cube.\index{géométrie dans l'espace} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7.5,6.5) \psframe(0.5,0.5)(4.5,4.5)%BCGF \psline(4.5,0.5)(6.4,1.9)(6.4,5.9)(4.5,4.5)%CDHG \psline(6.4,5.9)(2.4,5.9)(0.5,4.5)%HEF \psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted](0.5,0.5)(2.4,1.9)(2.4,5.9)%BAE \psline[linewidth=1.25pt,linestyle=dotted](2.4,1.9)(6.4,1.9)%AD \uput[ur](2.4,1.9){A} \uput[dl](0.5,0.5){B} \uput[dr](4.5,0.5){C} \uput[r](6.4,1.9){D} \uput[u](2.4,5.9){E} \uput[l](0.5,4.5){F} \uput[dr](4.5,4.5){G} \uput[ur](6.4,5.9){H} \uput[ul](1.45,1.2){I} \uput[u](4.4,5.9){J} \uput[d](2.5,0.5){K} \uput[r](4.5,2.5){L} \psdots(2.4,1.9)(0.5,0.5)(4.5,0.5)(6.4,1.9)(2.4,5.9)(0.5,4.5)(4.5,4.5)(6.4,5.9) (1.45,1.2)(4.4,5.9)(2.5,0.5)(4.5,2.5) \end{pspicture} \end{center} I est le milieu du segment [AB], J est le milieu du segment [EH], K est le milieu du segment [BC] et L est le milieu du segment [CG]. On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la droite (FD) est orthogonale au plan (IJK). \item En déduire une équation cartésienne du plan (IJK).\index{equation de plan@équation de plan} \end{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (FD).\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite} \item Soit $M$ le point d'intersection de la droite (FD) et du plan (IJK). Déterminer les coordonnées du point $M$. \item Déterminer la nature du triangle IJK et calculer son aire. \item Calculer le volume du tétraèdre FIJK. \item Les droites (IJ) et (KL) sont-elles sécantes ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip On définit la suite $\left(u_n\right)$ de la façon suivante : \index{suite} pour tout entier naturel $n$,\quad $u_n = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^n}{1 + x} \:\text{d}x$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $u_0 = \displaystyle\int_0^1 \dfrac{1}{1 + x} \:\text{d}x$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} + u_n = \dfrac{1}{n + 1}$. \item En déduire la valeur exacte de $u_1$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin qu'il affiche en sortie le terme de rang $n$ de la suite $\left(u_n\right)$ où $n$ est un entier naturel saisi en entrée par l'utilisateur.\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|m{2.2cm}X|}\hline Variables :& $i$ et $n$ sont des entiers naturels\\ &$u$ est un réel\\ Entrée :& Saisir $n$\\ Initialisation :& Affecter à $u$ la valeur \ldots\\ Traitement :& Pour $i$ variant de 1 à \ldots\\ &\hspace{0.4cm}$|$Affecter à $u$ la valeur \ldots\\ &Fin de Pour\\ Sortie :& Afficher $u$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item À l'aide de cet algorithme, on a obtenu le tableau de valeurs suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash }X|}}\hline $n$ & 0 &1 &2 &3 &4 &5 &10 &50 &100\\ \hline $u_n$&\np{0,6931}&\np{0,3069}&\np{0,1931}&\np{0,1402}&\np{0,1098}&\np{0,0902}&\np{0,0475}&\np{0,0099} &\np{0,0050}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Quelles conjectures concernant le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ peut-on émettre ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. \item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \end{enumerate} \item On appelle $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Démontrer que $\ell = 0$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \medskip On considère la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = \text{e}^x$, tracée ci-dessous.\index{fonction exponentielle} \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-5,-2)(3,5) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt,gridcolor=cyan] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-2)(3,5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{1.6}{2.71828 x exp} \uput[r](1.3,4.1){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} Pour tout réel $m$ strictement positif, on note $\mathcal{D}_m$ la droite d'équation $y = mx$. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on choisit $m = \text{e}$. Démontrer que la droite $\mathcal{D}_{\text{e}}$, d'équation $y = \text{e}x$, est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1. \item Conjecturer, selon les valeurs prises par le réel strictement positif $m$, le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}_m$. \item Démontrer cette conjecture.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip En prévision d'une élection entre deux candidats A et B, un institut de sondage recueille les intentions de vote de futurs électeurs. Parmi les \np{1200}~personnes qui ont répondu au sondage, 47\,\% affirment vouloir voter pour le candidat A et les autres pour le candidat B. \medskip Compte-tenu du profil des candidats, l'institut de sondage estime que 10\,\% des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat A ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat B, tandis que 20\,\% des personnes déclarant vouloir voter pour le candidat B ne disent pas la vérité et votent en réalité pour le candidat A. \medskip On choisit au hasard une personne ayant répondu au sondage et on note : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $A$ l'évènement \og La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat A \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $B$ l'évènement \og La personne interrogée affirme vouloir voter pour le candidat B \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement \og La personne interrogée dit la vérité \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Construire un arbre de probabilités traduisant la situation.\index{arbre de probabilités} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que la personne interrogée dise la vérité. \item Sachant que la personne interrogée dit la vérité, calculer la probabilité qu'elle affirme vouloir voter pour le candidat A. \end{enumerate} \item Démontrer que la probabilité que la personne choisie vote effectivement pour le candidat A est $0,529$. \item L'institut de sondage publie alors les résultats suivants : \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|X|}\hline 52,9\,\% des électeurs* voteraient pour le candidat A.\\ *{\footnotesize estimation après redressement, fondée sur un sondage d'un échantillon représentatif de \np{1200} personnes.}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Au seuil de confiance de 95\,\%, le candidat A peut- il croire en sa victoire ? \item Pour effectuer ce sondage, l'institut a réalisé une enquête téléphonique à raison de 10 communications par demi-heure. La probabilité qu'une personne contactée accepte de répondre à cette enquête est $0,4$. L'institut de sondage souhaite obtenir un échantillon de \np{1200}~réponses. Quel temps moyen, exprimé en heures, l'institut doit-il prévoir pour parvenir à cet objectif ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un fumeur décide d'arrêter de fumer. On choisit d'utiliser la modélisation suivante : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] s'il ne fume pas un jour donné, il ne fume pas le jour suivant avec une probabilité de 0,9 ; \item[$\bullet~~$] s'il fume un jour donné, il fume le jour suivant avec une probabilité de 0,6. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On appelle $p_n$ la probabilité de ne pas fumer le $n$-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer et $q_n$, la probabilité de fumer le $n$-ième jour après sa décision d'arrêter de fumer. On suppose que $p_0 = 0$ et $q_0 = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $p_1$ et $q_1$. \item On utilise un tableur pour automatiser le calcul des termes successifs des suites $\left(p_n\right)$ et $\left(q_n\right)$. Une copie d'écran de cette feuille de calcul est fournie ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{~}&A &B &C &D\\ \hline 1 &$n$ &$p_n$ &$q_n$ &\\ \hline 2 &0 &0 &1 &\\ \hline 3 &1 & & &\\ \hline 4 &2 & & &\\ \hline 5 &3 & & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Dans la colonne A figurent les valeurs de l'entier naturel $n$. Quelles formules peut-on écrire dans les cellules B3 et C3 de façon qu'en les recopiant vers le bas, on obtienne respectivement dans les colonnes B et C les termes successifs des suites $\left(p_n\right)$ et $\left(q_n\right)$ ? \item On définit les matrices $M$ et, pour tout entier naturel $n$,\: $X_n$ par\index{matrices} \[M = \begin{pmatrix}0,9& 0,4\\0,1& 0,6\end{pmatrix}\quad \text{et}\quad X_n = \begin{pmatrix}p_n\\q_n \end{pmatrix}.\] On admet que $X_{n+1} = M \times X_n$ et que, pour tout entier naturel $n$,\: $Xn = M^n \times X_0$.\index{matrices} On définit les matrices $A$ et $B$ par $A = \begin{pmatrix}0,8&0,8\\0,2&0,2\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,2& -0,8\\-0,2&0,8\end{pmatrix}$.\index{matrices} \begin{enumerate} \item Démontrer que $M = A + 0,5B$. \item Vérifier que $A^2 = A$, et que $A \times B = B \times A = \begin{pmatrix}0& 0\\0& 0\end{pmatrix}$. On admet dans la suite que, pour tout entier naturel $n$ strictement positif, $A^n = A$ et $B^n = B$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $M^n = A + 0,5^n B$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $p_n = 0,8 - 0,8 \times 0,5^n$. \item À long terme, peut-on affirmer avec certitude que le fumeur arrêtera de fumer ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Liban 27 mai 2015 \newpage %%%%%%%%%%% \hypertarget{AmeriqueNord}{} \label{AmeriqueNord} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small 2 juin 2015} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures } \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Nord 2 juin 2015~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans l'espace, on considère une pyramide SABCE à base carrée ABCE de centre O. Soit D le point de l'espace tel que $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OB}}, \vect{\text{OD}}\right)$ soit un repère orthonormé. Le point S a pour coordonnées (0~;~0~;~3) dans ce repère.\index{géométrie dans l'espace} \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(3.5,6) \pspolygon(0.5,0.5)(2.5,0.5)(3.4,2)(1.95,5.6)%ABCS \psline(2.5,0.5)(1.95,5.6)%BS \psline[linestyle=dotted](0.5,0.5)(1.4,2)(1.95,5.6)%AES \psline[linestyle=dotted](1.4,2)(3.4,2)%EC \psline{->}(1.95,1.25)(0.5,0.5) \psline{->}(1.95,1.25)(2.5,0.5) \psline{->}(1.95,1.25)(1.95,2.7) \uput[dl](0.5,0.5){A} \uput[dr](2.5,0.5){B} \uput[ur](3.4,2){C} \uput[ul](1.4,2){E} \uput[ur](1.95,1.25){O} \uput[l](1.95,2.7){D} \uput[u](1.95,5.6){S} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Soit U le point de la droite (SB) de cote 1. Construire le point U sur la figure jointe en \textbf{annexe 1, (à rendre avec la copie)}. \item Soit V le point d'intersection du plan (AEU) et de la droite (SC). Montrer que les droites (UV) et (BC) sont parallèles. Construire le point V sur la figure jointe en \textbf{annexe 1, (à rendre avec la copie)}. \item Soit K le point de coordonnées $\left(\dfrac{5}{6}~;~- \dfrac{1}{6}~;~0\right)$. Montrer que K est le pied de la hauteur issue de U dans le trapèze AUVE. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on admet que l'aire du quadrilatère AUVE est $\dfrac{5\sqrt{43}}{18}$. \medskip \begin{enumerate} \item On admet que le point U a pour coordonnées $\left(0~;~\dfrac{2}{3}~;~1\right)$. Vérifier que le plan (EAU) a pour équation $3x - 3y + 5z - 3 = 0$. \index{equation de plan@équation de plan} \item Donner une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan (EAU) passant par le point S. \index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite} \item Déterminer les coordonnées de H, point d'intersection de la droite $(d)$ et du plan (EAU). \item Le plan (EAU) partage la pyramide (SABCE) en deux solides. Ces deux solides ont-ils le même volume ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel $n$, on définit les points $\left(A_n\right)$ par leurs coordonnées $\left(x_n~;~y_n\right)$ de la façon suivante :\index{suite} \[\left\{\begin{array}{l c l} x_0 &=&- 3\\ y_0 &=&\phantom{-}4 \end{array}\right. \quad \text{et pour tout entier naturel }\:n : \left\{\begin{array}{l c l} x_{n+1}&=&0,8x_n - 0,6y_n\\ y_{n+1}&=&0,6x_n + 0,8y_n \end{array}\right.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées des points $A_0,\: A_1$ et $A_2$. \item Pour construire les points $A_n$ ainsi obtenus, on écrit l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|X|}\hline Variables : \\ $i, x, y, t$ : nombres réels\\ \\ Initialisation :\\ $x$ prend la valeur $- 3$\\ $y$ prend la valeur 4\\ \\ Traitement :\\ Pour $i$ allant de 0 à 20\\ \hspace{1cm}Construire le point de coordonnées $(x~;~y)$\\ \hspace{1cm}$t$ prend la valeur $x$\\ \hspace{1cm}$x$ prend la valeur \ldots.\\ \hspace{1cm}$y$ prend la valeur \ldots.\\ Fin Pour \\ \hline \end{tabularx} \end{center} Recopier et compléter cet algorithme pour qu'il construise les points $A_0$ à $A_{20}$. \item À l'aide d'un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant: \begin{center} \psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-7,-6)(8,6) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-7,-6)(8,6) %\multido{\n=0+1}{20}{\psdots(5;36.8 \n mul)} \psdots(5;126.87)(5;163.74)(5;200.61)(5;237.48)(5;274.35)(5;311.22)(5;348.09)(5;24.96)(5;61.83)(5;98.7)(5;135.57)(5;172.44)(5;209.31)(5;246.18)(5;283.05)(5;319.92)(5;356.79)(5;33.66)(5;70.53) %(5;107.4)(5;144.27) \end{pspicture} \end{center} Identifier les points $A_0,\: A_1$ et $A_2$. On les nommera sur la figure jointe en \textbf{annexe 2, (à rendre avec la copie)}. Quel semble être l'ensemble auquel appartiennent les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel ? \end{enumerate} \item Le but de cette question est de construire géométriquement les points $A_n$ pour tout $n$ entier naturel. Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel $n,\: z_n = x_n + \text{i}y_n$ l'affixe du point $A_n$. \begin{enumerate} \item Soit $u_n = \left|z_n\right|$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 5$. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ? \item On admet qu'il existe un réel $\theta$ tel que $\cos(\theta) = 0,8$ et $\sin(\theta) = 0,6$. Montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $\text{e}^{\text{i}\theta }z_n = z_{n+ 1}$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,\: $z_n = \text{e}^{\text{i}n\theta }z_0$. \item Montrer que $\theta + \dfrac{\pi}{2}$ est un argument du nombre complexe $z_0$. \item Pour tout entier naturel $n$, déterminer, en fonction de $n$ et $\theta$, un argument du nombre complexe $z_n$. Représenter $\theta$ sur la figure jointe en \textbf{annexe 2, (à rendre avec la copie).} Expliquer, pour tout entier naturel $n$, comment construire le point $A_{n+ 1}$ à partir du point $A_n$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On donne les matrices $M = \begin{pmatrix}1& 1& 1\\1 &- 1& 1\\ 4 &2& 1\end{pmatrix}$ et $I = \begin{pmatrix}1 &0& 0\\0& 1& 0\\ 0 &0 &1\end{pmatrix}$. \index{matrices} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la matrice $M^2$. On donne $M^3 = \begin{pmatrix}20& 10& 11\\12& 2& 9\\42& 20& 21 \end{pmatrix}$. \item Vérifier que $M^3 = M^2 + 8M + 6I$. \item En déduire que $M$ est inversible et que $M^{-1} = \dfrac{1}{6} \left(M^2 - M - 8I\right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Étude d'un cas particulier } \medskip On cherche à déterminer trois nombres entiers $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A(1~;~1), B$( -1~;~-1)$ et C(2~;~5) \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que le problème revient à chercher trois entiers $a$, $b$ et $c$ tels que \[M\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\- 1\\5\end{pmatrix}.\] \item Calculer les nombres $a$, $b$ et $c$ et vérifier que ces nombres sont des entiers. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C Retour au cas général} \medskip Les nombres $a$, $b$, $c$, $p$, $q$, $r$ sont des entiers. Dans un repère \Oij, on considère les points A$(1~;~p)$, B$( - 1~;~q)$ et C$(2~;~r)$. On cherche des valeurs de $p$, $q$ et $r$ pour qu'il existe une parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passant par A, B et C. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que si $\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} = M^{-1}\begin{pmatrix}p\\q\\r\end{pmatrix}$ avec $a$, $b$ et $c$ entiers, alors \index{congruences} \[\left\{\begin{array}{l c l}- 3p + q + 2r&\equiv &0\:[6]\\ 3p-3q &\equiv &0 \:[6]\\ 6p + 2q-2r &\equiv & 0\: [6] \end{array}\right.\] \item En déduire que $\left\{\begin{array}{l c l} q- r &\equiv& 0 \:[3]\\ p - q &\equiv& 0 \:[2]\end{array}\right.$. \item Réciproquement, on admet que si $\left\{\begin{array}{l c l}q- r&\equiv& 0 \:[3]\\ p - q &\equiv& 0\: [2]\\ \multicolumn{3}{l}{\text{A, B, C ne sont pas alignés }} \end{array}\right.$ alors il existe trois entiers $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A, B et C. \begin{enumerate} \item Montrer que les points A, B et C sont alignés si et seulement si $2r + q - 3p = 0$. \item On choisit $p = 7$. Déterminer des entiers $q$, $r$, $a$, $b$ et $c$ tels que la parabole d'équation $y = ax^2 + bx + c$ passe par les points A, B et C.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100~grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôle. \bigskip \textbf{Partie A Contrôle avant la mise sur le marché} \medskip Une tablette de chocolat doit peser 100 grammes avec une tolérance de deux grammes en plus ou en moins. Elle est donc mise sur le marché si sa masse est comprise entre 98 et 102 grammes. La masse (exprimée en grammes) d'une tablette de chocolat peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $\mu = 100$ et d'écart-type $\sigma = 1$. Le réglage des machines de la chaîne de fabrication permet de modifier la valeur de $\sigma$.\index{loi normale} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $M$ : \og la tablette est mise sur le marché \fg. \item On souhaite modifier le réglage des machines de telle sorte que la probabilité de cet évènement atteigne 0,97. Déterminer la valeur de $\sigma$ pour que la probabilité de l'évènement \og la tablette est mise sur le marché\fg{} soit égale à $0,97$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Contrôle à la réception} \medskip Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d'humidité qui doit être de 7\,\%. On dit alors que la fève est conforme. L'entreprise a trois fournisseurs différents : le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième 30\,\% et le dernier apporte 20\,\% du stock. Pour le premier, 98\,\% de sa production respecte le taux d'humidité ; pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90\,\% de sa production est conforme, et le troisième fournit 20\,\% de fèves non conformes. On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note $F_i$ l'évènement \og la fève provient du fournisseur $i$ \fg, pour $i$ prenant les valeurs 1, 2 ou 3, et $C$ l'évènement \og la fève est conforme \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu'elle est conforme. Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$. \item Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes, L’entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que 92\,\% de fèves qu'elle achète soient conformes. Quelle proportion $p$ de fèves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Soit $u$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par \index{fonction logarithme népérien}\[u(x) = \ln(x) + x - 3.\] \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que la fonction $u$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \item Démontrer que l'équation $u(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ comprise entre 2 et 3. \item En déduire le signe de $u(x)$ en fonction de $x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \left( 1 - \dfrac{1}{x}\right) [\ln(x) - 2] + 2.\] On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, $f’(x) = \dfrac{u(x)}{x^2}$ où $u$ est la fonction définie dans la partie A. \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Soit $\mathcal{C}’$ la courbe d'équation $y = \ln (x)$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, \:$f(x) - \ln(x) = \dfrac{2 - \ln (x)}{x}$. En déduire que les courbes $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}’$ ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées. \item On admet que la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[H(x) = \dfrac{1}{2} [\ln (x)]^2\] est une primitive de la fonction $h$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}$. Calculer $I = \displaystyle\int_1^{\text{e}^2}\dfrac{2 - \ln x}{x}\:\text{d}x$ Interpréter graphiquement ce résultat.\index{aire et intégrale}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\Large Annexe} \vspace{1cm} \textbf{Annexe 1 (Exercice 1)} \vspace{2cm} \psset{unit=2.5cm,arrowsize=2pt 4} \begin{pspicture}(3,6) \pspolygon(0.5,0.5)(2.5,0.5)(3.4,2)(1.95,5.6)%ABCS \psline(2.5,0.5)(1.95,5.6)%BS \psline[linestyle=dotted](0.5,0.5)(1.4,2)(1.95,5.6)%AES \psline[linestyle=dotted](1.4,2)(3.4,2)%EC \psline{->}(1.95,1.25)(0.5,0.5) \psline{->}(1.95,1.25)(2.5,0.5) \psline{->}(1.95,1.25)(1.95,2.7) \uput[dl](0.5,0.5){A}\uput[dr](2.5,0.5){B}\uput[ur](3.4,2){C} \uput[ul](1.4,2){E}\uput[ur](1.95,1.25){O}\uput[l](1.95,2.7){D} \uput[u](1.95,5.6){S} \end{pspicture} \newpage \textbf{Annexe 2 (Exercice 2)} \vspace{2cm} \psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-7,-6)(8,6) \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-7,-6)(8,6) \psdots(5;126.87)(5;163.74)(5;200.61)(5;237.48)(5;274.35)(5;311.22)(5;348.09)(5;24.96)(5;61.83)(5;98.7)(5;135.57)(5;172.44)(5;209.31)(5;246.18)(5;283.05)(5;319.92)(5;356.79)(5;33.66)(5;70.53) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord 2 juin 2015 \newpage %%%%%%%%%%% Centres étrangers 10 juin 2015 \hypertarget{Centresetrangers}{} \label{Centresetrangers} \lfoot{\small Centres étrangers} \rfoot{\small 10 juin 2015} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,25cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2015~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \emph{Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.} \subsection*{Exercice 1 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième.\\ Les parties A, B et C sont indépendantes.} \medskip Un fournisseur produit deux sortes de cadenas. Les uns sont \emph{premier prix}, et les autres sont \emph{haut de gamme}. Un magasin de bricolage dispose d'un stock de cadenas provenant de ce fournisseur; ce stock comprend un grand nombre de cadenas de chaque type. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Le fournisseur affirme que, parmi les cadenas \emph{haut de gamme}, il n'y a pas plus de 3\,\% de cadenas défectueux dans sa production. Le responsable du magasin de bricolage désire vérifier la validité de cette affirmation dans son stock ; à cet effet, il prélève un échantillon aléatoire de 500~cadenas \emph{haut de gamme}, et en trouve 19 qui sont défectueux. \medskip Ce contrôle remet-il en cause le fait que le stock ne comprenne pas plus de 3\,\% de cadenas défectueux ? On pourra pour cela utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%. \index{intervalle de fluctuation asymptotique} \item Le responsable du magasin souhaite estimer la proportion de cadenas défectueux dans son stock de cadenas \emph{premier prix}. Pour cela il prélève un échantillon aléatoire de 500~cadenas \emph{premier prix}, parmi lesquels 39 se révèlent défectueux.\index{intervalle de confiance} \medskip Donner un intervalle de confiance de cette proportion au niveau de confiance 95\,\%. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip D'après une étude statistique faite sur plusieurs mois, on admet que le nombre $X$ de cadenas \emph{premier prix} vendus par mois dans le magasin de bricolage peut être modélisé par une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $\mu = 750$ et d'écart-type $\sigma = 25$.\index{loi normale} \medskip \begin{enumerate} \item Calculer $P(725 \leqslant X \leqslant 775)$. \item Le responsable du magasin veut connaître le nombre $n$ de cadenas \emph{premier prix} qu'il doit avoir en stock en début de mois, pour que la probabilité d'être en rupture de stock en cours de mois soit inférieure à 0,05. \emph{On ne réalimente pas le stock en cours de mois}. \medskip Déterminer la plus petite valeur de l'entier $n$ remplissant cette condition. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On admet maintenant que, dans le magasin : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 80\,\% des cadenas proposés à la vente sont \emph{premier prix}, les autres \emph{haut de gamme} ; \item[$\bullet~~$] 3\,\% des cadenas \emph{haut de gamme} sont défectueux ; \item[$\bullet~~$] 7\,\% des cadenas sont défectueux. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} On prélève au hasard un cadenas dans le magasin. On note : \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$p$ la probabilité qu'un cadenas \emph{premier prix} soit défectueux ; \item[$\bullet~~$]$H$ l'évènement : \og le cadenas prélevé est \emph{haut de gamme} \fg{} ; \item[$\bullet~~$]$D$ l'évènement : \og le cadenas prélevé est défectueux \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.\index{arbre de probabilités} \item Exprimer en fonction de $p$ la probabilité $P(D)$. En déduire la valeur du réel $p$. Le résultat obtenu est-il cohérent avec celui de la question A - 2. ? \item Le cadenas prélevé est en bon état. Déterminer la probabilité que ce soit un cadenas \emph{haut de gamme}.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \subsection*{Exercice 2 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\ Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.\\ Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} \medskip \parbox{0.7\linewidth}{\textbf{1.} Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note $S$ l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie les deux conditions : \[|z - 1| = |z - \text{i}|\quad \text{et} \quad |z - 3 - 2\text{i}| \leqslant 2.\] Sur la figure ci-contre, on a représenté le cercle de centre le point de coordonnées (3~;~2) et de rayon 2, et la droite d'équation $y = x$. Cette droite coupe le cercle en deux points A et B.}\hfill \parbox{0.28\linewidth}{\psset{unit=0.65cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-0.8,-1)(6,5.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(6,5.5) \psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.8,-0.9)(6,5.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1) \psline(-0.5,-0.5)(5.5,5.5) \pscircle(3,2){2} \uput[dl](0,0){\scriptsize O}\uput[r](1.177,1.177){\scriptsize A}\uput[d](3.823,3.823){\scriptsize B} \psdots(3,2)(1.177,1.177)(3.823,3.823) \end{pspicture*}} \medskip \textbf{Affirmation 1 :} l'ensemble $S$ est le segment [AB].\index{complexes} \textbf{2.} \textbf{Affirmation 2 :} le nombre complexe $\left(\sqrt{3} +\text{i}\right)^{\np{1515}}$ est un réel. \medskip \emph{Pour les questions $3$ et $4$, on considère les points} E(2~;~1~;~- 3), F$(1~;~-1~;~2)$ \emph{et} G$(-1~;~3~;~1)$ \emph{dont les coordonnées sont définies dans un repère orthonormé de l'espace.} \textbf{3.} \textbf{Affirmation 3 :} une représentation paramétrique de la droite (EF) est donnée par :\index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite} \[\left\{\begin{array}{l c r} x&=&2t\\ y&=&-3 + 4t,\\ z&=&7-10t \end{array}\right. t\: \in \R.\] \textbf{4.} \textbf{Affirmation 4 :} une mesure en degré de l'angle géométrique $\widehat{\text{FEG}}$, arrondie au degré, est 50\degres.\hyperlink{Index}{*} \bigskip \subsection*{Exercice 3 \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $a$ un nombre réel fixé non nul. Le but de cet exercice est d'étudier la suite $\left(u_n\right)$ définie par :\index{suite} \[u_0 = a\quad \text{et, pour tout}\: n\: \text{de}\:\: \N,\quad u_{n+1} = \text{e}^{2u_n} - \text{e}^{u_n}.\] On remarquera que cette égalité peut aussi s'écrire : $u_{n+1} = \text{e}^{u_n}\left(\text{e}^{u_n} - 1\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : \[g(x) = \text{e}^{2x} - \text{e}^{x} - x.\]\index{fonction exponentielle} \begin{enumerate} \item Calculer $g '(x)$ et prouver que, pour tout réel $x $ : $g'(x) = \left(\text{e}^{x} - 1\right)\left(2\text{e}^{x} + 1\right)$. \item Déterminer les variations de la fonction $g$ et donner la valeur de son minimum. \item En remarquant que $u_{n+1} - u_n = g\left(u_n\right)$, étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que $a \leqslant 0$. \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n \leqslant 0$. \item Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. \item Dans le cas où $a$ vaut $0$, donner la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que $a > 0$. La suite $\left(u_n\right)$ étant croissante, la question \textbf{1.} permet d'affirmer que, pour tout entier naturel $n$,\:$u_n\geqslant a$. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n \geqslant g(a)$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \geqslant a + n \times g(a)$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on prend $a = 0,02$. L'algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $u_n > M$, où $M$ désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet.\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|X|}\hline \textbf{Variables}& $n$ est un entier, $u$ et $M$ sont deux réels\\ \hline &$u$ prend la valeur $0,02$\\ \textbf{Initialisation}& $n$ prend la valeur 0\\ &Saisir la valeur de $M$\\ \hline \textbf{Traitement}&Tant que \ldots\\ &\ldots\\ &\ldots\\ &Fin tant que\\ \hline \textbf{Sortie}& Afficher $n$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Sur la copie, recopier la partie \og Traitement \fg{} en la complétant. \item À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si $M = 60$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip Le fabricant de cadenas de la marque \og K \fg{} désire imprimer un logo pour son entreprise. Ce logo a la forme d'une lettre majuscule K stylisée, inscrite dans un carré ABCD, de côté une unité de longueur, et respectant les conditions C1 et C2 suivantes: $\bullet~~$Condition C1 : la lettre K doit être constituée de trois lignes : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item une des lignes est le segment [AD] ; \item une deuxième ligne a pour extrémités le point A et un point E du segment [DC] ; \item la troisième ligne a pour extrémité le point B et un point G situé sur la deuxième ligne. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} $\bullet~~$Condition C2 : l'aire de chacune des trois surfaces délimitées par les trois lignes dessinées dans le carré doit être comprise entre $0,3$ et $0,4$, l'unité d'aire étant celle du carré. Ces aires sont notées $r$, $s$, $t$ sur les figures ci-après. \medskip Un atelier de design propose deux dessins possibles, représentés ci-dessous: \begin{center} \psset{unit=5cm} \begin{pspicture}(-0.1,-0.2)(1.1,1.1) \psframe(1,1)%ABCD \psline(0,0)(0.6666,1)%AE \psline(1,0)(0.438,0.666)%BG \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](1,0){B} \uput[ur](1,1){C} \uput[ul](0,1){D} \uput[u](0.666,1){E} \uput[r](0.438,0.666){G} \rput(0.3,0.8){$r$}\rput(0.5,0.36){$s$}\rput(0.8,0.6){$t$} \rput(0.5,-0.2){Proposition A} \end{pspicture}\hfill \psset{unit=5cm} \begin{pspicture}(-0.1,-0.2)(1.1,1.1) \psframe(1,1)%ABCD \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](1,0){B} \uput[ur](1,1){C} \uput[ul](0,1){D} \uput[u](0.859,1){E} \uput[r](0.5,0.693){G} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt]{0}{0.859}{x 2 mul 1 add ln} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt]{0.5}{1}{1 x sub x div 0.693 mul} \rput(0.25,0.7){$r$}\rput(0.5,0.25){$s$}\rput(0.8,0.6){$t$} \rput(0.5,-0.2){Proposition B} \end{pspicture} \end{center} Pour mener les études qui suivent, on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}\right)$. \bigskip \textbf{Partie A : étude de la proposition A} \medskip Dans cette proposition les trois lignes sont des segments et les trois aires sont égales : $r = s = t = \dfrac{1}{3}$. Déterminer les coordonnées des points E et G. \bigskip \textbf{Partie B : étude de la proposition B} \medskip Cette proposition est caractérisée par les deux modalités suivantes: $\bullet~~$la ligne d'extrémités A et E est une portion de la représentation graphique de la fonction $f$ définie pour tout réel $x \geqslant 0$ par : $f(x) = \ln (2x + 1)$ ;\index{fonction logarithme népérien} $\bullet~~$la ligne d'extrémités B et G est une portion de la représentation graphique de la fonction $g$ définie pour tout réel $x > 0$ par : $g(x) = k\left(\dfrac{1 - x}{x}\right)$, où $k$ est un réel positif qui sera déterminé. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'abscisse du point E. \item Déterminer la valeur du réel $k$, sachant que l'abscisse du point G est égale à $0,5$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la fonction $f$ admet pour primitive la fonction $F$ définie pour tout réel $x \geqslant 0$ par : \[F(x) = (x + 0,5) \times \ln (2x + 1) - x.\] \item Démontrer que $r = \dfrac{\text{e}}{2} - 1$. \end{enumerate} \item Déterminer une primitive $G$ de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~:~+ \infty[$. \item On admet que les résultats précédents permettent d'établir que $s = [\ln(2)]^2 + \dfrac{\ln (2) - 1}{2}$. La proposition B remplit-elle les conditions imposées par le fabricant ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \subsection*{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans cet exercice, on s'intéresse aux triplets d'entiers naturels non nuls $(x,~y,~z)$ tels que \[x ^2 + y^2 = z^2.\]\index{arithmétique} Ces triplets seront nommés \og triplets pythagoriciens \fg{} en référence aux triangles rectangles dont ils mesurent les côtés, et notés en abrégé \og TP \fg. Ainsi (3,~4,~5) est un TP car $3^2 +4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. \bigskip \textbf{Partie A : généralités} \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, si $(x,~y,~z)$ est un TP, et $p$ un entier naturel non nul, alors le triplet $(px,~py,~pz)$ est lui aussi un TP. \item Démontrer que, si $(x,~y,~z)$ est un TP, alors les entiers naturels $x$, $y$ et $z$ ne peuvent pas être tous les trois impairs. \item Pour cette question, on admet que tout entier naturel non nul $n$ peut s'écrire d'une façon unique sous la forme du produit d'une puissance de 2 par un entier impair : $n = 2^{\alpha} \times k$ où $\alpha$ est un entier naturel (éventuellement nul) et $k$ un entier naturel impair. L'écriture $n = 2^{\alpha} \times k$ est nommée \emph{décomposition} de $n$. Voici par exemple les \emph{décompositions} des entiers 9 et 120 : $9 = 2^{0} \times 9,$ $ 120 = 2^3 \times 15$. \begin{enumerate} \item Donner la décomposition de l'entier $192$. \item Soient $x$ et $z$ deux entiers naturels non nuls, dont les décompositions sont $x = 2^{\alpha} \times k$ et $z=2^{\beta} \times m$. Écrire la \emph{décomposition} des entiers naturels $2 x^2$ et $z^2$. \item En examinant l'exposant de 2 dans la \emph{décomposition} de $2x^2$ et dans celle de $z^2$ , montrer qu'il n'existe pas de couple d'entiers naturels non nuls $(x,~z)$ tels que $2x^2 = z^2$. \end{enumerate} On admet que la question \textbf{A - 3.} permet d'établir que les trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ sont deux à deux distincts. Comme de plus les entiers naturels $x,~y$ jouent un rôle symétrique, dans la suite, pour tout TP $(x,~y,~z)$, les trois entiers naturels $x$, $y$ et $z$ seront rangés dans l'ordre suivant: \[x < y < z.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : recherche de triplets pythagoriciens contenant l'entier 2015} \medskip \begin{enumerate} \item Décomposer en produit de facteurs premiers l'entier \np{2015} puis, en utilisant le TP donné dans le préambule, déterminer un TP de la forme $(x,~y,~\np{2015})$. \item On admet que, pour tout entier naturel $n$, $(2n + 1)^2 + \left(2n^2 + 2n\right)^2 = \left(2n^2 + 2n + 1\right)^2$. Déterminer un TP de la forme $(\np{2015},~y,~z)$. \item \begin{enumerate} \item En remarquant que $403^2 =169 \times 961$, déterminer un couple d'entiers naturels non nuls $(x,~z)$ tels que : $z^2 - x^2 = 403^2$, avec $x < 403$. \item En déduire un TP de la forme $(x,~ \np{2015},~z)$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Centres étrangers 10 juin 2015 \newpage %%%%%%%%%%% \hypertarget{Polynesie}{} \label{Polynesie} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{12 juin 2015}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Polynésie 12 juin 2015~\decofourright}}} \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-dessous, pour lequel AB = 6, AD = 4 et AE = 2.\index{géométrie dans l'espace} I, J et K sont les points tels que $\vect{\text{AI}} = \dfrac{1}{6} \vect{\text{AB}},\:\: \vect{\text{AJ}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{AD}},\:\: \vect{\text{AK}} = \dfrac{1}{2} \vect{\text{AE}}$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,4) %\psgrid \psframe(0.5,0)(7,2.2)%ABFE \psline(7,0)(8.6,1.1)(8.6,3.3)(7,2.2)%BCGF \psline(8.6,3.3)(2.1,3.3)(0.5,2.2)%GHE \psline[linestyle=dotted](0.5,0)(2.1,1.1)(8.6,1.1)%ADC \psline[linestyle=dotted](2.1,1.1)(2.1,3.3)%DH \uput[dl](0.5,0){A} \uput[dr](7,0){B} \uput[r](8.6,1.1){C} \uput[ur](2.1,1.1){D} \uput[ul](0.5,2.2){E} \uput[u](7,2.2){F} \uput[ur](8.6,3.3){G} \uput[u](2.1,3.3){H} \uput[d](1.583,0){I} \uput[u](0.9,0.275){J} \uput[l](0.5,1.1){K} \psdots[dotsize=3pt](1.583,0)(0.9,0.275)(0.5,1.1) \end{pspicture} \end{center} \medskip On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AI}},~ \vect{\text{AJ}},~\vect{\text{AK}}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\2\\- 9\end{pmatrix}$ est normal au plan (IJG). \item Déterminer une équation du plan (IJG).\index{equation de plan@équation de plan} \item Déterminer les coordonnées du point d'intersection L du plan (IJG) et de la droite (BF). \item Tracer la section du pavé ABCDEFGH par le plan (IJG). Ce tracé sera réalisé sur la figure donnée en \textbf{annexe à rendre avec la copie)}. On ne demande pas de justification.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv. À tout point $M$ d'affixe $z$ du plan, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par : \[z' = z^2 + 4z + 3.\]\index{transformation complexe} \begin{enumerate} \item Un point $M$ est dit invariant lorsqu'il est confondu avec le point $M'$ associé. Démontrer qu'il existe deux points invariants. Donner l'affixe de chacun de ces points sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle. \item Soit A le point d'affixe $\dfrac{- 3 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$ et B le point d'affixe $\dfrac{- 3 + \text{i}\sqrt{3}}{2}$. Montrer que OAB est un triangle équilatéral. \item Déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ d'affixe $z = x + \text{i}y$ où $x$ et $y$ sont réels, tels que le point $M'$ associé soit sur l'axe des réels. \item Dans le plan complexe, représenter les points A et B ainsi que l'ensemble $\mathcal{E}$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans un pays, la taille en centimètres des femmes de 18 à 65~ans peut être modélisée par une variable aléatoire $X_1$ suivant la loi normale d'espérance $\mu_1 = 165$~cm et d'écart-type$\sigma_1 = 6$~cm, et celle des hommes de 18 à 65 ans, par une variable aléatoire $X_2$ suivant la loi normale d'espérance $\mu_2 = 175$~cm et d'écart-type $\sigma_2 = 11$~cm. \index{loi normale} Dans cet exercice tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'une femme choisie au hasard dans ce pays mesure entre 1,53~mètre et 1,77~mètre ? \item \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité qu'un homme choisi au hasard dans ce pays mesure plus de 1,70~mètre. \item De plus, on sait que dans ce pays les femmes représentent 52\,\% de la population des personnes dont l'âge est compris entre 18 et 65 ans. On choisit au hasard une personne qui a entre 18 et 65 ans. Elle mesure plus de $1,70$~m. Quelle est la probabilité que cette personne soit une femme ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le directeur d'un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma suivant de ce toboggan en perspective cavalière. Voici ce schéma : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8.5,5.5) \psline(1,3.679)(1,0)(8,0) \psline(1,3.679)(1.5,4.879) \psline(8,0)(8.5,1.2) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8}{10 x mul 2.71828 x exp div} \def\courbe{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.pt]{1}{8}{10 x mul 2.71828 x exp div}} \rput(0.5,1.2){\courbe} \pscustom[fillstyle=hlines]{ \courbe \psline(8,0)(1,0) } \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{Partie A Modélisation} \medskip Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~8] par \[f(x) = (ax + b)\text{e}^{- x}\quad \text{où }\: a\:\: \text{et }\: b\: \text{sont deux entiers naturels.}\]\index{fonction exponentielle} La courbe $\mathcal{C}$ est tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l'unité est le mètre. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-1)(8.5,5.5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(8.5,5.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1) \psline(0,3.679)(0,0)(8,0) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8}{10 x mul 2.71828 x exp div} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item On souhaite que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse 1 soit horizontale. Déterminer la valeur de l'entier $b$. \item On souhaite que le haut du toboggan soit situé entre $3,5$ et $4$ mètres de haut. Déterminer la valeur de l'entier $a$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B Un aménagement pour les visiteurs} \medskip On admet dans la suite que la fonction $f$ introduite dans la partie A est définie pour tout réel $x \in [1~;~8]$ par \[f(x) = 10x \text{e}^{- x}.\] Le mur de soutènement du toboggan sera peint par un artiste sur une seule face, hachurée sur le schéma en début d'exercice. Sur le devis qu'il propose, celui-ci demande un forfait de 300~euros augmenté de 50~euros par mètre carré peint. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction définie sur [1~;~8] par \[g(x) = 10(- x - 1)\text{e}^{-x}.\] Déterminer la fonction dérivée de la fonction $g$. \item Quel est le montant du devis de l'artiste ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C Une contrainte à vérifier} \medskip Des raisons de sécurité imposent de limiter la pente maximale du toboggan. On considère un point $M$ de la courbe $\mathcal{C}$, d'abscisse différente de 1. On appelle $\alpha$ l'angle aigu formé par la tangente en $M$ à $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses. La figure suivante illustre la situation. \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1,-1)(8.5,5.5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,0)(8.5,5.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(1,1) \psline(0,3.679)(0,0)(8,0) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{8.5}{10 x mul 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=200]{2}{4}{5.412 1.353 x mul sub} \psline[linestyle=dotted](0.5,4.72)(2,2.7) \psline[linestyle=dotted](4,0)(4.72,-1) \psarc(4,0){0.6}{124.5}{180}\rput(3.3,0.4){$\alpha$} \psline(2,0)(2,2.7) \psline[linestyle=dotted](2,2.7)(2,3.679) \psline[linestyle=dotted](2,0)(2,-0.9) \uput[ur](2,2.7){$M$}\uput[ur](2,0){$P$}\uput[ur](4,0){$L$} \end{pspicture} \end{center} Les contraintes imposent que l'angle $\alpha$ soit inférieur à 55 degrés. \medskip \begin{enumerate} \item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~8]. On admet que, pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~8],\: $f'(x) = 10(1- x)\text{e}^{-x}$. Étudier les variations de la fonction $f'$ sur l'intervalle [1~;~8]. \item Soit $x$ un réel de l'intervalle ]1~;~8] et soit $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}$. Justifier que $\tan \alpha = \left|f'(x)\right|$. \item Le toboggan est-il conforme aux contraintes imposées ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie par \[v_1 = \ln (2) \quad \text{et, pour tout entier naturel }\: n \:\text{non nul},\: v_{n+1} = \ln \left(2 - \text{e}^{- v_n}\right).\]\index{fonction exponentielle} On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel $n$ non nul. On définit ensuite la suite $\left(S_n\right)$ pour tout entier naturel $n$ non nul par : \[S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^n v_k = v_1 + v_2 + \cdots + v_n.\] Le but de cet exercice est de déterminer la limite de $\left(S_n\right)$. \bigskip \textbf{Partie A -- Conjectures à l'aide d'un algorithme}\index{algorithme} \medskip \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'algorithme suivant qui calcule et affiche la valeur de $S_n$ pour une valeur de $n$ choisie par l'utilisateur : \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|lX|}\hline Variables : & $n$, $k$ entiers\\ &$S$, \:$v$ réels\\ Initialisation :& Saisir la valeur de $n$\\ &$v$ prend la valeur \ldots\\ &$S$ prend la valeur \ldots\\ Traitement :& Pour $k$ variant de \ldots à \ldots faire\\ &\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l} \ldots prend la valeur \ldots\\ \ldots prend la valeur \ldots \end{tabular}\\ &Fin Pour\\ Sortie :& Afficher $S$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \item À l'aide de cet algorithme, on obtient quelques valeurs de $S_n$. Les valeurs arrondies au dixième sont données dans le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ &10 &100 &\np{1000} & \np{10000} & \np{100000} & \np{1000000}\\ \hline $S_n$ &2,4&4,6 &6,9 &9,2 &11,5 &13,8\\ \hline \end{tabularx} \end{center} En expliquant votre démarche, émettre une conjecture quant au comportement de la suite $\left(S_n\right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B -- Étude d'une suite auxiliaire} \medskip Pour tout entier naturel $n$ non nul, on définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = \text{e}^{v_n}$.\index{suite} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que $u_1 = 2$ et que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n+1} = 2 - \dfrac{1}{u_n}$. \item Calculer $u_2,\: u_3$ et $u_4$. Les résultats seront donnés sous forme fractionnaire. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_n = \dfrac{n+1}{n}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C -- Étude de }\boldmath $\left(S_n\right)$\unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $v_n$ en fonction de $u_n$, puis $v_n$ en fonction de $n$. \item Vérifier que $S_3 = \ln (4)$. \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $S_n$ en fonction de $n$. En déduire la limite de la suite $\left(S_n\right)$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}-4&6\\- 3& 5\end{pmatrix}$.\index{matrices} \medskip \begin{enumerate} \item On appelle $I$ la matrice identité d'ordre 2. Vérifier que $A^2 = A + 2I$. \item En déduire une expression de $A^3$ et une expression de $A^4$ sous la forme $\alpha A + \beta I$ où $\alpha$ et $\beta$ sont des réels. \item On considère les suites $\left(r_n\right)$ et $\left(s_n\right)$ définies par $r_0 = 0$ et $s_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, \[\left\{\begin{array}{l c l} r_{n+1}&=&\phantom{2}r_n + s_n\\ s_{n+1}&=&2r_n \end{array}\right.\]\index{suite} Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: A^n = r_nA + s_nI$. \item Démontrer que la suite $\left(k_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $k_n = r_n - s_n$ est géométrique de raison $- 1$.\index{suite géométrique} En déduire, pour tout entier naturel $n$, une expression explicite de $k_n$ en fonction de $n$. \item On admet que la suite $\left(t_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $t_n = r_n + \dfrac{(- 1)^n}{3}$ est géométrique de raison 2. \index{suite géométrique} En déduire, pour tout entier naturel $n$, une expression explicite de $t_n$ en fonction de $n$. \item Déduire des questions précédentes, pour tout entier naturel $n$, une expression explicite de $r_n$ et $s_n$ en fonction de $n$. \item En déduire alors, pour tout entier naturel $n$, une expression des coefficients de la matrice $A^n$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \newpage \textbf{\large Annexe} \vspace{0.75cm} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{2cm} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1} \vspace{1cm} \psset{unit=1.4cm} \begin{pspicture}(10,4) \psframe(0.5,0)(7,2.2)%ABFE \psline(7,0)(8.6,1.1)(8.6,3.3)(7,2.2)%BCGF \psline(8.6,3.3)(2.1,3.3)(0.5,2.2)%GHE \psline[linestyle=dotted](0.5,0)(2.1,1.1)(8.6,1.1)%ADC \psline[linestyle=dotted](2.1,1.1)(2.1,3.3)%DH \uput[dl](0.5,0){A} \uput[dr](7,0){B} \uput[r](8.6,1.1){C} \uput[ur](2.1,1.1){D} \uput[ul](0.5,2.2){E} \uput[u](7,2.2){F} \uput[ur](8.6,3.3){G} \uput[u](2.1,3.3){H} \uput[d](1.583,0){I} \uput[u](0.9,0.275){J} \uput[l](0.5,1.1){K} \psdots[dotsize=3pt](1.583,0)(0.9,0.275)(0.5,1.1) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Polynésie 12 juin 2015 \newpage %%%%%%%%%%% Asie 16 juin 2015 \hypertarget{Asie}{} \label{Asie} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{16 juin 2015}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie 16 juin 2015~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. Les probabilités seront arrondies au millième.} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Un concurrent participe à un concours de tir à l'arc, sur une cible circulaire. À chaque tir, la probabilité qu'il atteigne la cible est égale à $0$,8. \medskip \begin{enumerate} \item Le concurrent tire quatre flèches. On considère que les tirs sont indépendants. Déterminer la probabilité qu'il atteigne au moins trois fois la cible. \item Combien de flèches le concurrent doit-il prévoir pour atteindre en moyenne la cible douze fois ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \parbox{0.65\linewidth}{Entre deux phases du concours, pour se perfectionner, le concurrent travaille sa précision latérale sur une autre cible d'entraînement, représentée ci-contre. Pour cela, il tire des flèches pour essayer d'atteindre une bande verticale, de largeur $20$~cm (en grisé sur la figure), le plus près possible de la ligne verticale centrale. On munit le plan contenant la bande verticale d'un repère : la ligne centrale visée est l'axe des ordonnées. On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute flèche tirée atteignant ce plan, associe l'abscisse de son point d'impact.}\hfill \parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=0.125cm} \begin{pspicture}(-18,-18)(22,18) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-10,-18)(10,18) \multido{\n=-15+5}{8}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](\n,-18)(\n,18)} \multido{\n=-15+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](-18,\n)(22,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-18,-18)(22,18) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(22,18) \psdots(-5,5)(10,-10)(15,10)%CBA \uput[ur](-5,5){C}\uput[ur](10,-10){B}\uput[ur](15,10){A} \psline[linewidth=1.25pt](-10,-18)(-10,18) \psline[linewidth=1.25pt](10,-18)(10,18) \end{pspicture}} \medskip Ainsi, par exemple : \begin{itemize} \item si la flèche atteint le point A, le tireur a raté la bande, et $X$ prend la valeur $15$ ; \item si elle atteint le point B, l'impact est à la limite de la bande, et $X$ prend la valeur $10$ ; \item si elle atteint le point C, l'impact est dans la bande et $X$ prend la valeur $- 5$. \end{itemize} \medskip On suppose que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale d'espérance $0$ et d'écart-type $10$.\index{loi normale} \medskip \begin{enumerate} \item Lorsque la flèche atteint le plan, déterminer la probabilité que son point d'impact soit situé hors de la bande grisée. \item Comment modifier les bords de la bande grisée pour faire en sorte que, lorsque la flèche atteint le plan, son point d'impact soit situé à l'intérieur de la bande avec une probabilité égale à $0,6$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip La durée de vie (exprimée en heures) du panneau électrique affichant le score des concurrents est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 10^{-4}$ (exprimé en h$^{-1}$).\index{loi exponentielle} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que le panneau fonctionne au moins pendant \np{2000}~heures ? \item \emph{Restitution organisée des connaissances} Dans cette question, $\lambda$ désigne un réel strictement positif. On rappelle que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, est définie par : E$(T) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \displaystyle\int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t$. \begin{enumerate} \item On considère la fonction $F$, définie pour tout réel $t$ par : $F(t) = \left(- t - \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda t}$. Démontrer que la fonction $F$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $f$ définie pour tout réel $t$ par : $f(t) = \lambda t\text{e}^{- \lambda t}$. \item En déduire que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$. Quelle est l'espérance de durée de vie du panneau électrique affichant le score des concurrents ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} \bigskip Dans les questions 1 et 2, on munit l'espace d'un repère orthonormé, et on considère les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ d'équations respectives $x+ y + z - 5 = 0$ et $7x - 2y + z - 2 = 0$.\index{equation de plan@équation de plan} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Affirmation 1 :} les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires. \item \textbf{Affirmation 2 :} les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ se coupent suivant la droite de représentation paramétrique : \index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite} \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{- 3}t\\ y&=&\phantom{-}2t + 1,\\ z&=&- 3t + 4 \end{array}\right.\: \:t \in \R.\] \item Un joueur de jeux vidéo en ligne adopte toujours la même stratégie. Sur les 312 premières parties jouées, il en gagne 223. On assimile les parties jouées à un échantillon aléatoire de taille $312$ dans l'ensemble des parties. On souhaite estimer la proportion de parties que va gagner le joueur, sur les prochaines parties qu'il jouera, tout en conservant la même stratégie. \textbf{Affirmation 3 :} au niveau de confiance de 95\,\%, la proportion de parties gagnées doit appartenir à l'intervalle [0,658~;~0,771].\index{intervalle de confiance} \item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline &$a$, $b$ sont deux nombres réels tels que $a < b$\\ VARIABLES & $x$ est un nombre réel\\ &$f$ est une fonction définie sur l'intervalle $[a~;~b]$\\ \hline &Lire $a$ et $b$\\ &Tant que $b-a > 0,3$\\ &\hspace{1cm}$x$ prend la valeur $\dfrac{a+ b}{2}$\\ TRAITEMENT &\hspace{1cm} Si $f(x) f(a) > 0$, alors $a$ prend la valeur $x$\\ &\hspace{3.4cm}sinon $b$ prend la valeur $x$\\ &\hspace{1cm}Fin Si\\ &Fin Tant que\\ &Afficher $\dfrac{a+ b}{2}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textbf{Affirmation 4 :} si l'on entre $a = 1,\: b = 2$ et $f(x) = x^2 - 3$, alors l'algorithme affiche en sortie le nombre \np{1,6875}.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \parbox{0.58\linewidth}{Pour tout entier naturel $n$, on définit la fonction $f_n$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] par : \[f_n(x) = x + \text{e}^{n (x - 1)}.\]\index{fonction exponentielle} On note $\mathcal{C}_n$ la représentation graphique de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal. Quelques-unes des courbes $\mathcal{C}_n$ sont représentées ci-contre. \medskip \textbf{Partie A : généralités sur les fonctions }\:\boldmath $f_n$\unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, la fonction $f_n$ est croissante et positive sur l'intervalle [0~;~1]. \item Montrer que les courbes $\mathcal{C}_n$ ont toutes un point commun A, et préciser ses coordonnées. \item À l'aide des représentations graphiques, peut-on conjecturer le comportement des coefficients directeurs des tangentes en A aux courbes $\mathcal{C}_n$ pour les grandes valeurs de $n$ ? Démontrer cette conjecture. \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.39\linewidth}{\psset{unit=4.5cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-0.15,-0.15)(1.15,2.1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,griddots=8](0,0)(2,2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(1.1,2.09) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1 x add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 1 mul exp x add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 2 mul exp x add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 3 mul exp x add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 10 mul exp x add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 50 mul exp x add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 100 mul exp x add} \uput[l](0.1,1.1){\blue $\mathcal{C}_0$}\uput[l](0.49,1.1){\blue $\mathcal{C}_1$} \uput[l](0.63,1.1){\blue $\mathcal{C}_2$}\uput[r](0.68,1.1){\blue $\mathcal{C}_3$} \uput[l](0.78,0.86){\blue $\mathcal{C}_{10}$}\uput[l](0.98,1.1){\blue $\mathcal{C}_{50}$} \uput[r](0.93,1){\blue $\mathcal{C}_{100}$} \end{pspicture*}} \medskip \textbf{Partie B : évolution de \boldmath $f_n(x) $\unboldmath\: lorsque $x$ est fixé} \medskip Soit $x$ un réel fixé de l'intervalle [0~;~1] . Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = f_n (x)$.\index{suite} \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que $x = 1$. Étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$. \item Dans cette question, on suppose que $0 \leqslant x < 1$. Étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : aire sous les courbes } \boldmath$\mathcal{C}_n$ \unboldmath \medskip Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine situé entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_n$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.\index{aire et intégrale} À partir des représentations graphiques, conjecturer la limite de la suite $\left(A_n\right)$ lorsque l'entier $n$ tend vers $+ \infty$, puis démontrer cette conjecture.\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est muni du repère orthonormé direct \Ouv. On donne le nombre complexe $\text{j} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\index{complexes} Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre j et de mettre en évidence un lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux. \bigskip \textbf{Partie A : propriétés du nombre j} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation \[z^2 + z + 1 = 0.\]\index{complexes} \item Vérifier que le nombre complexe j est une solution de cette équation. \end{enumerate} \item Déterminer le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme exponentielle. \item Démontrer les égalités suivantes: \begin{enumerate} \item j$^3 = 1$ ; \item j$^2 = - 1 - \text{j}$. \end{enumerate} \item On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1,\:j et j$^2$ dans le plan. Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $a$, $b$, $c$ trois nombres complexes vérifiant l'égalité $a+ \text{j}b + \text{j}^2 c = 0$. On note A, B, C les images respectives des nombres $a$, $b$, $c$ dans le plan. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant la question A - 3. b., démontrer l'égalité : $ a - c = \text{j}(c - b)$. \item En déduire que AC = BC . \item Démontrer l'égalité : $a - b = \text{j}^2 (b - c)$. \item En déduire que le triangle ABC est équilatéral.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip On dit qu'un entier naturel non nul $N$ est un nombre triangulaire s'il existe un entier naturel $n$ tel que : $N = 1+2+ \ldots + n$.\index{arithmétique} Par exemple, 10 est un nombre triangulaire car $10 = 1 + 2 + 3 + 4$. Le but de ce problème est de déterminer des nombres triangulaires qui sont les carrés d'un entier. \medskip On rappelle que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : \[ 1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}.\] \textbf{Partie A : nombres triangulaires et carrés d'entiers} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $36$ est un nombre triangulaire, et qu'il est aussi le carré d'un entier. \item \begin{enumerate} \item Montrer que le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $n^2 + n - 2 p^2 = 0$. \item En déduire que le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $(2n + 1)^2 - 8 p^2 = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : étude de l'équation diophantienne associée} \medskip On considère (E) l'équation diophantienne \index{equation diophantienne@équation diophantienne} \[x^2 - 8 y^2 = 1,\] où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs. \medskip \begin{enumerate} \item Donner deux couples d'entiers naturels inférieurs à 10 qui sont solution de (E). \item Démontrer que, si un couple d'entiers relatifs non nuls $(x~;~y)$ est solution de (E), alors les entiers relatifs $x$ et $y$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : lien avec le calcul matriciel} \medskip Soit $x$ et $y$ deux entiers relatifs. On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}$.\index{matrices} On définit les entiers relatifs $x'$ et $y'$ par l'égalité : $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et de $y$. \item Déterminer la matrice $A^{-1}$, puis exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$. \item Démontrer que $(x~;~y)$ est solution de (E) si et seulement si $(x'~;~y')$ est solution de (E). \item On considère les suites $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par $x_0 = 3$,\: $y_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$. On admet que, ainsi définis, les nombres $x_n$ et $y_n$ sont des entiers naturels pour toute valeur de l'entier $n$. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le couple $\left(x_n~;~y_n\right)$ est solution de (E). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie D : retour au problème initial} \medskip À l'aide des parties précédentes, déterminer un nombre triangulaire supérieur à \np{2015} qui est le carré d'un entier.\hyperlink{Index}{*} %%%%%%%%%%% fin Asie 16 juin 2015 \newpage %%%%%%%%%%% Antilles-Guyane 22 juin 2015 \hypertarget{Antilles}{} \label{Antilles} \rfoot{\small{22 juin 2015}} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Antilles-Guyane 22 juin 2015~\decofourright }}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 6 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln x$.\index{fonction logarithme népérien} Pour tout réel $a$ strictement positif, on définit sur $]0~;~+ \infty[$ la fonction $g_a$ par $g_a(x) = ax^2$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\Gamma_a$ celle de la fonction $g_a$ dans un repère du plan. Le but de l'exercice est d'étudier l'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs du réel strictement positif $a$. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On a construit en \textbf{annexe 1} (\emph{à rendre avec la copie}) les courbes $\mathcal{C}$, $\Gamma_{0,05}$, $\Gamma_{0,1}$, $\Gamma_{0,19}$ et $\Gamma_{0,4}$. \medskip \begin{enumerate} \item Nommer les différentes courbes sur le graphique. Aucune justification n'est demandée. \item Utiliser le graphique pour émettre une conjecture sur le nombre de points d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ suivant les valeurs (à préciser) du réel $a$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Pour un réel $a$ strictement positif, on considère la fonction $h_a$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[h_a(x) = \ln x - ax^2.\] \begin{enumerate} \item Justifier que $x$ est l'abscisse d'un point $M$ appartenant à l'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma_a$ si et seulement si $h_a (x) = 0.$ \item \begin{enumerate} \item On admet que la fonction $h_a$ est dérivable sur $]0~;~+ \infty[$, et on note $h'_a$ la dérivée de la fonction $h_a$ sur cet intervalle. Le tableau de variation de la fonction $h_a$ est donné ci-dessous. Justifier, par le calcul, le signe de $h'_a(x)$ pour $x$ appartenant à $]0~;~+ \infty[$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,3.25) \psframe(7,3.25)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3.25) \psline(1.1,0)(1.1,2.5)\psline(1.15,0)(1.15,2.5) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.125,2.4){$0$} \uput[u](4,2.4){$\frac{1}{\sqrt{2a}}$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$} \rput(0.5,2.25){$h'_a(x)$}\rput(2.5,2.25){$+$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$-$} \rput(0.5,1){$h_a(x)$} \uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](4,2){$\frac{- 1 - \ln (2a)}{2}$} \psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5) \end{pspicture} \end{center} \item Rappeler la limite de $\frac{\ln x}{x}$ en $+ \infty$. En déduire la limite de la fonction $h_a$ en $+ \infty$. On ne demande pas de justifier la limite de $h_a$ en $0$. \end{enumerate} \item Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = 0,1$. \begin{enumerate} \item Justifier que, dans l'intervalle $\left]0~;~\frac{1}{\sqrt{0,2}}\right]$, l'équation $h_{0,1}(x) = 0$ admet une unique solution. On admet que cette équation a aussi une seule solution dans l'intervalle $\left]\frac{1}{\sqrt{0,2}}~;~+ \infty \right[$. \item Quel est le nombre de points d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{0,1}$ ? \end{enumerate} \item Dans cette question et uniquement dans cette question, on suppose que $a = \frac{1}{2\text{e}}$. \begin{enumerate} \item Déterminer la valeur du maximum de $h_{\frac{1}{2\text{e}}}$. \item En déduire le nombre de points d'intersection des courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{\frac{1}{2\text{e}}}$. Justifier. \end{enumerate} \item Quelles sont les valeurs de $a$ pour lesquelles $\mathcal{C}$ et $\Gamma_{a}$ n'ont aucun point d'intersection ? Justifier.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$.\index{loi exponentielle} On rappelle que, pour tout réel $a$ strictement positif, \[P(X \leqslant a) = \displaystyle\int_0^a \lambda\text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t.\] On se propose de calculer l'espérance mathématique de $X$, notée $E(X)$, et définie par \[E(X) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t.\] On note $\R$ l'ensemble des nombres réels. On admet que la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(t) = - \left(t + \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda t}$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t) = \lambda t \text{e}^{- \lambda t}$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $x$ un nombre réel strictement positif. Vérifier que \[\displaystyle \int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t = \dfrac{1}{\lambda}\left(- \lambda x \text{e}^{- \lambda x} - \text{e}^{- \lambda x} + 1\right).\] \item En déduire que $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La durée de vie, exprimée en années, d'un composant électronique peut être modélisée par une variable aléatoire notée $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ avec $\lambda > 0$. La courbe de la fonction densité associée est représentée en \textbf{annexe 2}. \medskip \begin{enumerate} \item Sur le graphique de l'annexe 2 (à rendre avec la copie) : \begin{enumerate} \item Représenter la probabilité $P(X \leqslant 1)$. \item Indiquer où se lit directement la valeur de $\lambda$. \end{enumerate} \item On suppose que $E(X) = 2$. \begin{enumerate} \item Que représente dans le cadre de l'exercice la valeur de l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ ? \item Calculer la valeur de $\lambda$. \item Calculer $P(X \leqslant 2)$. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $0,01$ près. Interpréter ce résultat. \item Sachant que le composant a déjà fonctionné une année, quelle est la probabilité que sa durée de vie totale soit d'au moins trois années ? On donnera la valeur exacte. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Un circuit électronique est composé de deux composants identiques numérotés 1 et 2. On note $D_1$ l'évènement \og le composant 1 est défaillant avant un an \fg{} et on note $D_2$ l'évènement \og le composant 2 est défaillant avant un an \fg. On suppose que les deux évènements $D_1$ et $D_2$ sont indépendants et que $P\left(D_1\right) = P\left(D_2\right) = 0,39$. Deux montages possibles sont envisagés, présentés ci-dessous : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,3.4) %\psgrid \psline(0,2)(1,2)(1,2.75)(1.5,2.75)\psframe(1.5,2.25)(3,3.25)\psline(3,2.75)(3.5,2.75)(3.5,2)(4.5,2) \psline(0,2)(1,2)(1,1.25)(1.5,1.25)\psframe(1.5,0.75)(3,1.75)\psline(3,1.25)(3.5,1.25)(3.5,2) \rput(2.25,2.75){1} \rput(2.25,1.25){2} \rput(2.5,0.2){Circuit en parallèle A} \rput(7.5,0.2){ Circuit en série B} \psline(5,2)(6,2)\psframe(6,1.5)(7.5,2.5)\psline(7.5,2)(8.5,2)\psframe(8.5,1.5)(10,2.5) \rput(6.75,2){1}\rput(9.25,2){2} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Lorsque les deux composants sont montés \og en parallèle \fg, le circuit A est défaillant uniquement si les deux composants sont défaillants en même temps. Calculer la probabilité que le circuit A soit défaillant avant un an. \item Lorsque les deux composants sont montés \og en série \fg, le circuit B est défaillant dès que l'un au moins des deux composants est défaillant. Calculer la probabilité que le circuit B soit défaillant avant un an.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 4 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On appelle $\C$ l'ensemble des nombres complexes.\index{complexes} Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \Ouv{} on a placé un point $M$ d'affixe $z$ appartenant à $\C$, puis le point $R$ intersection du cercle de centre O passant par $M$ et du demi-axe $\left[\text{O}~;~ \vect{u}\right)$. \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(-3,-2.7)(3,2.7) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3,-2.7)(3,2.7) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(1,1) \pscircle(0,0){2.6} \psdots(2.6;63)(2.6;0)(0;0) \uput[ur](2.6;63){$M$} \uput[dr](2.6;0){$R$}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Exprimer l'affixe du point $R$ en fonction de $z$. \item Soit le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par \[z' = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{z + |z|}{2}\right) .\] Reproduire la figure sur la copie et construire le point $M'$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On définit la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ par un premier terme $z_0$ appartenant à $\C$ et, pour tout entier naturel $n$, par la relation de récurrence : \[z_{n + 1} = \dfrac{z_n + \left|z_n \right|}{4}.\]\index{suite de complexes} Le but de cette partie est d'étudier si le comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ dépend du choix de $z_0$. \medskip \begin{enumerate} \item Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel négatif ? \item Que peut-on dire du comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ quand $z_0$ est un nombre réel positif ? \item On suppose désormais que $z_0 $n'est pas un nombre réel. \begin{enumerate} \item Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l'infini de la suite $\left(\left|z_n\right|\right)$ ? \item Démontrer cette conjecture, puis conclure.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline Variables : &$k$ et $p$ sont des entiers naturels\\ &$u$ est un réel\\ Entrée : & Demander la valeur de $p$\\ Traitement :& Affecter à $u$ la valeur $5$\\ &\hspace{0.3mm}Pour $k$ variant de 1 à $p$\\ &\hspace{0.6mm}Affecter à $u$ la valeur $0,5u + 0,5(k - 1) - 1,5$\\ &\hspace{0.3mm}Fin de pour\\ Sortie:& Afficher $u$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Faire fonctionner cet algorithme pour $p = 2$ en indiquant les valeurs des variables à chaque étape. Quel nombre obtient-on en sortie ? \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par son premier terme $u_0 = 5$ et, pour tout entier naturel $n$ par \index{suite}\[u_{n+1} = 0,5u_n + 0,5n - 1,5.\] \begin{enumerate} \item Modifier l'algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de $u_n$ pour $n$ variant de 1 à $p$. \item À l'aide de l'algorithme modifié, après avoir saisi $p = 4$, on obtient les résultats suivants : \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$ &1 &2 &3 &4\\ \hline $u_n$ &1 &$- 0,5$ & $-0,75$ &$- 0,375$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante ? Justifier. \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, $u_{n+1} > u_n$. Que peut-on en déduire quant au sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$ ? \item Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = 0,1u_n - 0,1n + 0,5$. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,5$ et exprimer alors $v_n$ en fonction de $n$.\index{suite géométrique} \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, \[u_n = 10 \times 0,5^n + n - 5.\] \item Déterminer alors la limite de la suite $\left(u_n\right)$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Pour deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$, on note $r(a,~b)$ le reste dans la division euclidienne de $a$ par $b$.\index{arithmétique} On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l|X|}\hline Variables : & $c$ est un entier naturel\\ &$a$ et $b$ sont des entiers naturels non nuls\\ Entrées : &Demander $a$\\ &Demander $b$\\ Traitement: &Affecter à $c$ le nombre $r(a,~b)$\\ &Tant que $c \ne 0$\\ &\hspace{0.5cm}Affecter à $a$ le nombre $b$\\ &\hspace{0.5cm}Affecter à $b$ la valeur de $c$\\ &\hspace{0.5cm}Affecter à $c$ le nombre $r(a,~b)$\\ &Fin Tant que\\ Sortie : &Afficher $b$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Faire fonctionner cet algorithme avec $a = 26$ et $b = 9$ en indiquant les valeurs de $a$, $b$ et $c$ à chaque étape. \item Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls $a$ et $b$. Le modifier pour qu'il indique si deux entiers naturels non nuls $a$ et $b$ sont premiers entre eux ou non. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip À chaque lettre de l'alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre 0 et 25. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline\hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On définit un procédé de codage de la façon suivante : \textbf{Étape 1 :} on choisit deux entiers naturels $p$ et $q$ compris entre $0$ et $25$. \textbf{Étape 2 :} à la lettre que l'on veut coder, on associe l'entier $x$ correspondant dans le tableau ci-dessus. \textbf{Étape 3 :} on calcule l'entier $x'$ défini par les relations \[x' \equiv px + q\quad [26]\quad \text{et}\quad 0 \leqslant x' \leqslant 25.\]\index{congruences} \textbf{Étape 4 :} à l'entier $x'$, on associe la lettre correspondante dans le tableau. \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on choisit $p = 9$ et $q = 2$. \begin{enumerate} \item Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J. \item Citer le théorème qui permet d'affirmer l'existence de deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $9u + 26v = 1$. Donner sans justifier un couple $(u,~v)$ qui convient. \item Démontrer que $x' \equiv 9x + 2\quad [26]$ équivaut à $x \equiv 3x' + 20\quad [26]$. \item Décoder la lettre R. \end{enumerate} \item Dans cette question, on choisit $q = 2$ et $p$ est inconnu. On sait que J est codé par D. Déterminer la valeur de $p$ (on admettra que $p$ est unique). \item Dans cette question, on choisit $p = 13$ et $q = 2$. Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de ce codage ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \pagebreak \begin{landscape} \begin{center} \psset{unit=2.2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8.5,5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=12](-0.5,-0.5)(7,5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(7,5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.05 mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.1 mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.19 mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{7}{x dup mul 0.4 mul} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.4}{7}{x ln} \rput{-90}(7.5,2.5){\textbf{\large ANNEXE 1 de l'exercice 1}} \rput{-90}(8,2.5){\textbf{\large À RENDRE AVEC LA COPIE}} \end{pspicture*} \end{center} \end{landscape} \newpage \begin{center} \textbf{\large À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{0.5cm} \textbf{\large ANNEXE 2 de l'exercice 2} \vspace{1.5cm} \psset{xunit=1.2cm,yunit=12cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-0.75,-0.1)(10.5,0.7) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,0.7)} \multido{\n=0.0+0.1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.15pt](0,\n)(10,\n)} \psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(10.5,0.7) \psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.1](0,0)(0,0)(10.5,0.7) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10.5}{0.5 2.71828 0.5 x mul exp div} \uput[u](10.3,0){$x$}\uput[l](0,0.68){$y$} \end{pspicture*} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane 22 juin 2015 \newpage %%%%%%%%%%% Métropole--La Réunion 22 juin 2015 \hypertarget{Metropole}{} \label{Metropole} \lfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \rfoot{\small{22 juin 2015}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole 22 juin 2015~\decofourright }}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 6 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3}$ près.} \bigskip \textbf{Partie 1} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif donné. On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \index{loi exponentielle} \[f(x) = \lambda\text{e}^{- \lambda x}.\] \begin{enumerate} \item Soit $c$ et $d$ deux réels tels que $0 \leqslant c < d$. Démontrer que la probabilité $P( c \leqslant X \leqslant d)$ vérifie $P(c \leqslant X \leqslant d) = \text{e}^{- \lambda c} - \text{e}^{- \lambda d}$. \item Déterminer une valeur de $\lambda$ à $10^{-3}$ près de telle sorte que la probabilité $P(X > 20)$ soit égale à 0,05. \item Donner l'espérance de la variable aléatoire $X$ \medskip \textbf{Dans la suite de l'exercice on prend } \boldmath$\lambda = 0,15$\unboldmath. \item Calculer $P(10 \leqslant X \leqslant 20)$. \item Calculer la probabilité de l'évènement $(X > 18)$. \end{enumerate} \item Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $16$ et d'écart type $1,95$.\index{loi normale} \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité de l'évènement $(20 \leqslant Y \leqslant 21)$. \item Calculer la probabilité de l'évènement $(Y < 11) \cup (Y > 21)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d'achat à ses clients privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant. Les bons d'achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts. Les bons d'achat verts prennent la valeur de $30$~euros avec une probabilité égale à $0,067$ ou des valeurs comprises entre $0$ et $15$~euros avec des probabilités non précisées ici. De façon analogue, les bons d'achat rouges prennent les valeurs $30$ ou $100$~euros avec des probabilités respectivement égales à $0,015$ et $0,010$ ou des valeurs comprises entre $10$ et $20$~euros avec des probabilités non précisées ici. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à $30$~euros sachant qu'il est rouge. \item Montrer qu'une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à $30$~euros vaut $0,057$. \textbf{Pour la question suivante, on utilise cette valeur.} \item Dans un des magasins de cette chaîne, sur $200$ clients privilégiés, $6$ ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à $30$~\euro. \smallskip Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition au hasard des bons d'achats dans les différents magasins de la chaîne. Ses doutes sont-ils justifiés ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 3 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans un repère orthonormé (O,~I,~J,~K) d'unité 1 cm, on considère les points A$(0~;~-1~;~5)$, B$(2~;~-1~;~5)$, C$(11~;~0~;~1)$, D$(11~;~4~;~4)$.\index{géométrie dans l'espace} \medskip Un point $M$ se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1~cm par seconde. Un point $N$ se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1~cm par seconde. À l'instant $t = 0$ le point $M$ est en A et le point $N$ est en C. On note $M_t$ et $N_t$ les positions des points $M$ et $N$ au bout de $t$ secondes, $t$ désignant un nombre réel positif. On admet que $M_t$ et $N_t$, ont pour coordonnées : $M_t(t~;~-1~;~5)$ et $N_t(11~;~0,8t~;~1 + 0,6 t)$. \medskip \emph{Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La droite (AB) est parallèle à l'un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ? \item La droite (CD) se trouve dans un plan $\mathcal{P}$ parallèle à l'un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK). Lequel ? On donnera une équation de ce plan $\mathcal{P}$.\index{equation de plan@équation de plan} \item Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan $\mathcal{P}$, coupe ce plan au point E$(11~;~-1~;~5)$. \item Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $M_tN_t^2 = 2 t^2 - 25,2 t + 138$. \item À quel instant $t$ la longueur $M_tN_t$ est-elle minimale ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation (E) d'inconnue $z$ : \index{complexes}\[z^2 - 8z + 64 = 0.\] Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. \item On considère les points A, B et C d'affixes respectives $a = 4 + 4\text{i}\sqrt{3}$,\: $b = 4 - 4\text{i}\sqrt{3}$ et $c = 8\text{i}$. \begin{enumerate} \item Calculer le module et un argument du nombre $a$. \item Donner la forme exponentielle des nombres $a$ et $b$. \item Montrer que les points A, B et C sont sur un même cercle ce de centre O dont on déterminera le rayon. \item Placer les points A, B et C dans le repère \Ouv. \end{enumerate} \smallskip Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question \textbf{2. d.} complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions. \item On considère les points A$'$, B$'$ et C$'$ d'affixes respectives $a' = a \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$, $b' = b\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $c' = c\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. \begin{enumerate} \item Montrer que $b' = 8$. \item Calculer le module et un argument du nombre $a'$. \end{enumerate} \end{enumerate} Pour la suite on admet que $a' = -4 + 4\text{i}\sqrt{3}$ et $c' = - 4\sqrt{3} + 4\text{i}$. \begin{enumerate}[start=4] \item On admet que si $M$ et $N$ sont deux points du plan d'affixes respectives $m$ et $n$ alors le milieu $I$ du segment $[MN]$ a pour affixe $\dfrac{m + n}{2}$ et la longueur $MN$ est égale à $|n - m|$. \begin{enumerate} \item On note $r$, $s$ et $t$ les affixes des milieux respectifs R, S et T des segments [A$'$B],\: [B$'$C] et [C$'$A]. Calculer $r$ et $s$. On admet que $t = 2 - 2\sqrt{3} + \text{i}\left(2 + 2\sqrt{3}\right)$. \item Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ? Justifier ce résultat.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'équation (E) à résoudre dans $\Z$ : \index{arithmétique}\[7 x - 5 y = 1.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que le couple (3~;~4) est solution de (E). \item Montrer que le couple d'entiers $(x~;~y)$ est solution de (E) si et seulement si $7(x - 3) = 5(y - 4)$. \item Montrer que les solutions entières de l'équation (E) sont exactement les couples $(x~;~y)$ d'entiers relatifs tels que : \[\left\{\begin{array}{l c l} x &=&5k + 3\\ y &=&7k + 4 \end{array}\right.\:\text{où}\: k \in \Z.\] \end{enumerate} \item Une boîte contient 25 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 25 jetons il y a $x$ jetons rouges et $y$ jetons verts. Sachant que $7x - 5 y = 1$, quels peuvent être les nombres de jetons rouges, verts et blancs ? \smallskip Dans la suite, on supposera qu'il y a 3 jetons rouges et 4 jetons verts. \item On considère la marche aléatoire suivante d'un pion sur un triangle ABC. À chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les 25, puis on le remet dans la boîte. $\bullet~~$Lorsqu'on est en A : Si le jeton tiré est rouge, le pion va en B. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en A. $\bullet~~$Lorsqu'on est en B : Si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en C. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en B. $\bullet~~$Lorsqu'on est en C : Si le jeton tiré est rouge, le pion va en A. Si le jeton tiré est vert, le pion va en B. Si le jeton tiré est blanc, le pion reste en C. Au départ, le pion est sur le sommet A. Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$,\: $b_n$ et $c_n$ les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets A, B et C à l'étape $n$. On note $X_n$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}a_n& b_n& c_n\end{pmatrix}$ et $T$ la matrice $\begin{pmatrix}0,72 &0,12 &0,16\\ 0,12 &0,72 &0,16\\ 0,12& 0,16& 0,72\end{pmatrix}$. Donner la matrice ligne $X_0$ et montrer que, pour tout entier naturel $n$,\: \index{matrices} $X_{n+1} = X_nT$. \item On admet que $T = PDP^{-1}$ où $P^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{3}{10}&\frac{37}{110}&\frac{4}{11}\\ \frac{1}{10}&- \frac{1}{10}&0\\0&\frac{1}{11}&- \frac{1}{11}\end{pmatrix}$ et $D = \begin{pmatrix}1&0&0&\\0&0,6&0\\0&0&0,56\end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice $P$. On pourra remarquer qu'ils sont entiers. \item Montrer que $T^n = PD^nP^{-1}$. \item Donner sans justification les coefficients de la matrice $D^n$. On note $\alpha_n,\:\beta_n,\:\gamma_n$ les coefficients de la première ligne de la matrice $T^n$ ainsi : \[T^n = \begin{pmatrix}\alpha_n&\beta_n&\gamma_n\\\ldots&\ldots&\ldots\\\ldots&\ldots&\ldots\end{pmatrix}.\] On admet que $\alpha_n = \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{10} \times 0,6^n$ et $\beta_n = \dfrac{37 - 77 \times 0,6^n + 40 \times 0,56^n}{110}$. On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième ligne. \end{enumerate} \item On rappelle que, pour tout entier naturel $n$,\: $X_n = X_0T^n$. \begin{enumerate} \item Déterminer les nombres $a_n$,\: $b_n$, à l'aide des coefficients $\alpha_n$ et $\beta_n$. En déduire $c_n$. \item Déterminer les limites des suites $\left(a_n\right)$,\: $\left(b_n\right)$ et $\left(c_n\right)$. \item Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d'itérations de cette marche aléatoire ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 6 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \parbox{0.52\linewidth}{\psset{unit=0.2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(29,19) \psaxes[linewidth=1.pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(29,19) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add} \rput(7.07,7.07){\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}} \pspolygon(20,0)(27.07,7.07)(27.07,18.005)(20,10.935)%DD'C'C \psline(0,7.07)(7.07,14.14)%BB' \psline[linestyle=dashed](0,0)(7.07,7.07)(27.07,7.07) \psline[linestyle=dashed](7.07,7.07)(7.07,14.14) \uput[dl](0,0){O} \uput[ul](7.07,7.07){A} \uput[l](0,7.07){B} \uput[ul](7.07,14.14){B$'$} \uput[dr](20,10.935){C} \uput[dr](27.07,18.005){C$'$} \uput[d](20,0){D} \uput[dr](27.07,7.07){D$'$} \uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J} \end{pspicture} }\hfill \parbox{0.45\linewidth}{Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune. Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères OAD$'$D, DD$'$C$'$C, et OAB$'$B sont des rectangles. Le plan de face (OBD) est muni d'un repère orthonormé (O, I, J). L'unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, DD$'$ = 10, sa longueur OD est de 20~mètres.} \bigskip \textbf{Le but dit problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.} \medskip Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~20] par \[f(x) = (x + 1)\ln (x + 1) - 3x + 7.\]\index{fonction logarithme népérien} On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère (O, I, J). \medskip \parbox{0.56\linewidth}{\textbf{Partie 1} \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~20], on a $f'(x) = \ln (x + 1) -2$. \item En déduire les variations de $f$ sur l'intervalle [0 ; 20] et dresser son tableau de variation. \item Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.42\linewidth}{\psset{unit=0.24cm} \begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(23,13.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(23,13.5) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add} \uput[u](15,7){$\mathcal{C}$}\uput[d](20,0){D}\uput[l](0,7.07){B}\uput[dr](20,10.935){C}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){I} \uput[l](0,1){J} \end{pspicture}} \medskip La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au point B. \textbf{4.} On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~20] par \[g(x) = \dfrac{1}{2}(x + 1)^2 \ln (x + 1) - \dfrac{1}{4}x^2 - \dfrac{1}{2}x\] a pour dérivée la fonction $g'$ définie sur l'intervalle [0~;~20] par $g'(x) = (x + 1)\ln (x + 1)$. Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20]. \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip \emph{Les trois questions de cette partie sont indépendantes} \medskip \begin{enumerate} \item Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses. \setlength\parindent{9mm} \begin{description} \item[ ] P$_1$ : La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres. \item[ ] P$_2$ : L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en B qu'en C. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \item On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de 5 m$^2$ par litre. Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires. \medskip \parbox{0.5\linewidth}{ \textbf{3.} On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module. Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points $B_k(k~;~f(k))$ pour $k$ variant de 0 à 20. Ainsi, $B_0 =$ B. }\hfill \parbox{0.46\linewidth}{\psset{unit=0.2cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(29,19) \psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(29,19) \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add} \rput(7.07,7.07){\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}} \pspolygon(20,0)(27.07,7.07)(27.07,18.005)(20,10.935)%DD'C'C \psline(0,7.07)(7.07,14.14)%BB' \psline[linestyle=dashed](0,0)(7.07,7.07)(27.07,7.07) \psline[linestyle=dashed](7.07,7.07)(7.07,14.14) \uput[dl](0,0){O} \uput[ul](7.07,7.07){\footnotesize A} \uput[l](0,7.07){\footnotesize B} \uput[ul](7.07,14.14){\footnotesize B$'$} \uput[dr](20,10.935){\footnotesize C} \uput[dr](27.07,18.005){\footnotesize C$'$} \uput[d](20,0){\footnotesize D} \uput[dr](27.07,7.07){\footnotesize D$'$} \uput[d](1,0){\footnotesize I} \psline[linestyle=dotted](1,5.39)(8.07,12.46)\uput[dl](1,5.39){\footnotesize $B_1$}\uput[ur](8.07,12.46){\footnotesize $B'_1$} \psline[linestyle=dotted](2,4.3)(9.07,11.37) \uput[dl](2,4.3){\footnotesize $B_2$}\uput[ur](9.07,11.37){\footnotesize $B'_2$} \psline[linestyle=dotted](7,2.64)(14.07,9.71)\uput[dl](7,2.64){\footnotesize $B_k$}\uput[ul](14.07,9.71){\footnotesize $B'_k$} \psline[linestyle=dotted](8,2.78)(15.07,9.85)\uput[dr](9,3.03){\footnotesize $B_{k+1}$}\uput[u](16.07,10.1){\footnotesize $B'_{k+1}$} \uput[l](0,1){J} \end{pspicture}} \medskip On décide d'approcher l'arc de la courbe $\mathcal{C}$ allant de $B_k$ à $B_{k+1}$ par le segment $\left[B_kB_{k+1}\right]$. Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type $B_k B_{k+1} B'_{k+1}B'_k$ (voir figure). \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $k$ variant de 0 à 19, $B_kB_{k+1} = \sqrt{1 + [f(k + 1) - f(k)]^2}$. \item Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante.\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l|X|}\hline Variables &$S$ : réel\\ &$K$ : entier\\ Fonction &$f$ : définie par $f(x) = (x + 1)\ln(x + 1)- 3x + 7$\\ \hline Traitement &$S$ prend pour valeur $0$\\ &Pour $K$ variant de \ldots à \ldots\\ &\hspace{1cm}$S$ prend pour valeur \ldots \ldots\\ &Fin Pour\\ \hline Sortie &Afficher \ldots\\ \hline \end{tabularx} \end{center}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Métropole--La Réunion 22 juin 2015 \newpage %%%%%%%%%%% Métropole--La Réunion 9 septembre 2015 \hypertarget{Metropolesep}{} \label{Metropolesep} \rfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \lfoot{\small{9 septembre 2015}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Métropole--La Réunion 9 septembre 2015~\decofourright }}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. On ne demande pas de justification. Il est attribué $1$ point si la réponse est exacte. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas de réponse fausse.}\index{Q. C. M.} \medskip \textbf{Question 1} \parbox{0.6\linewidth}{On considère l'arbre de probabilités ci-contre :}\hfill \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=2cm} \pstree[treemode=R,nodesepB=4pt,treesep=1cm,levelsep=2.6cm]{\TR{}} { \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\ncput*{0,6}} { \TR{$B$}\ncput*{0,2} \TR{$\overline{B}$} } \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}} { \TR{$B$}\ncput*{0,3} \TR{$\overline{B}$} } } }\index{arbre de probabilités} \medskip Quelle est la probabilité de l'évènement $B$ ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,12&\textbf{b.~~} 0,2&\textbf{c.~~} 0,24 &\textbf{d.~~} 0,5 \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 2} Le césium 137 est un élément radioactif qui constitue une des principales sources de radioactivité des déchets des réacteurs nucléaires. Le temps $T$, en années, durant lequel un atome de césium 137 reste radioactif peut être assimilé à une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \dfrac{\ln 2}{30}$.\\[5pt] Quelle est la probabilité qu'un atome de césium 137 reste radioactif durant au moins 60 ans ?\index{loi exponentielle} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,125&\textbf{b.~~} 0,25&\textbf{c.~~} 0,75 &\textbf{d.~~} 0,875 \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 3} Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 110$ et d'écart-type $\sigma = 25$.\index{loi normale} Quelle est la valeur arrondie au millième de la probabilité $P( X \geqslant 135)$ ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,159&\textbf{b.~~} 0,317 &\textbf{c.~~} 0,683 &\textbf{d.~~} 0,841 \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 4} On lance une pièce de monnaie bien équilibrée 100 fois de suite. Lequel des intervalles ci-dessous est un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence d'apparition de la face pile de cette pièce ?\index{intervalle de fluctuation asymptotique} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~}[0,371~;~0,637] &\textbf{b.~~}[0,480~;~0,523]&\textbf{c.~~}[0,402~;~0,598]&\textbf{d.~~} [0,412~;~0,695] \end{tabularx} \medskip \textbf{Question 5} Une entreprise souhaite obtenir une estimation de la proportion de personnes de plus de 60 ans parmi ses clients, au niveau de confiance de 95\,\%, avec un intervalle d'amplitude inférieure à 0,05.\index{intervalle de confiance} Quel est le nombre minimum de clients à interroger ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 400 &\textbf{b.~~} 800 &\textbf{c.~~} \np{1600}&\textbf{d.~~} \np{3200} \end{tabularx}\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 7 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ telle que : \[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}\]\index{fonction exponentielle} On admet que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal du plan. La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe, \textbf{à rendre avec la copie}. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Soit la suite $\left(I_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $I_n = \displaystyle\int_0^n f(x)\:\text{d}x$.\index{suite} \smallskip On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de $I_n$ en fonction de $n$. \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est croissante. \item On admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,\: $\text{e}^x - x \geqslant \dfrac{\text{e}^x}{2}$. \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\:I_n \leqslant \displaystyle\int_0^n 2x \text{e}^{- x}\:\text{d}x$. \item Soit $H$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ telle que : \[H(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}\] Déterminer la fonction dérivée $H'$ de la fonction $H$. \item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\:I_n \leqslant 2$. \end{enumerate} \item Montrer que la suite $\left(I_n\right)$ est convergente. On ne demande pas la valeur de sa limite. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère l'algorithme suivant dans lequel les variables sont\index{algorithme} \setlength\parindent{1cm} \begin{itemize} \item $K$ et $i$ des entiers naturels, $K$ étant non nul; \item $A,\: x$ et $h$ des réels. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|}\hline Entrée : &Saisir $K$ entier naturel non nul\\ \hline Initialisation & Affecter à $A$ la valeur $0$\\ &Affecter à $x$ la valeur 0\\ &Affecter à $h$ la valeur $\dfrac{1}{K}$\\[7pt] \hline Traitement &Pour $i$ variant de 1 à $K$\\ &\hspace{0,4cm}\begin{tabular}{|l} Affecter à $A$ la valeur $A + h \times f(x)$\\ Affecter à $x$ la valeur $x + h$\\ \end{tabular}\\ &Fin Pour\\ \hline Sortie &Afficher $A$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $K = 4$. Les valeurs successives de $A$ seront arrondies au millième. \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $i$ & $A$ & $x$\\ \hline 1 & &\\ \hline 2 & &\\ \hline 3 & &\\ \hline 4 & &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item En l'illustrant sur l'annexe \textbf{à rendre avec la copie}, donner une interprétation graphique du résultat affiché par cet algorithme pour $K = 8$. \item Que donne l'algorithme lorsque $K$ devient grand ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi la spécialité} \medskip Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :\index{géométrie dans l'espace} \setlength\parindent{0.5cm} \begin{itemize} \item les points A$(0~;~1~;~-1)$ et B$(- 2~;~2~;~- 1)$. \item la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{ \begin{array}{l c l} x&=&-2 + t\\ y&=& \phantom{-}1 + t\\ z&=&-1 - t \end{array}\right. , \:t \in \R$. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).\index{représentation paramétrique de droite} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas parallèles. \item Montrer que les droites (AB) et $\mathcal{D}$ ne sont pas sécantes. \end{enumerate} \end{enumerate} Dans la suite la lettre $u$ désigne un nombre réel. On considère le point $M$ de la droite $\mathcal{D}$ de coordonnées $(-2 + u~;~1 + u~;~-1 - u)$. \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{2} \item Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x + y - z - 3u = 0$ est orthogonal à la droite $\mathcal{D}$ et passe par le point $M$. \item Montrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AB) sont sécants en un point $N$ de coordonnées $(-4 + 6u~;~3 - 3u~;~-1)$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$. \item Existe-t-il une valeur du nombre réel $u$ pour laquelle la droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite (AB) ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Exprimer $MN^2$ en fonction de $u$. \item En déduire la valeur du réel $u$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}} \textbf{Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'équation (E) : $15x - 26k = m$ où $x$ et $k$ désignent des nombres entiers relatifs et $m$ est un paramètre entier non nul.\index{equation diophantienne@équation diophantienne} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier, en énonçant un théorème, qu'il existe un couple d'entiers relatifs $(u~;~v)$ tel que $15u - 26v = 1$. Trouver un tel couple. \item En déduire une solution particulière $\left(x_0~;~k_0\right)$ de l'équation (E). \item Montrer que $(x~;~k)$ est solution de l'équation (E) si et seulement si $15\left(x - x_0\right) - 26\left(k - k_0\right) = 0$. \item Montrer que les solutions de l'équation (E) sont exactement les couples $(x~;~k)$ d'entiers relatifs tels que : \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&26q + 7m\\ k&=&15q +4m \end{array}\right.\:\text{où}\: q \in \Z.\] \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M \\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12 \\ \hline\hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13&14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On définit un système de codage : \setlength\parindent{0.5cm} \begin{itemize} \item à chaque lettre de l'alphabet, on associe l'entier $x$ correspondant, \item on associe ensuite à $x$ l'entier $y$ qui est le reste de la division euclidienne de $15x + 7$ par $26$, \item on associe à $y$ la lettre correspondante. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} Ainsi, par cette méthode, la lettre E est associée à 4, 4 est transformé en 15 et 15 correspond à la lettre P et donc la lettre E est codée par la lettre P. \medskip \begin{enumerate} \item Coder le mot \textbf{MATHS}. \item Soit $x$ le nombre associé à une lettre de l'alphabet à l'aide du tableau initial et $y$ le reste de la division euclidienne de $15x + 7$ par $26$.\index{division euclidienne} \begin{enumerate} \item Montrer alors qu'il existe un entier relatif $k$ tel que $15x - 26k = y -7$. \item En déduire que $x \equiv 7y + 3$\:\: (mod $26$). \item En déduire une description du système de décodage associé au système de codage considéré. \end{enumerate} \item Expliquer pourquoi la lettre W dans un message codé sera décodée par la lettre B. Décoder le mot WHL. \item Montrer que, par ce système de codage, deux lettres différentes sont codées par deux lettres différentes.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 3 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{1}{x}(1 + \ln x)\] \begin{enumerate} \item Dans les trois situations suivantes, on a dessiné, dans un repère orthonormé, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ et une courbe $\mathcal{C}_F$. Dans une seule situation, la courbe $\mathcal{C}_F$ est la courbe représentative d'une primitive $F$ de la fonction $f$. Laquelle ? Justifier la réponse.\index{primitive} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}} Situation 1&Situation 2\\ \psset{unit=1.3cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-0.75,-0.6)(3.6,2.1) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=5](0,-0.5)(3.5,2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.1,-0.6)(3.5,2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.3}{3.5}{x ln 1 add x div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.01}{3.5}{x ln x dup mul div neg} \uput[u](2.75,0.75){\blue$\mathcal{C}_f$} \uput[d](2.75,-0.2){$\mathcal{C}_F$} \end{pspicture*}& \psset{unit=1.3cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-0.75,-0.6)(3.6,2.1) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=5](0,-0.5)(3.5,2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.1,-0.6)(3.5,2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.3}{3.5}{x ln 1 add x div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.01}{3.5}{x ln 1 add dup mul 0.5 mul 0.5 sub} \uput[u](2.75,0.75){\blue$\mathcal{C}_f$} \uput[u](2.75,1.52){$\mathcal{C}_F$} \end{pspicture*} \end{tabularx} Situation 3 \psset{unit=1.3cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-0.75,-0.6)(3.6,2.1) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=5](0,-0.5)(3.5,2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-0.1,-0.6)(3.5,2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.3}{3.5}{x ln 1 add x div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.1}{3.5}{x 2 mul x dup mul sub 0.75 sub 2 mul} \uput[u](2.75,0.75){\blue$\mathcal{C}_f$} \uput[ur](1.5,0){$\mathcal{C}_F$} \end{pspicture*} \end{center} \item Dans la situation retenue à la question 1, on appelle : \setlength\parindent{0.5cm} \begin{itemize} \item K le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de l'axe des abscisses et $\mathcal{D}$ la droite passant par K et parallèle à l'axe des ordonnées ; \item L le point d'intersection de $\mathcal{C}_F$ et de l'axe des abscisses, ayant une abscisse supérieure à $\dfrac{1}{2}$ et $\Delta$ la droite passant par L et parallèle à l'axe des ordonnées. \end{itemize} \setlength\parindent{0cm} \begin{enumerate} \item Déterminer une valeur approchée de l'aire du domaine du plan délimité par les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$, par la courbe $\mathcal{C}_f$ et par l'axe des abscisses.\index{aire et intégrale} \item Peut-on déterminer la valeur exacte de cette aire ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE Exercice 2} \textbf{À rendre avec la copie} \medskip Courbe $\mathcal{C}$, représentative de la fonction $f$ sur [0~;~6] \medskip \psset{xunit=2cm,yunit=8cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(0,-0.3)(6,0.7) \multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.2)(\n,0.7)} \multido{\n=-0.2+0.1}{10}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,-0.2)(6,0.7) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.1](0,0)(0,-0.2)(6,0.7) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{x 2.71828 x exp x sub div} \uput[u](2.75,0.22){\blue$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \bigskip Courbe $\mathcal{C}$, représentative de la fonction $f$ sur [0~;~1] \medskip \psset{xunit=9cm,yunit=16cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(0,-0.05)(1.1,0.62) \multido{\n=0.00+0.125}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.6)} \multido{\n=0+0.1}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(1,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.25,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(1.1,0.62) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 2.71828 x exp x sub div} \uput[u](0.55,0.465){\blue$\mathcal{C}$} \uput[dl](0,0){0} \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Métropole--La Réunion 9 septembre 2015 \newpage %%%%%%%%%%% Polynésie 9 septembre 2015 \hypertarget{Polynesiesep}{} \label{Polynesiesep} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{9 septembre 2015}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S (spécialité) Polynésie 9 septembre 2015~\decofourright}}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On rappelle que la partie réelle d'un nombre complexe $z$ est notée $\Re (z)$.\index{complexes} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture exponentielle du nombre complexe $u = 1 - \text{i}$. \item Déterminer, pour tout réel $\theta$, la forme algébrique et l'écriture exponentielle du nombre complexe $\text{e}^{\text{i} \theta} (1 - \text{i})$. \item Déduire des questions précédentes que, pour tout réel $\theta$,\: $\cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on admet que, pour tout réel $\theta,\: \cos(\theta) + \sin(\theta) = \sqrt{2} \cos \left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$. \medskip On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ par :\index{fonction avec exponentielle} \[f(x) = \text{e}^{-x} \cos(x)\quad \text{et}\quad g(x) = \text{e}^{-x}.\] On définit la fonction $h$ sur $[0~;~+ \infty[$ par $h(x) = g(x) - f(x)$. Les représentations graphiques $\mathcal{C}_f,\: \mathcal{C}_g$ et $\mathcal{C}_h$ des fonctions $f,\: g$ et $h$ sont données, en annexe, dans un repère orthogonal. \medskip \begin{enumerate} \item Conjecturer: \begin{enumerate} \item les limites des fonctions $f$ et $g$ en $+\infty$ ; \item la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\mathcal{C}_g$ ; \item la valeur de l'abscisse $x$ pour laquelle l'écart entre les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ est maximal. \end{enumerate} \item Justifier que $\mathcal{C}_g$ est située au-dessus de $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. \item Démontrer que la droite d'équation $y = 0$ est asymptote horizontale aux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.\index{asymptote} \item \begin{enumerate} \item On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$,\: $h'(x) = \text{e}^{-x} \left[\sqrt{2}\cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1\right]$. \item Justifier que, sur l'intervalle $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$,\: $\sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \geqslant 0$ et que, sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2}~;~2\pi\right],$ $ \sqrt{2} \cos \left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \leqslant 0$. \item En déduire le tableau de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle $[0~;~2\pi]$. \end{enumerate} \item On admet que, sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, la fonction $H$ définie par \[H(x) = \dfrac{1}{2} \text{e}^{-x} [- 2 + \cos (x) - \sin (x)]\] est une primitive de la fonction $h$.\index{primitive} On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan délimité par les courbes $\mathcal{C_f}$ et $\mathcal{C_g}$, et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2\pi$. Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du domaine $\mathcal{D}$, exprimée en unités d'aire.\index{aire et intégrale}\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On étudie une maladie dans la population d'un pays. On a constaté que le taux, en nanogrammes par millilitre $\left(\text{ng.mL}^{-1}\right)$, d'une substance Gamma présente dans le sang est plus élevé chez les personnes atteintes de cette maladie que chez les personnes qui n'en sont pas atteintes. \medskip \begin{enumerate} \item Le taux de cette substance Gamma dans la population des personnes qui ne sont pas atteintes par la maladie est modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 40$ et d'écart-type $\sigma = 8$.\index{loi normale} On choisit au hasard une personne parmi celles qui ne sont pas atteintes par la maladie étudiée. Calculer la probabilité que le taux dans le sang de la substance Gamma soit supérieur à 60 ng.mL$^{-1}$. \item Des études ont mis en évidence que le taux moyen de la substance Gamma chez les personnes atteintes par la maladie étudiée est de 50 ng.mL$^{-1}$ et que 10\,\% d'entre elles ont un taux de substance Gamma inférieur à 43 ng.mL$^{-1}$. On appelle $T'$ la variable aléatoire qui modélise le taux de la substance Gamma en ng.mL$^{-1}$ chez une personne atteinte par la maladie étudiée. On admet que $T'$ suit la loi normale d'espérance $\mu'$ et d'écart-type $\sigma'$.\index{loi normale} Préciser la valeur de $\mu'$ et déterminer la valeur de $\sigma'$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Pour dépister chez une personne la maladie étudiée, on effectue une prise de sang. On considère que le dépistage est positif si le taux de la substance Gamma est supérieur ou égal à 45 ng.mL$^{-1}$. Une personne étant choisie au hasard dans la population, on appelle : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $M$ l'évènement \og le patient est atteint par la maladie étudiée \fg{} ; \item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement \og le patient a un dépistage positif\fg. \end{itemize} On admet que :\index{probabilités} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]82\,\% des personnes atteintes par la maladie étudiée ont un dépistage positif ; \item[$\bullet~~$]73\,\% des personnes non atteintes par cette maladie ont un dépistage négatif. \end{itemize} On sait de plus que 10\,\% de la population étudiée est atteinte par cette maladie. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que la probabilité qu'un patient ait un dépistage positif est de $0,325$. \item Calculer $P_{\overline{D}}(M)$. Interpréter ce résultat. \item Un patient a un dépistage positif. Le médecin le rassure en lui indiquant qu'il n'a qu'une chance sur quatre d'avoir contracté la maladie. Qu'en pensez- vous ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Lors du dépistage précédent, la prise de sang est effectuée chez des sujets à jeun. Les données montrent que 82\,\% des patients malades ont un dépistage positif. Pour améliorer le confort des personnes susceptibles de subir cet examen sanguin, on souhaite vérifier si le fait d'être à jeun est une condition indispensable dans le protocole. On considère un groupe de $300$~personnes malades sur lesquelles la prise de sang n'est pas effectuée à jeun. Le dépistage se révèle positif pour 74\,\% d'entre elles. Ce dépistage peut-il être effectué sur des personnes qui ne sont pas à jeun ?\hyperlink{Index}{*} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \parbox{0.57\linewidth}{ ABCDEFGH est un cube. I est le milieu de [AB], J est le milieu de [HD] et K est le milieu de [HG]. On se place dans le repère $\left(\text{A}~;~ \vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AE}}\right)$.}\hfill \parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(6,5.7) \psframe(0.2,0.2)(3.7,3.7) \psline(3.7,0.2)(5.6,1.4)(5.6,4.9)(3.7,3.7) \psline(5.6,4.9)(2.1,4.9)(0.2,3.7) \psline[linestyle=dotted](0.2,0.2)(2.1,1.4)(2.1,4.9) \psline[linestyle=dotted](2.1,1.4)(5.6,1.4) \uput[dl](0.2,0.2){A} \uput[dr](3.7,0.2){B} \uput[r](5.6,1.4){C} \uput[ur](2.1,1.4){D} \uput[ul](0.2,3.7){E} \uput[ul](3.7,3.7){F} \uput[ur](5.6,4.9){G} \uput[u](2.1,4.9){H} \uput[d](1.95,0.2){I} \uput[l](2.1,3.15){J} \uput[u](3.9,4.9){K} \psdots(1.95,0.2)(2.1,3.15)(3.9,4.9) \end{pspicture} } \medskip\index{géométrie dans l'espace} \begin{enumerate} \item Démontrer que le vecteur $\vect{\text{CE}}$ est un vecteur normal au plan (IJK). \item Démontrer que la droite (BD) est parallèle au plan (IJK). \item Soit $M$ un point de la droite (CE). Quelle est la position du point $M$ sur la droite (CE) pour laquelle le plan (BD$M$) est parallèle au plan (IJK) ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Pour tout entier naturel $n$ non nul, on appelle $S(n)$ le nombre égal à la somme des diviseurs positifs de $n$.\index{arithmétique} \medskip \begin{enumerate} \item Vérifier que $S(6) = 12$ et calculer $S(7)$. \item \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, $S(n) \geqslant 1 + n$. \item Quels sont les entiers naturels $n$ tels que $S(n) = 1 + n$ ? \end{enumerate} \item On suppose dans cette question que $n$ s'écrit $p \times q$ où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts. \begin{enumerate} \item Démontrer que $S(n) = (1 + p)(1 + q)$. \item On considère la proposition suivante : \og Pour tous entiers naturels $n$ et $m$ non nuls distincts, $S(n \times m) = S(n) \times S(m)$ \fg. Cette proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifier. \end{enumerate} \item On suppose dans cette question que l'entier $n$ s'écrit $p^k$, où $p$ est un nombre premier et $k$ un nombre entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item Quels sont les diviseurs de $n$ ? \item En déduire que $S(n) = \dfrac{1- p^{k+1}}{1- p}$. \end{enumerate} \item On suppose dans cette question que $n$ s'écrit $p^{13} \times q^7$, où $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts. \begin{enumerate} \item Soit $m$ un entier naturel. Démontrer que $m$ divise $n$ si, et seulement si, il existe deux nombres entiers $s$ et $t$ avec $0 \leqslant s \leqslant 13$ et $0 \leqslant t \leqslant 7$ tels que $m = p^s \times q^t$. \item Démontrer que $S(n) = \dfrac{1 - p^{14}}{1 - p} \times \dfrac{1 - q^8}{1 - q}$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} {\large \textbf{Annexe}} \vspace{1cm} {\large \textbf{Exercice 1}} \vspace{1cm} \psset{xunit=1.7cm,yunit=6.8cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-0.5,-0.15)(6.5,1.1) \multido{\n=0.0+0.5}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,-0.15)(\n,1.1)} \multido{\n=-0.1+0.1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(6.5,\n)} \psaxes[linewidth=1pt,Dy=0.1](0,0)(0,-0.1)(6.5,1.1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.1}{x 57 mul cos 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{6.1}{1 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{6.1}{1 x 57 mul cos sub 2.71828 x exp div} \uput[l](0.5,0.5){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput[ur](1,0.38){\red $\mathcal{C}_g$} \uput[ul](0.5,0.08){\green $\mathcal{C}_h$} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(1,1) \end{pspicture} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Polynésie 9 septembre 2015 \newpage %%%%%%%%%%% Antilles-Guyane 9 septembre 2015 \hypertarget{Antillessep}{} \label{Antillessep} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{9 septembre 2015}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{Baccalauréat S Antilles-Guyane 9 septembre 2015}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère la fonction $f_n$ définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par \[f_n(x) = x^2 \text{e}^{- 2nx}.\] On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal. On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_n = \displaystyle\int_0^1 f_n(x)\: \text{d}x$. \bigskip \textbf{Partie A : Étude de la fonction }\boldmath $f_1$ \unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item La fonction $f_1$ est définie sur $\R$ par $f_1(x) = x^2\text{e}^{-2x}$. On admet que $f_1$ est dérivable sur $\R$ et on note $f_1'$ sa dérivée. \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout réel $x,\: f_1'(x) = 2x\text{e}^{-2x}(1 - x)$. \item Étudier les variations de la fonction $f_1$ sur $\R$. \item Déterminer la limite de $f_1$ en $- \infty$. \item Vérifier que pour tout réel $x,\: f_1(x) = \left(\dfrac{x}{\text{e}^x}\right)^2$. En déduire la limite de $f_1$ en $+ \infty$. \end{enumerate} \item En utilisant un système de calcul formel, on trouve qu'une primitive $F_1$ de la fonction $f_1$ est donnée par $F_1(x) = - \text{e}^{-2x}\left(\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{4}\right)$. En déduire la valeur exacte de $I_1$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude de la suite } \boldmath $\left(I_n\right)$\unboldmath\index{suite} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item Interpréter graphiquement la quantité $I_n$.\index{aire et intégrale} \item Émettre alors une conjecture sur le sens de variation et sur la limite éventuelle de la suite $\left(I_n\right)$. Expliciter la démarche qui a mené à cette conjecture. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1], \[f_{n+1}(x) = \text{e}^{-2x}f_n(x).\] \item En déduire, pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1], \[f_{n+1}(x) \leqslant f_n(x).\] \item Déterminer alors le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$. \end{enumerate} \item Soit $n$ un entier naturel non nul. \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout entier naturel $n$ non nul et pour tout réel $x$ appartenant à [0~;~1], \[0 \leqslant f_n(x) \leqslant \text{e}^{-2nx}.\] \item En déduire un encadrement de la suite $\left(I_n\right)$, puis sa limite.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans un supermarché, on réalise une étude sur la vente de bouteilles de jus de fruits sur une période d'un mois. \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]40\,\% des bouteilles vendues sont des bouteilles de jus d'orange ; \item[$\bullet~~$]25\,\% des bouteilles de jus d'orange vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Parmi les bouteilles qui ne sont pas de jus d'orange, la proportion des bouteilles de \og pur jus \fg{} est notée $x$, où $x$ est un réel de l'intervalle [0~;~1]. Par ailleurs, 20\,\% des bouteilles de jus de fruits vendues possèdent l'appellation \og pur jus \fg. On prélève au hasard une bouteille de jus de fruits passée en caisse. On définit les évènements suivants :\index{probabilités} $R$ : la bouteille prélevée est une bouteille de jus d'orange ; $J$ : la bouteille prélevée est une bouteille de \og pur jus \fg. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.\index{arbre de probabilités} \item Déterminer la valeur exacte de $x$. \item Une bouteille passée en caisse et prélevée au hasard est une bouteille de \og pur jus \fg. Calculer la probabilité que ce soit une bouteille de jus d'orange. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Afin d'avoir une meilleure connaissance de sa clientèle, le directeur du supermarché fait une étude sur un lot des $500$ dernières bouteilles de jus de fruits vendues. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de bouteilles de \og pur jus \fg{} dans ce lot. On admettra que le stock de bouteilles présentes dans le supermarché est suffisamment important pour que le choix de ces $500$ bouteilles puisse être assimilé à un tirage au sort avec remise. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire $X$. On en donnera les paramètres.\index{loi binomiale} \item Déterminer la probabilité pour qu'au moins 75 bouteilles de cet échantillon de $500$ bouteilles soient de \og pur jus \fg. On arrondira le résultat au millième. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Un fournisseur assure que 90\,\% des bouteilles de sa production de pur jus d'orange contiennent moins de 2\,\% de pulpe. Le service qualité du supermarché prélève un échantillon de 900 bouteilles afin de vérifier cette affirmation. Sur cet échantillon, $766$~bouteilles présentent moins de 2\,\% de pulpe. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la proportion de bouteilles contenant moins de 2\,\% de pulpe au seuil de 95\,\%.\index{intervalle de fluctuation asymptotique} \item Que penser de l'affirmation du fournisseur ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les trois questions sont indépendantes.} \smallskip \emph{Toute réponse doit être justifiée.} \medskip \begin{enumerate} \item On définit une suite $\left(u_n\right)$ de réels strictement positifs par\index{suite} \[u_0 = 1\quad \text{et pour tout entier naturel } \:n,\quad \ln \left(u_{n+1}\right) = \ln \left(u_{n}\right) - 1.\] La suite $\left(u_n\right)$ est-elle géométrique ?\index{suite géométrique} \item Soit $\left(v_n\right)$ une suite à termes strictement positifs. On définit la suite $\left(w_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n,\: w_n = 1 - \ln \left(v_{n}\right)$. La proposition $(\mathcal{P})$ suivante est-elle vraie ou fausse ? \[(\mathcal{P}) : \text{si la suite }\:\left(v_{n}\right)\: \text{est majorée alors la suite }\:\left(w_{n}\right)\: \text{est majorée.}\] \item La suite $\left(z_{n}\right)$ de nombres complexes est définie par \[z_0 = 2 + 3\text{i}\: \text{et,\:\: pour tout entier naturel }\:n \:\:\text{par}\: z_{n+1} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{4} + \text{i}\dfrac{\sqrt{6}}{4} \right)z_n.\] Pour quelles valeurs de $n$,\: $\left|z_n\right|$ est-il inférieur ou égal à $10^{-20}$ ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit ABCDEFGH le cube ci-dessous. \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture}(8.5,8.5) \psframe(0.5,0.5)(5.5,5.5)%DCGH \psline(5.5,0.5)(7.6,2.3)(7.6,7.3)(5.5,5.5)%CBFG \psline(7.6,7.3)(2.6,7.3)(0.5,5.5)%FEH \psline[linestyle=dashed](0.5,0.5)(2.6,2.3)(7.6,2.3)%DAB \psline[linestyle=dashed](2.6,2.3)(2.6,7.3)%AE \uput[dr](2.6,2.3){A} \uput[r](7.6,2.3){B} \uput[dr](5.5,0.5){C} \uput[dl](0.5,0.5){D} \uput[u](2.6,7.3){E} \uput[u](7.6,7.3){F} \uput[ul](5.5,5.5){G} \uput[ul](0.5,5.5){H} \end{pspicture} \end{center} On se place dans le repère orthonormé $\left(A~;~\vect{\text{AB}},\: \vect{\text{AD}},\: \vect{\text{AE}}\right)$.\index{géométrie dans l'espace} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite (DB) admet pour représentation paramétrique \[\left\{\begin{array}{l c r} x &=& \phantom{1 -}s\\ y &=& 1 - s ,\\ z &=& \phantom{1 -}0 \end{array}\right. \text{où $s$ décrit l'ensemble } \R\: \text{des nombres réels}.\] \item Montrer que les points de la droite (AG) sont les points de coordonnées $(t~;~t~;~t)$ où $t$ est un réel. \end{enumerate} \item Soit $M$ un point quelconque de la droite (DB) et $N$ un point quelconque de la droite (AG). Démontrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire aux deux droites (AG) et (DB) si et seulement si $M$ et $N$ ont pour coordonnées respectives $\left(\frac{1}{2}~;~\frac{1}{2}~;~0\right)$ et $\left(\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}\right)$. \item Soit $s$ et $t$ deux réels quelconques. On note $M(s~;~1 - s~;~0)$ un point de la droite (DB) et $N(t~;~t~;~t)$ un point de la droite (AG). \begin{enumerate} \item Montrer que $MN^2 = 3 \left(t - \dfrac{1}{3}\right)^2 + 2\left(s - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{6}$. \item En déduire la position des points $M$ et $N$ pour laquelle la distance $MN$ est minimale. Que peut-on dire de la droite $(MN)$ dans ce cas ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On considère l'équation \[51x - 26y = 1\]\index{equation diophantienne@équation diophantienne} où $x$ et $y$ sont des nombres entiers relatifs. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier, en énonçant un théorème du cours, que cette équation admet au moins un couple solution. \item \begin{enumerate} \item Donner un couple solution $\left(x_0~;~y_0\right)$ de cette équation. \item Déterminer l'ensemble des couples solutions de cette équation. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On fait correspondre à chaque lettre de l'alphabet un nombre entier comme l'indique le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L &M\\ \hline 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline \hline N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Afin de coder une lettre de l'alphabet, correspondant à un entier $x$ compris entre $0$ et $25$, on définit une fonction de codage $f$ par $f(x) = y$, où $y$ est le reste de la division euclidienne de $51x + 2$ par $26$.\index{division euclidienne} La lettre de l'alphabet correspondant à l'entier $x$ est ainsi codée par la lettre correspondant à l'entier $y$. \medskip \begin{enumerate} \item Coder la lettre N. \item En utilisant la partie A, déterminer l'entier $a$ tel que $0 \leqslant a \leqslant 25$ et $51a \equiv 1\:\:[26]$. \item Démontrer que si la lettre correspondant à un entier $x$ est codée par une lettre correspondant à un entier $y$, alors $x$ est le reste de la division euclidienne de $ay + 2$ par $26$. \item Déterminer alors la lettre qui est codée par la lettre N. \item On applique $100$ fois de suite la fonction de codage $f$ à un nombre $x$ correspondant à une certaine lettre. Quelle lettre obtient-on ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Antilles-Guyane 9 septembre 2015 \newpage %%%%%%%%%%% Nouvelle Calédonie Wallis et Futuna 19 novembre 2015 \hypertarget{Caledonienov}{} \label{Caledonienov} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}} \rfoot{\small{19 novembre 2015}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \bigskip {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015~\decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une usine produit de l'eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de calcium dans une bouteille est inférieur à 6,5~mg par litre, on dit que l'eau de cette bouteille est très peu calcaire. \smallskip \emph{Dans cet exercice les résultats approchés seront arrondis au millième.} \smallskip \textbf{Partie A} \medskip L'eau minérale provient de deux sources, notées \og source A \fg{} et \og source B \fg. La probabilité que l'eau d'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source A soit très peu calcaire est $0,17$. La probabilité que l'eau d'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source B soit très peu calcaire est $0,10$.\index{probabilités} \smallskip La source A fournit 70\,\% de la production quotidienne totale des bouteilles d'eau et la source B le reste de cette production. \smallskip On prélève au hasard une bouteille d'eau dans la production totale de la journée. On considère les évènements suivants : $A$ : \og La bouteille d'eau provient de la source A \fg $B$ : \og La bouteille d'eau provient de la source B \fg $S$ : \og L'eau contenue dans la bouteille d'eau est très peu calcaire \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité de l'évènement $A \cap S$. \item Montrer que la probabilité de l'évènement $S$ vaut $0,149$. \item Calculer la probabilité que l'eau contenue dans une bouteille provienne de la source A sachant qu'elle est très peu calcaire. \item Le lendemain d'une forte pluie, l'usine prélève un échantillon de \np{1000} bouteilles provenant de la source A. Parmi ces bouteilles, $211$ contiennent de l'eau très peu calcaire. Donner un intervalle permettant d'estimer au seuil de 95\,\% la proportion de bouteilles contenant de l'eau très peu calcaire sur l'ensemble de la production de la source A après cette intempérie.\index{intervalle de confiance} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source A, associe le taux de calcium de l'eau qu'elle contient. On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $8$ et d'écart-type $1,6$.\index{loi normale} On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source B, associe le taux de calcium qu'elle contient. On suppose que $Y$ suit la loi normale de moyenne $9$ et d'écart-type $\sigma$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité pour que le taux de calcium mesuré dans une bouteille prise au hasard dans la production d'une journée de la source A soit compris entre $6,4$~mg et $9,6$~mg. \item Calculer la probabilité $p(X \leqslant 6,5)$. \item Déterminer $\sigma$ sachant que la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard dans la production d'une journée de la source B contienne de l'eau très peu calcaire est $0,1$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Le service commercial a adopté pour les étiquettes des bouteilles la forme représentée ci-dessous dans un repère orthonormé du plan. La forme de ces étiquettes est délimitée par l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$ d'équation $y = a\cos x$ avec $x \in \left[- \frac{\pi}{2}~;~\frac{\pi}{2}\right]$ et $a$ un réel strictement positif. \smallskip Un disque situé à l'intérieur est destiné à recevoir les informations données aux acheteurs. On considère le disque de centre le point A de coordonnées $\left(0~;~\frac{a}{2}\right)$ et de rayon $\frac{a}{2}$. On admettra que ce disque se trouve entièrement en dessous de la courbe $\mathcal{C}$ pour des valeurs de $a$ inférieures à $1,4$. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses, les droites d'équation $x = - \frac{\pi}{2}$ et $x = \frac{\pi}{2}$, et la courbe $\mathcal{C}$ est égale à $2a$ unités d'aire.\index{aire et intégrale} \item Pour des raisons esthétiques, on souhaite que l'aire du disque soit égale à l'aire de la surface grisée. Quelle valeur faut-il donner au réel $a$ pour respecter cette contrainte ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=3cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-1.7,-0.2)(1.7,1.7) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-1.7,-0.2)(1.7,1.7) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.57}{1.57}{x RadtoDeg cos 1.3 mul} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.57}{1.57}{x RadtoDeg cos 1.3 mul} \psline(1.57,0)(-1.57,0)} \pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0.65){0.65} \psdots(0,0.65) \uput[ur](0,0.65){$A$} \uput[ul](-1.4,0.3){$\mathcal{C}$}\uput[d](1.57,0){$\dfrac{\pi}{2}$} \uput[d](-1.57,0){$- \dfrac{\pi}{2}$}\uput[dr](0,0){O}\uput[ul](0,1.3){$a$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{1,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour chaque réel $a$, on considère la fonction $f_a$ définie sur l'ensemble des nombres réels $\R$ par \[f_a(x) = \text{e}^{x - a} - 2x + \text{e}^{a}.\] \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que pour tour réel $a$, la fonction $f_a$ possède un minimum.\index{fonction exponentielle} \item Existe-t-il une valeur de $a$ pour laquelle ce minimum est le plus petit possible ? \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soient $x,\:y$ et $z$ trois nombres réels. On considère les implications $\left(P_1\right)$ et $\left(P_2\right)$ suivantes : \[\left(P_1\right)\qquad (x + y + z = 1) \Rightarrow \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right)\] \[\left(P_2\right) \qquad \left(x^2 + y^2 + z^2 \geqslant \dfrac{1}{3} \right) \Rightarrow (x + y + z = 1)\] \textbf{Partie A} \medskip L'implication $\left(P_2\right)$ est-elle vraie ? \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans l'espace, on considère le cube $ABCDEFGH$, représenté ci-dessous, et on définit le repère orthonormé $\left(A~;~ \vect{AB},~ \vect{AD},~ \vect{AE}\right)$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(5.5,5.5) \psframe(2,0.5)(5.3,3.8)%BCGF \psline(5.3,3.8)(4,4.8)(0.7,4.8)(2,3.8)%GHEF \psline(0.7,4.8)(0.7,1.5)(2,0.5)%EAB \psline[linestyle=dashed](0.7,1.5)(4,1.5)(5.3,0.5)%ADC \psline[linestyle=dashed](4,1.5)(4,4.8)%DH \uput[l](0.7,1.5){$A$} \uput[d](2,0.5){$B$} \uput[d](5.3,0.5){$C$} \uput[ur](4,1.5){$D$} \uput[u](0.7,4.8){$E$} \uput[u](2,3.8){$F$} \uput[ur](5.3,3.8){$G$} \uput[ur](4,4.8){$H$} \end{pspicture} \end{center}\index{géométrie dans l'espace} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que le plan d'équation $x + y + z = 1$ est le plan ($BDE$).\index{equation de plan@équation de plan} \item Montrer que la droite ($AG$) est orthogonale au plan ($BDE$). \item Montrer que l'intersection de la droite ($AG$) avec le plan ($BDE$) est le point $K$ de coordonnées $\left(\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}\right)$. \end{enumerate} \item Le triangle $BDE$ est-il équilatéral ? \item Soit $M$ un point de l'espace. \begin{enumerate} \item Démontrer que si $M$ appartient au plan ($BDE$), alors $AM^2 = AK^2 + MK^2$. \item En déduire que si $M$ appartient au plan ($BDE$), alors $AM^2 \geqslant AK^2$. \item Soient $x,\:y$ et $z$ des réels quelconques. En appliquant le résultat de la question précédente au point $M$ de coordonnées $(x~;~y~;~z)$, montrer que l'implication $\left(P_1\right)$ est vraie.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$ définies par $d_0 = 300$,\index{suite} $a_0 = 450$ et, pour tout entier naturel $n \geqslant 0$ \[\renewcommand\arraystretch{1.8}\left\{\begin{array}{l c l} d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100\\ a_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70 \end{array}\right.\renewcommand\arraystretch{1}\] \begin{enumerate} \item Calculer $d_1$ et $a_1$. \item On souhaite écrire un algorithme qui permet d'afficher en sortie les valeurs de $d_n$ et $a_n$ pour une valeur entière de $n$ saisie par l'utilisateur.\index{algorithme} L'algorithme suivant est proposé : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l X|}\hline \emph{Variables} :& $n$ et $k$ sont des entiers naturels\\ &$D$ et $A$ sont des réels\\ &\\ \emph{Initialisation} :& $D$ prend la valeur 300\\ &$A$ prend la valeur 450\\ &Saisir la valeur de $n$\\ &\\ \emph{Traitement} :& Pour $k$ variant de 1 à $n$\\ &\hspace{0.8cm}$D$ prend la valeur $\dfrac{D}{2} + 100$ \rule[-4mm]{0mm}{8mm}\\ &\hspace{0.8cm}$A$ prend la valeur $\dfrac{A}{2} + \dfrac{D}{2} + 70$\\ &Fin pour\\ &\\ \emph{Sortie} :& Afficher $D$\\ &Afficher $A$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Quels nombres obtient-on en sortie de l'algorithme pour $n = 1$ ? Ces résultats sont-ils cohérents avec ceux obtenus à la question \textbf{1.} ? \item Expliquer comment corriger cet algorithme pour qu'il affiche les résultats souhaités. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $e_n = d_n - 200$. Montrer que la suite $\left(e_n\right)$ est géométrique.\index{suite géométrique} \item En déduire l'expression de $d_n$ en fonction de $n$. \item La suite $\left(d_n\right)$ est-elle convergente ? Justifier.\index{suite} \end{enumerate} \item On admet que pour tout entier naturel $n$, \[a_n = 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340.\] \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 3, on a $2n^2 \geqslant (n + 1)^2$. \item Montrer par récurrence que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $2^n \geqslant n^2$. \item En déduire que pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}$. \item Étudier la convergence de la suite $\left(a_n\right)$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un organisme propose un apprentissage de langues étrangères en ligne. Deux niveaux sont présentés : débutant ou avancé. Au début de chaque mois, un internaute peut s'inscrire, se désinscrire ou changer de niveau. On souhaite étudier l'évolution sur le long terme, de la fréquentation du site à partir d'un mois noté $0$. Des relevés de la fréquentation du site ont conduit aux observations suivantes : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]Au début du mois $0$, il y avait $300$ internautes au niveau débutant et $450$ au niveau avancé. \item[$\bullet~~$]Chaque mois, la moitié des débutants passe au niveau avancé, l'autre moitié reste au niveau débutant et la moitié des avancés ayant terminé leur formation, se désinscrit du site. \item[$\bullet~~$]Chaque mois, $100$ nouveaux internautes s'inscrivent en débutant et $70$ en avancé. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \smallskip On modélise cette situation par deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$. Pour tour entier naturel $n,\: d_n$ et $a_n$ sont respectivement des approximations du nombre de débutants et du nombre d'avancés au début du mois $n$.\index{suite} Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}d_n\\a_n\end{pmatrix}$.\index{matrices} On pose $d_0 = 300$,\: $a_0 = 450$ et, pour tout entier $n \geqslant 0$ \[\left\{\begin{array}{l c l} d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100\rule[-4mm]{0mm}{8mm}\\ a_{n+1}&=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70\rule[-4mm]{0mm}{8mm} \end{array}\right.\] \smallskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier l'égalité $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70$ dans le contexte de l'exercice. \item Déterminer les matrices $A$ et $B$ telles que pour tout entier naturel $n$, \[U_{n+1} = AU_n + B.\] \end{enumerate} \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a \[A^n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2 + nT \right)\quad \text{où}\:\: T = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \quad \text{et} \:\: I_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.\] \item \begin{enumerate} \item Déterminer la matrice $C$ qui vérifie l'égalité $C = AC + B$. \item Pour tout entier $n \geqslant 0$, on pose $V_n = U_n - \begin{pmatrix}200\\340\end{pmatrix}$. Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[V_{n+1} = AV_n.\] \item On admet que pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $V_n = A^nV_0$. En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, \[U_n = \begin{pmatrix} 100\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 200\\ 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340 \end{pmatrix} \] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On admet que pour tout entier $n \geqslant 4$,\: $2^n \geqslant n^2$. En déduire que pour tout entier $n \geqslant 4$, \[0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}.\] \item En utilisant les questions précédentes, que peut-on prévoir pour l'évolution de la fréquentation du site sur le long terme ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%% fin Nouvelle Calédonie Wallis et Futuna 19 novembre 2015 \newpage %%%%%%%%%%% Amérique du Sud 24 novembre 2015 \hypertarget{AmeriSud}{} \label{AmeriSud}c\lfoot{\small{Amérique du Sud}} \rfoot{\small{24 novembre 2015}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Amérique du Sud 24 novembre 2015~\decofourright }} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij, on désigne par $\mathcal{C}_u$ la courbe représentative de la fonction $u$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : \[u(x) = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}\] où $a, b$ et $c$ sont des réels fixés. On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_u$ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 1$. \begin{center} \psset{unit=1.4cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-1,-1)(7,3.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \pscustom[fillstyle=hlines]{ \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{4}{x dup mul 5 x mul sub 4 add x dup mul div} \psline(4,0)(1,0)} \uput[dl](1,0){A}\uput[dr](4,0){B}\uput[dl](0,0){O} \uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \rput(1,3){\blue $\mathcal{C}_u$} \psline(-1,1)(7,1)\uput[u](6.5,1){$\mathcal{D}$} \psaxes[linewidth=1pt,tickstyle=inner,labels=none](0,0)(-0.98,-1)(7,3.5) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{7}{x dup mul 5 x mul sub 4 add x dup mul div} \end{pspicture*} \end{center} On précise que la courbe $\mathcal{C}_u$ passe par les points A(1~;~0) et B(4~;~0) et que l'axe des ordonnées et la droite $\mathcal{D}$ sont asymptotes à la courbe $\mathcal{C}_u$. \medskip \begin{enumerate} \item Donner les valeurs de $u(1)$ et $u(4)$. \item Donner $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x)$. En déduire la valeur de $a$. \item En déduire que, pour tout réel $x$ strictement positif, $u(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par : \[f(x) = x - 5\ln x - \dfrac{4}{x}.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$. On pourra utiliser sans démonstration le fait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$. \item Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. \item Démontrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, $f'(x) = u(x)$. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ en précisant les limites et les valeurs particulières. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'aire $\mathcal{A}$, exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré sur le graphique de la \textbf{partie A}.\index{aire et intégrale} \item Pour tout réel $\lambda$ supérieur ou égal à 4, on note $\mathcal{A}_{\lambda}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine formé par les points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ telles que \[4 \leqslant x \leqslant \lambda\quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant u(x).\] Existe-t-il une valeur de $\lambda$ pour laquelle $\mathcal{A}_{\lambda} = \mathcal{A}$ ? Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse. \smallskip \emph{Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. L'absence de réponse n'est pas pénalisée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.} \smallskip L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. Les points A, B, C sont définis par leurs coordonnées :\index{géométrie dans l'espace} \[\text{A}(3~;~-1~;~4),\quad \text{B}(-1~;~2~;~-3),\quad \text{C}(4~;~-1~;~2).\] Le plan $\mathcal{P}$ a pour équation cartésienne : $2x - 3y + 2z - 7 = 0$. La droite $\Delta$ a pour représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& - 1 + 4t\\ y &=&\phantom{-} 4 - t\\ z &=& - 8 + 2t \end{array}\right., \:t \in \R$. \medskip \textbf{Affirmation 1 :} Les droites $\Delta$ et (AC) sont orthogonales. \medskip \textbf{Affirmation 2 :} Les points A, B et C déterminent un plan et ce plan a pour équation cartésienne $2x + 5y + z - 5 = 0$. \medskip \textbf{Affirmation 3 :} Tous les points dont les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ sont données par $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 1 + \phantom{2}s - 2s'\\ y &=& 1 - 2s + \phantom{2}s',\\ z &=& 1- 4s + 2s' \end{array}\right. s \in \R,\: s' \in \R$\: appartiennent au plan $\mathcal{P}$. \medskip \textbf{Affirmation 4 :} Il existe un plan parallèle au plan $\mathcal{P}$ qui contient la droite $\Delta$.\hyperlink{Index}{*} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les trois parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Le chikungunya est une maladie virale transmise d'un être humain à l'autre par les piqûres de moustiques femelles infectées. \smallskip Un test a été mis au point pour le dépistage de ce virus. Le laboratoire fabriquant ce test fournit les caractéristiques suivantes :\index{probabilités} \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item la probabilité qu'une personne atteinte par le virus ait un test positif est de $0,98$ ; \item la probabilité qu'une personne non atteinte par le virus ait un test positif est de $0,01$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \smallskip On procède à un test de dépistage systématique dans une population \og cible \fg. Un individu est choisi au hasard dans cette population. On appelle : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item $M$ l'évènement: \og L'individu choisi est atteint du chikungunya \fg \item $T$ l'évènement: \og Le test de l'individu choisi est positif \fg \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On notera $\overline{M} \left(\text{respectivement } \overline{T}\right)$ l'évènement contraire de l'évènement $M$ (respectivement $T$). On note $p\: (0 \leqslant p \leqslant 1$) la proportion de personnes atteintes par la maladie dans la population cible. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous.\index{arbre de probabilités} \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$M$}} {\TR{$T$} \TR{$\overline{T}$} } \pstree{\TR{$\overline{M}$}} {\TR{$T$} \TR{$\overline{T}$} } } \end{center} \item Exprimer $P(M \cap T),\: P\left(\overline{M} \cap T\right)$ puis $P(T)$ en fonction de $p$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la probabilité de $M$ sachant $T$ est donnée par la fonction $f$ définie sur [0~;~1] par : \[f(p) = \dfrac{98p}{97p+1}.\] \item Étudier les variations de la fonction $f$. \end{enumerate} \item On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu'une personne ayant un test positif soit réellement atteinte du chikungunya est supérieure à $0,95$. En utilisant les résultats de la question \textbf{2.}, à partir de quelle proportion $p$ de malades dans la population le test est-il fiable ?\index{intervalle de fluctuation asymptotique} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip En juillet 2014, l'institut de veille sanitaire d'une île, en s'appuyant sur les données remontées par les médecins, publie que 15\,\% de la population est atteinte par le virus. Comme certaines personnes ne consultent pas forcément leur médecin, on pense que la proportion est en réalité plus importante. Pour s'en assurer, on se propose d'étudier un échantillon de \np{1000}~personnes choisies au hasard dans cette île. La population est suffisamment importante pour considérer qu'un tel échantillon résulte de tirages avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de \np{1000}~personnes choisies au hasard, fait correspondre le nombre de personnes atteintes par le virus et par $F$ la variable aléatoire donnant la fréquence associée. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sous l'hypothèse $p = 0,15$, déterminer la loi de $X$.\index{loi binomiale} \item Dans un échantillon de \np{1000}~personnes choisies au hasard dans l'île, on dénombre $197$~personnes atteintes par le virus. Quelle conclusion peut-on tirer de cette observation à propos du chiffre de 15\,\% publié par l'institut de veille sanitaire ? Justifier. (On pourra s'aider du calcul d'un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\%.) \end{enumerate} \item On considère désormais que la valeur de $p$ est inconnue. En utilisant l'échantillon de la question \textbf{1. b.}, proposer un intervalle de confiance de la valeur de $p$, au niveau de confiance de 95\,\%. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Le temps d'incubation, exprimé en heures, du virus peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale d'écart type $\sigma = 10$. On souhaite déterminer sa moyenne $\mu$. La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de $T$ est donnée en annexe. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Conjecturer, à l'aide du graphique, une valeur approchée de $\mu$. \item On donne $p(T < 110) = 0,18$. Hachurer sur le graphique un domaine dont l'aire correspond à la probabilité donnée. \end{enumerate} \item On note $T'$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{T - \mu}{10}$. \begin{enumerate} \item Quelle loi la variable aléatoire $T'$ suit-elle? \item Déterminer une valeur approchée à l'unité près de la moyenne $\mu$ de la variable aléatoire $T$ et vérifier la conjecture de la question 1.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante :\index{suite} \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]en 2010, la population compte $90$~millions de ruraux et $30$~millions de citadins ; \item[$\bullet~~$]chaque année, 10\,\% des ruraux émigrent à la ville ; \item[$\bullet~~$]chaque année, 5\,\% des citadins émigrent en zone rurale. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} Pour tout entier naturel $n$, on note : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$u_n$ la population en zone rurale, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants ; \item[$\bullet~~$]$v_n$ la population en ville, en l'année $2010 + n$, exprimée en millions d'habitants. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On a donc $u_0 = 90$ et $v_0 = 30$. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Traduire le fait que la population totale est constante par une relation liant $u_n$ et $v_n$. \item On utilise un tableur pour visualiser l'évolution des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$. Quelles formules peut-on saisir dans les cellules B3 et C3 qui, recopiées vers le bas, permettent d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|c|m{1cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B&C\\ \hline 1&$n$&Population en zone rurale &Population en ville\\ \hline 2&0 &90 &30\\ \hline 3&1 &82,5 &37,5\\ \hline 4&2 &76,125 &43,875\\ \hline 5&3 &70,706 &49,294\\ \hline 6&4 &66,100 &53,900\\ \hline 7&5 &62,185 &57.815\\ \hline 8&6 &58,857 &61,143\\ \hline 9&7 &56,029 &63,971\\ \hline 10&8&53,625 &66,375\\ \hline 11&9&51,581 &68,419\\ \hline 12&10&49,844 &70,156\\ \hline 13&11&48,367 &71,633\\ \hline 14&12&47,112 &72,888\\ \hline 15&13&46,045 &73,955\\ \hline 16&14&45,138 &74,862\\ \hline 17&15&44,368 &75,632\\ \hline 18&16&43,713 &76,287\\ \hline 19&17&43,156 &76,844\\ \hline 20&18&42,682 &77,318\\ \hline 21&19&42,280 &77,720\\ \hline 22&20&41,938 &78,062\\ \hline \end{tabularx} \begin{tabularx}{0.95\linewidth}{|c|m{1cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline \multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{m{1cm}}{\ldots}&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}\\ \hline 59&57 &40,005 &79,995\\ \hline 60&58 &40,004 &79,996\\ \hline 61&59 &40,003 &79,997\\ \hline 62&60 &40,003 &79,997\\ \hline 63&61 &40,002 &79,998\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Quelles conjectures peut-on faire concernant l'évolution à long terme de cette population ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On admet dans cette partie que, pour tout entier naturel $n,\quad u_{n+1} = 0,85u_n + 6$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. \item On admet que $u_n$ est positif pour tout entier naturel $n$. Que peut-on en déduire quant à la suite $\left(u_n\right)$ ? \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(w_n\right)$, définie par : $w_n = u_n - 40$, pour tout $n \geqslant 0$. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,85$. \item En déduire l'expression de $w_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$. \item Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question \textbf{3.} de la \textbf{partie A}. \item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline Entrée : &$n$ et $u$ sont des nombres\\ Initialisation :&$n$ prend la valeur $0$\\ &$u$ prend la valeur $90$\\ Traitement : &Tant que $u \geqslant 120 - u$ faire\\ &\hspace{0.75cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\ &\hspace{0.75cm}$u$ prend la valeur $0,85 \times u + 6$\\ &Fin Tant que\\ Sortie : &Afficher $n$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Que fait cet algorithme ? \item Quelle valeur affiche-t-il ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Dans un pays de population constante égale à 120 millions, les habitants vivent soit en zone rurale, soit en ville. Les mouvements de population peuvent être modélisés de la façon suivante : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]en 2010, la population compte $90$ millions de ruraux et $30$ millions de citadins ; \item[$\bullet~~$]chaque année, 10\,\% des ruraux émigrent à la ville; \item[$\bullet~~$]chaque année, 5\,\% des citadins émigrent en zone rurale. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \smallskip Pour tout entier naturel $n$, on note : \setlength\parindent{8mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]$R_n$ l'effectif de la population rurale, exprimé en millions d'habitants, en l'année $2010 + n$, \item[$\bullet~~$]$C_n$ l'effectif de la population citadine, exprimé en millions d'habitants, en l'année $2010 + n$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On a donc $R_0 = 90$ et $C_0 = 30$. \medskip \begin{enumerate} \item On considère les matrices $M = \begin{pmatrix}0,9& 0,05\\0,1& 0,95\end{pmatrix}$ et, pour tout entier naturel $n,$ \index{matrice} $U_n = \begin{pmatrix}R_n\\C_n \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n,\: U_{n+1} = MU_n$. \item Calculer $U_1$. En déduire le nombre de ruraux et le nombre de citadins en 2011. \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $U_n$ en fonction de $M^n$ et de $U_0$. \item Soit la matrice $P = \begin{pmatrix}1&1\\2&- 1 \end{pmatrix}$. Montrer que la matrice \renewcommand\arraystretch{1.9}$\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\\dfrac{2}{3}&-\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$ est la matrice inverse de $P$ et on la notera $P^{-1}$. \item \begin{enumerate} \item On pose $\Delta = P^{-1}MP$. Calculer $\Delta$ à l'aide de la calculatrice. \item Démontrer que : $M = P\Delta P^{-1}$. \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ non nul: \[M^n = P\Delta^nP^{-1}.\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On admet que le calcul matriciel précédent donne : \[\renewcommand\arraystretch{1.9} M^n = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \times 0,85^n&\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{3} \times 0,85^n\\\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} \times 0,85^n&\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \times 0,85^n\end{pmatrix}.\] En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $R_n = 50 \times 0,85^n + 40$ et déterminer l'expression de $C_n$ en fonction de $n$. \item Déterminer la limite de $R_n$ et de $C_n$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$. Que peut-on en conclure pour la population étudiée ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On admet que $\left(R_n\right)$ est décroissante et que $\left(C_n\right)$ est croissante. Compléter l'algorithme donné en annexe afin qu'il affiche le nombre d'années au bout duquel la population urbaine dépassera la population rurale.\index{algorithme} \item En résolvant l'inéquation d'inconnue $n,\: 50 \times 0,85^n + 40 < 80 - 50 \times 0,85^n$, retrouver la valeur affichée par l'algorithme. \hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ \Large Annexe} \textbf{Exercice 3 Partie C Question 1} \textbf{(à compléter et à remettre avec la copie)} \vspace{1cm} \textbf{Courbe représentative de la fonction densité de la loi normale }\boldmath $\mathcal{N}\left(\mu~;~10^2\right)$\unboldmath \vspace{0,5cm} \psset{xunit=0.125cm,yunit=120cm,runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true} \def\xmin {78} \def\xmax {162} \def\ymin {-0.0047} \def\ymax {0.04} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psaxes[labels=none,ticks=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \def\m{120}% moyenne \def\s{10}% écart type \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \def\inf{\xmin} \def\sup{160} \psplot[plotpoints=5000]{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup] \multido{\n=10+5}{31} {\uput[d](\n,0){\footnotesize \n} \psline(\n,0.0005)(\n,-0.0005) } \end{pspicture*} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 4 Spécialité} \textbf{Question 6 (à compléter et à remettre avec la copie)} \bigskip \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}\hline Entrée : &$n$, \:$R$ et $C$ sont des nombres\\ Initialisation :&$n$ prend la valeur $0$\\ &$R$prend la valeur $90$\\ &$C$ prend la valeur $30$\\ Traitement : &Tant que \ldots \ldots faire\\ &\hspace{0.75cm}$n$ prend la valeur \ldots\\ &\hspace{0.75cm}$R$ prend la valeur $50 \times 0,85^n + 40$\\ &\hspace{0.75cm}$C$ prend la valeur \ldots\\ &Fin Tant que\\ Sortie : &Afficher $n$\\ \hline \end{tabularx} \hyperlink{Index}{*} \end{center} %%%%%%%%%%% fin Amérique du Sud 24 novembre 2015 \newpage %%%%%%%%%%% Nouvelle Calédonie mars 2016 \hypertarget{Caledoniemars}{} \label{Caledoniemars} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie Wallis-et-Futuna}} \rfoot{\small{mars 2016}} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2016~\decofourright}} \end{center} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les parties A et B sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une boite contient 200 médailles souvenir dont 50 sont argentées, les autres dorées. Parmi les argentées 60\,\% représentent le château de Blois, 30\,\% le château de Langeais, les autres le château de Saumur. Parmi les dorées 40\,\% représentent le château de Blois, les autres le château de Langeais. On tire au hasard une médaille de la boite. Le tirage est considéré équiprobable et on note :\index{probabilités} \setlength\parindent{8mm} \begin{description} \item[ ] $A$ l'évènement \og la médaille tirée est argentée \fg{} ; \item[ ] $D$ l'évènement \og la médaille tirée est dorée \fg{} ; \item[ ] $B$ l'évènement \og la médaille tirée représente le château de Blois \fg{} ; \item[ ] $L$ l'évènement \og la médaille tirée représente le château de Langeais \fg{} ; \item[ ] $S$ l'évènement \og la médaille tirée représente le château de Saumur \fg. \end{description} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité que la médaille tirée soit argentée et représente le château de Langeais. \item Montrer que la probabilité que la médaille tirée représente le château de Langeais est égale à $\dfrac{21}{40}$. \item Sachant que la médaille tirée représente le château de Langeais, quelle est la probabilité que celle-ci soit dorée ? \end{enumerate} \item Sachant que la médaille tirée représente le château de Saumur, donner la probabilité que celle-ci soit argentée. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une médaille est dite conforme lorsque sa masse est comprise entre $9,9$ et $10,1$ grammes. On dispose de deux machines M$_1$ et M$_2$ pour produire les médailles. \medskip \begin{enumerate} \item Après plusieurs séries de tests, on estime qu'une machine M$_1$ produit des médailles dont la masse $X$ en grammes suit la loi normale d'espérance $10$ et d'écart-type $0,06$.\index{loi normale} On note $C$ l'évènement \og la médaille est conforme \fg. Calculer la probabilité qu'une médaille produite par la machine M$_1$ ne soit pas conforme. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$ près. \item La proportion des médailles non conformes produites par la machine M$_1$ étant jugée trop importante, on utilise une machine M$_2$ qui produit des médailles dont la masse $Y$ en grammes suit la loi normale d'espérance $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma$. \begin{enumerate} \item Soit $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{Y - 10}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par la variable $Z$ ? \item Sachant que cette machine produit 6\,\% de pièces non conformes, déterminer la valeur arrondie au millième de $\sigma$.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0~;~16] par \[f(x) = \ln(x + 1)\quad \text{et}\quad g(x) = \ln(x + 1) + 1 - \cos(x).\] Dans un repère du plan \Oij, on note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives des fonctions $f$ et $g$.\index{aire et intégrale} Ces courbes sont données en \textbf{annexe 1}. Comparer les aires des deux surfaces hachurées sur ce graphique. \hyperlink{Index}{*} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans le repère orthonormé \Oijk de l'espace, on considère pour tout réel $m$, le plan $P_m$ d'équation \[\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0.\] \smallskip \begin{enumerate} \item Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point A(1~;~1~;~1) appartient-il au plan $P_m$ ? \item Montrer que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite (d) de représentation paramétrique \[(d)\:\left\{\begin{array}{l c r} x &=& 12 - 2t\\ y &=& 9 - 2t\\ z &=&t \end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \R\] \index{géométrie dans l'espace} \item \begin{enumerate} \item Montrer que l'intersection entre $P_0$ et $(d)$ est un point noté B dont on déterminera les coordonnées. \item Justifier que pour tout réel $m$, le point B appartient au plan $P_m$. \item Montrer que le point B est l'unique point appartenant à $P_m$ pour tout réel $m$. \end{enumerate} \item Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m'$ tels que \[- 10 \leqslant m \leqslant 10\quad \text{et}\quad - 10 \leqslant m' \leqslant 10.\] On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et de $m'$ pour lesquelles $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires. \begin{enumerate} \item Vérifier que $P_1$ et $P_{-4}$ sont perpendiculaires. \item Montrer que les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires si et seulement si \[\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2 + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0.\] \item On donne l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline \emph{Variables :} &$m$ et $m'$ entiers relatifs\\ \emph{Traitement :} &Pour $m$ allant de $- 10$ à 10 :\\ &\hspace{0,5cm}Pour $m'$ allant de $-10$ à 10 :\\ &\hspace{1cm}Si $\left(mm'\right)^2 + 16(m - 1)\left(m' - 1\right) + 4mm' = 0$\\ &\hspace{1,5cm}Alors Afficher $\left(m~;~m'\right)$\\ &\hspace{0,5cm}Fin du Pour\\ &Fin du Pour\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Quel est le rôle de cet algorithme ? \item Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont $(- 4~;~1),\: (0~;~1) et (5~;~- 4)$. Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout entier naturel $n$, par \[z_0 = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n.\]\index{complexes} On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ dans le repère orthonormé \Ouv{} de l'annexe 2. L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $A_n$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Vérifier que $1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$. \item En déduire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}.\] \index{suite de complexes} \item Pour quelles valeurs de $n$, les points O, $A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés ? \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|$. \begin{enumerate} \item Interpréter géométriquement $d_n$. \item Calculer $d_0$. \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right).\] \item En déduire que la suite $\left(d_n\right)_{n \geqslant 0}$ est géométrique puis que pour tout entier naturel $n$, \[d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n.\] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[\left|z_{n+1}\right|^2 = \left|z_{n}\right|^2 + d_n^2.\] \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le triangle O$A_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$. \item Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $A_5$ sur la figure de l'annexe 2 à rendre avec la copie. \item Justifier cette construction.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip \emph{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Afin de crypter un message, on utilise un chiffrement affine. Chaque lettre de l'alphabet est associée à un nombre entier comme indiqué dans le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{26}{>{\centering \arraybackslash\tiny}X|}}\hline A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K &L &M &N &O &P &Q &R &S &T &U &V &W &X &Y &Z\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10 &11 &12 &13 &14 &15 &16 &17 &18 &19 &20 &21 &22 &23 &24 &25\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Soit $x$ le nombre associé à la lettre à coder. On détermine le reste $y$ de la division euclidienne de $7x + 5$ par $26$, puis on en déduit la lettre associée à $y$ (c'est elle qui code la lettre d'origine).\index{division euclidienne} Exemple : M correspond à $x = 12$ $7 \times 12 + 5 = 89$ Or $89 \equiv 11\:\: [26]$ et 11 correspond à la lettre L, donc la lettre M est codée par la lettre L. \medskip \begin{enumerate} \item Coder la lettre L. \item \begin{enumerate} \item Soit $k$ un entier relatif. Montrer que si $k \equiv 7x \:\: [26]$ alors $15k \equiv x\:\:[26]$.\index{arithmétique} \item Démontrer la réciproque de l'implication précédente. \item En déduire que $y \equiv 7x + 5\:\:[26]$ équivaut à $x \equiv 15y + 3\:\:[26]$. \end{enumerate} \item À l'aide de la question précédente décoder la lettre F. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère les suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ telles que $a_0$ et $b_0$ sont des entiers compris entre 0 et 25 inclus et pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = 7a_n + 5$ et $b_{n+1} = 15b_n + 3$. Montrer que pour tout entier naturel $n,\: a_n = \left(a_0 + \dfrac{5}{6}\right) \times 7^n - \dfrac{5}{6}$. On admet pour la suite du problème que pour tout entier naturel $n,$ $ b_n = \left(b_0 + \dfrac{3}{14}\right) \times 15^n - \dfrac{3}{14}$. \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Déchiffrer un message codé avec un chiffrement affine ne pose pas de difficulté (on peut tester les 312 couples de coefficients possibles). Afin d'augmenter cette difficulté de décryptage, on propose d'utiliser une clé qui indiquera pour chaque lettre le nombre de fois où on lui applique le chiffrement affine de la partie A. Par exemple pour coder le mot MATH avec la clé 2-2-5-6, on applique \og 2\fg{} fois le chiffrement affine à la lettre M (cela donne E), \og 2 \fg{} fois le chiffrement à la lettre A, \og 5 \fg{} fois le chiffrement à la lettre T et enfin \og 6 \fg{} fois le chiffrement à la lettre H. Dans cette partie, on utilisera la clé 2-2-5-6. Décoder la lettre Q dans le mot IYYQ. \hyperlink{Index}{*} \begin{landscape} \begin{center} \textbf{ANNEXE 1 de l'exercice 2} \bigskip \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-1,-1)(18.8496,9.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5](0,0)(18.8496,9.5) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(18.8496,9.5) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \pscustom[fillstyle=vlines] {\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{0}{6.28319}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub} \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{6.28319}{0}{x 1 add ln} } \pscustom[fillstyle=hlines] {\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{6.28319}{12.5664}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{12.5664}{6.28319}{x 1 add ln} } \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{18.8496}{x 1 add ln} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{0}{18.8496}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub} \psdots(6.28319,1.98557)(12.5664,2.60759) \uput[d](6.28319,1.98557){A}\uput[d](12.5664,2.60759){B} \uput[d](4,1.6){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[u](4,3.3){\red $\mathcal{C}_g$} \end{pspicture*} \end{center} \vspace{1.5cm} \begin{center} \textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE} \medskip \textbf{ANNEXE 2 de l'exercice 4} \bigskip \psset{unit=4cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-2.8,-0.5)(1.5,2.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2.8,-0.5)(1.5,2.1) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \psdots(0;0)(1;0)(1.1547;30)(1.3333;60)(1.5396;90)(1.7778;120)(2.37037;180) %(2.0528;150) \uput[ur](1;0){$A_0$} \uput[ur](1.1547;30){$A_1$} \uput[ur](1.3333;60){$A_2$} \uput[ur](1.5396;90){$A_3$}\uput[ur](1.7778;120){$A_4$}\uput[ur](2.37037;180){$A_6$}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \end{landscape} %%%%%%%%% fin Nouvelle-Calédonie mars 2016 \hypertarget{Index}{} \printindex \end{document}