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\titlelabel{\thetitle.\quad}	% ajout d'un point après les n\degres des titres
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  {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}} %
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small{Baccalauréat ES obligatoire}}
\rhead{\small{QCM}}
\lfoot{\small \jobname}
\rfoot{\small{Guillaume Seguin}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} 
  \textbf{\huge \gray \decofourleft~Baccalauréat ES  \decofourright \\ \vspace*{10mm}
    Index des exercices avec des QCM de 2013 à 2016}


  Tapuscrit : \textsc{Guillaume Seguin} \end{center}

% \hyperlink{toto}{affichage} 
% \hypertarget{toto}{affichage}

\newcounter{Gui}[Gui]
\setcounter{Gui}{0} 

% \newpage

\hypertarget{top}{}

% \hspace*{-1cm}
{\footnotesize
  \begin{tabular}{|c||l|*{9}{c|}}
    \hline
\No & Lieu et date&QCM&V/F&fonctions&lect. graph. &suites &proba. &lois continues &fluctuations &  \\ \hline\hline
    % Contenu du tableau
    % \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{}{} & & & & & & &&&\\ \hline
    % \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{}{} & & & & & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{ant16}{Antilles juin 2016} &$\x$ & &$\x$ & &$\x$ & &&&algo\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{asie16}{Asie 2016} &$\x$ & &$\x$ &$\x$ & & &&&étude fct exp\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{pondi16}{Pondichery 2016} &$\x$ & &$\x$ & &$\x$ & &$\x$&$\x$&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{lib16}{Liban 2016} &$\x$ & &$\x$ &$\x$ & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{poly16}{Polynésie juin 2016} & &$\x$ &$\x$ &$\x$ & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{frjuin16}{Métropole juin 2016} &$\x$ & &$\x$ &$\x$ & & &$\x$&$\x$&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{etr16}{Centres étrangers 2016} &$\x$ & &$\x$ &$\x$ & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amnord16}{Amérique du nord 2016} &$\x$ & &$\x$ &$\x$ & & &$\x$&$\x$&\%\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amsudnov15}{Amerique du sud nov 2015} &$\x$ & & & & &$\x$ &&&binom.\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{calnov15}{Nouvelle Calédonie nov 2015} &$\x$ & &$\x$ &$\x$ & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{antsept15}{Antilles sept 2015} &$\x$ & &$\x$ &$\x$ & & &$\x$&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{polysept15}{Polynésie sept 2015} &$\x$ & &$\x$ & & &$\x$ &$\x$&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{ant15}{Antilles2015} &$\x$ & &$\x$ & & & &&&\%\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{asie15}{Asie 2015} &$\x$ & & & & &$\x$ &$\x$&$\x$&\%\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{poly15}{Polynésie 2015} &$\x$ & &$\x$ &$\x$ & & &$\x$&&algo\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{etr15}{Centres Etrangers 2015} &$\x$ & &$\x$ &$\x$ & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amnord15}{Amérique du nord 2015} &$\x$ & & & & & &$\x$&$\x$&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{liban15}{Liban 2015} & &$\x$ &$\x$ &$\x$ & & &&&fonct. densité\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{pondy15}{Pondichery avr 2015} &$\x$ & & & & &$\x$ &$\x$&$\x$&\\ \hline    
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{nvcal14}{Nouvelle Calédonie nov 2014} &$\x$ & & & & &$\x$ &$\x$&$\x$&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amsud14}{Amérique du sud nov 2014} &$\x$ & & & & &$\x$ &&&binom\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{polysept14}{Polynésie sept 2014} &$\x$ & &$\x$ &$\x$ & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{antsept14}{Antilles sept 2014} &$\x$ & &$\x$ &$\x$ & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{pondi14}{Pondichery 2014} & &$\x$ &$\x$ &$\x$ & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{frjuin14}{Métropole juin 2014} & &$\x$ & & &$\x$ & &$\x$&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{liban14}{Liban 2014} &$\x$ & & & & &$\x$ &&$\x$&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{etranger14}{Centres Etrangers 2014} & &$\x$ & & & & &$\x$&$\x$&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{asie14}{Asie 2014} & &$\x$ &$\x$ &$\x$ & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{ant14}{Antilles juin 2014} &$\x$ & &$\x$ & &$\x$ & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amnord14}{Amérique du Nord 2014} &$\x$ & &$\x$ &$\x$ & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{calmars14}{Nouvelle Calédonie mars 2014} & &$\x$ &$\x$ & & & &$\x$&$\x$&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amsudnov13}{Amérique du sud nov 2013} & &$\x$ &$\x$ & & & &&$\x$&\%\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{calnov13}{Calédonie nov 2013} &$\x$ & &$\x$ & & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{francesept13}{Métropole sept 2013} &$\x$ & &$\x$ &$\x$ & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{polysept13}{Polynésie sept 2013} &$\x$ & &$\x$ &$\x$ & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{amnord13}{Amerique du Nord mai 2013} &$\x$ & &$\x$ & & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{asiejuin13}{Asie juin 2013} &$\x$ & & & & & &$\x$&$\x$&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{liban13}{Liban mai 2013} &$\x$ & &$\x$ & & & &$\x$&$\x$&\\ \hline    
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{frdev13}{Métropole dévoilé juin 2013} &$\x$ & &$\x$ &$\x$ & & &&$\x$&\\ \hline    
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{francejuin13}{Métropole juin 2013} & &$\x$ &$\x$ & &$\x$ & &$\x$&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{poly13}{Polynésie juin 2013} &$\x$ & &$\x$ & & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{pondi13}{Pondichéry avril 2013} &$\x$ & &$\x$ & & & &&&\\ \hline
    \addtocounter{Gui}{1}\theGui&\hyperlink{etranger13}{Centres étrangers juin 2013} &$\x$ & & & &$\x$ & &&&algo\\ \hline
  \end{tabular}
}

\newpage


% \hypertarget{}{}
% \section{ \hrulefill}



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 \hypertarget{ant16}{}
 \section{Antilles juin 2016 \hrulefill}

 \emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne le tableau de variation d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[ - 1~;~3]$ :

\smallskip

\parbox{0.44\linewidth}{Dans l'intervalle $[ - 1~;~3]$, l’équation $f(x) = 0$ admet :

\textbf{a.~~} exactement 3 solutions 

\textbf{b.~~} exactement 2 solutions 

\textbf{c.~~} exactement 1 solution 

\textbf{d.~~} pas de solution}\hfill \parbox{0.54\linewidth}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\psframe(6,2.5)\psline(0,2)(6,2)
\psline(1.5,0)(1.5,2)
\uput[u](0.75,1.9){$x$} \uput[u](1.7,1.9){$~- 1$} \uput[u](3,1.9){$1$} \uput[u](4.5,1.9){$2$} \uput[u](5.85,1.9){$3$}
\uput[u](1.7,0){$~- 2$} \uput[d](3,2){2}\uput[u](4.5,0){$- 1$}\uput[d](5.6,2){$- 0,5$}
\psline{->}(2,0.5)(2.5,1.5) \psline{->}(3.5,1.5)(4,0.5)\psline{->}(5,0.5)(5.5,1.5)
\rput(0.75,1.25){variations}
\rput(0.75,0.75){de $f$}
\end{pspicture}}

\medskip

\item L'équation $\ln (2x) = 2$ admet une unique solution $x_0$ sur $\R$. On a :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$x_0 = 0$&\textbf{b.~~}$x_0 = \dfrac{\text{e}^2}{2}$& \textbf{c.~~}$x_0 = \dfrac{\ln 2}{2}$ &\textbf{d.~~}$x_0 = \np{3,6945}$
\end{tabularx}

\medskip

\item La suite $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 400$ et de raison $\dfrac{1}{2}$.

La somme $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{10}$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $2\times \left(1 - 0,5^{10}\right)$ &\textbf{b.~~} $2\times \left(1 - 0,5^{11}\right)$ \\[5pt]
 \textbf{c.~~} $800\times\left(1 - 0,5^{10}\right)$&\textbf{d.~~}$800 \times \left(1 - 0.5^{11}\right)$
\end{tabularx}

\medskip

\item On considère l'algorithme ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|lX|}\hline
\textbf{Variables :}	&$n$ est un nombre entier naturel \\
								&$U$ est un nombre réel\\
\textbf{Traitement :}&Affecter à $n$ la valeur $0$ \\
								&Affecter à $U$ la valeur 50\\
								&Tant que $U < 120$ faire\\
								&\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l}
												$U$ prend la valeur $1,2\times U$\\ 
												$n$ prend la valeur $n+1$
												\end{tabular}\\
								&Fin Tant que \\
\textbf{Sortie :}						&Afficher $n$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
  
En  fin d'exécution, cet algorithme affiche la valeur :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  4 &\textbf{b.~~} $124,416$ &\textbf{c.~~} 5
&\textbf{d.~~} 96
\end{tabularx}
\medskip

\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 2 + 3 \ln(x)$.

La tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$ a pour équation :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  $y = \dfrac{3}{x}$ &\textbf{b.~~} $y = 3x - 1$ &\textbf{c.~~} $y = 3x$ &\textbf{d.~~} $y = 3x + 2$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate} 



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 \newpage

\hypertarget{asie16}{}
\section{Asie 2016 \hrulefill}

Dans un repère orthonormé du plan, on donne la courbe représentative $\mathcal C_f$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $\left[-1~;~5\right]$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

La courbe $\mathcal C_f$ passe par le point $A\,(0\,;\,1)$ et par le point $B$ d'abscisse 1.

La tangente $T_0$ à la courbe au point $A$ passe par le point $C\,(2\,;\,3)$ et la tangente $T_1$ au point $B$ est parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{center}
\psset{unit=1.8cm,comma=true}
\def\xmin {-1.2}     \def\xmax {5.2}
\def\ymin {-0.3}     \def\ymax {3.2}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psset{yMaxValue=\ymax,yMinValue=\ymin}(-2,-1)(6,4)
\psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0,griddots=20, gridcolor=gray,] 
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt,Dy=0.5](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){$O$}
%\psaxes[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vec{\imath}$,d][$\vec{\jmath}$,180]

\def\f{x x 2 add mul 1 add 2.7183 -1 x mul exp mul}% définition de la fonction

\psplot[plotpoints=2000]{-1}{5}{\f}%   f
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{\xmin}{\xmax}{x 1 add}%   Tangente en A
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{\xmin}{\xmax}{1.47}%   Tangente en B

\psdot(0,1)         \uput[dr](0,1){$A$}
\psdot(1,1.47)      \uput[ur](1,1.47){$B$}
\psdot(2,3)         \uput[ul](2,3){$C$}

\uput[dr](1.5,2.5){$T_0$}
\uput[u](4.5,1.5){$T_1$}
\uput[ur](4.5,0.336){$\mathcal C_f$}

\end{pspicture*}
\end{center}
 
\subsubsection*{\textsc{Partie A}}

\emph{Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n'est demandée. Pour chacune des question, une seule des réponses proposées est correcte.\\
Une bonne réponse rapporte $0,75$ point.\\
Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève ni ne rapporte aucun point.\\
Noter sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\begin{enumerate}
\item La valeur exacte de $f'(1)$ est:

\begin{multicols}{4}
\textbf{a.}~~0

\columnbreak

\textbf{b.}~~1

\columnbreak

\textbf{c.}~~1,6

\columnbreak

\textbf{d.}~~autre réponse

\end{multicols}

\item La valeur exacte de $f'(0)$ est:

\begin{multicols}{4}
\textbf{a.}~~0

\columnbreak

\textbf{b.}~~1

\columnbreak

\textbf{c.}~~1,6

\columnbreak

\textbf{d.}~~autre réponse

\end{multicols}

\item La valeur exacte de $f(1)$ est:

\begin{multicols}{4}
\textbf{a.}~~0

\columnbreak

\textbf{b.}~~1

\columnbreak

\textbf{c.}~~1,6

\columnbreak

\textbf{d.}~~autre réponse

\end{multicols}

\item Un encadrement de $\int_{0}^{2}f(x)~\text{d}x$ par des entiers naturels successifs est:

\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.}~~$3 \leqslant \int_{0}^{2}f(x)~\text{d}x \leqslant 4$
& \textbf{b.}~~$2 \leqslant \int_{0}^{2}f(x)~\text{d}x \leqslant 3$\\[8pt]
\textbf{c.}~~$1 \leqslant \int_{0}^{2}f(x)~\text{d}x \leqslant 2$
& \textbf{d.}~~autre réponse
\end{tabularx}

\end{enumerate}


\subsubsection*{\textsc{Partie B}}

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $F$ définie sur $\left[-1~;~5\right]$ par $F(x)=-(x^2+4x+5)\e^{-x}$ est une primitive de la fonction $f$.

\begin{enumerate}
\item En déduire l'expression de $f(x)$ sur $\left[-1~;~5\right]$.

\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte de l'aire du domaine du plan limité par la courbe $\mathcal C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$.

\end{enumerate}

\item Montrer que sur l'intervalle $\left[-1~;~5\right]$, l'équation $f(x)=1$ admet au moins une solution.

\end{enumerate}


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\newpage


\hypertarget{pondi16}{}
\section{Pondichery 2016 \hrulefill}


\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions posées, une seule des trois réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par 

  \[f(x) = 3x - x \ln x\]

  On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.

  Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ on a :

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
    \textbf{a.~~} $f'(x) = 3 - \dfrac{1}{x}$ &\textbf{b.~~} $f'(x) = 3 - \ln x$ &\textbf{c.~~} $f'(x) = 2 - \ln x$
  \end{tabularx}
  \medskip
\item On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.

  La somme des 13 premiers termes de cette suite vaut :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
    \textbf{a.~~} \np{4095} &\textbf{b.~~} \np{8191} &\textbf{c.~~} $\dfrac{1 - 2^{14}}{1 - 2}$
  \end{tabularx}
  \medskip

\item Une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur l'intervalle [2~;~7] dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.

  \begin{center}
    \psset{xunit=1cm,yunit=6cm,arrowscale=1.5}
    \begin{pspicture}(-0.75,-0.05)(8,0.4)
      \multido{\n=0+1}{8}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,0.4)}
      \multido{\n=0+0.1}{5}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](0,\n)(8,\n)}
      \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.75,-0.05)(8,0.4)
      \uput[l](0,0.2){$\frac{1}{5}$}
      \psline[linewidth=1.25pt](2,0.2)(7,0.2)
      \uput[dl](0,0){$0$}
    \end{pspicture}
  \end{center}

  $P(A)$ désigne la probabilité d'un évènement $A$ et $E(X)$ l'espérance de la variable aléatoire $X$.

  \medskip
  \begin{tabularx}{1.1\linewidth}{X m{4cm}X}
    \textbf{a.~~} $P(3 \leqslant X \leqslant 7) = \dfrac{1}{4}$&
    \textbf{b.~~} $P(X\geqslant4) = P(2\leqslant X \leqslant 5)$&\textbf{c.~~} $E(X) = \dfrac{9}{5}$
  \end{tabularx}
  \medskip

\item On réalise un sondage sur un échantillon de $n$ personnes ($n$, entier naturel non nul).

  Parmi les tailles de l'échantillon proposées ci-dessous, quelle est celle qui permet d'obtenir un
  intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ avec une amplitude de $0,02$ ?

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
    \textbf{a.~~} $n = \np{5000}$ &\textbf{b.~~} $n = 100$ &\textbf{c.~~} $n = \np{10000}$
  \end{tabularx}
  \medskip
\end{enumerate}


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\newpage

\hypertarget{lib16}{}
\section{Liban mai 2016 \hrulefill}


\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
  Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni
  n'enlève aucun point.\\
  Pour chacune des questions posées, une seule des quatre propositions est exacte.\\
  Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la proposition choisie. Aucune justification
  n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ est tracée ci-dessous ainsi que les tangentes respectives aux points d'abscisses $- 3$ et $0$.

  % \begin{center}
  %   \psset{unit=0.8cm}
  %   \begin{pspicture}(-7,-4)(5,6)
  %     \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-7,-4)(5,6)
  %     \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-7,5)(-6,4.6)(-5,4.25)(-4,3.8)(-3,3)(-2,1.5)(-1,-0.2)(0,-1)(1,-0.85)(2,-0.45)(3,0.2)(4,1)(5,1.95)
  %     \psline[linewidth=1.25pt](-7,-1)(5,-1)
  %     \psline[linewidth=1.25pt](-6,6)(4,-4)
  %     \uput[dl](0,0){O}
  %   \end{pspicture}
  % \end{center}

  \begin{center}
    \psset{unit=.8cm}
    \begin{pspicture}(-7,-3)(5,5)
      \def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
      \def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
      \def\f{(-58*x^3-957*x^2-5776*x-5481)/1600}
      \def\g{5*x^3/27+x^2-1}
      \def\h{-3*x^3/250+89*x^2/500-1}
      \psgrid[griddots=10,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-7,-3)(5,5)
      \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-7,-3)(5,5)
      \uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](5,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,5){\footnotesize{$y$}}
      \psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{-7}{-3}{\f}
      \psplot[algebraic=true,plotpoints=150,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{-3}{0}{\g}
      \psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0}{5}{\h}
      \psline[linewidth=1pt](-5,5)(3,-3)
      \psline[linewidth=1pt](-7,-1)(5,-1)
      \uput[dr](-6,5){\small{\blue{$\mathcal{C}_f$}}}
    \end{pspicture}
  \end{center}

  \begin{center}
    \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
      \textbf{a.~~} $f'(0) = - 1$&\textbf{b.~~}$f'(-1) = 0$ &\textbf{c.~~} $f'(-3) = - 1$ &\textbf{d.~~} $f'(-3) = 3$
    \end{tabularx}
  \end{center}

\item  On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : $g(x) = (x + 1)\ln (x)$.

  \begin{center}
    \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
      \textbf{a.~~} $g'(x) = \dfrac{1}{x}$&\textbf{b.~~} $g'(x) = 1 + \ln (x)$\\
      \textbf{c.~~} $g'(x) = - \dfrac{1}{x^2}$&\textbf{d.~~} $g'(x) = 1 + \dfrac{1}{x} + \ln (x)$
    \end{tabularx}
  \end{center}

\item  On considère la fonction $h$ définie sur [0~;~7] et représentée par la courbe ci-dessous :

  % \begin{center}
  %   \psset{unit=1cm}
  %   \begin{pspicture}(-1,-0.5)(9,10.5)
  %     \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(9,10.5)
  %     \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0,0)(9,10)
  %     \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,10)(1,8)(2,6)(3,4.1)(4,2.25)(5,1)(6,0.75)(7,3.45)
  %%     \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{7}{ x dup mul 0.2083 mul x 2.417 mul sub 10 add}
  %     \uput[r](0.5,9.5){\blue $\mathcal{C}_h$}
  %   \end{pspicture}
  % \end{center}

  \begin{center}
    \psset{unit=.8cm}
    \begin{pspicture}(-.5,-.5)(9,11)
      \def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
      \def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
      \def\f{3*x^3/125-2*x^2/25-2*x+10}
      \def\g{9*x^2/8-49*x/4+273/8}
      \psgrid[griddots=10,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(9,11)
      \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-.5)(9,11)
      \uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}\uput[dl](9,0){\footnotesize{$x$}} \uput[dl](0,11){\footnotesize{$y$}}
      \psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0}{5}{\f}
      \psplot[algebraic=true,plotpoints=150,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{5}{7}{\g}
      \uput[dl](1,10){\small{\blue{$\mathcal{C}_h$}}}
    \end{pspicture}
  \end{center}
  \begin{center}

    \medskip

    \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
      \textbf{a.~~} $\displaystyle\int_0^5  h(x)\:\text{d}x = h(5) - h(0)$&\textbf{b.~~}$20 < \displaystyle\int_0^5  h(x)\:\text{d}x < 30$\\
      \textbf{c.~~} $15 < \displaystyle\int_0^5  h(x)\:\text{d}x < 20$&\textbf{d.~~}$\displaystyle\int_0^5  h(x)\:\text{d}x = 20$
    \end{tabularx}
  \end{center}

\item  On a tracé ci-dessous la représentation graphique de la dérivée seconde $k''$ d'une fonction $k$
  définie sur $[0~;~+ \infty[$.

  % \begin{center}
  %   \psset{xunit=2cm,yunit=1.5cm}
  %   \begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(3.1,3.5)
  %     \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(3.1,3.5)
  %     \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=7](0,-1.5)(3.1,3.5)
  %%     \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.5}{x dup mul 4 mul 11 x mul sub 6 add}
  %     \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,0)(0.25,-0.1)(0.5,-0.3)(1,-1)(1.35,-1.2)(1.6,-1)(2,0)(2.5,3.5)
  %     \uput[l](2.45,3.2){\blue $\mathcal{C}_{k''}$}\uput[dl](0,0){O}
  %   \end{pspicture*}
  % \end{center}


  \begin{center}
    \psset{xunit=2cm,yunit=1.2cm}
    \begin{pspicture*}(-.5,-1.5)(3.25,3.5)
      \def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
      \def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
      \def\f{x^2*(x^2-4)/3}
      \psgrid[griddots=15,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](-1,-2)(4,4)
      \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-.5,-1.5)(3.25,3.5)
      \uput[dl](0,0){\footnotesize{$0$}}
      \psplot[algebraic=true,plotpoints=200,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0}{3}{\f}
      \uput[ur](2,3){\small{\blue{$\mathcal{C}_{k''}$}}}
    \end{pspicture*}
  \end{center}
  \begin{center}

    \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
      \textbf{a.~~}$k$ est concave sur l'intervalle [1~;~2].& \textbf{b.~~} $k$ est convexe sur l'intervalle [0~;~2].\\
      \textbf{c.~~}$k$ est convexe sur $[0~;~+ \infty[$.&\textbf{d.~~} $k$ est concave sur $[0~;~+ \infty[$.
    \end{tabularx}
  \end{center}

\end{enumerate}


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\newpage


\hypertarget{poly16}{}
\section{Polynésie juin 2016 \hrulefill}


\emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.\\ Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.\\ Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\textbf{Les questions 1 et 2 sont indépendantes}

\medskip

On rappelle que $\R$ désigne l'ensemble des nombres réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

  \[f(x) = x \ln x - x + 1.\]

  \textbf{Affirmation A :} La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle ]0~;~1[.

  \textbf{Affirmation B :} La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

  \textbf{Affirmation C :} Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+ \infty[,\: f(x) \leqslant 50$.
\item On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ d'une fonction $g$ définie sur $\R$.

  On admet que $g$ est dérivable sur $\R$ et on rappelle que $g$' désigne la fonction dérivée de la
  fonction $g$.

  On a tracé en pointillé la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point A de cette courbe, d'abscisse 1 et d'ordonnée 2. Cette tangente coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 2.

  \begin{center}
    \psset{xunit=2.5cm}
    \begin{pspicture*}(-1.5,-2.1)(3.1,8.1)
      \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,dash=3pt 2pt,gridwidth=0.4pt](-2,-2)(3,8)
      \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.5,-1.99)(3,8)
      \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.5,-1.99)(3,8)
      \psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1.08,8)(-.9,2.5)(-.6,1.8)(0,2.7)(.3,3.15)(.45,3.1)(1,2)(1.5,1)(1.5,1.7)(3,2.9)
      \psplot[plotpoints=2,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{-1.25}{3}{4 x 2 mul  sub}
      \psdots(1,2)\uput[ur](1,2){A}\uput[u](2.8,2.8){\blue $\mathcal{C}_g$}
      \uput[dl](2.8,-1.5){$T$}\uput[dl](0,0){O}
    \end{pspicture*}
  \end{center}

  \textbf{Affirmation D :} $g'(1) = -2$.

  \textbf{Affirmation E :} $\displaystyle\int_0^1 g(x)\:\text{d}x < 3$.
\end{enumerate}



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\newpage

\hypertarget{frjuin16}{}
\section{Métropole juin 2016 \hrulefill}


\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient. \\
  Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué. \\
  Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\begin{enumerate}

\item 
  Un organisme de formation désire estimer la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l'année 2013. Pour cela, il interroge un échantillon représentatif de 300 stagiaires. On constate que 225 sont satisfaits. 

  Alors, un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 de la proportion de stagiaires satisfaits de la formation reçue au cours de l'année 2013 est: 

  \begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
    \textbf{a.}~~[0,713~;~0,771] & \textbf{b.}~~[0,692~;~0,808]\\
    \textbf{c.}~~[0,754~;~0,813] & \textbf{d.}~~[0,701~;~0,799]
  \end{tabularx}

\item En suivant la loi uniforme, on choisit un nombre au hasard dans l'intervalle [4\,;\,11]. La probabilité que ce nombre soit inférieur à 10 est:

  \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
    \textbf{a.}~~$\dfrac{6}{11}$ 	& \textbf{b.}~~$\dfrac{10}{7}$ & 
    \textbf{c.}~~$\dfrac{10}{11}$ 	& \textbf{d.}~~$\dfrac{6}{7}$
  \end{tabularx}


\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (x+1)\e^{-2x+3}$. La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et sa fonction dérivée $f'$ est donnée par:

  \begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
    \textbf{a.}~~$f'(x)=-2\e^{-2x+3}$ 		& \textbf{b.}~~$f'(x) = \e^{-2x+3}$\\
    \textbf{c.}~~$f'(x)=(-2x+3)\e^{-2x+3}$ 	& \textbf{d.}~~$f'(x) = (-2x-1)\e^{-2x+3}$
  \end{tabularx} 

\item \ \\[-20pt]

  \begin{minipage}{0.75\linewidth}
    On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ telle que sa fonction dérivée $f'$ soit aussi dérivable sur $\R$. La courbe ci-contre représente la fonction $f''$. 

    \vspace{2cm}

    On peut alors affirmer que : 

    \begin{tabularx}{\linewidth}{X}
      \textbf{a.}~~$f$ est convexe sur [-2~;~2].\\ 
      \textbf{b.}~~$f$ est concave sur [-2~;~2].\\
      \textbf{c.}~~La courbe représentative de $f$ sur [-2~;~2] admet un point d'inflexion.\\
      \textbf{d.}~~$f'$ est croissante sur [-2~;~2].
    \end{tabularx}
    \vspace{3cm}\null
  \end{minipage} 
  \begin{minipage}{0.25\linewidth}
    \begin{flushright}
      \psset{unit=0.5cm,labelFontSize=\scriptstyle}
      \def\xmin {-2.1}     \def\xmax {2.1}
      \def\ymin {-9.2}       \def\ymax {7.2}
      \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
        \psgrid[subgriddiv=1, griddots=7, gridlabels=0, gridcolor=black] 
        \psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
        \def\f{x 3 exp 1 sub}% définition de la fonction
        \psplot[plotpoints=2000]{-2}{2}{\f}%   f
      \end{pspicture*}
    \end{flushright}
  \end{minipage}

\end{enumerate}



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\newpage


\hypertarget{etr16}{}
\section{Centres etrangers 2016 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes,
  une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n 'est demandée.
  Une bonne réponse rapporte un point, Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne
  rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par 

\[f(x) = 5 - x + 2 \ln x.\]

On a représenté ci-dessous la courbe représentative $C$ de la fonction $f$, ainsi que T, la tangente
à la courbe $C$ au point A d'abscisse 4.

\begin{center}
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture*}(-0.5,-1.2)(10.5,6.2)
    \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10]
    \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-1)(10.5,6.2)
    \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{10.5}{5 x sub x ln 2 mul add}
    \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0.01}{10.5}{5.77259 x 0.5 mul sub}
    \psdots(4,3.77259)\uput[ur](4,3.77259){A}\uput[ur](0.5,5.6){T}\uput[r](0.2,1.5){\blue $C$}
    \uput[u](10.2,0){$x$}
    \uput[l](0,6.1){$y$}
  \end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$, on a :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
    \textbf{a.~~} $f'(x) =  - 1 + 2x$&\textbf{b.~~} $f'(x) = - 2\ln x + (5 - x)\dfrac{2}{x}$\\
    \textbf{c.~~}  $f'(x) = \dfrac{-x + 2}{x}$&\textbf{d.~~}$f'(x) =  4 + \dfrac{2}{x}$.
  \end{tabularx}
  \medskip

\item Sur l'intervalle ]0~;~10], l'équation $f'(x) =  0$ admet :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~} Aucune solution &\textbf{b.~~} Une seule solution &\textbf{c.~~} Deux solutions &\textbf{d.~~} Plus de deux solutions
  \end{tabularx}
  \medskip

\item Une équation de T est :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
    \textbf{a.~~} $y = \dfrac{1}{2}x + 5,7$ &\textbf{b.~~} $ y = 5,7x - \dfrac{1}{2}$\\
    \textbf{c.~~}  $y = - \dfrac{1}{2}x + 1 + 2 \ln 4$& \textbf{d.~~} $y= - \dfrac{1}{2}x +  3 + 2 \ln 4$
  \end{tabularx}
  \medskip

\item La valeur de l'intégrale $\displaystyle\int_1^3 f(x)\:\text{d}x$ appartient à l'intervalle :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~} [1~;~3]& \textbf{b.~~} [4~;~5] &\textbf{c.~~} [8~;~9]& \textbf{d.~~} [10~;~15]
  \end{tabularx}
  \medskip
\end{enumerate}



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\newpage

\hypertarget{amnord16}{}
\section{Amerique du nord 2016 \hrulefill}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule
  des quatre réponses est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence
  de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
  Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification
  n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle [10~;~50]. La probabilité que ce nombre
  appartienne à l'intervalle [15~;~20] est :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~}$\dfrac{5}{50}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{1}{8}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{1}{40}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{1}{5}$
  \end{tabularx}
  \medskip

\item Le prix d'un produit est passé de 200~\euro{} à 100~\euro.

  Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d'environ :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~}50\,\% &\textbf{b.~~} 25\,\% &\textbf{c.~~} 29\,\% &\textbf{d.~~} 71\,\%
  \end{tabularx}
  \medskip

\item On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle
  [0~;~18].

  \begin{center}
    \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm,comma=true}
    \begin{pspicture}(-2,-40)(20,50)
      \multido{\n=0+2}{11}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-40)(\n,50)}
      \multido{\n=-40+10}{10}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(20,\n)}
      \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(-1.99,-40)(20,50)
      % \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,-33)(2,0)(4,20)(6,30)(8,32)(10,31)(12,27)(14,26)(16,28.5)(18,38)
      \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{18}{x 2 sub x dup mul 31 x mul sub 274 add mul 5 mul 83 div}
      \uput[u](17,33){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[dl](0,0){O}
    \end{pspicture}
  \end{center}

  On peut affirmer que :

  \begin{enumerate}
  \item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~18] sont négatives sur l'intervalle [0 ; 2].
  \item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~18] sont négatives sur l'intervalle [8~;~12].
  \item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~18] sont croissantes sur l'intervalle [0~;~2].
  \item Toutes les primitives de la fonction $f$sur l'intervalle [0~;~18] sont croissantes sur l'intervalle [8~;~12].
  \end{enumerate}
\item Lors d'un sondage, 53,5\,\% des personnes interrogées ont déclaré qu'elles voteront pour le
  candidat A aux prochaines élections. L'intervalle de confiance au seuil de 95\,\% donné par l'institut
  de sondage est [51\,\%~;~56\,\%]. Le nombre de personnes qui ont été interrogées est alors:

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~}	40&\textbf{b.~~} 400&\textbf{c.~~} \np{1600}&\textbf{d.~~} \np{6400}
  \end{tabularx}
  \medskip
\end{enumerate}




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\newpage


\hypertarget{amsudnov15}{}
\section{Amerique du sud nov 2015 \hrulefill}

\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\smallskip

\emph{Les probabilités sont données à $0,001$ près.}

\smallskip

Pour la fête du village de Boisjoli, le maire a invité les enfants des villages voisins.

Les services de la mairie ayant géré les inscriptions dénombrent $400$ enfants à cette fête ; ils indiquent aussi que 32\,\% des enfants présents sont des enfants qui habitent le village de Boisjoli.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre d'enfants issus des villages voisins est :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~} 128 &\textbf{b.~~} 272 &\textbf{c.~~} 303 &\textbf{d.~~} 368
  \end{tabularx}
  \medskip

  Lors de cette fête, huit enfants sont choisis au hasard afin de former une équipe qui participera à un défi sportif. On admet que le nombre d'enfants est suffisamment grand pour que cette situation puisse être assimilée à un tirage au hasard avec remise.

  On appelle $X$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre d'enfants de l'équipe habitant le village de Boisjoli.

\item La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
    \textbf{a.~~} $n = 400$ et $p = 0,32$ &\textbf{b.~~} $n = 8$ et $p = 0,32$\\
    \textbf{c.~~} $n = 400$ et $p = 8$ &\textbf{d.~~} $n = 8$ et $p = 0,68$
  \end{tabularx}
  \medskip

\item La probabilité que dans l'équipe il y ait au moins un enfant habitant le village de Boisjoli est :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~} 0,125 &\textbf{b.~~} 0,875 &\textbf{c.~~} 0,954 &\textbf{d.~~} 1
  \end{tabularx}
  \medskip

\item L'espérance mathématique de $X$ est :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~} \np{1,7408} &\textbf{b.~~} 2,56 &\textbf{c.~~} 87,04 &\textbf{d.~~} 128
  \end{tabularx}
  \medskip
\end{enumerate}



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\newpage

\hypertarget{calnov15}{}
\section{Nouvelle Calédonie nov 2015 \hrulefill}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
  Une réponse exacte rapporte un point Une réponse fausse, une réponse multiple ou
  l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
  Pour chacune des questions posées une seule des quatre réponses est exacte.\\
  Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune
  justification n'est demandée.}

\medskip

On donne ci-dessous la représentation graphique $(\mathcal{C})$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[- 1~;~3]$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $F$ une primitive de $f$.

La tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $A(1~;~0)$ est tracée, elle passe par le point de coordonnées $(0~;~3)$.

\begin{center}
  \psset{unit=1cm}
  % \begin{pspicture*}(-1.5,-3)(3.5,3.5)
  %   \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=10]
  %   \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\tiny]{->}(0,0)(-1.5,-3)(3.5,3.5)
  %   \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\tiny](0,0)(3.5,3.5)
  %   \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{x 3 exp 1.5 mul x dup mul 4 mul sub 0.5 x mul add 2 add}
  %   \uput[ur](1,0){A} \uput[l](2.6,1.3){\blue $(\mathcal{C})$}
  %   \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-1}{3}{3 3 x mul sub}
  % \end{pspicture*}
  \begin{pspicture*}(-1.5,-3)(3.5,3.5)
    \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=10]
    \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\tiny]{->}(0,0)(-1.5,-2.99)(3.5,3.5)
    \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\tiny](0,0)(3.5,3.5)
    \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{x 1 sub x dup mul 2 x mul sub 2 sub mul}
    \uput[ur](1,0){A} \uput[r](2.1,1.5){\blue $(\mathcal{C})$}
    \psplot[plotpoints=2,linewidth=1.25pt]{-.3}{2}{3 3 x mul sub}
  \end{pspicture*}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calcul de $f'(1)$

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
    \textbf{a.~~} $f'(1) = 3$&\textbf{b.~~} $f'(1) = - 3$\\
    \textbf{c.~~} $f'(1) = - \frac{1}{3}$&\textbf{d.~~} $f'(1) = 0$
  \end{tabularx}
  \medskip

\item La fonction $f$ est :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
    \textbf{a.~~} concave sur $[-1~;~ 1]$&\textbf{b.~~}convexe sur $[-1~;~ 1]$\\ 
    \textbf{c.~~} concave sur $[0~;~2]$&\textbf{d.~~} convexe sur $[0~;~2]$
  \end{tabularx}
  \medskip

\item On pose $I = \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x$. Un encadrement de $I$ est :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
    \textbf{a.~~} $0 \leqslant I \leqslant 1$&\textbf{b.~~} $1 \leqslant I \leqslant 2$\\
    \textbf{c.~~} $2 \leqslant I \leqslant 3$ &\textbf{d.~~}  $3 \leqslant I \leqslant 4$
  \end{tabularx}
  \medskip

\item La fonction $F$ est :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
    \textbf{a.~~} croissante sur $[0~;~1]$&\textbf{b.~~} décroissante sur $[0~;~1]$\\
    \textbf{c.~~} croissante sur $[-1~;~0]$&\textbf{d.~~} croissante sur $[- 1~;~ 1]$
  \end{tabularx}
  \medskip
\end{enumerate}


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\hypertarget{antsept15}{}
\section{Antilles sept 2015 \hrulefill}

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip 

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie sur [1~;~100] par $f(x) = 200 \ln x + 10x$,\: $f’(x)$ désigne la fonction dérivée de $f$. On a :\index{dérivée}

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~} $f'(x) = 200 + \dfrac{1}{x}$&\textbf{b.~~} $f'(x) = \dfrac{200}{x} + 10$&\textbf{c.~~} $f'(x) = 200 + 10x$&\textbf{d.~~}$f'(x) = \dfrac{200}{x} + 10x$ \\
  \end{tabularx} 
\item On note $L$ une primitive sur $]0~;~+\infty[$ de la fonction ln. Cette fonction $L$ est : 

  \textbf{a.~~} croissante puis décroissante 

  \textbf{b.~~} décroissante sur $[0~;~+\infty[$

  \textbf{c.~~} croissante sur $[0~;~+\infty[$

  \textbf{d.~~} décroissante puis croissante 

\item La fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = x - \ln x$ est : \index{fonction convexe}

  \textbf{a.~~}  convexe sur  $]0~;~+\infty[$

  \textbf{b.~~} concave sur $]0~;~+\infty[$

  \textbf{c.~~} ni convexe ni concave sur $]0~;~+\infty[$ 

  \textbf{d.~~} change de convexité sur $]0~;~+\infty[$ 
\item  On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $h$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ ainsi que sa tangente au point A d'abscisse 2. Par lecture graphique, on peut conjecturer que : \index{lecture graphique}

  \medskip

  \parbox{0.3\linewidth}{
    \textbf{a.~~} $h'(2) = 2$ 

    \textbf{b.~~} $h'(2) = \dfrac{1}{2}$

    \textbf{c.~~} $h'(2) = 0$ 

    \textbf{d.~~} $h'(2) = 1$}\hfill
  \parbox{0.65\linewidth}{\psset{unit=1cm}
    \begin{pspicture*}(-1.5,-2.5)(6.1,3.2)
      \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8]
      \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.5,-2.5)(6,3.2)
      \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(6,3.2)
      \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{6}{x ln 1 add 2 ln sub}
      \psplot{-1}{6}{0.5 x mul }
      \uput[ul](2,1){A}
    \end{pspicture*}
  }

\item La variable aléatoire $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu = 0$ et d'écart type $\sigma$ inconnu mais on sait que $P( -10 < X < 10) = 0,8$. On peut en déduire: \index{loi normale}

  \textbf{a.~~} $P(X < 10) = 0,1$ 

  \textbf{b.~~} $P(X < 10) = 0,2$ 

  \textbf{c.~~} $P(X < 10) = 0,5$ 

  \textbf{d.~~} $P(X < 10) = 0,9 $
\end{enumerate}


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\hypertarget{polysept15}{}
\section{Polynésie sept 2015 \hrulefill}

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
  plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

À une roue de loterie dans une fête foraine, la probabilité annoncée de gagner une partie est
égale à $0,12$. Un joueur a la possibilité de jouer plusieurs parties.\index{probabilités}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un joueur achète un carnet de tickets permettant de faire quatre parties. La valeur la
  plus approchée de la probabilité que le joueur gagne une seule fois sur les quatre parties
  est :\index{loi binomiale}

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.} \np{0,3271}& \textbf{b.} \np{0,0002} &\textbf{c.} \np{0,4824} &\textbf{d.} \np{0,1215}
  \end{tabularx}
  \medskip

\item  Après avoir gagné une partie, le joueur a la possibilité d'emporter son lot ou de le remettre en jeu. La probabilité qu'un joueur emporte son lot sachant qu'il a gagné est 0,8. La valeur la plus approchée de la probabilité qu'il parte avec son lot après une seule partie est :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.} 0,024 &\textbf{b.} 0,12 &\textbf{c.} 0,096 &\textbf{d.} 0,8
  \end{tabularx}
  \medskip

  On modélise le nombre de parties jouées par jour à cette loterie par une variable aléatoire $X$
  qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 150$ et d'écart-type $\sigma = 10$.
\item  Une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P(140 < X < 160)$ est :\index{loi normale}

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.} 0,954 & \textbf{b.} 0,683 &\textbf{c.} 0,997 &\textbf{d.} 0,841
  \end{tabularx}
  \medskip

\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
\item[\textbf{4.}] la fonction $f'$, dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (2x + 1)\text{e}^{-x}$, a pour expression :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.} $(-x - 1)\text{e}^{-x}$ & \textbf{b.} $(- 2x - 3)\text{e}^{-x}$ & \textbf{c.} $(2x + 3)\text{e}^{-x}$ & \textbf{d.} $(-2x + 1)\text{e}^{-x}$
  \end{tabularx}\index{dérivée}
  \medskip

\item[\textbf{5.}] Soit un nombre réel strictement positif $a$. Parmi ces suites d'inégalités quelle est l'inégalité correcte ?

  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.} $a < \ln a < \text{e}^a$& \textbf{b.} $\text{e}^a < a < \ln a$
    & \textbf{c.} $\ln a < \text{e}^a < a$& \textbf{d.} $\ln a < a < \text{e}^a$
  \end{tabularx}
  \medskip
\end{enumerate}


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\hypertarget{ant15}{}
\section{Antilles 2015 \hrulefill}

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
  plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3 + 6x^2$ est convexe sur l'intervalle :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~} $]- \infty~;~+\infty[$&\textbf{b.~~} $[- 2~;~+\infty[$ &\textbf{c.~~} $]-\infty~;~-2]$ &\textbf{d.~~} $[-6~;~+\infty[$
  \end{tabularx}
  \medskip
\item  Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = (x - 2)\text{e}^{x}$. L'équation $g(x) = 0$ admet sur $\R$ :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
    \textbf{a.~~} aucune solution&\textbf{b.~~} une seule solution\\
    \textbf{c.~~} exactement deux solutions&\textbf{d.~~} plus de deux solutions
  \end{tabularx}
  \medskip
\item  On pose : $I = \displaystyle\int_0^1 - 2x\text{e}^{- x^2}\:\text{d}x$. La valeur de $I$ est :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~} $1 - \text{e}^{-1}$ &\textbf{b.~~} $\text{e}^{-1} - 1$&\textbf{c.~~}$- \text{e}^{-1} $&\textbf{d.~~}$\text{e}^{-1}$
  \end{tabularx}
  \medskip
\item  La fonction $h$ est définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = (2x + 4) \ln x$.\\
  On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$.\\
  Pour tout nombre $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$,\: $h'(x)$ est égale à :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~} $\dfrac{2}{x}$&\textbf{b.~~} $2\ln x + \dfrac{4}{x}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{2x + 4}{x}$&\textbf{d.~~}$2\ln x + \dfrac{2x + 4}{x}$
  \end{tabularx}
  \medskip
\item  Le prix d'une action a augmenté chaque mois de 5\,\% et cela pendant 3 mois consécutifs.\\
  Globalement, le prix de l'action a été multiplié par:

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~} $1,05^3$ &\textbf{b.~~}  1,15&\textbf{c.~~}  $3 \times 1,05$ &\textbf{d.~~}  1,45
  \end{tabularx}
  \medskip
\end{enumerate}




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\newpage

\hypertarget{asie15}{}
\section{Asie 2015 \hrulefill}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\ Indiquer sur la copie le numéro de la question et
  recopier la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point.\\  Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève
  aucun point}

\medskip
\begin{enumerate}
\item On lance une pièce de monnaie bien équilibrée 10 fois de suite. $X$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de \og pile \fg{} obtenus. 

  La probabilité d'obtenir exactement 5 \og pile \fg{} est, arrondie au centième:

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~} 0,13 &\textbf{b.~~} 0,19 &\textbf{c.~~} 0,25 &\textbf{d.~~} 0,5
  \end{tabularx}
  \medskip
\item $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $3$ et d'écart-type $2$ ; alors une valeur approchée au centième de la probabilité $p(X \geqslant 5)$ est :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~}  0,14 &\textbf{b.~~} 0,16 &\textbf{c.~~} 0,32 &\textbf{d.~~} 0,84
  \end{tabularx}
  \medskip
\item Dans une ville donnée, pour estimer le pourcentage de personnes ayant une voiture rouge, on effectue un sondage. L'amplitude de l'intervalle de confiance au seuil de $0,95$ étant inférieure ou égale à $0,04$ la taille de l'échantillon choisi est :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 400 &\textbf{b.~~} \np{1000} &\textbf{c.~~} \np{2000} &\textbf{d.~~} \np{2500}
  \end{tabularx}
  \medskip
\item Une entreprise vendant des parquets flottants s'approvisionne auprès de deux fournisseurs A et B. Le fournisseur A livre 70\,\% du stock de l'entreprise. On sait que 2\,\% des pièces livrées par A présentent un défaut et 3\,\% des pièces livrées par B présentent un défaut. 

  On prélève au hasard une pièce du stock de l'entreprise, quelle est la probabilité, que cette pièce soit sans défaut ?

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,023 &\textbf{b.~~} 0,05 &\textbf{c.~~} 0,97 &\textbf{d.~~} 0,977
  \end{tabularx}
  \medskip
\item Pour une puissance électrique donnée, le tarif réglementé du kilowattheure est passé de \np{0,1140}~\euro{} au 01/07/2007 à \np{0,1372}~\euro{} au 01/07/2014. 

  Cette augmentation correspond à un taux d'évolution arrondi au centième, chaque année, de :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~} 1,72\,\% &\textbf{b.~~} 1,67\,\% &\textbf{c.~~} 2,68\,\% &\textbf{d.~~} 1,33\,\%
  \end{tabularx}
  \medskip
\end{enumerate}

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\newpage


\hypertarget{poly15}{}
\section{Polynésie 2015 \hrulefill}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
  Aucune justification n'est demandée.\\
  Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\smallskip

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante}

\medskip


\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $g$ définie pour tout nombre réel $x$ strictement positif par 
  \[g(x) = 2\text{e}^{3x} + \dfrac{1}{2}\ln (x).\]
  Si $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$, on a :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\small}X}}
    \textbf{a.~}\small  $g'(x) = 2\text{e}^{3x} + \dfrac{2}{x}$&\textbf{b.~} $g'(x) = 6\text{e}^{3x} + \dfrac{2}{x}$& \textbf{c.~} $g'(x) = 6\text{e}^{3x} + \dfrac{1}{2x}$&\textbf{d.~}$g'(x) = 6\text{e}^{x} + \dfrac{1}{2x}$
  \end{tabularx}
  \medskip

\item La courbe représentative $C$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-2~;~4]$ est donnée ci-dessous. La tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse $0$ traverse la courbe en ce
  point.

  \parbox{0.48\linewidth}{
    La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle :

    \textbf{a.~} $[-1~;~4]$

    \textbf{b.~} $[-2~;~0]$

    \textbf{c.~} $[-2~;~-1]$

    \textbf{d.~} $[0~;~4]$}\hfill
  \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
    \begin{pspicture*}(-2.5,-1)(4.5,3.5)
      \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan]
      \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2.5,-0.99)(4.5,3.5)
      \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(4.5,3.5)
      \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{4}{2 x add 2.71828 x exp div}
      \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-2}{3}{2 x sub}
      \uput[u](3.5,0.2){$C$}\uput[l](2.8,-0.8){$T$}
    \end{pspicture*}}

  \medskip

\item On donne l'algorithme ci-dessous.

  \parbox{0.48\linewidth}{
    La valeur affichée en sortie de cet algorithme est :

    \textbf{a.~} 7,1

    \textbf{b.~} 7,6

    \textbf{c.~} 8

    \textbf{d.~} 17}\hfill
  \parbox{0.48\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline 
      \textbf{Variables}\\
      \hspace{0.4cm}$n$ : un nombre entier naturel\\
      \textbf{Traitement}\\
      \hspace{0.4cm}Affecter à $n$ la valeur $0$\\
      \hspace{0.4cm}Tant que $1,9^n < 100$\\
      \hspace{0.8cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
      \hspace{0.4cm}Fin Tant que\\
      \textbf{Sortie}\\
      \hspace{0.4cm}Afficher $n$\\ \hline
    \end{tabularx}}

  \medskip

\item Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur l'intervalle [0~;~5] dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.

  \parbox{0.48\linewidth}{On a alors :

    \textbf{a.~} $P(X \geqslant 3) = P(X < 3)$

    \textbf{b.~} $P(1 \leqslant  X \leqslant 4) = \dfrac{1}{3}$

    \textbf{c.~} $E(X) = \dfrac{5}{2}$

    \textbf{d.~} $E(X) = \dfrac{1}{5}$}\hfill
  \parbox{0.48\linewidth}{
    \psset{xunit=0.8cm,yunit=4cm}
    \begin{pspicture*}(-0.5,-0.15)(6.1,0.65)
      \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan]
      \multido{\n=0.2+0.2}{3}{\psline[linecolor=cyan](0,\n)(6,\n)}
      \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.1)(6,0.65)
      \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(6,0.65)
      \psline[linewidth=1.25pt](0,0.2)(5,0.2)
      \uput[l](0,0.2){$\frac{1}{5}$}
    \end{pspicture*}
  }
\end{enumerate}



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\newpage


\hypertarget{etr15}{}
\section{Centres Etrangers 2015 \hrulefill}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
  Pour chacune des questions posées,  une seule des quatre réponses est exacte.\\
  Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence  de réponse ne rapporte
  ni n'enlève  aucun point.\\
  Indiquer sur la copie le numéro de la question  et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation  graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle [1~;~7].

La droite $T$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A(3~;~3) et passe par le point de coordonnées (5~;~0).

Le point A est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$.
\begin{center}
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(-0.5,-1)(9,7)
    \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan](0,0)(9,7)
    \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(9,7)
    \psdots(1,0)(7,0.1648)(3,3) \uput[ur](3,3){A}
    \uput[d](8.85,0){$x$}\uput[l](0,6.85){$y$}\uput[dl](0,0){O}
    \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{7}{x 1  sub 1.5 mul  2.71828 x 3 sub  exp div}
    \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.5}{5.3}{7.5 1.5 x mul sub}
    \uput[u](6.5,0.3){\blue $\mathcal{C}$}\uput[ur](1.4,5.4){$T$}
  \end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~} $f'(3) = 3$&\textbf{b.~}  $f'(3) =\dfrac{3}{2}$&\textbf{c.~}$f'(3) = - \dfrac{2}{3}$&\textbf{d.~}$f'(3) = - \dfrac{3}{2}$ 
  \end{tabularx}
  \medskip

\item On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$ :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~} $f''(3) = 3$&\textbf{b.~}  $f''(3) = 0$&\textbf{c.~}  $f''(5) = 0$&\textbf{d.~}  $f''(2) = 0$
  \end{tabularx}
  \medskip

\item Toute primitive $F$ de la fonction $f$ est nécessairement :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~} croissante sur [1~;~7]&\textbf{b.~} décroissante sur [2~;~7]&\textbf{c.~} négative sur [2~;~7]& \textbf{d.~}  positive sur [1~;~7]
  \end{tabularx}
  \medskip

\item On note $I = \displaystyle\int_2^3 f(x)\:\text{d}x$ :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~} $1 \leqslant I \leqslant 2$&\textbf{b.~}$2 \leqslant I \leqslant 3$&\textbf{c.~} $3 \leqslant I \leqslant 4$&\textbf{d.~}$4 \leqslant I \leqslant 5$
  \end{tabularx}
  \medskip
\end{enumerate}



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\newpage


\hypertarget{amnord15}{}
\section{Amérique du nord 2015 \hrulefill}

\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\bigskip

\textbf{\textsc{Partie A}}
\medskip

Un industriel veut lancer sur le marché une gamme de produits spécialement conçus pour les gauchers. Auparavant il cherche à estimer la proportion de gauchers dans la population française. Une première étude portant sur un échantillon de \np{4000} Français révèle que l'on dénombre de 484 gauchers.
\begin{enumerate}
\item Un intervalle de confiance au niveau de confiance de 0,95 permettant de connaître la proportion de gauchers dans la population française est (les bornes ont été arrondies à $10^{-3}$) :
  \begin{enumerate}
    \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
    \item $[0,120~;~0,122]$	&	\item $[0,863~;~0,895]$	&	\item $[0,105~;~0,137]$	&	\item $[0,090~;~0,152]$	
    \end{tabularx}
  \end{enumerate}\medskip

\item La taille $n$ de l'échantillon que l'on doit choisir afin d'obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 ayant une amplitude de 0,01 est :

  \begin{enumerate}
    \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
    \item $n=15$	&	\item $n=200$	&	\item $n=\np{10000}$	&	\item $n=\np{40000}$	
    \end{tabularx}
  \end{enumerate}
\end{enumerate}\medskip

\textbf{\textsc{Partie B}}
\medskip

Des chercheurs ont conçu un test pour évaluer la rapidité de lecture d'élèves de CE2. Ce test consiste à chronométrer la lecture d'une liste de 20 mots. On a fait passer ce test à un très grand nombre d'élèves de CE2. On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le temps en seconde mis par un élève de CE2 pour passer le test. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 32$ et d'écart-type $\sigma = 13$.
\medskip

\begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
\item La probabilité $p(19 \leqslant X \leqslant 45)$ arrondie au centième est :
  \begin{enumerate}
    \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
    \item $0,50$	&	\item $0,68$	&	\item $0,84$	&	\item $0,95$	
    \end{tabularx}
  \end{enumerate}\medskip

\item On note $t$ la durée de lecture vérifiant $p(X \leqslant t)=0,9$. La valeur de $t$ arrondie à l'entier est :
  \begin{enumerate}
    \begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
    \item $t=32~s$	&	\item $t=45~s$	&	\item $t=49~s$	&	\item $t=58~s$	
    \end{tabularx}
  \end{enumerate}

\end{enumerate}


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\newpage



\hypertarget{liban15}{}
\section{Liban 2015 \hrulefill}

\emph{Pour chacune des situations suivantes, déterminer si elle est vraie ou faussent justifier la réponse.\\
  Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[- 3~;~1]$.

  \begin{center}
    \psset{unit=0.8cm}
    \begin{pspicture}(12,2.5)
      \psframe(12,2.5)\psline(0,2)(12,2)\psline(3,0)(3,2.5)
      \uput[u](1.5,1.9){$x$} \uput[u](3.3,1.9){$- 3$} \uput[u](6,1.9){$- 1$} 
      \uput[u](9,1.9){$0$} \uput[u](11.8,1.9){$1$}
      \rput(1.5,1){Variations de $f$}
      \uput[u](3.3,0){$- 6$} \uput[d](6,2){$- 1$}\uput[u](9,0){$- 2$}\uput[d](11.8,2){4}
      \psline{->}(3.6,0.5)(5.5,1.5)\psline{->}(6.5,1.5)(8.6,0.5)\psline{->}(9.4,0.5)(11.5,1.5)
    \end{pspicture}
  \end{center}

  \textbf{Proposition 1 :} L'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution dans l'intervalle $[- 3~;~1]$.
\item On considère une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~13]$ et on donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $g'$, fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~13]$.

  \begin{center}
    \psset{unit=0.8cm}
    \begin{pspicture}(-1,-2)(13,8)
      \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=13,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-2)(13,8)
      \psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(13,8)
      \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13}{2.71828 2 0.5 x mul sub exp  1 sub}
      \uput[d](4,0){4}\uput[d](1,0){1}\uput[d](13,0){13}
      \uput[l](0,1){$1$}\uput[dl](0,0){$0$}
      \uput[u](13,0){$x$}\uput[l](0,7.8){$y$}
    \end{pspicture}
  \end{center}

  \textbf{Proposition 2 :} La fonction $g$ est strictement décroissante sur l'intervalle $[0~;~4]$.

  \textbf{Proposition 3 :} La fonction $g$ est concave sur l'intervalle $[0~;~13]$.
\item La courbe ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[1~;~\mathrm{e}]$ par $h(x) = \dfrac{1}{x}$.

  \begin{center}
    \psset{unit=2cm}
    \begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3.5,1.5)
      \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=10]
      \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(3.5,1.5)
      \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{1 x div}
      \psline[linestyle=dashed](2.71828,0.368)(2.71828,0)
      \uput[d](2.71828,0){e}\uput[u](3.4,0){$x$}
      \uput[l](0,1.4){$y$}\uput[dl](0,0){$0$}
    \end{pspicture*}
  \end{center}

  \textbf{Proposition 4 :} La fonction $h$ est une fonction de densité de probabilité sur l'intervalle $[1~;~\mathrm{e}]$.
\end{enumerate}


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\newpage


\hypertarget{pondy15}{}
\section{Pondichery avril 2015 \hrulefill}

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}

\medskip

L'entreprise MICRO vend en ligne du matériel informatique notamment des ordinateurs portables
et des clés USB.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Durant la période de garantie, les deux problèmes les plus fréquemment relevés par le service
après-vente portent sur la batterie et sur le disque dur, ainsi:

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$*~~$] Parmi les ordinateurs vendus, 5\,\% ont été retournés pour un defaut de batterie et parmi ceux-ci, 2\,\% ont aussi un disque dur défectueux.
\item[$*~~$] Parmi les ordinateurs dont la batterie fonctionne correctement, 5\,\% ont un disque dur défectueux.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On suppose que la société MICRO garde constant le niveau de qualité de ses produits.

Suite à l'achat en ligne d'un ordinateur :

\medskip

\emph{Proposition} 1

La probabilité que l'ordinateur acheté n'ait ni problème de batterie ni problème de disque
dur est égale à $0,08$ à $0,01$ près.

\medskip

\emph{Proposition} 2

La probabilité que l'ordinateur acheté ait un disque dur défectueux est égale à \np{0,0485}.

\medskip

\emph{Proposition} 3

Sachant que l'ordinateur a été retourné pendant sa période de garantie car son disque dur
était défectueux, la probabilité que sa batterie le soit également est inférieure à $0,02$.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'autonomie de la batterie qui équipe les ordinateurs portables distribués par la société MICRO,
exprimée en heure, suit une loi normale d'espérance $\mu = 8$ et d'écart-type $\sigma = 2$.

\medskip

\emph{Proposition} 4

La probabilité que l'ordinateur ait une autonomie supérieure ou égale à 10~h est inférieure à
$0,2$.

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'entreprise MICRO vend également des clés USB et communique sur ce produit en affirmant
que 98\,\% des clés commercialisées fonctionnent correctement.

Sur \np{1000} clés prélevées dans le stock, $50$~clés se révèlent défectueuses.

\medskip

\emph{Proposition} 5

Ce test, réalisé sur ces \np{1000} clés, ne remet pas en cause la communication de l'entreprise.



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\newpage


\hypertarget{nvcal14}{}
\section{Nouvelle Calédonie nov2014 \hrulefill}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des cinq questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.\\ 
  Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.\\ 
  Une bonne réponse rapporte $1$ point Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point} 

\medskip

Pour relier une île au continent, les touristes doivent obligatoirement utiliser une des deux compagnies de ferries A ou B qui se partagent l'ensemble des transports vers cette île. 

Une enquête de satisfaction réalisée auprès de touristes s'y étant rendus a produit les résultats suivants : 

$\bullet~~$60\,\% des touristes se rendant sur l'île utilisent la compagnie A, les autres utilisent la compagnie B ; 

$\bullet~~$parmi les touristes ayant choisi la compagnie A pour se rendre sur l'île, 20\,\% sont satisfaits de leur transport ; 

$\bullet~~$48\,\% de l'ensemble des touristes sont satisfaits du transport vers l'île. 

On interroge au hasard un touriste s'étant rendu sur l'île: 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que ce touriste ait choisi la compagnie A et soit satisfait de son transport est : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
    \textbf{a.~~} 0,08&\textbf{b.~~} 0,12& \textbf{c.~~}0,24&\textbf{d.~~}0,88 
  \end{tabularx}
  \medskip

\item La probabilité que ce touriste ait choisi la compagnie A sachant qu'il est satisfait de son transport est : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
    \textbf{a.~~}  0,34 &\textbf{b.~~} 0,20&\textbf{c.~~}0,25 &\textbf{d.~~}0,83 
  \end{tabularx}
  \medskip

\item On rappelle que 48\,\% de l'ensemble des touristes sont satisfaits par le transport vers l'île. Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $100$~touristes choisis au hasard et de façon indépendante et ayant visité l'île, associe la fréquence de touristes satisfaits par le transport vers l'île. 

  Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de $F$ est : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
    \textbf{a.~~}[0,382~;~0,578]&\textbf{b.~~} [0,431~;~0,529]&\textbf{c.~~} [0,470~;~0,490]& \textbf{d.~~} [0,475~;~0,485]
  \end{tabularx}
  \medskip 

\item On choisit de modéliser le nombre de touristes satisfaits par le transport vers l'île parmi les $100$~touristes choisis au hasard et de façon indépendante par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 48$ et d'écart-type $\sigma = 5$. 

  La probabilité, selon ce modèle, qu'il y ait moins de 40~touristes satisfaits est, à 0,001 près :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
    \textbf{a.~~}0,055&\textbf{b.~~}0,309&\textbf{c.~~}0,347&\textbf{d.~~}0,374 
  \end{tabularx}
  \medskip 

\item La durée (en minutes) de la traversée entre le continent et l'île est modélisée par une variable aléatoire D qui suit une loi uniforme sur l'intervalle [30~;~50]. 

  La probabilité que la traversée entre le continent et l'île dure au moins 35 minutes est : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
    \textbf{a.~~}0,25&\textbf{b.~~}0,35&\textbf{c.~~}0,70 &\textbf{d.~~}0,75 
  \end{tabularx}
  \medskip
\end{enumerate}



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\newpage


\hypertarget{amsud14}{}
\section{Amerique du Sud nov 2014 \hrulefill}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
  Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ 
  Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip

Une bibliothèque municipale dispose pour ses usagers de deux types de livres: les livres à support numérique et les livres à support papier. 

\medskip

Le service des prêts observe que 85\,\% des livres empruntés sont à support papier. 

Un livre est rendu dans les délais s'il est rendu dans les quinze jours suivant son emprunt. 

Une étude statistique montre que 62\,\% des livres à support numérique sont rendus dans les délais et que 32\,\% des livres à support papier sont rendus dans les délais. 

\medskip

Un lecteur, choisi au hasard, emprunte un livre de cette bibliothèque. On note : 

$\bullet~~$$N$ l'évènement : \og le livre a un support numérique \fg{} ; 

$\bullet~~$$D$ l'évènement : \og le livre est rendu dans les délais \fg. 

\medskip

Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ son évènement contraire. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité de $D$ sachant $N$ est égale à : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~} 0,62 &\textbf{b.~~}0,32&\textbf{c.~~} 0,578&\textbf{d.~~} 0,15
  \end{tabularx}
  \medskip 

\item $P\left(\overline{N} \cap \overline{D}\right)$ est égale à : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~} 0,907&\textbf{b.~~}  0,272&\textbf{c.~~}  0,578 &\textbf{d.~~} 0,057 
  \end{tabularx}
  \medskip 

\item La probabilité de l'évènement $D$ est égale à : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~} 0,272&\textbf{b.~~}  0,365&\textbf{c.~~} 0,585 &\textbf{d.~~}0,94 
  \end{tabularx}
  \medskip 

\item On appelle $X$ la variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres 

  $n = 5$ et $p = 0,62$. 

  \hspace{0.3cm}\textbf{4.1} La probabilité à $10^{-3}$ près d'avoir $X \geqslant 1$ est : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~} 0,8& \textbf{b.~~} 0,908&\textbf{c.~~} 0,092&\textbf{d.~~} 0,992 
  \end{tabularx}
  \medskip 

  \hspace{0.3cm}\textbf{4.2} L'espérance de $X$ est : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    \textbf{a.~~}3,1& \textbf{b.~~}5&\textbf{c.~~} 2,356 &\textbf{d.~~}6,515 
  \end{tabularx}
  \medskip 
\end{enumerate} 


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\hypertarget{polysept14}{}
\section{Polynésie sept 2014 \hrulefill}

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève aucun point.\\
  Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.}

\medskip
\begin{enumerate}
\item On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur [0~;~3] ainsi que la tangente au point A d'abscisse 1.
  
  En $x = 1$, le nombre dérivé de $f$ est :

  \parbox{0.3\linewidth}{ 
    \begin{enumerate}
    \item $ -2\text{e}$ 
    \item 3 
    \item $\dfrac{1}{\text{e}}$ 
    \item  $- \dfrac{1}{\text{e}}$ 
    \end{enumerate}
  }\hfill \parbox{0.6\linewidth}{
    \psset{xunit=1.25cm,yunit=1cm}
    \begin{pspicture}(-0.5,-0.25)(3.5,2)
      \psgrid[gridlabels=0](0,0)(3,2)
      \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(3.5,2)
      \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{x 1 add 2.71828 x exp div}
      \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt]{0}{3}{1.10364 0.3679 x mul sub}
      \uput[d](3.4,0){$x$}\uput[l](0,1.9){$y$}\uput[ur](1,0.8){A}
      \uput[dl](0,0){O}
    \end{pspicture}}
  
\item On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $g$ définie et dérivable sur [0~;~5] ainsi que sa tangente horizontale au point A d'abscisse 3.
  
  Le signe de la fonction dérivée de $g$ est :

  \parbox{0.3\linewidth}{ 
    \begin{enumerate}
    \item négatif sur [0~;~1] 
    \item positif sur [3~;~4] 
    \item négatif sur [1~;~4] 
    \item change en $x = 4$
    \end{enumerate}} \hfill \parbox{0.6\linewidth}{
    \psset{unit=1cm}
    \begin{pspicture*}(-0.5,-1.5)(4.5,2.25)
      \psgrid[gridlabels=0](0,-2)(5,3)
      \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.2,-1.5)(4.5,2.25)
      \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.5}{x 3 exp 3 div x dup mul 2 mul sub x 3 mul add 1.33333 sub}
      \uput[dl](0,0){O}\uput[d](4.25,0){$x$}\uput[l](0,2.1){$y$}
      \psline{<->}(2.2,-1.3333)(3.8,-1.3333)\uput[ur](3,-1.333){A}
    \end{pspicture*}}
\item La fonction $H$ définie sur $\R$ par $H(x) = \text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$ est une primitive de la fonction $h$ définie 
  par : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
    \textbf{a.~~} $\text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$& 	\textbf{b.~~} $- \text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$& \textbf{c.~~} $- x\text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$& \textbf{d.~~}
    $- 2x\text{e}^{- \frac{x^2}{2}}$\\
  \end{tabularx}
  \medskip

\item Soit $j$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = 1 + \ln x$. 

  L'équation $j(x) = 0$ a pour solution :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
    \textbf{a.~~} e& 	\textbf{b.~~} $-1$& \textbf{c.~~}$ \dfrac{1}{\text{e}}$& \textbf{d.~~}
    1\\
  \end{tabularx}
  \medskip
  
\item On considère la fonction $k$ définie sur $\R$ par $k(x) = 3x + 5$.
  
  L'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe représentative de $k$, l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$ est :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
    \textbf{a.~~} 6,5& 	\textbf{b.~~} 8& \textbf{c.~~}4,5& \textbf{d.~~} 8,5
    \\
  \end{tabularx}
  \medskip
\end{enumerate} 


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\newpage


\hypertarget{antsept14}{}
\section{Antilles sept 2014 \hrulefill}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
  Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point.\\ Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La valeur exacte de $\ln \left(10 \text{e}^2\right)$ est :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
    \textbf{a.~~} $2\ln (10) + 2$&\textbf{b.~~} \np{4,302585093}& 
    \textbf{c.~~}  $\ln (10) + 2$& \textbf{d.~~}  $2\ln (10 \text{e})$
  \end{tabularx}
  \medskip 
  
\item On désigne par $n$ un nombre entier naturel. L'inégalité $0,7^n \leqslant 0,01$ est réalisée dès que :
  
  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
    \textbf{a.~~} $n \geqslant 12$& 
    \textbf{b.~~} $n \geqslant 13$& 
    \textbf{c.~~} $n \leqslant 13$& 
    \textbf{d.~~} $n \geqslant 70$
  \end{tabularx}
  \medskip  

\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 
  \text{e}^{5x+2}$.
  
  L'expression $f'(x)$ de la dérivée de $f$ est : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
    \textbf{a.~~}$5\text{e}^{5x+2}$&
    \textbf{b.~~}$\text{e}^{5x+2}$&
    \textbf{c.~~}$2\text{e}^{5x+2}$&
    \textbf{d.~~}$(5x + 2) \text{e}^{5x+2}$ 
  \end{tabularx}
  \medskip 
\item On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère du plan.
  
  La valeur de $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$ est : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
    \textbf{a.~~} $\text{e} - 2$& 
    \textbf{b.~~} $2$& 
    \textbf{c.~~} $1/4$&
    \textbf{d.~~} $\ln (1/2)$ 
  \end{tabularx}
  \medskip

  \begin{center}
    \psset{unit=2cm,comma=true}
    \begin{pspicture*}(-0.75,-0.35)(1.75,2.5)
      \def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
      \def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
      \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2]
      \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.75,-0.35)(1.75,2.5)
      \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.25}{1.25}{2.71828 x exp 1 sub}
      \uput[dl](0,0){O}
    \end{pspicture*}
  \end{center}
\item La tangente au point d'abscisse 1 à la courbe ci-dessus, donnée à la question 4, a pour équation: 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
    \textbf{a.~~} $y = \text{e}x + 1$& 
    \textbf{b.~~} $y = \text{e}x - 1$& 
    \textbf{c.~~} $y = -\text{e}x + 1$& 
    \textbf{d.~~} $y = -\text{e}x - 1$
  \end{tabularx}
  \medskip
\end{enumerate}


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\newpage


\hypertarget{pondi14}{}
\section{Pondichery avril 2014 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des propositions, déterminer si la proposition est vraie ou fausse et justifier la réponse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~

  \parbox{0.45\linewidth}{La courbe $\mathcal{C}_{h}$ représentative d'une fonction $h$ définie et dérivable sur $\R$ est représentée  ci-contre.

    On a tracé la tangente $T$ à $\mathcal{C}_{h}$ au point A$(- 1~;~3)$.

    $T$ passe par le point B$(0~;~- 2)$.

    \textbf{Proposition} : le nombre dérivé $h'(- 1)$ est égal à $- 2$.}\hfill
  \parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture*}(-2.1,-2.75)(3,4.25)
      \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2.75)(3,4.25)
      \psgrid[griddots=5,subgriddiv=1]
      \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.25}{2}{x dup mul 1 add x 3 exp sub}
      \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.25}{0.25}{x 5 neg  mul 2 sub}
      \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](-1,3)(0,-2)
      \uput[ur](1.2,0.5){$\mathcal{C}_{h}$}
      \uput[l](-0.5,0.5){$T$}
      \uput[dl](0,0){O}
      \uput[u](2.9,0){$x$}
      \uput[r](0,4){$y$}
      \uput[ur](-1,3){A}\uput[ur](0,-2){B}
    \end{pspicture*}}

\item ~

  \parbox{0.45\linewidth}{On désigne par $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur $[0~;~+ \infty[$.

    La courbe représentative de la fonction $f''$, dérivée seconde de la fonction $f$, est donnée ci-contre.

    Le point de coordonnées (1~;~0) est le seul point d'intersection de cette courbe et de l'axe des abscisses.

    \textbf{Proposition} : la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle [1~;~4].}\hfill
  \parbox{0.45\linewidth}{\psset{xunit=1cm,yunit=2.5cm}\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(5,1.25)
      \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(5,1.25)
      \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{ 
        1 x sub 2.71828 x  exp  div}
      \uput[dl](0,0){O}
      \uput[u](4.9,0){$x$}
      \uput[r](0,1.2){$y$}
    \end{pspicture*}}
\item \textbf{Proposition} : on a l'égalité 

  \[\text{e}^{5\ln 2} \times \text{e}^{7\ln 4} = 2^{19}.\]

\item La courbe représentative d'une fonction $g$ définie et continue sur l'intervalle [0~;~2] est donnée en fig. 1.

  La courbe représentative d'une de ses primitives, $G$, est donnée sur la fig. 2. La courbe représentative de $G$ passe par les points A(0~;~1), B(1~;~1) et C(2~;~5).

  \begin{center}

    \psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm}
    \begin{pspicture}(-0.2,-2.4)(2.2,9)
      \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
        \psplot[plotpoints=50,linewidth=.5pt,linecolor=blue]{1}{2}{x dup mul 3 mul 2 x mul  sub}
        \psline[linewidth=.5pt,linecolor=lightgray](2,0)(1,0)(1,1)}
      \multido{\n=1+1}{8}{%
        \psline[linewidth=.75pt, linestyle=dotted](0,\n)(2.2,\n)}
      \multido{\n=1+1}{2}{%
        \psline[linewidth=.75pt, linestyle=dotted](\n,0)(\n,9)}
      \psaxes[linewidth=1.5pt,ticksize= -2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.8)(2.2,9)
      \psplot[plotpoints=200,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x dup mul 3 mul 2 x mul  sub}
      \uput[dl](0,0){O}
      \rput(.9,-2){fig. 1}
    \end{pspicture} \hfill 
    \psset{xunit=2cm,yunit=.8cm}
    \begin{pspicture}(-0.2,-1.5)(2.2,5.625)
      \multido{\n=1+1}{5}{%
        \psline[linewidth=.75pt, linestyle=dotted](0,\n)(2.2,\n)}
      \multido{\n=1+1}{2}{%
        \psline[linewidth=.75pt, linestyle=dotted](\n,0)(\n,5.625)}
      \psaxes[linewidth=1.5pt,ticksize= -2pt 2pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.5)(2.2,5.625)
      \psplot[plotpoints=200,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{x dup mul  x 1 sub mul 1 add}
      \psdots[linecolor=blue](0,1)(1,1)(2,5)
      \uput[ur](0,1){\footnotesize{A}}\uput[ul](1,1){\footnotesize{B}}\uput[ul](2,5){\footnotesize{C}}
      \rput(.9,-1.25){fig. 2}
      \uput[dl](0,0){O}
    \end{pspicture}



  \end{center}

  \medskip

  \textbf{Proposition} : la valeur exacte de l'aire de la partie grisée sous la courbe de $g$ en fig. 1 est 4 unités d'aires.
\end{enumerate}


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\hypertarget{frjuin14}{}
\section{Métropole juin 2014 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\ 
  Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\ 
  Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée. 
  Une réponse exacte rapporte $1$ point.\\ Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'arbre de probabilités ci-dessous représente une situation où $A$ et $B$ sont deux évènements, dont les évènements contraires sont respectivement notés $\overline{A}$ et $\overline{B}$. 

  \begin{center}
    \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=3pt]{\TR{}}
    {
      \pstree{\TR{$A$}\taput{0,6}}
      { 
        \TR{$B$}\taput{0,3}
        \TR{$\overline{B}$}\tbput{\ldots}	   
      }
      \pstree{\TR{$\overline{A}$}\tbput{\ldots}}
      {
        \TR{$B$}\taput{0,2}
        \TR{$\overline{B}$}\tbput{\ldots}  
      }
    }
  \end{center}

  Alors

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
    \textbf{a.~~} $P_{A}(B) = 0,18$& 
    \textbf{b.~~} $P(A \cap B) = 0,9$& 
    \textbf{c.~~} $P_{A}\left(\overline{B}\right) = 0,7$&
    \textbf{d.~~} $P(B) = 0,5$
  \end{tabularx}
  \medskip 
\item Avec le même arbre, la probabilité de l'évènement $B$ est égale à : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
    \textbf{a.~~} 0,5& 
    \textbf{b.~~} 0,18& 
    \textbf{c.~~} 0,26& 
    \textbf{d.~~} 0,38
  \end{tabularx}
  \medskip
  
\item On considère une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle [1~;~15]. Son tableau de variation est indiqué ci-dessous. 

  \begin{center}
    \psset{unit=1cm}
    \begin{pspicture}(9.5,3)
      \psframe(9.5,3) \psline(0,2.5)(9.5,2.5) \psline(1.5,0)(1.5,3)
      \uput[u](0.75,2.4){$x$}\uput[u](1.65,2.4){$1$}\uput[u](3.5,2.4){$3$}\uput[u](5.5,2.4){$4$}\uput[u](7.5,2.4){$12$}\uput[u](8.8,2.4){$15$}
      \rput(0.75,1.25){$f(x)$}\uput[u](5.5,0){$- 2$}
      \uput[d](1.65,2.5){3} \uput[d](7.5,2.5){$- 1$}\uput[u](8.5,0){$- 3$}
      \rput(3.5,1.35){0}
      \psline{->}(1.8,2.2)(5,0.5) \psline{->}(5.5,0.5)(7,2)\psline{->}(7.5,2)(8.5,0.5)
    \end{pspicture}
  \end{center}
  
  Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~15]. On peut être certain que : 

  \begin{enumerate}
  \item La fonction $F$ est négative sur l'intervalle [3~;~4].
  \item La fonction $F$ est positive sur l'intervalle [4~;~12]. 
  \item La fonction $F$ est décroissante sur l'intervalle [4~;~12]. 
  \item La fonction $F$ est décroissante sur l'intervalle [1~;~3]. 
  \end{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$ :
  
  l'équation $\ln x + \ln (x + 3) = 3 \ln 2$ est équivalente à l'équation : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
    \textbf{a.~~} $2x + 3 = 6$& 
    \textbf{b.~~} $2x + 3 = 8$ &
    \textbf{c.~~} $x^2 + 3x = 6$ &
    \textbf{d.~~} $x^2 + 3x = 8$
  \end{tabularx}
  \medskip
  
\item  $g$ est la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = \frac{5}{x}$. 
  
  On note $C$ sa courbe représentative.
  
  L'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $C$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x = 2$ et $x = 6$, est égale à :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
    \textbf{a.~~} $5 (\ln 6 - \ln 2)$& 
    \textbf{b.~~} $\frac{1}{6-2}\int_{2}^6  g(x)\:\text{d}x$ &
    \textbf{c.~~} $5 \ln 6 + 5 \ln 2$ &
    \textbf{d.~~} $g(6) - g(2)$
  \end{tabularx}
  \medskip
\end{enumerate}



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\hypertarget{liban14}{}
\section{Liban mai 2014 \hrulefill}

\textbf{Enseignement obligatoire et L} 

\medskip 

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\ 
  Chaque question ci-après comporte quatre propositions de réponse.\\ 
  Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. On ne demande pas de justification. \\
  Chaque réponse exacte rapportera $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de point. }

\medskip

Un fumeur est dit fumeur régulier s'il fume au moins une cigarette par jour. 

En 2010, en France, la proportion notée $p$ de fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, était de $0,236$ 
\begin{flushright}(\emph{Source : Inpes})\end{flushright} 

On a $p = 0,236$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité que, sur un groupe de 10 jeunes âgés de 15 à 19 ans choisis au hasard et de manière indépendante, aucun ne soit fumeur régulier est, à $10^{-3}$ près: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~ 0,136&\textbf{b.}~~ 0&\textbf{c.}~~ 0,068&\textbf{d.}~~ 0,764
\end{tabularx}
\medskip 

\item Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 de la fréquence de fumeurs réguliers dans un échantillon de 500 jeunes âgés de 15 à 19 ans est : 

(Les bornes de chaque intervalle sont données à $10^{-3}$ près) 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~  [0,198 : 0,274] &\textbf{b.}~~[0,134 ; 0,238]&\textbf{c.}~~ [0,191 ; 0,281]&\textbf{d.}~~ [0,192; 0,280] 
  \end{tabularx}
  \medskip 

\item La taille n de l'échantillon choisi afin que l'amplitude de l'intervalle de fluctuation au seuil de 0,95 soit inférieure à 0,01, vaut: 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~$n = 200$&\textbf{b.}~~  
$n = 400$&\textbf{c.}~~ $n = \np{21167}$&\textbf{d.}~~ $n = \np{27707}$
\end{tabularx}
\medskip 

\item Dans un échantillon de 250 jeunes fumeurs réguliers, âgés de 15 à 19 ans, 99 sont des filles. 

  Au seuil de 95\,\%, un intervalle de confiance de la proportion de filles parmi les fumeurs réguliers âgés de 15 à 19 ans est: 

  (\emph{Les bornes de chaque intervalle sont données à }\: $10^{- 2}$ près) 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.}~~[0,35 ; 0,45]&\textbf{b.}~~ [0,33 ; 0,46]& 
\textbf{c.}~~ [0,39 ; 0,40]& 
\textbf{d.}~~ [0,30 ; 0,50]
\end{tabularx}
\medskip 
  
\end{enumerate}

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\newpage

\hypertarget{etranger14}{}
\section{Centres étrangers 2014 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'entreprise Printfactory fabrique, en grande quantité, des cartouches d'encre noire pour imprimante.

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse \textbf{en justifiant votre réponse}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la variable aléatoire $X$ qui, à chaque cartouche produite, associe sa durée de vie exprimée en nombre de pages.
  
  On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 250$ et d'écart-type $\sigma = 10$.
  
\begin{enumerate}
  \item \textbf{Affirmation 1 :} Environ 95\,\% des cartouches produites ont une durée de vie comprise entre $230$ et $270$~pages. 
  \item \textbf{Affirmation 2 :} Moins de 50\,\% des cartouches produites ont une durée de vie inférieure à $300$~pages.
  \end{enumerate} 
\item L'entreprise Printfactory a amélioré son procédé industriel et déclare que 80\,\% des cartouches produites ont une durée de vie supérieure à $250$ ~pages.
  
  Un contrôleur désigné par l'entreprise effectue un test en prélevant de façon aléatoire un échantillon de cartouches dans la production.
  
  Dans un échantillon de taille \np{1000}, le contrôleur a obtenu $240$~cartouches vides d'encre avant l'impression de $250$~pages. 

  \textbf{Affirmation 3 :} Le contrôleur valide la déclaration de l'entreprise. 
\item L'entreprise Printfactory souhaite connaître l'opinion de ses \np{10000} clients quant à la qualité d'impression de ses cartouches.
  
  Pour cela, elle souhaite obtenir, à partir d'un échantillon aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau $0,95$ avec un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 4\,\%. 

  \textbf{Affirmation 4 :} L'entreprise doit interroger au moins un quart de ses clients. 
\end{enumerate} 


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\hypertarget{asie14}{}
\section{Asie juin 2014 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2~;~5]$, croissante sur $[- 2~;~2]$ et décroissante sur [2~;~5]. 

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.


La courbe $(\mathcal{C})$ tracée ci-dessous représente la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé ; elle passe par les points A$(-2~;~0)$ ; B$\left(2~;~\frac{4}{3}\right)$ et C(4~;~0).

Elle admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l'axe des abscisses et sa tangente $(T)$ au point C passe par le point D(2~;~3). 

\begin{center}
  \psset{unit=1.2cm}
  \begin{pspicture*}(-2.5,-2.5)(5.5,3.5)
    \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-2.5,-2.5)(5.5,3.5)
    \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,griddots=6]
    \psplot[linewidth=1.25pt]{1}{5.5}{6 1.5 x mul sub}
    \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{5}{ 12 x dup mul sub x mul 24 div  2 3 div add}
    % \pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=cyan](-2,0)(-1.5,0.08)(-1,0.22)(0,0.68)(1,1.2)(2,1.3333)(3,1.04)(3.5,0.65)(4,0)(4.5,-0.9)(5,-2.03)
    \uput[dl](0,0){0}\uput[u](-0.5,0.4){$(\mathcal{C})$}
    \uput[ur](2.5,2.25){$(T)$}\uput[ur](2,3){D}\uput[ur](4,0){C}\uput[u](2,1.3333){B} \uput[ul](-2,0){A}
    \psdots(2,3)(4,0)(-2,0)(2,1.3333)
  \end{pspicture*}
\end{center}

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. La justification peut reposer sur le graphique ou sur un calcul.

\begin{description}
\item[ ] \textbf{Proposition 1 :} $f'(4) = - \dfrac{2}{3}$ 
\item[ ] \textbf{Proposition 2 :} La fonction $f$ est concave sur $[-2~;~2]$. 
\item[ ] \textbf{Proposition 3 :} $2 \leqslant \displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x \leqslant  3$ 
\item[ ] \textbf{Proposition 4 :} L'équation $f(x) = \ln 2$ n'admet pas de solution sur $[-2~;~5]$. 
\end{description} 


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\hypertarget{ant14}{}
\section{Antilles juin 2014 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Aucune justification n'est demandée.\\
  Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La somme $S = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{30}$ est égale à : 
  \begin{enumerate}
  \item $- 1 + 2^{31}$ 
  \item $1 - 2^{31}$ 
  \item $- 1 + 2^{30}$ 
  \item $1 - 2^{30}$
  \end{enumerate} 
\item L'équation $- \dfrac{x^3}{3} + x^2 +3x = 0$ admet sur $\R$ : 
  \begin{enumerate}
  \item la solution $- 2$ 
  \item trois solutions distinctes 
  \item aucune solution 
  \item une unique solution 
  \end{enumerate} 
\item Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln x$.
  
  Une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 
  \begin{enumerate}
  \item $F(x) = \dfrac{1}{x}$  
  \item $F(x) = x \ln x$ 
  \item $F(x)= x \ln x - x$ 
  \item $F(x) = \text{e}^x$ 
  \end{enumerate}
\item Les nombres entiers $n$ solutions de l'inéquation $\left(\frac{1}{2}\right)^n < 0,003$ sont tous les nombres entiers $n$ tels que : 
  \begin{enumerate}
  \item $n \geqslant 8$ 
  \item $n \geqslant 9$ 
  \item $n \leqslant 8$ 
  \item $n \leqslant 9$ 
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

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\newpage

\hypertarget{amnord14}{}
\section{Amérique du Nord 2014 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
  Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
  Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.
  Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5~;~5]$.

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\begin{center}
  \psset{unit=1cm}
  \begin{pspicture}(-6,-1)(6,3)
    \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
    \def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
    \def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
    \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-6,-1)(6,3)
    \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-5.99,-1)(6,3)
    \uput[dl](6,0){$x$} \uput[dl](0,3){$y$}
    \uput[dl](0,0){\footnotesize 0}
    \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.5pt, linecolor=bleu]{-5}{5}{x dup mul .125 neg mul EXP}
  \end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'intervalle $[-5~;~5]$ :

  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
    a)\; $f$ est une fonction de densité de probabilité & b)\; $f$ est positive \\  
    c)\; $f$ n'est pas continue & d)\; l'équation $f'(x)=0$ admet deux solutions
  \end{tabularx}
  
  \medskip 
  
\item Sur l'intervalle $[-5~;~5]$ :
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    a)\; $f'(1)=0$ & b)\; $f'(0)=1$ &  c)\; $f'(0)=0$ & d)\; $f'(1)=1$
  \end{tabularx}
  \medskip 
  
\item On admet qu'une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 4 est $y=-\dfrac{x}{\mathrm{e}^2}+\dfrac{5}{\mathrm{e}^2}$. 
  
  Le nombre dérivé de $f$ en 4 est :
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    a)\; $f'(4)=\dfrac{5}{\mathrm{e}^2}$ & b)\; $f'(4)=\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$ &  c)\; $f'(4)=-\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$ & d)\; $f'(4)=\mathrm{e}^{-2}$
  \end{tabularx}
  
  \medskip 
  
\item On pose $A=\displaystyle\int_{-2}^2 f(x) \: \mathrm{d} x$ . Un encadrement de $A$ est :  
  
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
    a)\; $0 <A < 1$ & b)\;$1< A < 2$ &  c)\; $3 < A < 4$ & d)\; $4 < A <5$
  \end{tabularx}
\end{enumerate}

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\hypertarget{calmars14}{}
\section{Nouvelle Calédonie mars 2014 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse et \textbf{justifier la réponse}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $G$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par 

\[G(x) = x \ln x - x + 10\]

est une primitive de la fonction $g$ définie sur l'intervalle 
$]0~;~+ \infty[$ par 

  $g(x) = \ln x$. 
\item On a l'égalité : 	$\displaystyle\int_{0}^1	\left(x^2 + 1\right)\:\text{d}x = \dfrac{1}{3}$. 
\item Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;~1]$.
  
  On a alors : $E(X) = 1$. 
\item Dans une population, la proportion de garçons à la naissance est $p = 0,51$.
  
  L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion de garçons dans un échantillon de taille $100$ est (en arrondissant les bornes à $0,001$ près) : $[0,412~;~0,608]$. 
\end{enumerate}




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\hypertarget{amsudnov13}{}
\section{Amérique du sud nov 2013 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée par des commerciaux qui se déplacent aux frais de l'entreprise.

\medskip

Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La direction de l'entreprise décide de diminuer le budget consacré aux frais de déplacements de ses commerciaux. 

  \medskip 
  \textbf{Affirmation 1 }: \og Diminuer ce budget de 6\,\% par an pendant 5 ans revient à diminuer ce budget de 30\,\% sur la période de 5 ans \fg. 
\item La production mensuelle varie entre $0$ et \np{10000} clés.
  
  Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, peut être modélisé par la fonction $B$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par 

  \[B(x) = - x^2 + 10x - 9,\]

  où $x$ représente le nombre de milliers de clés produites et vendues.
  
  \medskip
  
  \textbf{Affirmation 2a}: \og Lorsque l'entreprise produit et vend entre \np{1000} et \np{9000} clés USB, le bénéfice est positif \fg.
  
  \medskip
  
  \textbf{Affirmation 2b}: \og Lorsque l'entreprise produit et vend \np{5000} clés USB, le bénéfice mensuel est maximal \fg.
  
  \medskip
  
  \textbf{Affirmation 2c} : \og Lorsque l'entreprise produit et vend entre \np{2000} et \np{8000} clés USB, son bénéfice mensuel moyen est égal à \np{78000}~euros \fg. 
\item Pour contrôler la qualité du stock formé des milliers de clés USB fabriquées chaque année, on sélectionne au hasard un échantillon de \np{4000}~clés. Parmi ces clés, $210$ sont défectueuses.
  
  Le directeur des ventes doit stopper toute la chaîne de fabrication des clés USB si la borne supérieure de l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\,\%, dépasse 7\,\%.
  
  \medskip
  
  \textbf{Affirmation 3} : \og À l'issue du contrôle, le directeur des ventes stoppera toute la chaîne de fabrication \fg. 
\end{enumerate} 


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\hypertarget{calnov13}{}
\section{Calédonie nov 2013 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Pour chacune des questions posées une seule des quatre réponses est exacte. 
Recopier le numéro de la question sur la copie et indiquer la lettre correspondant à la réponse choisie.

\medskip

Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

Aucune justification n'est demandée.

\bigskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $x$ par 

  \[f(x) = \text{e}^{2x + \ln 2}.\]
  
  \begin{enumerate}
  \item La fonction $f$ est concave. 
  \item La fonction $f$ possède une fonction dérivée seconde qui s'annule. 
  \item La fonction $f$ possède une fonction dérivée seconde strictement positive. 
  \item La fonction $f$ possède une fonction dérivée qui s'annule. 
  \end{enumerate}
\item Une primitive de $f$ sur $\R$ est définie par : 
  \begin{enumerate}
  \item $F(x) = 2\text{e}^{2x + \ln 2}$ 
  \item $F(x) = \text{e}^{x^2+ x\ln 2}$ 
  \item $F(x) = \dfrac{1}{2} \text{e}^{2x + \ln 2}$ 
  \item $F(x) = \text{e}^{2x + \ln 2}$ 
  \end{enumerate} 
\item La fonction $g$ est la fonction constante définie pour tout nombre réel $x$ par $g(x) = 2$.
  
  L'aire du domaine délimité par les courbes représentatives de $g$ et de $f$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = \ln 2$ est :  
  \begin{enumerate}
  \item $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}(F(x) - 2x)\:\text{d}x$  
  \item $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}(f(x) + 2)\:\text{d}x$ 
  \item $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}(2 - f(x))\:\text{d}x$ 
  \item $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}(f(x) - 2)\:\text{d}x$ 
  \end{enumerate} 
\end{enumerate}

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\hypertarget{}{}

\section{Antilles sept 2013 \hrulefill}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip 

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La courbe $C$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ est donnée ci-dessous.

La courbe $C$ passe par les points A$(-1~;~\text{e})$ et B$(0~;~2)$ où e $= \text{exp}(1)$.

La tangente à la courbe $C$ au point A est horizontale et la tangente à la courbe $C$ au point B est la droite (BD), où D a pour coordonnées $(2~;~0)$. 

\begin{center}
  \psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
  \begin{pspicture*}(-3.5,-3.1)(3.5,4)
    \psaxes[linewidth=1.25pt,xsubticks=5,ysubticks=2]{->}(0,0)(-3.5,-3.1)(3.5,4)
    \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.3}{3.5}{x 2 add 2.71828 x exp div}
    \psplot{-2}{3.5}{2 x sub}
    \psline{<->}(-1.8,2.71828)(-0.2,2.71828)
    \uput[d](3.4,0){$x$}
    \uput[r](0,3.9){$y$}
    \uput[d](-1,2.71828){A}
    \uput[ur](0,2){B}
    \uput[u](2,0){D}
    \uput[dl](0,0){O}
  \end{pspicture*}
\end{center}

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, sans justifier, si elle est vraie ou fausse en vous appuyant sur la représentation graphique ci-dessus.

\medskip

\emph{Une bonne réponse rapporte $0,5$ point ;  une mauvaise réponse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'équation $f(x) = 1$ admet exactement trois solutions dans l'intervalle $[-2~;~3]$. 
\item La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[1~;~3]$. 
\item $f'(- 1) = 0$. 
\item $f'(0) = - 1$. 
\item $f'(x) \geqslant 0$ sur l'intervalle $[1~;~3]$. 
\item Une primitive $F$ de la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[1~;~3]$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip  

Pour chacune des affirmations suivantes, recopier sur votre copie le numéro de la question et indiquer, \textbf{en justifiant}, si elle est vraie ou fausse.

\medskip

\emph{Une bonne réponse rapporte 1 point ; une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'ensemble des solutions de l'inéquation : $0,2\ln x -1 \leqslant 0$ est l'intervalle $[\text{e}~;~+ \infty[$. 
\item On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : $g(x) = x^2 - 2\ln x$.
  
  La fonction $g$ est convexe sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. 
\end{enumerate}



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\hypertarget{francejuin13}{}
\section{Métropole sept 2013 \hrulefill}

\textbf{Enseignement obligatoire--L}

\medskip

\parbox{0.47\linewidth}{On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-1~;~3]$, deux fois dérivable sur cet intervalle et dont la représentation $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormé est proposée ci-contre.
  
  On désigne par $f'$ la fonction dérivée de $f$, par $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$, par $F$ une primitive de $f$ (On admet l'existence de $F$). 

  La droite D est tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse 1, seul point en lequel la courbe traverse la tangente.
  
  L'axe des abscisses est tangent à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 2. 

  La tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 0 est la droite d'équation $y = 4$.} \hfill
\parbox{0.50\linewidth}{\psset{unit=1cm}
  \begin{center}
    \begin{pspicture*}(-2,-1.5)(4,6)
      \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=5](-2,-1.5)(4,6)
      \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2,-1.5)(4,6)
      \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{x 3 exp x dup mul 3 mul sub 4 add}
      \psplot{-0.5}{2.5}{5 3 x mul sub}
      \psdots[dotscale=1.5](1,2)\uput[ur](1,2){A}
      \uput[l](-0.8,2.2){$\mathcal{C}_{f}$}
      \uput[l](-0.2,5.5){$D$}
      \uput[d](3.9,0){$x$}
      \uput[r](0,5.9){$y$}
    \end{pspicture*}
  \end{center}}

\medskip 

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des quatre propositions est exacte.

Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la proposition choisie.

Une réponse juste apporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item $f$ est convexe sur l'intervalle $[- 1~;~0]$. 
  \item $f$ est concave sur l'intervalle ]1~;~2[. 
  \item $f$ est convexe sur l'intervalle ]1~;~3[. 
  \item $\mathcal{C}_{f}$ est au -dessus de sa tangente au point d'abscisse $- 1$.
  \end{enumerate} 
\item
  \begin{enumerate}
  \item $f(1) = 5$ 
  \item $f'(1) = 2$ 
  \item $f''(1) = - 3$ 
  \item La tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 1 a pour équation $y = -3x + 5$. 
  \end{enumerate} 
\item
  \begin{enumerate}
  \item $f'(x) > 0$ pour tout $x$ de l'intervalle $]- 1~;~2[$. 
  \item $f'$ est croissante sur l'intervalle ]1~;~2[. 
  \item $f(x) = 0$ si et seulement si $x = 0$ ou $x = 2$ 
  \item $f'(x) \leqslant 0$ pour tout $x$ de l'intervalle $]- 2~;~-1[$. 
  \end{enumerate} 
\item
  \begin{enumerate}
  \item  $\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x < 0$ 
  \item   $3 < \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x < 6$ 
  \item   $\displaystyle\int_{-1}^0 f(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ 
  \item   La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [0~;~2] est égale à $1$.
  \end{enumerate} 
\item
  \begin{enumerate}
  \item $f'$ est croissante sur l'intervalle $]- 1~;~2[$. 
  \item $F$ est croissante sur l'intervalle $]- 1~;~2[$. 
  \item $f$ est croissante sur l'intervalle $]- 1~;~2[$. 
  \item $F(1) > F(2)$
  \end{enumerate}		 
\end{enumerate}


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\hypertarget{polysept13}{}
\section{Polynésie sept 2013 \hrulefill}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\ 
  Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ 
  Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'apporte, ni n'enlève aucun point.} 

\medskip

On a tracé ci-dessous la courbe représentative $C_{f}$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$ ainsi que sa tangente au point A d'abscisse 2. 

\begin{center}
  \psset{unit=0.5cm}
  \begin{pspicture*}(-20,-5)(6.5,7)
    \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-20,-5)(6.4,6.9)
    \multido{\n=-20+2}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-5)(\n,7)}
    \multido{\n=-4+2}{6}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-20,\n)(6,\n)}\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-20}{3.5}{1.64872  2 x sub mul 2.71828 0.25 x mul exp mul}
    \psplot[plotpoints=5000,linewidth=1pt]{-2}{4}{2.71828   2 x sub mul}
    \psline[linestyle=dashed](-2,0)(-2,4)(0,4)
    \uput[u](-2,4){S}
    \uput[ur](2,0){A}
  \end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'équation de la tangente à $C_{f}$ en A ?

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
    \textbf{a.~} $y = - \text{e}x + 2\text{e}$& 	\textbf{b.~} $y = 3x + 2\text{e}$& 
    \textbf{c.~} $y = \text{e}x + 3\text{e}$&\textbf{d.~} $y = - 5x + 4\text{e}$
  \end{tabularx}
  \medskip

\item La fonction $f$ est :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
    \textbf{a.~} concave sur $]- \infty~;~0]$& 
    \textbf{b.~} convexe sur $]- \infty~;~0]$ &
    \textbf{c.~} concave sur [0~;~2]&
    \textbf{d.~} convexe sur [0~;~2]
  \end{tabularx}
  \medskip

\item La valeur de $\displaystyle\int_{0}^2 f(x)\:\text{d}x$ est: 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
    \textbf{a.~} $50\text{e}$&\textbf{b.~} $16\text{e} - 24\sqrt{\text{e}}$& 
    \textbf{c.~} $0,1\text{e}$&\textbf{d.~} $- 5\text{e} - \sqrt{\text{e}}$
  \end{tabularx}
  \medskip

\item Parmi les 4 courbes représentées ci-dessous, laquelle représente la fonction dérivée de la fonction $f$ ?

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} 
    \psset{unit=0.3cm}
    \begin{pspicture}(-9,-6)(9,6)
      \def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
      \def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
      \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-9,-6)(9,6)
      \rput(-8,5){\textbf{a.}}
      \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-9}{3.9}{1.64872  2 x add 4 div  mul 2.71828 0.25 x mul exp mul neg}
      \uput[dl](0,0){\scriptsize {0}}
    \end{pspicture}& \psset{unit=0.3cm}
    \begin{pspicture}(-10,-4)(8,8)
      \def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
      \def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
      \def\f{.25*((x-3)*EXP(x)+EXP(2))}
      \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-10,-4)(8,8)
      \rput(-9,7){\textbf{b.}}
      \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-10}{3.64}{\f}
      \uput[dl](0,0){\scriptsize {0}}
    \end{pspicture}\\
    \psset{unit=0.3cm}
    \begin{pspicture}(-12,-4)(6,8)
      \def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
      \def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
      \def\f{(x-1)*EXP(x)+1}
      \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-12,-4)(6,8)
      \rput(-11,6){\textbf{c.}}
      \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-12}{1.98}{\f}
      \uput[dl](0,0){\scriptsize {0}}
    \end{pspicture}&\psset{unit=0.3cm}
    \begin{pspicture}(-10,-6)(8,6)
      \def\pshlabel#1{\scriptsize #1}
      \def\psvlabel#1{\scriptsize #1}
      \def\f{18*(x-2)/(5*x-58)}
      \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-10,-6)(8,6)
      \rput(-9,5){\textbf{d.}}
      \psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=1.25pt]{-10}{8}{\f}
      \uput[dl](0,0){\scriptsize {0}}
    \end{pspicture}
  \end{tabularx}
  
\end{enumerate} 


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\newpage


\hypertarget{amnord13}{}
\section{Amerique du Nord mai 2013 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ 
  Recopier pour chaque question la réponse exacte, on ne demande pas de justification. \\
  Chaque réponse exacte rapportera $1$ point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $a$ non nul, le nombre réel $\text{e}^{- \frac{1}{a}}$  est égal à :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X} 
    \textbf{a.~~}$- \text{e}^{\frac{1}{a}}$&
    \textbf{b.~~}$\dfrac{1}{\text{e}^{\frac{1}{a}}}$&
    \textbf{c.~~}$\dfrac{1}{\text{e}^a}$&
    \textbf{d.~~}$\text{e}^a$
  \end{tabularx}

  \medskip
\item Pour tout réel $a$, le nombre réel $\text{e}^{\frac{a}{2}}$ est égal à : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}  
    \textbf{a.~~} $\sqrt{\text{e}^a}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{\text{e}^a}{2}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^2}$&\textbf{d.~~}$\text{e}^{\sqrt{a}}$
  \end{tabularx}

  \medskip 
\item Pour tout réel $x < 0$, le nombre réel $\ln \left(- \dfrac{1}{x} \right)$ est égal à : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
    \textbf{a.~~} $\ln (x)$&\textbf{b.~~}$- \ln (- x)$& \textbf{c.~~}$- \ln (x)$&\textbf{d.~~}$\dfrac{1}{\ln (- x)}$
  \end{tabularx}

  \medskip
  
\item On donne la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = x \ln (x)$.
  
  La dérivée de $f$ est définie sur $]0~;~+\infty[$ par :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
    \textbf{a.~~} $f'(x) = 1$&\textbf{b.~~}$f'(x) = \ln (x)$&\textbf{c.~~}$f'(x) = \dfrac{1}{x}$&\textbf{d.~~}$f'(x) = \ln (x) + 1$
  \end{tabularx}

  \medskip 
\end{enumerate} 




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\newpage

\hypertarget{asiejuin13}{}
\section{Asie juin 2013 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie sans justifier le choix effectué.

Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un réel de l'intervalle $[ -2 ; 5]$.

  Quelle est la probabilité que ce nombre appartienne à l'intervalle $[ -1 ; 1]$ ?

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
    \textbf{a.~~} $\dfrac{1}{5}$ 	&\textbf{b.~~} $\dfrac{2}{7}$ & \textbf{c.~~} $\dfrac{1}{2}$  & \textbf{d.~~} $0,7$
  \end{tabularx}

  \medskip
  

\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 3 et d'écart type 2.

  Quelle est la valeur arrondie au centième de la probabilité $P(X \leqslant 1)$ ? 

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
    \textbf{a.~~} $0,16$ 	&\textbf{b.~~} $0,68$ & \textbf{c.~~} $0,95$  & \textbf{d.~~} $0,99$
  \end{tabularx}

  \medskip


\item Quelle courbe représente la fonction de densité d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale $\mathcal{N} (0,1)$ ?

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|X|} \hline
    \textbf{a.~~}  &\textbf{b.~~} \\
    \psset{unit=.4cm}
    \begin{pspicture}(-4,-1)(11,5)
      \def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
      \def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
      \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
      \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-4,-1)(11,5)
      \psset{xunit=.4cm, yunit=8cm}
      \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none,Dy=0.1]{->}(0,0)(-4,-0.05)(11,0.25)
      \uput[dl](0,0){\scriptsize{$0$}} \uput[d](1,0){\scriptsize{$1$}} \uput[l](0,0.1){\scriptsize{$0,1$}}
      \uput[dl](11,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,0.25){\scriptsize{$y$}} 
      \psGauss[sigma=2, mue=3, linewidth=1.25pt,plotpoints=600, linecolor=bleu]{-4}{11}
    \end{pspicture} &
    \psset{unit=.4cm}
    \begin{pspicture}(-7,-1)(7,6)
      \def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
      \def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
      \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
      \def\f{1/(x^2+1)}
      \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-1)(7,6)
      \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-7,-1)(7,6)
      \uput[dl](0,0){\scriptsize{$0$}} \uput[d](1,0){\scriptsize{$1$}} \uput[l](0,1){\scriptsize{$0,2$}}
      \uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,6){\scriptsize{$y$}} 
      \psset{xunit=.4cm, yunit=2cm}
      \psplot[algebraic=true,plotpoints=360,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7}{7}{\f}
    \end{pspicture} \\ \hline
    \textbf{c.~~}   &\textbf{d.~~}  \\
    \psset{unit=.4cm}
    \begin{pspicture}(-5,-1)(6,9)
      \def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
      \def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
      \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
      \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-5,-1)(6,9)
      \psset{xunit=.4cm, yunit=8cm}
      \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none,Dy=0.1]{->}(0,0)(-5,-0.05)(6,0.45)
      \uput[dl](0,0){\scriptsize{$0$}} \uput[d](1,0){\scriptsize{$1$}} \uput[l](0,0.1){\scriptsize{$0,1$}}
      \uput[dl](6,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,0.45){\scriptsize{$y$}} 
      \psGauss[sigma=1, mue=0, linewidth=1.25pt,plotpoints=600, linecolor=bleu]{-5}{6}
    \end{pspicture} &
    \psset{unit=.4cm}
    \begin{pspicture}(-7,-1)(7,9)
      \def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
      \def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
      \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
      \def\f{1/(x^2)}
      \psgrid[gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-7,-1)(7,9)
      \psset{xunit=.4cm,yunit=.8cm}
      \psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt,labels=none]{->}(0,0)(-7,-.5)(7,4.5)
      \uput[dl](0,0){\scriptsize{$0$}} \uput[d](1,0){\scriptsize{$1$}} \uput[l](0,1){\scriptsize{$1$}}
      \uput[dl](7,0){\scriptsize{$x$}} \uput[dl](0,4.5){\scriptsize{$y$}} 
      \psplot[algebraic=true,plotpoints=360,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{-7}{-.47}{\f}
      \psplot[algebraic=true,plotpoints=360,linewidth=1.25pt, linecolor=bleu]{.47}{7}{\f}
    \end{pspicture} \\ \hline
  \end{tabularx}

  \medskip
  
\item Lors d'un sondage avant une élection, on interroge 800 personnes (constituant un échantillon représentatif). 424 d'entre elles déclarent qu'elles voteront pour le candidat H.

  Soit $p$ la proportion d'électeurs de la population qui comptent voter pour H.

  Lequel des intervalles ci-dessous est un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\% de la proportion $p$ ?

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
    \textbf{a.~~}  $[0,46; 0,60]$ & \textbf{b.~~} $[0,48; 0,58]$ & \textbf{c.~~} $[0,49; 0,57]$ &\textbf{d.~~} $[0,51; 0,55]$
  \end{tabularx}
\end{enumerate}


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\newpage

\hypertarget{liban13}{}
\section{Liban mai 2013 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). 
  Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. 
  Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Parmi toutes les fonctions définies sur $]0~;~+\infty[$ et dont l'expression algébrique est donnée ci-dessous, la seule qui est convexe est: 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
    \textbf{a.~~} $x^3 - 3x^2 + 4$&\textbf{b.~~} $\ln (x)$&\textbf{c.~~} $- \text{e}^{x}$&\textbf{d.~~} $x^2 + x + 5$
  \end{tabularx}
  \medskip
  
\item Une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ définie par $f(x) = \ln (x)$ est la fonction $F$ définie par :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4} X}
    \textbf{a.~~} \small$F(x) = \dfrac{1}{x}$&\textbf{b.~~}\small$F(x) = x\ln (x) - x$&\textbf{c.~~} \small$F(x) = x\ln (x)$&\textbf{d.~~}\small$F(x) = \ln (x)$
  \end{tabularx}
  \medskip
  
\item La valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{2x}\:\text{d}x$ est égale à : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
    \textbf{a.~~} $3,19$ 	&\textbf{b.~~} $\text{e}^2 - 1$&\textbf{c.~~} $\dfrac{1}{2} \text{e}^2$&\textbf{d.~~} $\dfrac{1}{2} \left(\text{e}^2 - 1\right)$
  \end{tabularx}
  \medskip
  
\item Si une variable aléatoire $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(1~;~ 4)$, alors une valeur approchée au centième de $P(2  \leqslant X \leqslant 3)$ est : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
    \textbf{a.~~} 0,15 	&\textbf{b.~~} 0,09&\textbf{c.~~} 0,34&\textbf{d.~~} 0,13
  \end{tabularx}
  \medskip
  
\item Dans une commune comptant plus de \np{100000} habitants, un institut réalise un sondage auprès de la population. Sur 100 personnes interrogées, 55 affirment être satisfaites de leur maire.
  
  L'intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ permettant de connaître la cote de popularité du maire est :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
    \textbf{a.~~} [0,35~;~0,75] 	&\textbf{b.~~} [0,40~;~0,70]&\textbf{c.~~} [0,45~;~0,65] &\textbf{d.~~} [0,50~;~0,60] 
  \end{tabularx}
  \medskip 
\end{enumerate}


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\newpage

\hypertarget{francejuin13}{}
\section{Métropole dévoilé juin 2013 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. 

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. 

Aucune justification n'est demandée. 

Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$. Le tableau de variations de la fonction $f$ est le suivant :
  \begin{center}
    \psset{unit=1cm}
    \begin{pspicture}(-0.5,0)(6.5,2.5)
      \psframe(-0.5,0)(6.5,2.5)\psline(-0.5,2)(6.5,2)\psline(0.5,0)(0.5,2.5)
      \uput[u](0,2){$x$} \uput[u](1,2){$- \infty$} \uput[u](2,2){$- 5$} 
      \uput[u](3.5,2){$- 1$} \uput[u](5,2){$7$} \uput[u](6,2){$+ \infty$}
      \rput(0,1){$f(x)$} \rput(2,1){$0$}\uput[u](3.5,0){$- 4$}\rput(5,1){$0$}
      \psline{->}(1,1.5)(3,0.5) \psline{->}(4,0.5)(6,1.5)
    \end{pspicture}
  \end{center} 

  \begin{enumerate}
  \item L'intégrale $\displaystyle\int_{- 1}^7  f(x)\:\text{d}x$ est strictement positive. 
  \item L'intégrale $\displaystyle\int_{- 1}^7  f(x)\:\text{d}x$ est strictement négative. 
  \item L'intégrale $\displaystyle\int_{- 1}^7  f(x)\:\text{d}x$ est nulle.
  \item Le tableau de variations ne permet pas de connaître le signe de l'intégrale 
    $\displaystyle\int_{- 1}^7  f(x)\:\text{d}x$.
  \end{enumerate} 
\item Dans une ville de \np{23000} habitants, la municipalité souhaite connaître l'opinion de ses concitoyens sur la construction d'un nouveau complexe sportif. Afin de l'aider dans sa décision, la municipalité souhaite obtenir une estimation de la proportion de personnes favorables à la construction de ce complexe sportif, au niveau de confiance de 95\,\% avec un intervalle d'amplitude inférieure à 4\,\%.
  
  Le nombre minimum de personnes que la municipalité doit interroger est de :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
    \textbf{a.~~} $625$ &\textbf{b.~~} $\np{2500}$ &\textbf{c.~~} $920$ &\textbf{d.~~} $874$
  \end{tabularx}

  \medskip  
\item Soit $f$ la fonction dérivable définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = \dfrac{2 \ln x}{x + 1} - 4$.

  Dans le plan muni d'un repère, la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $1$ admet pour équation :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
    \textbf{a.~~}  $y = x + 3$&\textbf{b.~~} $y = x - 5$&\textbf{c.~~} $y = - x - 3$&\textbf{d.~~} $y = 2x - 6$
  \end{tabularx}

  \medskip 
\item On résout dans $\R$ l'inéquation : $\ln x + \ln 2 \geqslant \ln(3x - 6)$. 

  L'ensemble des solutions est : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
    \textbf{a.~~}  $]2~;~6]$&\textbf{b.~~} $[6~;~+ \infty[$&\textbf{c.~~} $]0~;~6]$&\textbf{d.~~} $]0~;~4]$
  \end{tabularx}

  \medskip  
\end{enumerate}


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\newpage

\hypertarget{francejuin13}{}
\section{Métropole juin 2013 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des questions posées, une proposition est faite. Il est demandé de déterminer si cette proposition est vraie ou fausse, en justifiant.

\bigskip

\textbf{Question 1}

\medskip

Un étudiant a travaillé durant l'été et dispose d'un capital de 2500 euros. 
A partir du premier septembre 2013, il place son capital $c_{0} = \np{2500}$ sur un compte rapportant 0,2\,\% d'intér\^ets composés par mois et il loue une chambre qui lui coûte $425$~euros par mois.

On note $c_{n}$ le capital disponible, exprimé en euros, au début de chaque mois. Par exemple le capital disponible au début du mois d'octobre vaudra : 

$c_{1} = 1,002  c_{0} - 425 = \np{2080}$~euros.

L'année universitaire s'achève à la fin du mois de juin 2014.

\medskip

On admet que la suite des capitaux $\left(c_{n}\right)$ est décrite par les relations :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $c_{0} = \np{2500}$ 
\item[$\bullet~$] Pour tout entier naturel $n,\: c_{n+ 1} = 1,002 \times  c_{n} - 425$
\end{itemize} 

\textbf{PROPOSITION :}  Sans apport supplémentaire l'étudiant sera à découvert à partir du début du mois de mars 2014. 

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip 
Sur $I=]0~;~ + \infty[$, on définit la fonction $f$ par $f(x) = 2x + 1 - \ln x$.

\textbf{PROPOSITION :} $f$ est une fonction convexe sur $I$. 

\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip
On définit sur l'intervalle $I = ]0~;~ +\infty[$, $F(x) = 2x \ln x - 2x + 5$. On a effectué à l'aide d'un logiciel de calcul formel les séquences suivantes: 

\renewcommand\arraystretch{1}
\begin{center}
  \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|X X|}\hline
    1	&dériver$((2x) \star \ln (x) - 2x + 5)$&\\ 
    &\rule[-3mm]{0mm}{8mm}					&$2\star\ln (x)+\dfrac{2\star x}{x}-2$\\ \hline 
    2	&simplifier $\left(2\star\ln (x) + \dfrac{2\star x}{x} - 2\right)$&\\  
    &					&$\ln \left(x^2\right)$\\ \hline
  \end{tabularx}
\end{center}

\textbf{PROPOSITION :} $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x) = 2\ln x$. 

\bigskip

\textbf{Question 4}

\medskip

$X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $\mu = 0$ et d'écart-type $\sigma = 0,6$.

\textbf{PROPOSITION :} $P(- 0,6 \leqslant  X \leqslant 0,6) \approx 0,68$ 




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\newpage

\hypertarget{poly13}{}
\section{Polynésie juin 2013 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice  est un questionnaire à choix multiples.\\
  Pour chaque question,  une seule des quatre réponses  proposées  est correcte.\\
  Une réponse  juste rapporte  1  point  ; une réponse  fausse ou l'absence  de réponse ne rapporte  ni n'enlève de point.\\
  Reporter sur le sujet le numéro de la question  ainsi que la réponse choisie.  Aucune justification  n'est demandée.}

\bigskip

On considère  la fonction  $f$  définie  sur $\R$ par :  $f (x) =  x\mathrm{e}^{-x}$.


\begin{enumerate}
\item L'image  $f\left( \ln 2\right)$ de $\ln 2$ par $f$ est égale  à  : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
    \textbf{a.~~} $\ln 2$ & \textbf{b.~~} $-2\ln 2$ \\ 
    \textbf{c.~~} $2\ln 2$ &\textbf{d.~~} $\dfrac{1}{2}\ln 2$
  \end{tabularx}
  \medskip


\item $f$ est dérivable sur $\R$ et on note  $f'$ sa fonction  dérivée.  Alors,  pour tout nombre réel $x$, on a  :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2} X}
    \textbf{a.~~}  $f' (x) =  \mathrm {e}^{-x}$ &\textbf{b.~~} $f' (x) = - \mathrm {e}^{-x}$ \\
    \textbf{c.~~}  $f' (x) = (1-x) \mathrm {e}^{-x}$ &\textbf{d.~~} $f' (x) =  (1+x)\mathrm {e}^{-x}$
  \end{tabularx}
  \medskip
  
\item L'équation réduite de la tangente à la courbe de la fonction  $f$  au point d'abscisse  0 est  : 

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
    \textbf{a.~~} $y=2x$ 	&\textbf{b.~~} $y=x-1$ \\
    \textbf{c.~~} $y=x$ &\textbf{d.~~} $y=2x-1$
  \end{tabularx}
  \medskip
  
\item La fonction  $f$ est :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
    \textbf{a.~~} concave sur $[0 ; 1 ]$ 	&\textbf{b.~~} concave sur $[0 ; +\infty [$ \\
    \textbf{c.~~} convexe sur $[0 ;+\infty [$ &\textbf{d.~~} convexe sur $[0 ; 1 ]$
  \end{tabularx}
  \medskip
  
\item L'intégrale  $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\mathrm{d}x$ est égale à  :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
    \textbf{a.~~} $\mathrm {e} - 5$ 	&\textbf{b.~~} 5 \\
    \textbf{c.~~} $\dfrac{\mathrm {e}-2}{\mathrm {e}}$ &\textbf{d.~~} 1
  \end{tabularx}
  \medskip 
\end{enumerate}



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\newpage

\hypertarget{pondi13}{}
\section{Pondichery avril 2013 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
  Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\ 
  Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\ Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = \text{e}^{- x^2}$ est une primitive de la fonction $f$ définie par :

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} 
    A :\quad  $f(x) = - x\text{e}^{- x^2}$ &B :\quad  $f(x) = - 2x\text{e}^{- x^2}$\\
    C :\quad $f(x) = x\text{e}^{- x^2}$ &D :\quad $f(x) = \text{e}^{- 2x}$\\
  \end{tabularx}
  \medskip 
\item Soit la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x) = (7x - 23)\text{e}^{x}$. 

  L'équation $h(x) = 0$

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
    A :\quad a pour solution $2,718$   &B :\quad a une solution sur $[0~;~+\infty[$\\
    C :\quad a deux solutions sur $\R$ &D :\quad a une solution sur 
    $]-\infty~;~ 0]$\\ 
  \end{tabularx}
  \medskip 

\item On pose $I = \displaystyle\int_{0}^1 3\text{e}^{3x}\:\text{d}x$.
  
  On peut affirmer que :

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{X X} 
    A :\quad $I = \text{e}^{3} - 1$ &B :\quad $I = 3\text{e}^{3} - 3$ \\
    C :\quad $I = 19,1$ 			&D :\quad $I = 1 - \text{e}^{3}$.\\
  \end{tabularx}
  \medskip
  
\item La fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = x^3 - 9x$ est convexe sur l'intervalle :

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{X X}  
    A :\quad  $]- \infty~;~+\infty[$ 	&B :\quad  $[0~;~+\infty[$\\
    C :\quad $]- \infty~;~0]$			&D :\quad  $[- 3~;~3]$\\ 
  \end{tabularx}
  \medskip
\end{enumerate} 


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\newpage

\hypertarget{etranger13}{}
\section{Centres étrangers juin 2013 \hrulefill}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les services de la mairie d'une ville ont étudié l'évolution de la population de cette ville. Chaque année, 12,5\,\% de la population quitte la ville et \np{1200} personnes s'y installent.

En 2012, la ville comptait \np{40000} habitants.

On note $U_n$ le nombre d'habitants de la ville en l'année $2012 + n$.

On a donc $U_0 = \np{40000}$.

On admet que la suite $\left( U_n \right)$ est définie pour tout entier naturel $n$ par $U_{n+1} = 0,875 \times U_n + \np{1200}$.

On considère la suite $\left( V_n \right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $V_n = U_n - \np{9600}$.

\medskip

\emph{Les questions numérotées de $1$ à $5$ de cet exercice forment un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées : une seule réponse est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La valeur de $U_1$ est : 

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
    \textbf{a.~~} \np{6200} & \textbf{b.~~} \np{35000} &\textbf{c.~~} \np{36200} &\textbf{d.~~} \np{46200} \\
  \end{tabularx}

  \medskip

\item La suite $\left( V_n \right)$ est :

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2} X}
    \textbf{a.~~}   géométrique de raison $-12,5 \%$ &\textbf{c.~~} géométrique de raison $-0,875$\\ 
    \textbf{b.~~} géométrique de raison $0,875$ & \textbf{d.~~} arithmétique de raison $-\np{9600}$\\
  \end{tabularx}

  \medskip
  
\item La suite $\left( U_n \right)$ a pour limite : 

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
    \textbf{a.~~} $+\infty$ 	&\textbf{b.~~} $0$ &\textbf{c.~~} $\np{1200}$ &\textbf{d.~~} $\np{9600}$
  \end{tabularx}

  \medskip
  
\item  On considère  l'algorithme suivant  :

  \begin{center}
    \framebox [7.5cm]{\begin{minipage}{7cm} 

        \textsf {\textsc{variables} :}

        \setlength\parindent{5mm}
        $U$, $N$
        \setlength\parindent{0mm}

        \textsf {\textsc{initialisation} :}

        \setlength\parindent{5mm}
        $U$ prend la valeur \np{40000}

        $N$ prend la valeur 0
        \setlength\parindent{0mm}

        \textsf {\textsc{traitement} :}

        \setlength\parindent{5mm}
        Tant que  $U> \np{10000}$

        \begin{itemize}
        \item[] $N$ prend la valeur $N+ 1$
        \item[] $U$ prend la valeur $0,875 \times  U + \np{1200}$
        \end{itemize}

        Fin du Tant que
        \setlength\parindent{0mm}

        \textsf {\textsc{sortie} :}

        \setlength\parindent{5mm}
        Afficher $N$
        \setlength\parindent{0mm}

      \end{minipage}}
  \end{center} 

  Cet algorithme permet d'obtenir :

  \medskip

  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2} X}
    \textbf{a.~~}   la valeur de  $U_{\np{40000}}$ &\textbf{c.~~} le plus petit rang $n$ pour lequel on a  $U_n \leqslant \np{10000}$\\ 
    \textbf{b.~~} toutes les valeurs de $U_0$ à $U_N$ & \textbf{d.~~} le nombre de termes inférieurs à \np{1200}\\
  \end{tabularx}

  \medskip
  
\item La valeur affichée est  :

  \medskip
  \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
    \textbf{a.~~} $33$ 	&\textbf{b.~~} $34$ &\textbf{c.~~} $\np{9600}$ &\textbf{d.~~} $\np{9970,8}$\\
  \end{tabularx}
  \medskip 
\end{enumerate}



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% \nettoyer
\end{document}

